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2020-2021年人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》同步提升训练（附答案）
1．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M是BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN＝（　　）
A． B． C．6 D．11
2．如图，在Rt△ABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝9，S2＝16，则S3的值为（　　）
A．7 B．10 C．20 D．25
3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A．13cm2 B．26cm2 C．48cm2 D．52cm2
4．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）
A．16 B．25 C．144 D．169
5．直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（　　）
A．13 B． C．13或 D．13或12
6．已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
7．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（　　）
A．9 B．36 C．27 D．34
8．直角三角形的三边为a﹣b，a，a+b且a、b都为正整数，则三角形中一边长可能为（　　）
A．7 B．9 C．11 D．13
9．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形
拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（　　）
A．169 B．196 C．392 D．588
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，其斜边上的高为（　　）
A．17cm B．8.5cm C．cm D．cm
11．如图是一个四边形ABCD，若已知AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，∠ABC＝90°，则这个四边形的面积是　 　cm2．
12．如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆，已知S1＝18π，S3＝50π，则S2＝　 　．
13．已知平面直角坐标系中，点P（2m﹣4，8）到坐标原点距离为10，则m的值为　 　．
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是　 　．
15．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝10，BD⊥AC于D，且BD＝8，则S△ABC＝　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，BC＝24，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长是　 　．
17．在Rt△ABC中，斜边BC＝，则AB2+AC2+BC2的值为　 　．
18．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是S1＝22，S2＝14，AC＝10，则AB＝　 　．
19．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为　 　．
20．直角坐标平面内的两点P（﹣4，﹣5）、Q（2，3）的距离为　 　．
21．如图，在四边形ABCD中，AB＝7cm，AD＝24cm，∠BAD＝90°，BC＝20m，CD＝15cm．
（1）连接BD，求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
22．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD∥AC，交∠ACB的平分线CD于点D，CD交AB于点E．
（1）求证：BC＝BD；
（2）若AC＝3，AB＝6，求CD的长．
23．如图，已知BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝90°．
（1）求证：AB平分∠EAC；
（2）若AD＝1，CD＝3，求BD．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若CD＝1.5，BD＝2.5．
（1）∠2＝∠B，求AC的长．
（2）∠1＝∠2，求AC的长．
25．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，已知△ABC是网格中的格点三角形．
（1）求BC的长．
（2）求△ABC的面积．
（3）求BC边上的高．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
27．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值．
参考答案
1．解：连接AM，
∵AB＝AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，
∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，
又S△AMC＝MN?AC＝AM?MC，
∴MN＝＝．
故选：A．
2．解：在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，
∵S1＝9，S2＝16，
∴S3＝S1+S2＝9+16＝25．
故选：D．
3．解：∵∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2＝144，
∴（a+b）2﹣2ab＝144，
∴196﹣2ab＝144，
∴ab＝26，
∴S△ABC＝ab＝13cm2．
故选：A．
4．解：
根据勾股定理得出：AB＝，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
5．解：当12是直角边时，斜边长＝＝13；
当12是斜边时，斜边长＝12．
故它的斜边长为13或12．
故选：D．
6．解：过点A作AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝18＝9，
∴AD＝＝12（cm），
∴它底边上的高为12cm；
故选：B．
7．解：根据题意得：
小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9，大正方形的面积＝32+62＝45，
45﹣9＝36．
故选：B．
8．解：∵直角三角形的三边为a﹣b，a，a+b且a、b都为正整数，
∴（a﹣b）2+a2＝（a+b）2，
∴a2﹣2ab+b2+a2＝a2+2ab+b2，
∴a2＝4ab，
∴a＝4b．
∴直角三角形的三边分别为3b，4b，5b．
∵只有9是3的倍数，
∴三角形中一边长可能为9．
故选：B．
9．解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，
∴小正方形的边长＝24﹣10＝14，
∴EF2＝142+142＝392，
故选：C．
10．解：在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，由勾股定理得到：AB＝＝17cm；
由AC?BC＝CD?AB得到：CD＝＝＝（cm），
故选：D．
11．解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，
∴AC＝5cm，
∵CD＝12cm，DA＝13cm，
AC2+CD2＝52+122＝169＝132＝DA2，
∴△ADC为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ACD﹣S△ABC
＝AC×CD﹣AB×BC
＝×5×12﹣×4×3
＝30﹣6
＝24（cm2）．
故四边形ABCD的面积为24cm2．
故答案为：24．
12．解：∵三角形是直角三角形，
∴S3＝S2+S1，
∵S1＝18π，S3＝50π，
∴S2＝50π﹣18π＝32π．
故答案为：32π．
13．解：由题意得：
（2m﹣4）2+82＝102，
解得：m＝5或﹣1．
故答案为：5或﹣1．
14．解：过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝＝4，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DC，
∵AC?BC＝AC?CD+AB?DE，即×3×4＝×3CD+×5CD，
解得CD＝1.5，
∴BD＝4﹣CD＝4﹣1.5＝2.5．
故答案为：2.5．
15．解：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADB＝90°，
∵BC＝10，BD＝8，
∴CD＝＝＝6，
设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣6，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∴（x﹣6）2+82＝x2，
∴x＝，
∴AC＝，
∴S△ABC＝AC?BD＝××8＝，
故答案为：．
16．解：连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，则CE＝32﹣x，
在Rt△BCE中，
∵BC2+CE2＝BE2，
∴242+（32﹣x）2＝x2，
解得x＝25，
∴AE＝25，
故答案为：25．
17．解：∵在Rt△ABC中，斜边BC＝，
∴AB2+AC2＝BC2＝5，
∴AB2+AC2+BC2＝5+5＝10，
故答案为10．
18．解：∵S1＝22，S2＝14，
∴S3＝S1+S2＝22+14＝36，
∴BC＝＝6，
∵AC＝10，
∴AB＝＝＝8，
故答案为：8．
19．解：∵四边形ABCD、四边形FHIJ和四边形BEFG都是正方形，
∴∠BCG＝∠BGF＝∠GJF＝90°，BG＝GF，
∴∠CBG+∠BGC＝90°，∠JGF+∠BGC＝90°，
∴∠CBG＝∠JGF，
在△BCG和△GJF中，
，
∴△BCG≌△GJF（AAS），
∴BC＝GJ，
∵正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，
∴BC2＝4，FJ2＝3，
∴GJ2＝4，
在Rt△GJF中，由勾股定理得：
FG2＝GJ2+FJ2＝4+3＝7，
∴正方形BEFG的面积为7．
故答案为：7．
20．解：根据题意得PQ＝，
故答案为：10．
21．解：（1）连接BD，
∵AB＝7cm，AD＝24cm，∠BAD＝90°，
∴BD＝（cm）；
（2）∵BC＝20m，CD＝15cm，BD＝25cm，
∴202+152＝252，
∴BC2+CD2＝DB2，
∴△BCD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝
＝
＝84+150
＝234（cm2）．
22．（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝×90°＝45°，
∵BD∥AC，
∴∠D＝∠ACD＝45°，
∴∠D＝∠BCD，
∴BC＝BD；
（2）解：在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，
∴BD＝3，
∵∠BCD＝∠D＝45°，
∴∠CBD＝90°，
∴CD＝＝＝3．
23．解：（1）证明：∵∠ABC＝∠EBD＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠ABE，
∴∠CBD＝∠ABE，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠EAB＝∠BAC，
∴AB平分∠EAC；
（2）∵AD＝1，CD＝3，
∴AC＝4．
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC＝＝2，∠C＝45°，
过点B作BF⊥AC于点F，如图：
则△BCF为等腰直角三角形，
∴BF＝CF＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝1，
在Rt△BFD中，由勾股定理得：
BD＝
＝
＝．
∴BD的长等于．
24．解：（1）∵∠2＝∠B，
∴AD＝BD＝2.5，
∵∠C＝90°，CD＝1.5，
∴AC＝，
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠1＝∠2，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝1.5，AC＝AE，
在Rt△DEB中，BE＝，
在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2，
即AC2＝（AE+EB）2﹣（CD+DB）2，
可得：AC2＝（AC+2）2﹣（1.5+2.5）2，
解得：AC＝3．
25．解：（1）由图可知：BC＝＝．
（2）如图，
S△ABC＝S正方形EDBF﹣S△BCF﹣S△ABD﹣S△ACE
＝4×4﹣×1×4﹣×2×4﹣×2×3
＝16﹣2﹣4﹣3
＝7．
（3）过点A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABC＝×BC×AH，
∴7＝×AH，
∴AH＝．
∴BC边上的高为．
26．（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
Rt△ABD中，∵AB＝13，
∴AD＝＝＝12，
Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；
（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH
在△CHB和△AEF中，
∵，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
27．解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，
也可以表示为ab+ab+c2，
∴ab+ab+c2＝a2+ab+b2，
即a2+b2＝c2；
（2）∵CA＝x，
∴AH＝x﹣0.9，
在Rt△ACH中，CA2＝CH2+AH2，
即x2＝1.22+（x﹣0.9）2，
解得x＝1.25，
即CA＝1.25，
CA﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（千米），
答：新路CH比原路CA少0.05千米；
（3）设AH＝x，则BH＝6﹣x，
在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，
在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2，
∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，
即42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2，
解得：x＝

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