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2．4　正态分布
高二理科数学
主备：杨二阳
复备：安新会
时间：2021.3.23
自主预习　
高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．
那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？
导学:
1．正态曲线及其性质
(1)正态曲线：
函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质：
①曲线位于x轴__
__，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线__
__对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值__
_；
④曲线与x轴之间的面积为__
__；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：
　
甲　　　　　　　　　　　乙
2．正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b(adistribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ__；
②P(μ－2σ_；
③P(μ－3σ_．
4．3σ原则
通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．
预习自测　
1．(2018·遂宁模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，则P(2≤ξ＜4)等于(　　)
A．0.3　
B．0.35
C．0.5
D．0.7
2．(2018·孝义市一模)一次考试中，某班学生的数学成绩X近似服从正态分布N(100,100)，则该班数学成绩的及格率可估计为(成绩达到90分为及格)(参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68)(　
　)
A．60%
B．68%
C．76%
D．84%
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，则P(0<ξ<1)＝__
_．
4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为__
_．
5．商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N(10,0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2kg的概率是多少？
　探究一：正态曲线及其性质
典例1　如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的数学期望和方差．
〔跟踪练习1〕
把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法中不正确的是(　　)
A．曲线C2仍然是正态曲线
B．曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等
C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的期望大2
D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2
探究二：利用正态分布的对称性求概率
典例2　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2<ξ<2)＝(　
　)
A．0.477　　　
B．0.625　　　
C．0.954　　
D．0.977
(2)(2017·临沂高二检测)设随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ>c)＝a，则P(ξ>4－c)等于(　
)
A．a
B．1－a
C．2a
D．1－2a
〔跟踪练习2〕
为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数是(　
　)
A．997　　　　B．954
C．819
D．683
探究三：正态分布的应用
典例3　某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
〔跟踪练习3〕
在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率；
(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人．
典例4　某厂生产的产品，质量要求服从正态分布
N(100,4)，现从产品中抽取了10件，测得质量分别为102,92,104,103,98,96,97,99,101,108，则该生产线是否要停产检修？
〔跟踪练习4〕
假设某省今年高考考生成绩服从正态分布N(500,1002)，某校有考生2400人，试估计成绩在下列范围内的考生人数．
(1)(400,600]；
(2)(300,700]．
要准确应用正态分布的对称性转化　　
典例5　随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ≤1)＝0.8413，求P(－1<ξ≤0)．
课后练习：
已知随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，则P(1<ξ≤3)＝(　B　)
(参考数据：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)
A．0.6826　　　　　　B．0.3413
C．0.9544　　　　　　D．0.4772
课堂达标验收　
1．下列函数可以作为正态分布密度函数的是(　
　)
A．f(x)＝e－　
B．f(x)＝e
C．f(x)＝e－
D．f(x)＝e－
2．若X～N(－2，)，则X落在(－3.5，－0.5]内的概率是(　
　)
A．95.45%　
B．99.73%　
C．4.55%　
D．0.27%
3．(2018·全国一模)在某次学科知识竞赛中(总分100分)，若参赛学生成绩ξ服从N(80，σ2)(σ＞0)，若ξ在(70,90)内的概率为0.8，则落在[90,100]内的概率为(　　)
A．0.05
B．0.1
C．0.15
D．0.2
4．(2018·江门一模)已知随机变量ξ～N(1,4)，且P(ξ＜3)＝0.84，则P(－1＜ξ＜1)＝__
__．
5．(2018·唐山模拟)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，若P(ξ＞3)＝0.2，则P(ξ≥－1)＝__
__．
课时作业
A级　基础巩固
一、选择题
1．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内(　　)
A．(90,110]　　　　　　　　
B．(95,125]
C．(100,120]
D．(105,115]
2．(2018·呼和浩特二模)有10000人参加某次考试，其成绩X近似服从正态分布N(100,132)．P(61＜X＜139)＝0.997.则此次考试中成绩不低于139分的人数约为(　　)
A．10
B．30
C．15
D．23
3．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　D　)
A．σ1>1>σ2>σ3>0
B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>σ3>0
D．0<σ1<σ2＝1<σ3
4．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.0225)，单位mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为(　C　)
A．上、下午生产情况均为正常
B．上、下午生产情况均为异常
C．上午生产情况正常，下午生产情况异常
D．上午生产情况异常，下午生产情况正常
5．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为(　　)
A．10%
B．20%
C．30%
D．40%
6．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|<σ)等于(　　)
A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)
B．Φ(1)－Φ(－1)
C．Φ
D．2Φ(μ＋σ)
二、填空题
7．正态变量的概率密度函数f(x)＝e－，x∈R的图象关于直线__
_对称，f(x)的最大值为____．
8．(2018·凉山州模拟)已知离散型随机变量ξ服从正态分布N～(2,1)，且P(ξ＜3)＝0.968，则P(1＜ξ＜3)＝__
__．
9．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝e－，x∈R.给出以下四个命题：
①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；
②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；
④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0其中真命题的序号是__
__.(写出所有真命题的序号)
三、解答题
10．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？
B级　素养提升
一、选择题
1．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是(　C　)
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
2．(2018·德阳模拟)为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布N(78,16)．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为(　　)参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974.(　
　)
A．0.13%
B．1.3%
C．3%
D．3.3%
二、填空题
3．(2018·黔东南州一模)黔东南州雷山西江千户苗寨，是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年来自世界各地的游客络绎不绝．假设每天到西江苗寨的游客人数ξ是服从正态分布N(2000,10000)的随机变量．则每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为__
__.(参考数据：若ξ服从N(μ，δ2)，有P(μ－δ＜ξ≤μ＋δ)＝0.6826，P(μ－2δ＜ξ≤μ＋2δ)＝0.9544，P(μ－3δ＜ξ≤μ＋3δ)＝0.9974)
4．设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量ξ(单位为：元)，经统计得ξ～N(520,14
400)，从该城市私家车中随机选取容量为10
000的样本，其中每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有__
__辆．
(附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)
三、解答题
5．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？
6．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X<75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．
(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有一位同学的概率；
(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
3

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