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高一数学人教版（2019）选择性必修第二册
【5.1导数的概念及其意义】
【学习目标】了解导数的几何意义及其变化率的问题
【知识详单】
1.瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
2.函数y=f（x）的自变量x从false变化到false+△x的平均变化率
定义式
false
实质
函数值改变量与自变量之比
意义
刻画函数在【falsefalse+△x】上函数值变化的快慢
【典例精析】
例1.已知函数 f(x)=x2+2mx?2lnx+m(m,n∈R) .
（1）若直线 y=2mx 与曲线 y=f(x) 相切，求m的值；
（2）若函数 g(x)=f(x)+4lnx 有两个不同的极值点 x1,x2(x1【答案】 （1）解：由题意知 x∈(0,+∞) ，
f′(x)=2x+2m?2x ，
设直线 y=2mx 与曲线 y=f(x) 相切于点 (x0,y0) 所以 {f′(x0)=2m，y0=f(x0)，y0=2mx0，
整理得 x02=1 ，得 x0=1,?m=?1
（2）解： g(x)=x2+2mx+2lnx+m ，所以 g′(x)=2x+2m+2x=2(x2+mx+1)x ，
所以 x1,x2 ，是方程 x2+mx+1=0 的两个根，
所以 x1+x2=?m,x1x2=1,?m=?(x2+1x2) ，
因为 01 ，所以 g(x2)+x1x1=x22+2mx2+2lnx2+m+x11x2
=?x23?x23?2x2+2x2lnx2(x2>1) ，
令 ?(x2)=?x23?x22?2x2+2x2lnx2(x2>1),??′(x2)=?3x22+2(lnx2?x2) ，
p(x)=lnx?x ，则 p′(x)=1x?1=1?xx ， x>1 时， p′(x)<0 ， p(x) 递减，所以 p(x)?(x2)例2.在① f(x) 的一个极值点为0，②若曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线与直线 x+(e?1)y?1=0 垂直，③ f(?x)?f′(x) 为奇函数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题．
已知函数 f(x)=ex+ax?1 ，且，求 f(x) 在 [?1,1] 上的最大值与最小值．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
【答案】 解：选择①，因为 f′(x)=ex+a ．
所以 f′(0)=ex+a=0 ，故 a=?1 ， f(x)=ex?x?1 ．
f′(x)=ex?1 ，令 f′(x)=ex?1=0 ．得 x=0 ．
当 x∈(?1,0) 时， f(x)<0 ；当 x∈(0,1) 时， f′(x)>0 ．
所以 f(x) 在 (?1,0) 上单调递减，在 (0,1) 上单调递增，
所以 f(x) 的最小值为 f(0)=0 ．
因为 f(?1)=1e所以 f(x) 的最大值为 f(1)=e?2 ．
选择②，因为 f′(x)=e′+a ，
所以 f′(1)=e+a=e?1 ，故 a=?1 ， f(x)=ex?x?1 ．
f′(x)=ex?1 ，令 f′(x)=ex?1=0 ，得 x=0 ．
当 x∈(?1,0) 时， f(x)<0 ；当 x∈(0.1) 时， f′(x)>0 ．
所以 f(x) 在 (?1,0) 上单调递减，在 (0,1) 上单调递增，
所以 f(x) 的最小值为 f(0)=0 ．
因为 f(?1)=1e所以 f(x) 的最大值为 f(1)=e?2 ．
选择③，因为 f′(x)=ex+a ．
所以 f(?x)?f′(x)=e?x?ex?ax?1?a ，
因为 f(?x)?f′(x) 为奇函数，
所以由 f(?x)?f′(x)=f′(?x)?f(x) ，可得 a=?1 ．
f′(x)=ex?1 ，令 f′(x)=ex?1=0 ，得 x=0 ．
当 x∈(?1,0) 时， f′(x)<0 ；当 x∈(0.1) 时， f′(x)>0 ．
所以 f(x) 在 (?1,0) 上单调递减，在 (0,1) 上单调递增，
所以 f(x) 的最小值为 f(0)=0 ．
因为 f(?1)=1e所以 f(x) 的最大值为 f(1)=e?2 ．
【拓展练习】
1.某质点的运动规律为 s=t2+3 ，则在时间 (3,3+Δt) 内，质点的位移增量等于（??? ）
A.?6Δt+(Δt)2??????????????????????????B.?6+Δt+9Δt??????????????????????????C.?3Δt+(Δt)2??????????????????????????D.?9+Δt
2.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移s与时间t的关系是 s=13t3?52t2+6t ，那么速度为零的时刻是（??? ）
A.?1秒末??????????????????????????????B.?2秒末??????????????????????????????C.?3秒末??????????????????????????????D.?2秒末或3秒末
3.2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面 1500m 处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 1500m/s 降为零．14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则（??? ）
A.?v=2514m/s,a=2514m/s2????????????????????????????????B.?v=?2514m/s,a=2514m/s2
C.?v=2514m/s,a=?2514m/s2????????????????????????????D.?v=?2514m/s,a=?2514m/s2
4.设函数 f(x)=x2?1 ，当自变量 x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（??? ）
A.?2.1?????????????????????????????????????B.?0.21?????????????????????????????????????C.?1.21?????????????????????????????????????D.?0.121
5.曲线 y=sin2x 在点P (π,0) ）处的切线方程是________.
6.航天飞机发射后的一段时间内，第t秒时的高度 ?(t)=5t3+30t2+45t+4 ，其中h的单位为m，t的单位为s，则第 2s 末的瞬时速度为________ m/s .

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