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考点：函数导数与不等式间的缠绵游戏！
【答案】A
【解析】构造函数F(x)=x2f(x),则F(x)=x[2f(x)+xf(x),
当x=0时,由2f(x)+xf(x)>x2,得f(0)>0
当x>0时,2f(x)+x(x)>x2,得F(x)=x[2f(x)+xf(x)>xx2>0,于是F(x)在(0,+∞)
上单调递增,故F(x)=x2f(x)>F(0)=0,则f(x)>0;
当x<0时,2f(x)+xf(x)>x2,得F(x)=x[2f(x)+xf(x)单调递减,故F(x)=x2f(x)>0,则f(x)>0
综上可知f(x)>0
二.填空题
5.函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f(x)>1则不等式ef(x)>e2+1的解集为
【答案】(0,+∞)
【解析】令g(x)=e∫(x)-e,则g!(x)=ef(x)+e∫"(x)-e>0
则有g(x)在R上为增函数,又因为f(O)=2,g(O)=ef(0)-e=1
所以原不等式转化为g(x)>g(0),解得x>0
6.已知函数f(x)满足f(1)=1,导函数∫(x)<,则不等式2f(x)【答案】(1,+∞)
【解析】构造函数F(x)=2f(x)-x-1,则F(x)=2f(x)-1<2--1=0,所以函数F(x)单调
递减,而F(l)=0,2f(x)1.
7.函数f(x)的导函数为f"(x),对x∈R,都有2f(x)>f(x)成立,若f(n4)=2,则不等/(ey
的解是()
【答案】(n4,+∞)
【解析】令8(了(x)
g'(x)
e2f(x)-e2f(x)2f(x)-f(x)
(2)设g(x)=e2-x2+2ax-1,x∈R,于是g(x)=e-2x+2a,x∈R
由(1)知当a>ln2-1时,g(x)的最小值为g(n2)=2(1-n2+a)>0
于是对任意x∈R都有g(x)>0,所以g(x)在R内单调递增
于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0)
而g(0)=0,从而对任意x∈(O,+∞),g(x)>0
所以ex
2ax+1
【例6】已知函数∫(x)=x(x-6)+alnx在x∈(2,+∞)上不具有单调性
(1)求实数a的取值范围:
(2)若f(x)是f(x)的导函数,设8(x)=f(x)+6
试证明:对任意两个不相等正数x、x2,
尊式|8(x)-g(x2)77x-x2恒成立
【解答】(1)f(x)=2x-6+
a
2x-6x+a
X
因为f(x)在x∈(2,+∞)上不具有单调性,∴在x∈(2,+∞)上f(x)有正也有负也有0,
即二次函数y=2x2-6x+a在x∈(2,+∞)上有零点
因为y=2x2-6x+a是对称轴是x3
开口向上的抛物线,且y=2·22-62+a<0
所以实数a的取值范围(-∞,4)
(2)法一:8(x)=/(x)、∵
+6=2x+
(x>0),
因为a<4,所以g(x)=2
a
4
44
4x+4
设h(x)=2
8124(2x-3)
h(x)=
(x)在(Q.,)是减函数,在(,+∞)增函数,当x=时,加(x)取最小境
所以g'(x)>
38
38
38
所以(g(x)-x)>0,函数y=g(x)-x是增函数
x、是两个不相等正数,不妨设x-x
所以g(x2)-8(x)>77(x2-x),因为x2-耳>0,所线(x)-8(x)、38
x-x
所以S(x)-g(x2)、38
38
x1-x2
27’即g(x)-8(2少2x-x2

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