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万有引力定律
一、能够复述开普勒三大定律★☆☆☆☆☆
开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在椭圆的一个________上．
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相同的时间内扫过相等的________．
开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的________________的比值都相等，即＝k.
解析：　1.椭圆　焦点　2.面积　3.公转周期的二次方
二、能够复述万有引力基本定义★☆☆☆☆☆
内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与________________________________成正比，与它们之间____________________成反比．
公式
____________，通常取G＝____________ N·m2/kg2，G是比例系数，叫引力常量．
适用条件
公式适用于________间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是__________间的距离；对一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的求解也适用，其中r为球心到________间的距离．
三、能够判断基本物理量的关系★★☆☆☆☆
某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率vb为（　　）
A．vb=va B．vb=va C．vb=va D．vb=va
开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律．关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（　　）
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上
B．对任何一颗行星来说，离太阳越近，运行速率越大
C．所有行星绕太阳运动的轨道半长轴的平方与周期的三次方的比值都相等
D．开普勒独立完成了行星的运行数据测量、分析、发现行星运动规律等全部工作
关于开普勒行星运动的公式=K，以下理解不正确的是（　　）
A．K是一个与行星有关的常数 B．K是一个与恒星有关的常数
C．T表示行星运动的公转周期 D．R表示轨道的半长轴
行星绕太阳公转轨道是椭圆，冥王星公转周期为T0，其近日点距太阳的距离为a，远日点距太阳的距离为b，半短轴的长度为c，如图所示．若太阳的质量为M，万有引力常数为G，忽略其它行星对它的影响，则（　　）
A．冥王星从B→C→D的过程中，速率逐渐变小
B．冥王星从A→B→C的过程中，万有引力对它先做负功后做正功
C．冥王星从A→B所用的时间等于
D．冥王星在B点的加速度为
　
长期以来“卡戎星（Charon）”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1=19600km，公转周期T1=6.39天．2006年3月，天文学家发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转半径r2=48000km，则它的公转周期T2，最接近于（　　）
A．15天 B．25天 C．35天 D．45天
【过关检测】　
金星的质量为M1，绕太阳的运动的椭圆轨道半长轴为R1，公转周期为T1．地球的质量为M2，绕太阳运动的椭圆轨道半长轴为R2，公转周期为T2，那么，下面判断正确的是（　　）
A．＞ B．=
C．= D．=
关于开普勒定律，下列说法正确的是（　　）
A．开普勒定律是根据长时间连续不断的、对行星位置观测记录的大量数据，进行计算分析后获得的结论
B．根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度随行星与太阳之间距离的变化而变化，距离小时速度大，距离大时速度小
C．行星绕太阳运动的轨道，可以近似看做为圆，即可以认为行星绕太阳做匀速圆周运动
D．开普勒定律，只适用于太阳系，对其他恒星系不适用；行星的卫星（包括人造卫星）绕行星的运动，是不遵循开普勒定律的
下列关于万有引力定律的说法中正确的是（　　）
A．万有引力定律是卡文迪许发现的
B．F=G中的G是一个比例常量，是没有单位的
C．万有引力定律适用于质点间的相互作用
D．两物体间的引力大小与质量成正比，与此两物间距离的平方成反比
由于万有引力定律和库仑定律都满足于平方反比律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比，例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为E=，在引力场中可以有一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱，设地球质量为M，半径为R，地球表面处重力加速度为g，引力常量为G，如果一个质量为m的物体位于距地表r处的上空某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是（　　）
A．G B．G C．G D．G
万有引力常量适应于任何两个物体，引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的最早证据．引力常量G不仅有大小，还有单位．下面哪个选项是用国际单位制中的基本单位来表示引力常量G的单位的（　　）
A．N?m2/kg2 B．N?m/kg2 C．m3/（kg?s2） D．m3?kg2/s2
四、运用万有引力定律计算基本量★★★☆☆☆
经长期观测发现，A行星运行的轨道半径为R0，周期为T0但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离．如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，则行星B运动轨道半径为（　　）
A．R=R0 B．R=R0
C．R=R0 D．R=R0
太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学家称为“行星冲日”，据报道，2014年各行星冲日时间分别为：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是（　　）
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径（AU）
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
A．各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
某物体在地球表面，受到地球的万有引力为F．若此物体受到的引力减小为，则其距离地面的高度应为（R为地球半径）（　　）
R B．2R C．4R D．8R
【过关检测】
宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在形式之一是：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，设每个星体的质量均为M，则（　　）
A．环绕星运动的线速度为
B．环绕星运动的线速度为
C．环绕星运动的周期为
D．环绕星运动的周期为
假设航天飞机在太空绕地球作匀速圆周运动．宇航员利用机械手将卫星举到机舱外，并相对航天飞机静止释放该卫星，则被释放的卫星将（　　）
A．停留在轨道的被释放处
B．随航天飞机同步绕地球作匀速圆周运动
C．向着地球做自由落体运动
D．沿圆周轨道的切线方向做直线运动
地球赤道上有一物体随地球自转而做圆周运动，所受到的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）所受到的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受到的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则（　　）
A．F1=F2＞F3 B．a1=a2=g＞a3 C．v1=v2=v＞v3 D．ω1=ω3＜ω2
质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的（　　）
A．线速度v= B．角速度ω=
C．运行周期T=2π D．向心加速度a=
　
科学家经过深入观测研究，发现月球正逐渐离我们远去，并且将越来越暗．有地理学家观察了现存的几种鹦鹉螺化石，发现其贝壳上的波状螺纹具有树木年轮一样的功能，螺纹分许多隔，每隔上波状生长线在30条左右，与现代农历一个月的天数完全相同．观察发现，鹦鹉螺的波状生长线每天长一条，每月长一隔．研究显示，现代鹦鹉螺的贝壳上，每隔生长线是30条，中生代白垩纪是22条，侏罗纪是18条，奥陶纪是9条．已知地球表面的重力加速度为10m/s．地球半径为6400kin，现代月球到地球的距离约为38万公里．始终将月球绕地球的运动视为圆周轨道，由以上条件可以估算奥陶纪月球到地球的距离约为（　　）
A．8.4×108m B．1.7×108m C．1.7×107m D．8.4×107m
五、运用万有引力定律计算重力加速度★★★★☆☆
卫星电话在抢险救灾中能发挥重要作用．第一代、第二代海事卫星只使用静止轨道卫星，不能覆盖地球上的高纬度地区．而第三代海事卫星采用同步和中轨道卫星结合的方案，解决了覆盖全球的问题．它由4颗同步卫星与12颗中轨道卫星构成．中轨道卫星高度约为地球半径的2倍，分布在几个轨道平面上（与赤道平面有一定的夹角）．地球表面处的重力加速度为g，则中轨道卫星处的重力加速度约为（　　）
A． B． C．4g D．9g
2012年8月9日，美国“好奇”号火星探测器登陆火星后传回的首张360°全景图，火星表面特征非常接近地球，可能适合人类居住．为了实现人类登陆火星的梦想，近期我国宇航员王跃与俄罗斯宇航员一起进行“模拟登火星”实验活动．已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期也基本相同．地球表面重力加速度是g，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是（　　）
A．王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的
B．火星表面的重力加速度是g
C．火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度厅的
D．王跃以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度是
　
原香港中文大学校长、被誉为“光纤之父”的华裔科学家高锟和另外两名美国科学家共同分享了2009年度的诺贝尔物理学奖．早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．假设“高锟星”为均匀的球体，其质量为地球质量的，半径为地球半径的，则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的（　　）
A． B． C． D．
【过关检测】
2014年4月美国宇航局科学家宣布，在距离地球约490光年的一个恒星系统中，发现一颗宜居行星，代号为开普勒﹣186f．科学家发现这颗行星表面上或存在液态水，这意味着上面可能存在外星生命．假设其半径为地球半径的a倍，质量为地球质量的b倍，则下列说法正确的是（　　）
A．该行星表面由引力产生的加速度与地球表面的重力加速度之比为
B．该行星表面由引力产生的加速度与地球表面的重力加速度之比为
C．该行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为
D．该行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为
　
2012年6月15日，“蛟龙号”载人潜水器在西太平洋进行第一次下潜试验，最大下潜深度约为6.4km．假设地球是一半径R=6400km、质量分布均匀的球体．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．则“蛟龙号”在最大下潜深度处的重力与海面上的重力之比约为（　　）
A． B． C． D．
　
如图所示，O为地球球心，A为地球表面上的点，B为O、A连线间的点，AB=d，将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R．设想挖掉以B为圆心、以为半径的球．若忽略地球自转，则挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为（　　）
A．1﹣ B．1﹣ C．1﹣ D．
神舟六号载人航天飞船经过115小时32分钟的太空飞行，绕地球飞行77圈，飞船返回舱终于在2005年10月17日凌晨4时33分成功着陆，航天员费俊龙、聂海胜安全返回．已知万有引力常数G，地球表面的重力加速度g，地球的半径R，神舟六号飞船太空飞行近似为圆周运动．则下列论述正确的是（　　）
A．可以计算神舟六号飞船绕地球的太空飞行离地球表面的高度
B．可以计算神舟六号飞船绕地球的太空飞行的加速度
C．飞船返回舱打开减速伞下降的过程中，飞船中的宇航员处于失重状态
D．飞船点火发射的过程中，飞船中的宇航员处于失重状态
　
由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月 19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为d，天宫一号轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天官一号”所在处的加速度之比为（　　）
A． B． C． D．
六、能够运用万有引力定律计算天体的质量与密度的★★★☆☆☆
随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想；假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点．已知月球的半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．月球表面的重力加速度为
B．月球的质量为
C．宇航员在月球表面获得的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动
D．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g地球绕太阳公转的周期为T．则太阳的质量为（　　）
A． B．
C． D．
我国“玉兔号”月球车被顺利送抵月球表面，并发回大量图片和信息．若该月球车在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2．已知地球半径为R1，月球半径为R2，地球表面处的重力加速度为g，则（　　）
A．“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为
B．地球的质量与月球的质量之比为
C．地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为
D．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为
科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍． 假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有（　　）
A．行星质量与太阳质量之比
B．恒星密度与太阳密度之比
C．行星质量与地球质量之比
D．行星运行速度与地球公转速度之比
一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v，假设宇航员在该行星表面用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力，当物体处于竖直静止状态时，弹簧测力计的示数为F，已知引力常量为G，则这颗行星的质量为（　　）
A． B． C． D．
【过关检测】
“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下说法中正确的是（　　）
A．通过题目所给信息可分别求出天体A、B的质量
B．通过题目所给信息可分别求出两颗卫星的质量
C．通过题目所给信息可以确定两颗卫星的线速度一定相等
D．通过题目所给信息可以确定天体A、B的密度一定相等
2013年12月，我国成功地进行了“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据．该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ弧度，万有引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球密度的表达式是（　　）
A． B．
C． D．
已知月球半径为R，飞船在距月球表面高度为R的圆轨道上飞行，周期为T．万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．月球第一宇宙速度为
B．月球表面重力加速度为R
C．月球密度为
D．月球质量为
　
为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面附近做圆周运动的周期为T，登陆舱在行星表面着陆后，用弹簧称量一个质量为m的砝码读数为N．已知引力常量为G．则下列计算中错误的是（　　）
A．该行星的质量为
B．该行星的半径为
C．该行星的密度为
D．该行星的第一宇宙速度为
太阳系各行星可近似看成在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动．设天王星公转周期为T1，公转半径为R1；地球公转周期为T2，公转半径为R2．当地球和天王星运行到太阳两侧，且三者排成一条直线时，忽略二者之间的引力作用，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．天王星公转速度大于地球公转速度
B．地球与天王星相距最近至少需经历
C．太阳的质量为
D．天王星公转的向心加速度与地球公转的向心加速度之比为
为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期T，登陆舱在行星表面着陆后，用弹簧称称量一个质量为m的砝码读数为N．已知引力常量为G．则下列计算中错误的是（　　）
A．该行星的质量为
B．该行星的半径为
C．该行星的密度为
D．在该行星的第一宇宙速度为
七、运用万有引力定律解决多星问题★★★★☆☆
双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（　　）
A．T B．T C．T D．T
孤立的两颗星球A、B构成双星系统，已知A、B质量之比mA：mB=1：3，那么它们的线速度之比vA：vB为（　　）
A．1：1 B．3：1 C．1：9 D．9：1
）有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，他们都围绕月球连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，若月球与地球的质量之比为1：80，则月球与地球绕O点运动的线速度大小之比υ1：υ2=　80：1　．
如图所示，两个星球A、B组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．已知A、B星球质量分别为mA、mB，万有引力常量为G．求（其中L为两星中心距离，T为两星的运动周期）
　
如图所示，在宇宙中有一种三星系统，由三颗质量相等的恒星组成等边三角形，它们绕三角形的中心匀速转动，已知某三星系统远离其他星体，可以认为它们与其他星体的作用力为0，它们之间的距离均为r，绕中心转动周期为T，每颗星均可看作质点．试求这三颗星的总质量．
　
【过关检测】
宇宙间存在一些离其它恒星较远的三星系统．其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点上，若已知两颗星的距离均为R，如果忽略其它星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕其中心O做匀速圆周运动，周期为T．则每颗星做圆周运动的线速度为　　，每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量　有关　．（填“有关”或“无关”）
宇宙空间有一些星系距离其它星体的距离非常遥远，可以忽略其它星系对它们的作用．今有四颗星体组成一稳定星系，在万有引力作用下运行，其中三颗星体A、B、C位于边长为a的正三角形的三个顶点上，沿外接圆轨道做匀速圆周运动，第四颗星体D位于三角形外接圆圆心，四颗星体的质量均为m，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
　
A．
星体A受到的向心力为（3+）
　
B．
星体A受到的向心力为（3+2）
　
C．
星体B运行的周期为2πa
　
D．
星体B运行的周期为2πa
　
宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量相等的星球位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗星球的距离均为R，并绕其中心O做匀速圆周运动．忽略其他星球对它们的引力作用，引力常量为G，以下对该三星系统的说法正确的是（　　）
A． 每颗星球做圆周运动的半径都等于R
B． 每颗星球做圆周运动的加速度与三颗星球的质量无关
C． 每颗星球做圆周运动的周期为T=2πR
D． 每颗星球做圆周运动的线速度v=2
　
由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
（1）A星体所受合力大小FA；
（2）B星体所受合力大小FB；
（3）C星体的轨道半径RC；
（4）三星体做圆周运动的周期T．
宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m，万有引力常量为G．
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
已知某双星系统中两颗恒星绕它们线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两星距离为r，试推算这个双星系统的总质量．
万有引力定律
一、能够复述开普勒三大定律★☆☆☆☆☆
开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在椭圆的一个________上．
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相同的时间内扫过相等的________．
开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的________________的比值都相等，即＝k.
解析：　1.椭圆　焦点　2.面积　3.公转周期的二次方
二、能够复述万有引力基本定义★☆☆☆☆☆
内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与________________________________成正比，与它们之间____________________成反比．
公式
____________，通常取G＝____________ N·m2/kg2，G是比例系数，叫引力常量．
适用条件
公式适用于________间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是__________间的距离；对一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的求解也适用，其中r为球心到________间的距离．
解析：　1.物体的质量m1和m2的乘积　距离r的二次方　2.F＝G　6.67×10－11　3.质点　两球心　质点
三、能够判断基本物理量的关系★★☆☆☆☆
某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率vb为（　　）
A．vb=va B．vb=va C．vb=va D．vb=va
【解答】解：取极短时间△t，
根据开普勒第二定律得行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，
a?va?△t=b?vb?△t
得到：vb=va．
故选：D．
开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律．关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（　　）
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上
B．对任何一颗行星来说，离太阳越近，运行速率越大
C．所有行星绕太阳运动的轨道半长轴的平方与周期的三次方的比值都相等
D．开普勒独立完成了行星的运行数据测量、分析、发现行星运动规律等全部工作
【解答】解：A、所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上，故A错误；
B、根据第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等．所以对任何一颗行星来说，离太阳越近，运行速率就越大．故B正确；
C、所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，故C错误；
D、第谷观测了行星的运行，积累了大量数据，开普勒整理和研究了他的观测数据，发现了行星运动规律，故D错误．
故选：B．　
关于开普勒行星运动的公式=K，以下理解不正确的是（　　）
A．K是一个与行星有关的常数 B．K是一个与恒星有关的常数
C．T表示行星运动的公转周期 D．R表示轨道的半长轴
【解答】解：AB、k是一个与行星无关的常量，与恒星的质量有关，故A错误，B正确．
C、T代表行星运动的公转周期，故C正确；
D、R代表行星椭圆运动的半长轴，故D正确．
本题选择错误的，故选：A．
行星绕太阳公转轨道是椭圆，冥王星公转周期为T0，其近日点距太阳的距离为a，远日点距太阳的距离为b，半短轴的长度为c，如图所示．若太阳的质量为M，万有引力常数为G，忽略其它行星对它的影响，则（　　）
A．冥王星从B→C→D的过程中，速率逐渐变小
B．冥王星从A→B→C的过程中，万有引力对它先做负功后做正功
C．冥王星从A→B所用的时间等于
D．冥王星在B点的加速度为
【解答】解：A、根据第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等．所以冥王星从B→C→的过程中，冥王星与太阳的距离先增大后减小，所以速率先变小后增大，故A错误；
B、太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等．所以冥王星从A→B→C的过程中，冥王星与太阳的距离增大，速率逐渐变小，万有引力对它做负功．故B错误；
C、公转周期为T0，冥王星从A→C的过程中所用的时间是0.5T0，由于冥王星从A→B→C的过程中，速率逐渐变小，从A→B与从B→C的路程相等，所以冥王星从A→B所用的时间小于，故C错误；
D、设B点到太阳的距离l，则，根据万有引力充当向心力知，
知冥王星在B点的加速度为a=，故D正确；
故选：D
　
长期以来“卡戎星（Charon）”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1=19600km，公转周期T1=6.39天．2006年3月，天文学家发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转半径r2=48000km，则它的公转周期T2，最接近于（　　）
A．15天 B．25天 C．35天 D．45天
【解答】解：据开普勒第二定律得：= 得：T2==24.6天，故ACD错误，B正确．
故选：B．
【过关检测】　
金星的质量为M1，绕太阳的运动的椭圆轨道半长轴为R1，公转周期为T1．地球的质量为M2，绕太阳运动的椭圆轨道半长轴为R2，公转周期为T2，那么，下面判断正确的是（　　）
A．＞ B．=
C．= D．=
【解答】解：金星的质量为M1，绕太阳的运动的椭圆轨道半长轴为R1，公转周期为T1．
则由开普勒第三定律中的公式，得
而地球的质量为M2，绕太阳运动的椭圆轨道半长轴为R2，公转周期为T2，
则有
由于同一中心天体，所以K值相同，因此 即为
而公转周期与自身质量无关．
故选：B
关于开普勒定律，下列说法正确的是（　　）
A．开普勒定律是根据长时间连续不断的、对行星位置观测记录的大量数据，进行计算分析后获得的结论
B．根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度随行星与太阳之间距离的变化而变化，距离小时速度大，距离大时速度小
C．行星绕太阳运动的轨道，可以近似看做为圆，即可以认为行星绕太阳做匀速圆周运动
D．开普勒定律，只适用于太阳系，对其他恒星系不适用；行星的卫星（包括人造卫星）绕行星的运动，是不遵循开普勒定律的
【解答】解：A、开普勒定律是根据长时间连续不断的、对行星位置观测记录的大量数据，进行计算分析后获得的结论．故A正确
B、第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等．行星在此椭圆轨道上运动的速度大小不断变化，故B正确；
C、第一定律的内容为：所有行星分别沿不同大小的椭圆轨道绕太阳运动，太阳处于椭圆的一个焦点上，可以近似看做为圆，即可以认为行星绕太阳做匀速圆周运动，故C正确；
D、开普勒定律，也适用于太阳系，对其他恒星系也适用；行星的卫星（包括人造卫星）绕行星的运动，是遵循开普勒定律的，故D错误；
故选：ABC．
下列关于万有引力定律的说法中正确的是（　　）
A．万有引力定律是卡文迪许发现的
B．F=G中的G是一个比例常量，是没有单位的
C．万有引力定律适用于质点间的相互作用
D．两物体间的引力大小与质量成正比，与此两物间距离的平方成反比
【解答】解：A、牛顿提出了万有引力定律，而万有引力恒量是由卡文迪许测定的，故A错误；
B、F=G中的G是一个比例系数，单位为Nm2/kg2．故B错误；
C、万有引力定律适用于宇宙万物任意两个物体之间的引力，是自然界一种基本相互作用的规律，故C正确；
D、根据万有引力公式F=G可知自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比，故D错误．
故选：C．
由于万有引力定律和库仑定律都满足于平方反比律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比，例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为E=，在引力场中可以有一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱，设地球质量为M，半径为R，地球表面处重力加速度为g，引力常量为G，如果一个质量为m的物体位于距地表r处的上空某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是（　　）
A．G B．G C．G D．G
【解答】解：类比电场强度定义式E=，
由万有引力等于重力得
在地球表面：mg= ①
该点引力场强弱ag===G，故ACD错误，B正确；
故选：B．
万有引力常量适应于任何两个物体，引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的最早证据．引力常量G不仅有大小，还有单位．下面哪个选项是用国际单位制中的基本单位来表示引力常量G的单位的（　　）
A．N?m2/kg2 B．N?m/kg2 C．m3/（kg?s2） D．m3?kg2/s2
【解答】解：国际单位制中质量m、距离r、力F的单位分别是：kg、m、N，根据牛顿的万有引力定律F=G，得到
G的单位是N?m2/s2．
故选A
四、运用万有引力定律计算基本量★★★☆☆☆
经长期观测发现，A行星运行的轨道半径为R0，周期为T0但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离．如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，则行星B运动轨道半径为（　　）
A．R=R0 B．R=R0
C．R=R0 D．R=R0
【解答】解：由题意可知：A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔时间t0发生一次最大的偏离，说明A、B相距最近，设B行星的周期为T，
则有：
解得：T=
据开普勒第三定律：
得：R=R0
故A正确、BCD错误．
故选：A
太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学家称为“行星冲日”，据报道，2014年各行星冲日时间分别为：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是（　　）
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径（AU）
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
A．各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
【解答】解：根据开普勒第三定律，有：；
解得：T=；
故T火==1.84年；
T木==11.86年；
T土==29.28年；
T天==82.82年；
T海==164.32年；
A、如果两次行星冲日时间间隔为1年，则地球多转动一周，有：
2π=（）t
代入数据，有：
2π=（﹣）×1
解得：T0为无穷大；
即行星不动，才可能在每一年内发生行星冲日，显然不可能，故A错误；
B、2014年1月6日木星冲日，木星的公转周期为11.86年，在2年内地球转动2圈，木星转动不到一圈，故在2015年内一定会出现木星冲日，故B正确；
C、如果两次行星冲日时间间隔为t年，则地球多转动一周，有：
2π=（）t
解得：
t=
故天王星相邻两次冲日的时间间隔为：t天=≈1.01年；
土星相邻两次冲日的时间间隔为：t土=≈1.04年；
故C错误；
D、如果两次行星冲日时间间隔为t年，则地球多转动一周，有：
2π=（）t
解得：
t==，故地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短；故D正确；
故选：BD．
某物体在地球表面，受到地球的万有引力为F．若此物体受到的引力减小为，则其距离地面的高度应为（R为地球半径）（　　）
A．R B．2R C．4R D．8R
【解答】解：根据万有引力定律表达式得：
F=，其中r为物体到地球中心的距离．
某物体在地球表面，受到地球的万有引力为F，此时r=R，
若此物体受到的引力减小为，根据F=得出此时物体到地球中心的距离r′=2R，
所以物体距离地面的高度应为R．
故选A．
【过关检测】
宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在形式之一是：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，设每个星体的质量均为M，则（　　）
A．环绕星运动的线速度为
B．环绕星运动的线速度为
C．环绕星运动的周期为
D．环绕星运动的周期为
【解答】解：对某一个环绕星：+=M=M
解得：v=，
故选BC
　
假设航天飞机在太空绕地球作匀速圆周运动．宇航员利用机械手将卫星举到机舱外，并相对航天飞机静止释放该卫星，则被释放的卫星将（　　）
A．停留在轨道的被释放处
B．随航天飞机同步绕地球作匀速圆周运动
C．向着地球做自由落体运动
D．沿圆周轨道的切线方向做直线运动
【解答】解：航天飞机在太空绕地球作匀速圆周运动时，由地球的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得到航天飞机的速度表达式为v=，M是地球的质量，r是航天飞机的轨道半径．将卫星相对航天飞机静止释放时，卫星的速度也等于v=，地球对卫星万有引力恰好提供向心力，所以卫星将随航天飞机同步绕地球作匀速圆周运动，不做自由落体运动．故B正确．
故选B
地球赤道上有一物体随地球自转而做圆周运动，所受到的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）所受到的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受到的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则（　　）
A．F1=F2＞F3 B．a1=a2=g＞a3 C．v1=v2=v＞v3 D．ω1=ω3＜ω2
【解答】解：A、根据题意三者质量相等，轨道半径r1=r2＜r3
物体1与人造卫星2比较，由于赤道上物体受引力和支持力的合力提供向心力，而近地卫星只受万有引力，故F1＜F2 ，故A错误；
B、由选项A的分析知道向心力F1＜F2 ，故由牛顿第二定律，可知a1＜a2，故B错误；
C、由A选项的分析知道向心力F1＜F2 ，根据向心力公式F=m，由于m、R一定，故v1＜v2，故C错误；
D、同步卫星与地球自转同步，故T1=T3，根据周期公式T=2π，可知，卫星轨道半径越大，周期越大，故T3＞T2，再根据ω=，有ω1=ω3＜ω2，故D正确；
故选：D．
质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的（　　）
A．线速度v= B．角速度ω=
C．运行周期T=2π D．向心加速度a=
【解答】解：根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力和万有引力等于重力得出：
A、根据万有引力提供向心力，得v=，故A正确；
B、根据mg=mω2R，得ω=，故B错误；
C、根据mg=mR，得T=2π，故C错误；
D、根据万有引力提供向心力，得a=，故D错误．
故选：A．
　
科学家经过深入观测研究，发现月球正逐渐离我们远去，并且将越来越暗．有地理学家观察了现存的几种鹦鹉螺化石，发现其贝壳上的波状螺纹具有树木年轮一样的功能，螺纹分许多隔，每隔上波状生长线在30条左右，与现代农历一个月的天数完全相同．观察发现，鹦鹉螺的波状生长线每天长一条，每月长一隔．研究显示，现代鹦鹉螺的贝壳上，每隔生长线是30条，中生代白垩纪是22条，侏罗纪是18条，奥陶纪是9条．已知地球表面的重力加速度为10m/s．地球半径为6400kin，现代月球到地球的距离约为38万公里．始终将月球绕地球的运动视为圆周轨道，由以上条件可以估算奥陶纪月球到地球的距离约为（　　）
A．8.4×108m B．1.7×108m C．1.7×107m D．8.4×107m
【解答】解：在地球表面的物体受到的重力等于万有引力，有：，则有：GM=gR2，
又根据万有引力提供向心力为：，
联立解得：r=．
代入数据得：r≈1.7×108m．故B正确，A、C、D错误．
故选：B．
　
五、运用万有引力定律计算重力加速度★★★★☆☆
卫星电话在抢险救灾中能发挥重要作用．第一代、第二代海事卫星只使用静止轨道卫星，不能覆盖地球上的高纬度地区．而第三代海事卫星采用同步和中轨道卫星结合的方案，解决了覆盖全球的问题．它由4颗同步卫星与12颗中轨道卫星构成．中轨道卫星高度约为地球半径的2倍，分布在几个轨道平面上（与赤道平面有一定的夹角）．地球表面处的重力加速度为g，则中轨道卫星处的重力加速度约为（　　）
A． B． C．4g D．9g
【解答】解：由题意可知中轨道卫星的轨道半径是地球半径的3倍，设地球半径为R，则中轨道卫星的轨道半径为3R，
在地球表面有：
对中轨道卫星有：
解得：
故选B．
2012年8月9日，美国“好奇”号火星探测器登陆火星后传回的首张360°全景图，火星表面特征非常接近地球，可能适合人类居住．为了实现人类登陆火星的梦想，近期我国宇航员王跃与俄罗斯宇航员一起进行“模拟登火星”实验活动．已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期也基本相同．地球表面重力加速度是g，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是（　　）
A．王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的
B．火星表面的重力加速度是g
C．火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度厅的
D．王跃以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度是
【解答】解：A、根据万有引力定律得，F=G知王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍．故A正确．
B、根据万有引力等于重力得，G=mg，g=，知火星表面重力加速度时地球表面重力加速度的倍，则火星表面重力加速度为g．故B错误．
C、根据万有引力提供向心力G=m，得v=，知火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的倍．故C正确．
D、因为火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的倍，根据h=，知火星上跳起的高度是地球上跳起高度的倍，为h．故D错误．
故选AC．
　
原香港中文大学校长、被誉为“光纤之父”的华裔科学家高锟和另外两名美国科学家共同分享了2009年度的诺贝尔物理学奖．早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．假设“高锟星”为均匀的球体，其质量为地球质量的，半径为地球半径的，则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据得，g=．
因为高锟星的质量为地球质量的，半径为地球半径的，则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的．故C正确，A、B、D错误．
故选：C．
【过关检测】
2014年4月美国宇航局科学家宣布，在距离地球约490光年的一个恒星系统中，发现一颗宜居行星，代号为开普勒﹣186f．科学家发现这颗行星表面上或存在液态水，这意味着上面可能存在外星生命．假设其半径为地球半径的a倍，质量为地球质量的b倍，则下列说法正确的是（　　）
A．该行星表面由引力产生的加速度与地球表面的重力加速度之比为
B．该行星表面由引力产生的加速度与地球表面的重力加速度之比为
C．该行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为
D．该行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为
【解答】解：A、根据得：g=，因为行星的半径为地球半径的a倍，质量为地球质量的b倍，则重力加速度与地球表面重力加速度之比为．故A正确，B错误．
C、根据得第一宇宙速度为：v=，因为行星的半径为地球半径的a倍，质量为地球质量的b倍，所以行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为．故C正确，D错误．
故选：AC．
　
2012年6月15日，“蛟龙号”载人潜水器在西太平洋进行第一次下潜试验，最大下潜深度约为6.4km．假设地球是一半径R=6400km、质量分布均匀的球体．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．则“蛟龙号”在最大下潜深度处的重力与海面上的重力之比约为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：重力等于万有引力，故：G=mg
解得：g=…①
地球的质量为：M=ρV=ρ?…②
联立①②解得：g=∝R
“蛟龙号”的最大下潜深度为地球半径的，故：
故选：A．
　
如图所示，O为地球球心，A为地球表面上的点，B为O、A连线间的点，AB=d，将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R．设想挖掉以B为圆心、以为半径的球．若忽略地球自转，则挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为（　　）
A．1﹣ B．1﹣ C．1﹣ D．
【解答】解：没有挖去以B为圆心、以为半径的球之前，根据万有引力定律，有：
F=G ①
以B为圆心、以为半径的球的质量为：
M1=ρV1=ρ? ②
地球质量：
M=ρV=ρ? ③
地球引力是以B为圆心、以为半径的球的引力和剩余部分的引力的矢量和，故：
F=G+F1 ④
联立解得：
=1﹣
根据牛顿第二定律F=ma，有：
挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为1﹣；
故选：B
神舟六号载人航天飞船经过115小时32分钟的太空飞行，绕地球飞行77圈，飞船返回舱终于在2005年10月17日凌晨4时33分成功着陆，航天员费俊龙、聂海胜安全返回．已知万有引力常数G，地球表面的重力加速度g，地球的半径R，神舟六号飞船太空飞行近似为圆周运动．则下列论述正确的是（　　）
A．可以计算神舟六号飞船绕地球的太空飞行离地球表面的高度
B．可以计算神舟六号飞船绕地球的太空飞行的加速度
C．飞船返回舱打开减速伞下降的过程中，飞船中的宇航员处于失重状态
D．飞船点火发射的过程中，飞船中的宇航员处于失重状态
【解答】解：A、根据题意可以得出飞船的周期，根据，GM=gR2，可以求出飞船离地面的高度．故A正确．
B、根据和GM=gR2可以求出飞船的加速度，故B正确．
C、飞船返回舱打开减速伞下降的过程中，加速度方向向上，处于超重状态，故C错误．
D、飞船点火发射的过程中，加速度方向向上，处于超重状态，故D错误．
故选：AB．　
由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月 19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为d，天宫一号轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天官一号”所在处的加速度之比为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g=，
由于地球的质量为：M=，所以重力加速度的表达式可写成：g=．
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于（R﹣d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度g′=πGρ（R﹣d）．
所以有．
根据万有引力提供向心力，“天宫一号”的加速度a=，
所以，
所以，故D正确，A、B、C错误．
故选：D．
六、能够运用万有引力定律计算天体的质量与密度的★★★☆☆☆
随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想；假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点．已知月球的半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．月球表面的重力加速度为
B．月球的质量为
C．宇航员在月球表面获得的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动
D．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
【解答】解：A、小球在月球表面做竖直上抛运动，根据匀变速运动规律得：
t= 解得：g月=，故A错误；
B、物体在月球表面上时，由重力等于地月球的万有引力得：
，解得：M=，故B正确；
C、宇航员离开月球表面围绕月球做圆周运动至少应获得的速度大小即月球的第一宇宙速度大小
所以
解得：v=，故C错误；
D、宇航员乘坐飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动，根据重力提供向心力得：
mg月=m=m
解得：T=，故D错误．
故选B
为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g地球绕太阳公转的周期为T．则太阳的质量为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设T为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和动力学知识得：
=
根据地球表面的万有引力等于重力得：
对地球表面物体m′有=m′g
两式联立得M=
故选D．
我国“玉兔号”月球车被顺利送抵月球表面，并发回大量图片和信息．若该月球车在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2．已知地球半径为R1，月球半径为R2，地球表面处的重力加速度为g，则（　　）
A．“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为
B．地球的质量与月球的质量之比为
C．地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为
D．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为
【解答】解：A、质量是表示物体含物质多少的物理量，与引力无关，故“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为1：1，故A错误．
B、根据g=，有：M=，故地球的质量与月球的质量之比为：=，故B错误．
C、重力加速度：g=，故地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为G1：G2，故C错误．
D、第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度：v=，故地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为：==，故D正确．
故选：D．
科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍． 假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有（　　）
A．行星质量与太阳质量之比
B．恒星密度与太阳密度之比
C．行星质量与地球质量之比
D．行星运行速度与地球公转速度之比
【解答】解：行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设恒星质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，有
G=m（）2r=m ①
解得：M=，v=
同理，太阳质量为：M′=，v′=
A、由于该行星的周期为1200年，地球的公转周期为1年，则有：T：T′=1200：1；题中有：r：r′=100：1，故可以求得恒星质量与太阳质量之比，故A错误；
B、由于恒星与太阳的体积均不知，故无法求出它们的密度之比，故B错误；
C、由于①式中，行星质量可以约去，故无法求得行星质量，也不能求出地球的质量，故C错误．
D、由于能求出行星质量与太阳质量之比，已知r：r′=100：1，所以可求出行星运行速度与地球公转速度之比，故D正确．
故选：D．
一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v，假设宇航员在该行星表面用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力，当物体处于竖直静止状态时，弹簧测力计的示数为F，已知引力常量为G，则这颗行星的质量为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：宇航员用弹簧秤竖直悬挂质量为m的钩码时，弹簧秤的示数为F，则有：
g=
一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，根据万有引力等于需要的向心力得
=m′
根据万有引力等于重力得
=m′g
解得这颗行星的质量M=，
故选B．
【过关检测】
“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下说法中正确的是（　　）
A．通过题目所给信息可分别求出天体A、B的质量
B．通过题目所给信息可分别求出两颗卫星的质量
C．通过题目所给信息可以确定两颗卫星的线速度一定相等
D．通过题目所给信息可以确定天体A、B的密度一定相等
【解答】解：A、研究卫星绕天体做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式
=mr 得：M= ①
由于卫星靠近天体表面飞行，所以r为天体半径，T为周期，根据题意不能求出天体A、B的质量．故A错误．
B、通过题目所给信息无法求出两颗卫星的质量，故B错误．
C、根据圆周运动知识得：
v=，其中r为天体半径，
由于不知道天体A、B的半径关系，所以两颗卫星的线速度不一定相等，故C错误．
D、根据密度公式得：
ρ= ②
体积V=πr3 ③，
由①②③得：
ρ=，故D正确．
故选D．
2013年12月，我国成功地进行了“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据．该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ弧度，万有引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球密度的表达式是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ弧度，
所以该卫星的线速度、角速度分别为v=，
又因为v=ωr，所以轨道半径为=
根据万有引力提供向心力，得月球的质量为M==
月球的体积为V=
所以月球的密度=，故B正确、ACD错误．
故选：B．
已知月球半径为R，飞船在距月球表面高度为R的圆轨道上飞行，周期为T．万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．月球第一宇宙速度为
B．月球表面重力加速度为R
C．月球密度为
D．月球质量为
【解答】解：B、D、飞船在距月球表面高度为R的圆轨道上做匀速圆周运动，故：
G=m
在月球表面，重力等于万有引力，故：
联立解得：
g=
M=
故B错误，D正确；
A、月球第一宇宙速度为：
=，故A错误；
C、月球的密度：==；故C错误；
故选：D
　
为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面附近做圆周运动的周期为T，登陆舱在行星表面着陆后，用弹簧称量一个质量为m的砝码读数为N．已知引力常量为G．则下列计算中错误的是（　　）
A．该行星的质量为
B．该行星的半径为
C．该行星的密度为
D．该行星的第一宇宙速度为
【解答】解：A、登陆舱在该行星表面做圆周运动，万有引力提供向心力，故：，①
在星球表面，用弹簧称称量一个质量为m的砝码读数为N，故：
N= ②
联立解得：M=，R=，故A正确，B错误．
C、行星的密度：ρ=，故C正确．
D、第一宇宙速度是星球表面轨道卫星的环绕速度，故v=，故D正确．
本题选错误的，故选：B．　
太阳系各行星可近似看成在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动．设天王星公转周期为T1，公转半径为R1；地球公转周期为T2，公转半径为R2．当地球和天王星运行到太阳两侧，且三者排成一条直线时，忽略二者之间的引力作用，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．天王星公转速度大于地球公转速度
B．地球与天王星相距最近至少需经历
C．太阳的质量为
D．天王星公转的向心加速度与地球公转的向心加速度之比为
【解答】解：A、根据万有引力提供向心力，得：，轨道半径越大，速度越小，故天王星公转速度小于地球公转速度，故A错误．
B、当地球和天王星运行到太阳两侧，三者排成一条直线，到地球与天王星相距最近，两者转过的角度相差π，所以，得：t=，故B正确．
C、对于天王星绕太阳运动，根据万有引力提供向心力有：，得太阳的质量为：，
对于地球绕太阳运动，有：，得太阳的质量为：，故C错误．
D、根据万有引力提供向心力有：，得：，所以有：，故D错误．
故选：B．
为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期T，登陆舱在行星表面着陆后，用弹簧称称量一个质量为m的砝码读数为N．已知引力常量为G．则下列计算中错误的是（　　）
A．该行星的质量为
B．该行星的半径为
C．该行星的密度为
D．在该行星的第一宇宙速度为
【解答】解：A、B、登陆舱在该行星表面做圆周运动，万有引力提供向心力，故：
G=mR ①
在星球表面，用弹簧称称量一个质量为m的砝码读数为N，故：
N=G ②
联立解得：
M=
R=
故A错误，B错误；
C、行星的密度：ρ===，故C正确；
D、第一宇宙速度是星球表面轨道卫星的环绕速度，故v===，故D正确；
本题选错误的，故选：AB．
七、运用万有引力定律解决多星问题★★★★☆☆
双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（　　）
A．T B．T C．T D．T
【解答】解：设m1的轨道半径为R1，m2的轨道半径为R2．两星之间的距离为L．
由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：
对m1：G=m1…①
对m2：G=m2…②
又因为R1+R2=L，m1+m2=M
由①②式可得：T=2π
所以当两星总质量变为KM，两星之间的距离变为原来的n倍，圆周运动的周期为 T′=2π=T，故ACD错误，B正确．
故选：B．
孤立的两颗星球A、B构成双星系统，已知A、B质量之比mA：mB=1：3，那么它们的线速度之比vA：vB为（　　）
A．1：1 B．3：1 C．1：9 D．9：1
【解答】解：双星绕连线上某点做匀速圆周运动，万有引力提供圆周运动向心力，两星的周期和角速度相同则有：
可得=
据v=rω
可得：
故选：B．
）有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，他们都围绕月球连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，若月球与地球的质量之比为1：80，则月球与地球绕O点运动的线速度大小之比υ1：υ2=　80：1　．
【解答】解：月球和地球绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等．且月球和地球和O始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期．因此有
mω2r=Mω2R
又由于
v=ωr
所以==
月球与地球绕O点运动的线速度大小之比υ1：υ2=80：1
故答案为：80：1．
如图所示，两个星球A、B组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．已知A、B星球质量分别为mA、mB，万有引力常量为G．求（其中L为两星中心距离，T为两星的运动周期）
【解答】解：两个星球均做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
G=
G=
其中：
L=LA+LB
联立解得：
=
答：的值为．
　
如图所示，在宇宙中有一种三星系统，由三颗质量相等的恒星组成等边三角形，它们绕三角形的中心匀速转动，已知某三星系统远离其他星体，可以认为它们与其他星体的作用力为0，它们之间的距离均为r，绕中心转动周期为T，每颗星均可看作质点．试求这三颗星的总质量．
【解答】解：设这三颗星分别为A、B、C，其质量分别为MA、MB、MC，且MA=MB=MC=M，A的受力如右图所示，因为A 做匀速圆周运动，
对A 有：
而　
由万有引力定律知：则
由几何知识得　　
所以 　
解得：，所以三颗星的总质量为
答：这三颗星的总质量是．
　
【过关检测】
宇宙间存在一些离其它恒星较远的三星系统．其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点上，若已知两颗星的距离均为R，如果忽略其它星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕其中心O做匀速圆周运动，周期为T．则每颗星做圆周运动的线速度为　　，每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量　有关　．（填“有关”或“无关”）
【解答】解：任意两个星星之间的万有引力
每一颗星星受到的合力，
由几何关系知：它们的轨道半径①
合力提供它们的向心力：
②
③
联立①②③，解得：
又合力提供它们的向心力：
解得：，故加速度与它们的质量有关．
故答案为：，有关
宇宙空间有一些星系距离其它星体的距离非常遥远，可以忽略其它星系对它们的作用．今有四颗星体组成一稳定星系，在万有引力作用下运行，其中三颗星体A、B、C位于边长为a的正三角形的三个顶点上，沿外接圆轨道做匀速圆周运动，第四颗星体D位于三角形外接圆圆心，四颗星体的质量均为m，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
　
A．
星体A受到的向心力为（3+）
　
B．
星体A受到的向心力为（3+2）
　
C．
星体B运行的周期为2πa
　
D．
星体B运行的周期为2πa
解答：
解：AB、每颗星做匀速圆周运动，靠另外三颗星万有引力的合力提供向心力，故：
Fn=FABcos30°+FAD+FACcos30°=++=（3+） ①
故A正确，B错误；
CD、万有引力提供向心力，故：
Fn=m ②
联立①②解得：
T=2πa
故C错误，D错误；
故选：A
　
宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量相等的星球位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗星球的距离均为R，并绕其中心O做匀速圆周运动．忽略其他星球对它们的引力作用，引力常量为G，以下对该三星系统的说法正确的是（　　）
A． 每颗星球做圆周运动的半径都等于R
B． 每颗星球做圆周运动的加速度与三颗星球的质量无关
C． 每颗星球做圆周运动的周期为T=2πR
D． 每颗星球做圆周运动的线速度v=2
解答：
解：A、三颗星球均绕中心做圆周运动，由几何关系可知r==R，A错误；
B、任一星球做圆周运动的向心力由其他两个星球的引力的合力提供，根据平行四边形定则得：F=2cos30°=ma，解得：a=，B错误
C、D、F=2cos30°=m=mr 得：T=2πR v=，则C正确，D错误
故选：C
　
由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
（1）A星体所受合力大小FA；
（2）B星体所受合力大小FB；
（3）C星体的轨道半径RC；
（4）三星体做圆周运动的周期T．
【解答】解：（1）由万有引力定律，A星受到B、C的引力的大小：
方向如图，则合力的大小为：
（2）同上，B星受到的引力分别为：，，方向如图；
沿x方向：
沿y方向：
可得：=
（3）通过对于B的受力分析可知，由于：，，合力的方向经过BC的中垂线AD的中点，所以圆心O一定在BC的中垂线AD的中点处．所以：
（4）由题可知C的受力大小与B的受力相同，对C星：
整理得：
答：（1）A星体所受合力大小是；（2）B星体所受合力大小是；（3）C星体的轨道半径是；（4）三星体做圆周运动的周期T是．
宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m，万有引力常量为G．
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
【解答】解：（1）在第一种形式下：三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；
其中边上的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力．
=
所以可得星体运动的线速度
v=
星体运动的周期
T=
（2）另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，
由万有引力定律和牛顿第二定律得：
= ②
又周期T=
所以可解得：l=．
答：（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度为，周期为；
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为．
已知某双星系统中两颗恒星绕它们线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两星距离为r，试推算这个双星系统的总质量．
【解答】解：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1，ω2．根据题意有
ω1=ω2 ①
r1+r2=r ②
根据万有引力定律和牛顿定律，有 G=m1ω12r1 ③
G=m2ω22r2 ④
联立以上各式解得：r1= ⑤
根据角速度与周期的关系知：ω1=ω2= ⑥
联立③⑤⑥式解得：m1+m2=r3，
答：这个双星系统的总质量为r3．

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