资源简介

3.2　简单的三角恒等变换
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
1.三角恒等变换
b
b
2.三角恒等变换的应用
b
b
知识导图
学法指导
三角恒等变换的基本思路是“变换”，变换的基本方向有两个：一是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式、半角公式等；二是变换角的形式，可以使用和(差)角公式、倍角公式、半角公式、积化和差、和差化积等.
1.半角公式
　
巧记“半角公式”
无理半角常戴帽，象限确定帽前号；
数1余弦加减连，角小值大用加号．
“角小值大用加号”即y＝1＋cosα(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号，而y＝1－cosα为增函数，角大值大，因此用“
－”号．
2．辅助角公式
asinx＋bcosx＝·sin(x＋φ)，其中tanφ＝.
　(1)辅助角公式
形式上是asinα＋bcosα(ab≠0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成sin(a
＋φ)的形式，其中tanφ＝，此公式称为辅助角公式．其中φ可通过tanφ＝以及点(a，b)所在的象限来确定．
(2)辅助角公式的特殊情况
sinα±cosα＝sin；sinα±cosα＝2sin；
cosα±sinα＝2sin.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos＝
.(　　)
(2)若α是第一象限角，则tan＝
.(　　)
(3)对于任意α∈R，sin＝sin
α都不成立．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
2．若cos
α＝，且α∈(0，π)，则cos
的值为(　　)
A.　　　B．－
C．±
D．±
解析：因为α∈(0，π)，所以∈.
所以cos＝
＝＝.
答案：A
3．下列各式中，值为的是(　　)
A．sin
15°cos
15°
B．cos2－sin2
C.
D.
解析：选项A中，原式＝sin
30°＝；选项B中，原式＝cos＝；选项C中，原式＝×＝tan
60°＝；选项D中，原式＝cos
30°＝.故选B.
答案：B
4．化简cos
x＋sin
x等于(　　)
A．2cos
B．2cos
C．2cos
D．2cos
解析：cos
x＋sin
x＝2
＝2
＝2cos.
答案：B
类型一　三角函数式的化简求值
例1　(1)化简＝______；
(2)－的值为________．
【解析】　(1)
＝＝＝＝1.
(2)原式＝＝
＝＝＝4.
【答案】　(1)1　(2)4
(1)切化弦，利用倍角公式，诱导公式化简求值．
(2)80
°＝90
°－10
°，通分，利用辅助角化简求值．
方法归纳
三角函数式化简原则和方法
(1)三角函数式化简的一般原则是：①能求值的应求出值；②三角函数种数尽量少；③项数尽量少；④分母中尽量不含三角函数；⑤次数尽量低．
(2)三角函数式化简的常用方法：①降幂化倍角；②升幂角减半．
(3)利用辅助角公式asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ)，其中tan
φ＝将形如asin
x＋bcos
x(a，b不同时为零)的三角函数式写成一个角的某个函数值．
跟踪训练1　(1)求值：
sin＝____________________________；
cos＝____________________________.
(2)[2019·正定检测]＋2的化简结果是________．
解析：(1)sin＝＝＝；
cos＝＝＝.
(2)原式＝＋2＝2|cos
4|＋2|sin
4|＝－2cos
4－2sin
4.
答案：(1)　　(2)－2cos
4－2sin
4
由sin>0，所以
.
由cos>0，则cos＝.
半角是相对的，4是8的半角，利用公式化简．
类型二　三角恒等式的证明
例2　若π<α<，证明：
＋＝－cos；
【证明】　左边＝＋
＝＋
因为π<α<，所以<<，所以sin>0>cos.
所以左边＝＋
＝＋＝－cos＝
右边．所以原等式成立.
等式左边复杂，应从左边入手，利用公式化简，同时注意α的范围．
方法归纳
三角恒等式证明的思路
通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一．
跟踪训练2　求证：＝sin
2α.
证明：方法一　左边＝
＝＝＝cos
αsincos
＝sin
αcos
α＝sin
2α＝右边．所以原式成立．
方法二　左边＝＝cos2α·＝
cos2αtan
α＝cos
αsin
α＝sin
2α＝右边．
所以原式成立．
左边复杂，从左边入手化简，先切化弦再利用倍角、半角公式化简．
类型三　三角恒等变换与三角函数的综合
例3　设函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若0<α<<β<π，f＝1，f＝0，求cos
α的值．
【解析】　(1)f(x)＝cos＋sin2x＝cos
2xcos－sin
2xsin＋＝－sin
2x.
当－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，即x∈(k∈Z)时，函数f(x)单调递减．
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由f＝1，f＝0，得cos
β＝－，
sin(α＋β)＝，
∵0<α<<β<π，∴α＋β∈，∴sin
β＝＝＝，cos(α＋β)＝－＝－＝－.∴cos
α＝cos(α＋β－β)＝cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)sin
β＝－×＋×＝.
　(1)
利用两角和的余弦公式及降幂公式→将f?x?展开合并→利用正弦函数的单调性求函数f?x?的单调递减区间
(2)
f（-）＝1，f（）＝0→求出cosβ，sin?α＋β?→结合角的范围→求sinβ，cos?α＋β?的值→利用两角差的余弦公式求cosα的值
方法归纳
函数的解析式的次数可以降低，项数可以减少时，要先化简解析式成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式再研究其图象及性质．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝sin2x＋2sin
xcos
x＋3cos2x，x∈R，求：
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的值域．
解析：(1)f(x)＝＋sin
2x＋＝2＋sin
2x＋cos
2x＝2sin＋2，
所以最小正周期T＝＝π，因为－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，f(x)为单调递增函数，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由(1)知f(x)＝2＋2sin，由于－≤x≤，所以2x＋∈，
所以sin∈，所以f(x)∈[1,4]，所以f(x)在区间上的值域为[1,4]．
利用二倍角公式，降幂公式化简函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再利用性质求解．
3.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知cos
α＝，α∈，则sin等于(　　)
A．－
B.
C.
D．－
解析：因为α∈，所以∈，
所以sin＝＝＝.
答案：B
2．若sin
2α＝，且α∈，则cos
α－sin
α的值为(　　)
A.
B.
C．－
D．－
解析：因为α∈，所以cos
αα，(cos
α－sin
α)2＝1－sin
2α，所以cos
α－sin
α＝－.
答案：C
3．设a＝cos
6°－sin
6°，b＝2sin
13°cos
13°，c＝，则有(　　)
A．cB．aC．aD．b解析：由已知可得a＝sin
24°，b＝sin
26°，c＝sin
25°，所以a答案：C
4．若α∈，则
－等于(　　)
A．cos
α－sin
α
B．cos
α＋sin
α
C．－cos
α＋sin
α
D．－cos
α－sin
α
解析：因为α∈，所以sin
α≤0，cos
α>0，
则
－＝－
＝|cos
α|－|sin
α|＝cos
α－(－sin
α)＝cos
α＋sin
α.
答案：B
5．已知2sin
α＝1＋cos
α，则tan＝(　　)
A.
B.或不存在
C．2
D．2或不存在
解析：由2sin
α＝1＋cos
α，
即4sincos＝2cos2，
当cos＝0时，则tan不存在，
当cos≠0时，则tan＝.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若cos
22°＝a，则sin
11°＝________，cos
11°＝________.
解析：cos
22°＝2cos211°－1＝1－2sin211°，
所以cos
11°＝＝.
sin
11°＝＝.
答案：
　
7．已知cos
α＝－，且180°<α<270°，则tan＝________.
解析：因为180°<α<270°，所以90°<<135°，所以tan<0，所以tan＝－＝－＝－2.
答案：－2
8．若α，β∈，cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)的值等于________．
解析：∵α，β∈，cos＝，sin＝－，∴α－＝±，－β＝－.
∴2α－β＝±，α－2β＝－.
α＋β＝(2α－β)－(α－2β)＝0或(0舍去)．
∴cos(α＋β)＝－.
答案：－
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．化简：.
解析：方法一　
原式＝
＝(复角化单角，进一步切化弦)
＝＝1(使用平方差公式)．
方法二　
原式＝(利用－α与＋α的互余关系)
＝＝(逆用二倍角的正弦公式)
＝＝1.
10．求证：－2cos(α＋β)＝.
证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin
α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin
α
＝sin(α＋β)cos
α＋cos(α＋β)sin
α－2cos(α＋β)sin
α
＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin
β，
两边同除以sin
α得－2cos(α＋β)＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知sin
α＋cos
α＝，则2cos2－1＝(　　)
A.
B.
C．－
D．－
解析：∵sin
α＋cos
α＝，平方可得1＋sin
2α＝，
可得sin
2α＝－.
2cos2－1＝cos＝sin
2α＝－.
答案：C
12．已知sin
2θ＝，0<2θ<，则＝________.
解析：＝
＝＝＝.
因为sin
2θ＝，0<2θ<，
所以cos
2θ＝，所以tan
θ＝＝＝，
所以＝＝，
即＝.
答案：
13．化简：
(1)；
(2)(0<α<π)．
解析：(1)原式＝＝＝＝tan
2α.
(2)原式＝
＝
＝＝.
∵0<α<π，∴0<<，∴cos>0，
∴原式＝＝cos
α.
14．已知函数f(x)＝sin2x＋sin
xcos
x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
解析：(1)f(x)＝－cos
2x＋sin
2x
＝sin＋.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在上的最大值为，
即sin在上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.
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1
-3．1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
二倍角的正弦、余弦、正切公式
c
c
倍角公式的应用
b
b
知识导图
学法指导
1.二倍角公式就是上一节所讲的和(差)角公式的特殊情形(α＝β)．
2．本节所讲的二倍角具有相对性，注意体会公式的本质．
3．公式要记忆准确，并会灵活运用其变形公式.
1.二倍角公式
记法
公式
推导
S2α
sin
2α＝2sin_αcos_α
S(α＋β)S2α
C2α
cos
2α＝cos2α－sin2α
C(α＋β)C2α
cos
2α＝1－2sin2αcos
2α＝2cos2α－1
利用cos2α＋sin2α＝1消去sin2α或cos2α
T2α
tan
2α＝
T(α＋β)T2α
　细解“倍角公式”
(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．
(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍……这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．
2．二倍角公式的变形
(1)升幂公式：1＋cos
2α＝2cos2α；
1－cos
2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：cos2α＝；
sin2α＝.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)
(2)存在角α，使得sin
2α＝2sin
α成立．(　　)
(3)对于任意的角α，cos
2α＝2cos
α都不成立．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
2.
sin
15°cos
15°的值等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：原式＝×2sin
15°cos
15°＝×sin
30°＝.
答案：B
3．计算1－2sin222.5°的结果等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：1－2sin222.5°＝cos
45°＝.
答案：B
4．已知α为第三象限角，cos
α＝－，则tan
2α＝________.
解析：因为α为第三象限角，cos
α＝－，
所以sin
α＝－＝－，
tan
α＝，tan
2α＝＝＝－.
答案：－
类型一　二倍角的正用、逆用
例1　(1)若sin
α＝，则cos
2α＝(　　)
A.
B.
C．－
D．－
(2)计算：cos
20°cos
40°cos
80°＝________；
(3)计算：＝________.
【解析】　(1)cos
2α＝1－2
sin2α＝1－2×2＝.
(2)原式＝
＝
＝＝＝.
(3)原式＝＝＝2.
【答案】　(1)B　　(2)　(3)2
(1)cos
2α＝1－2sin2α.
(2)构造二倍角的正弦公式，分子视为1，分子分母同时乘以2sin
20
°.
(3)运用二倍角的正切化简求值．
方法归纳
应用二倍角公式化简(求值)的策略
(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
(2)公式逆用：主要形式有2sin
αcos
α＝sin
2α，sin
αcos
α＝sin
2α，cos
α＝，cos2α－sin2α＝cos
2α，＝tan
2α.
跟踪训练1　求下列各式的值．
(1)sincos；
(2)1－2sin2750°；
(3)；
(4)coscos.
【解析】　(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos
1
500°
＝cos(4×360°＋60°)
＝cos
60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan
300°＝tan(360°－60°)
＝－tan
60°＝－.
(4)原式＝
＝＝＝＝.
利用二倍角公式求值，注意二倍角是相对的，例如是的二倍，π是的二倍．
类型二　给值求值
例2　(1)已知α∈，sin
α＝，则sin
2α＝__________，cos
2α＝____________，tan
2α＝____________；
(2)已知sin＝，02x的值．
【解析】　(1)因为α∈，sin
α＝，
所以cos
α＝－，
所以sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝－，
cos
2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，
tan
2α＝＝－，故填－，，－.
(2)因为x∈，所以－x∈，
又因为sin＝，所以cos＝，
所以cos
2x＝sin＝2sincos
＝2××＝.
【答案】　(1)－，，－　(2)见解析
(1)由sinα求cosα，再利用二倍角公式求值．
(2)由sin，求cos.利用二倍角求sin，再利用诱导公式求值．
方法归纳
三角函数求值问题的一般思路
(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin
2x＝cos＝cos＝2cos2－x－1＝1－2sin2；
②cos
2x＝sin＝sin
＝2sincos.
跟踪训练2　本例(2)条件不变，求sin2x的值．
解析：由sin＝，
所以cos
x－sin
x＝，
所以cos2x－sin
xcos
x＋sin2x＝，
所以sin
xcos
x＝，所以sin
2x＝.
先化简sin，再平方可得sin2x.
类型三　简单的化简证明
例3　(1)已知＝，则tan
α＋等于(　　)
A.－8
B．8
C.
D．－
(2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos
2Acos
2B.
【解析】　(1)＝＝cos
α－sin
α＝?(cos
α－sin
α)2＝?sin
αcos
α＝－，所以tan
α＋＝＋＝＝－8.
(2)左边＝－
＝
＝(cos
2Acos
2B－sin
2Asin
2B＋cos
2Acos
2B＋sin
2Asin
2B)
＝cos
2Acos
2B＝右边，所以等式成立．
【答案】　(1)A　(2)见解析
(1)利用二倍角的余弦、两角和的正弦展开，再由切化弦化简求值．
(2)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差公式转化为右边形式．
方法归纳
三角函数式的化简与证明
(1)化简三角函数式的要求：①能求出值的尽量求出；②使三角函数的种类与项数尽量少；③次数尽量低．
(2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
跟踪训练3　化简：
(1)
，其中α∈；
(2)－，其中θ∈(0，π)．
解析：(1)∵α∈，∴cos
α>0，∈，
∴cos<0.
故原式＝＝＝＝＝－cos.
(2)原式＝
－
＝
－
＝－.
①当θ∈时，∈，cos≥sin，此时原式＝sin＋cos－cos＋sin＝2sin.
②当θ∈时，∈，cos利用二倍角公式及变形公式化简，同时注意角的范围．
3.1.3
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知sin
α＝，cos
α＝，则sin
2α等于(　　)
A.　　
B.
C.
D.
解析：sin
2α＝2sin
αcos
α＝.
答案：D
2．已知cos
α＝－，则cos
2α等于(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：cos
2α＝2cos2α－1＝－.
答案：B
3．已知sin
α＝3cos
α，那么tan
2α的值为(　　)
A．2
B．－2
C.
D．－
解析：因为sin
α＝3cos
α，所以tan
α＝3，所以tan
2α＝＝＝－.
答案：D
4．已知tan
θ＝，则cos2θ＋sin
2θ的值为(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：cos2θ＋sin
2θ＝＝＝＝.故选B.
答案：B
5．已知α∈(0，π)，且sin
α＋cos
α＝，则cos
2α的值为(　　)
A．±
B.
C．－
D．－
解析：因为sin
α＋cos
α＝，α∈(0，π)，
所以1＋2sin
αcos
α＝，
所以sin
2α＝－，且sin
α>0，cos
α<0，
所以cos
α－sin
α＝－＝－，
所以cos
2α＝(cos
α－sin
α)(cos
α＋sin
α)＝－.故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.等于________．
解析：原式＝＝＝.
答案：
7．已知sin＋cos＝，那么sin
θ＝________，cos
2θ＝________.
解析：∵sin＋cos＝，
∴2＝，
即1＋2sincos＝，∴sin
θ＝，
∴cos
2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝.
答案：　
8．已知sin＝，则cos＝________.
解析：cos＝cos＝2cos2－1＝2sin2－1＝－.
答案：－
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列各式的值．
(1)2cos2－1；
(2)；
(3)coscos；
(4)coscoscos.
解析：(1)2cos2－1＝cos＝cos＝.
(2)＝＝tan
60°＝.
(3)coscos＝cossin＝sin＝.
(4)coscoscos
＝cos··
＝
＝
＝＝＝－.
10．化简：(1)－；
(2).
解析：(1)原式＝
＝＝tan2θ
(2)原式＝
＝
＝＝
＝1
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知sin
2α＝，则cos2＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：∵sin
2α＝，∴cos2＝＝＝＝.
答案：A
12．已知α为第二象限角，且sin
α＝，求＝________.
解析：原式＝＝.
∵α为第二象限角，且sin
α＝，
∴sin
α＋cos
α≠0，cos
α＝－，
∴原式＝＝－.
答案：－
13．证明：＝tan
θ.
证明：证法一　左边＝
＝
＝＝
＝＝tan
θ＝右边．
∴原式成立．
证法二：左边＝
＝＝
＝tan
θ＝右边．
∴原式成立．
证法三：左边＝
＝
＝
＝
＝＝tan
θ＝右边．
∴原式成立．
14．已知α，β为锐角，tan
α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos
2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解析：(1)因为tan
α＝，tan
α＝，所以sin
α＝cos
α.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此，cos
2α＝2cos2
α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因此tan
α＝，所以tan
2α＝＝－，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
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11
-第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
　两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和的正切
tan(α＋β)＝
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切
tan(α－β)＝
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
　公式T(α±β)的结构特征和符号规律
(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．
(2)
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan
α＋tan
β成立．(　　)
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　)
(3)tan(α＋β)＝等价于tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)·(1－tanαtan
β)．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√
2．已知tan
α＝4，tan
β＝3，则tan(α＋β)＝(　　)
A.　　
B．－
C.
D．－
解析：tan(α＋β)＝＝＝－.
答案：B
3．已知tan
α＝3，则tan＝(　　)
A．－2
B．2
C.
D．－
解析：tan＝tan＝＝＝－.
答案：D
4．计算：tan
75°＝________.
解析：tan
75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝＝＝2＋.
答案：2＋
授课提示：对应学生用书65页
类型一　正切公式的正用、逆用、变形用
例1　(1)已知tan＝，则tan
α＝________；
(2)tan＝________；
(3)计算＝________.
【解析】　(1)因为tan＝tan＝，
所以＝，解得tan
α＝.
(2)tan＝－tan
＝－tan＝－＝－＝－2＋.
(3)＝＝tan
45°＝1.
【答案】　(1)　(2)－2＋　(3)1
(1)利用两角差的正切公式tan(α±β)＝.
(2)＝π－；＝－.
(3)＝tan
60
°.
方法归纳
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan”“＝tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
跟踪训练1　求值：(1)tan
15°；
(2)；
(3)tan
23°＋tan
37°＋tan
23°tan
37°.
解析：(1)tan
15°＝tan(45°－30°)＝＝＝＝＝2－.
(2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan
150°＝－.
(3)∵tan
60°＝＝，
∴tan
23°＋tan
37°＝－tan
23°tan
37°，
∴tan
23°＋tan
37°＋tan
23°tan
37°＝.
(1)15
°＝45
°－30
°.
(2)利用公式求值．
类型二　给值求值
例2　(1)已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
【解析】　(1)tan＝tan＝＝.
(2)由条件知＝＝3，则tan
α＝2，
因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2.
故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.
【答案】　(1)C　(2)
(1)α＋＝(α＋β)－(β－)．
(2)β－2α＝(β－α)－α.
方法归纳
给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
跟踪训练2　设tan
α，tan
β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)
A.－3
B．－1
C．1
D．3
解析：∵tan
α，tan
β是方程x2－3x＋2＝0的两根，
∴tan
α＋tan
β＝3，tan
αtan
β＝2，
∴tan(α＋β)＝＝＝－3.
答案：A
由一元二次方程的根与系数关系可知，tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2.再利用公式求值．
类型三　给值求角
例3　已知tan
α＝，sin
β＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值．
【解析】　∵tan
α＝<1且α为锐角，
∴0<α<.
又∵sin
β＝<＝且β为锐角．∴0<β<，∴0<α＋2β<.①
由sin
β＝，β为锐角，得cos
β＝，∴tan
β＝.
∴tan(α＋β)＝＝＝.
∴tan(α＋2β)＝＝＝1.②
由①②可得α＋2β＝.
1．先求tan(α＋β)．
2．再求tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]．
3．由已知求α＋2β的范围，最后求值．
方法归纳
给值求角问题的步骤及选取函数的原则
(1)给值求角问题的步骤．
①求所求角的某个三角函数值．
②确定所求角的范围(范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．
(2)选取函数的原则．
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．
跟踪训练3　已知tan(α－β)＝，tan
β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
解析：tan
α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝.
又因为α∈(0，π)，而tan
α>0，所以α∈.
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝1.
因为tan
β＝－，β∈(0，π)，所以β∈，
所以α－β∈(－π，0)．
由tan(α－β)＝>0，得α－β∈，
所以2α－β∈(－π，0)．
又tan(2α－β)＝1，
所以2α－β＝－.
(1)先求tanα＝tan[(α－β)＋β]
(2)再求tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
(3)由已知求2α－β的范围，最后求值
3.1.2.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．tan
285°的值等于(　　)
A．2＋
B．2－
C．－2－
D．－2＋
解析：tan
285°＝tan(360°－75°)
＝－tan
75°＝－tan(45°＋30°)
＝－
＝－＝－2－.
答案：C
2.等于(　　)
A.
B.
C．tan
6°
D.
解析：∵＝tan(27°＋33°)＝tan
60°，
∴原式＝＝.
答案：A
3．已知α，β都是锐角，tan
α＝，tan
β＝，则α＋β的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：tan(α＋β)＝＝＝1，又因为α，β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
答案：C
4．若＝，则tan＝(　　)
A．－2
B．2
C．－
D.
解析：因为＝，所以＝，
因为＝
＝－tan＝，
所以tan＝－.
答案：C
5．已知tan
α＝，tan(α－β)＝－，那么tan(β－2α)的值为(　　)
A．－
B．－
C．－
D.
解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)
＝－tan[α＋(α－β)]＝－
＝－＝－.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若tan
α＝3，则tan＝________.
解析：因为tan
α＝3，所以tan＝＝＝－2.
答案：－2
7.＝________.
解析：＝tan(17°＋43°)＝tan
60°＝.
答案：
8．已知tan(α＋β)＝3，tan＝2，那么tan
β＝________.
解析：tan＝＝2，
则tan
α＝，
又tan(α＋β)＝＝3，
所以tan
β＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan
A，tan
B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，判断△ABC的形状．
解析：由根与系数关系得
∴tan(A＋B)＝＝＝，
在△ABC中，tan
C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－<0，∴∠C是钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
10．已知cos
α＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tan
β及tan(2α－β)．
【解析】　∵cos
α＝>0，α∈(0，π)，
∴sin
α>0.
∴sin
α＝＝＝，
∴tan
α＝＝＝.
∴tan
β＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝
＝＝2.
[能力提升](20分钟，40分)
11．(1＋tan
21°)(1＋tan
22°)(1＋tan
23°)(1＋tan
24°)的值为(　　)
A．16
B．8
C．4
D．2
解析：由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan
21°)(1＋tan
24°)＝2，
(1＋tan
22°)(1＋tan
23°)＝2，
故(1＋tan
21°)(1＋tan
22°)(1＋tan
23°)(1＋tan
24°)＝4.
答案：C
12．在△ABC中，C＝120°，tan
A＋tan
B＝，则tan
Atan
B的值为________．
解析：tan
C＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)＝－＝－＝－.
所以tan
Atan
B＝.
答案：
13．已知tan＝2，tan
β＝，
求的值．
解析：由tan＝＝2，
解得tan
α＝.
所以
＝
＝＝
＝tan(β－α)＝
＝＝.
14．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的两个锐角为α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别是和.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解析：(1)由单位圆中三角函数的定义，
可得cos
α＝，cos
β＝.
由于α，β为锐角，所以sin
α＝＝，
sin
β＝＝.从而tan
α＝7，tan
β＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1，又0<α<，0<β<，所以0<α＋2β<，
从而α＋2β＝.
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-3．1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第1课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
1.两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，简记为C(α＋β)，使用的条件为α，β为任意角．
2．两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
α，β∈R
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
α，β∈R
　公式的记忆方法
(1)理顺公式间的联系．
C(α＋β)C(α－β)S(α－β)S(α＋β)
(2)注意公式的结构特征和符号规律．
对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．
对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．
公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)，
sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)，
cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，
cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin
α－sin
β成立．(　　)
(3)对于任意的α，β∈R，sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β都不成立．(　　)
(4)sin
54°cos
24°－sin
36°sin
24°＝sin
30°.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．sin
15°cos
75°＋cos
15°sin
105°等于(　　)
A．0　　
B.
C.
D．1
解析：sin
15°cos
75°＋cos
15°sin
105°
＝sin
15°cos75°＋cos
15°sin
75°
＝sin(15°＋75°)＝sin
90°＝1.
答案：D
3．设α∈，若sin
α＝，则cos＝(　　)
A.
B.
C．－
D．－
解析：易得cos
α＝，则cos
＝＝.
答案：B
4．计算sin＝________.
解析：sin＝sin＝sin
cos
＋cos
sin
＝×＋×＝.
答案：
类型一　给角求值
例1　求值：(1)cos
105°；(2).
【解析】　(1)cos
105°＝cos(60°＋45°)＝cos
60°cos
45°－sin
60°sin
45°
＝×－×＝.
(2)＝
＝
＝＝＝.
(1)105
°＝60
°＋45
°
(2)找到31
°、91
°、29
°之间的联系利用公式化简求值
方法归纳
解决给角求值问题的方法
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
跟踪训练1　(1)已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin的值为(　　)
A.　　　　　　　　　B．－
C.
D．－
(2)sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝(　　)
A.－
B.
C．－
D.
解析：(1)因为角α的终边经过点(－3,4)，则sin
α＝，cos
α＝，所以sin＝sin
α
cos
＋cos
α
sin
＝×－×＝.
(2)原式＝sin
20°
cos
10°＋cos
20°sin
10°＝sin
30°＝.
答案：(1)C　(2)D
(1)由角α的终边经过点(－3,4)，可以求出sinα＝，cosα＝－.
(2)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解．
类型二　给值求值
例2　已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos
2α与cos
2β的值．
【解析】　因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<.
所以sin(α－β)＝＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－＝－.
所以cos
2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝×－×＝－，cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.
1．正确判断α－β，α＋β的范围是求解前提．
2．巧妙利用角的变换方法，是求解此类题目常用方法．
方法归纳
给值(式)求值的策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
跟踪训练2　本例条件变为：<β<α<，sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin
2β的值．
解析：因为<β<α<，所以0<α－β<，π<α＋β<π.
所以cos(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，
sin
2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)
＝×－×＝0.
(1)由已知求出α－β、α＋β的范围．
(2)2β＝(α＋β)－(α－β)．
(3)利用公式求值．
类型三　给值求角
例3　已知cos
α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求角β的值．
【解析】　因为0<α<，cos
α＝，所以sin
α＝.
又因为0<β<，所以0<α＋β<π.
因为sin(α＋β)＝α，所以cos(α＋β)＝－，
所以sin
β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α
＝×－×＝.
又因为0<β<，所以β＝.
(1)已知α的范围及cosα，求sinα.
(2)求α＋β的范围及sin(α＋β)求cos(α＋β)．
(3)利用cosβ＝cos[(α＋β)－α]，求值．
方法归纳
解决给值(式)求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值．
跟踪训练3　若把本例中的“0<β<”改为“<β<π”，求角β的值．
解析：因为0<α<，cos
α＝，
所以sin
α＝.
又因为<β<π，所以<α＋β<.
因为sin(α＋β)＝，所以cos(α＋β)＝－，
所以sin
β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α
＝×－×＝.
又因为<β<π，所以β＝.
对比例题β的范围更改则α＋β的范围更改，再由sin(α＋β)求cos(α＋β)最后利用sinβ＝sin[(α＋β)－α]公式求值．
3.1.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．sin
105°的值为(　　)
A.　
B.
C.
D.
解析：sin
105°＝sin(45°＋60°)＝sin
45°cos
60°＋cos
45°sin
60°＝×＋×＝.
答案：D
2．sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：原式＝sin
20°cos
10°＋cos
20°sin
10°＝sin(20°＋10°)＝.
答案：D
3．若cos
α＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：因为cos
α＝－，α是第三象限的角，所以sin
α＝－，由两角和的正弦公式可得sin＝sin
αcos＋cos
αsin＝×＋×＝－.
答案：A
4．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sin
Bcos
C，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：因为sin(B＋C)＝2sin
Bcos
C，
所以sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝2sin
Bcos
C，
即sin
Bcos
C－cos
Bsin
C＝0，所以sin(B－C)＝0，
所以B＝C.所以△ABC是等腰三角形．
答案：D
5．函数f(x)＝sin
x－cos的值域为(　　)
A．[－2,2]
B．[－，]
C．[－1,1]
D.
解析：因为f(x)＝sin
x－cos
＝sin
x－cos
xcos＋sin
xsin
＝sin
x－cos
x＋sin
x
＝
＝sin(x∈R)，
所以f(x)的值域为[－，]．
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知cos＝，则cos
α＝________.
解析：由于0<α－<，
cos＝，
所以sin＝.
所以cos
α＝cos
＝coscos－sinsin
＝×－×＝.
答案：
7．已知sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，则sin(α＋β)＝________.
解析：∵sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin
αcos
β＝1　①，cos2α＋sin2β＋2cos
αsin
β＝0　②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin
αcos
β＋cos
αsin
β)＝1，∴sin(α＋β)＝－.
答案：－
8．已知sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α＝，β是第三象限角，则sin＝________.
解析：sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α
＝sin(α－β)cos
α－cos(α－β)sin
α
＝sin[(α－β)－α]＝－sin
β＝，
即sin
β＝－，
又β是第三象限角，
所以cos
β＝－，
所以sin＝sin
βcos＋cos
βsin＝×＋×＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列各式的值．
(1)sin
347°cos
148°＋sin
77°cos
58°；
(2)sin＋cos.
解析：(1)原式＝sin(360°－13°)·cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)cos(90°－32°)
＝sin
13°cos
32°＋cos
13°sin
32°
＝sin(13°＋32°)
＝sin
45°＝.
(2)原式＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝.
10．已知△ABC，若sin(A＋B)＝，cos
B＝－，求cos
A的值．
解析：∵cos
B＝－，∴∴sin
B＝＝，
cos(A＋B)＝－＝－，
∴cos
A＝cos[(A＋B)－B]
＝cos(A＋B)cos
B＋sin(A＋B)sin
B
＝×＋×＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．在△ABC中，3sin
A＋4cos
B＝6,3cos
A＋4sin
B＝1，则C的大小为(　　)
A.
B.
C.或
D.或
解析：由已知可得(3sin
A＋4cos
B)2＋(3cos
A＋4sin
B)2＝62＋12，
即9＋16＋24sin(A＋B)＝37.
所以sin(A＋B)＝.所以在△ABC中sin
C＝，所以C＝或C＝.又1－3cos
A＝4sin
B>0，所以cos
A<.
又<，所以A>，所以C<，
所以C＝不符合题意，所以C＝.
答案：A
12．已知cos＋sin
α＝，则sin的值是________．
解析：∵cos＋sin
α＝cos
αcos＋sin
αsin＋sin
α
＝cos
α＋sin
α，∴cos
α＋sin
α＝，
∴cos
α＋sin
α＝，即sin＝.
又sin＝sin＝－sin＝－.
答案：－
13．(1)已知sin
α－sin
β＝－，cos
α－cos
β＝，α，β为锐角，求cos(α－β)的值；
(2)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin
2α的值．
解析：(1)由sin
α－sin
β＝－，知sin
αβ，
又α，β为锐角，∴－<α－β<0.
又
①2＋②2得2－2(sin
αsin
β＋cos
αcos
β)＝，即cos(α－β)＝×＝.
(2)∵cos(α－β)＝>0，<β<α<，
∴0<α－β<，sin(α－β)＝.
又sin(α＋β)＝－，π<α＋β<，∴cos(α＋β)＝－.
∴sin
2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－×－×＝－.
14．已知sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，求角α＋β的值．
解析：因为<α<，
所以－<－α<0.
因为<β<，
所以<＋β<.
由已知可得cos＝，
cos＝－，
则cos(α＋β)＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－.
因为<α＋β<π，
所以α＋β＝.
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-3.1.1　两角差的余弦公式
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
两角差的余弦公式
b
b
两角差的正弦公式及两角和的正弦、余弦公式
c
c
两角和与差的正切公式
c
c
知识导图
学法指导
本节内容公式较多，需要在理解的基础上进行记忆；试题灵活多样、技巧性强，要多练多总结，如角度之间的联系、公式的逆用及变形应用等都需要总结.
两角差的余弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦
C(α－β)
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
α，β为任意角
　对两角差的余弦公式的记忆和理解
(1)公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式．
(2)注意事项：不要误记为cos(α－β)＝cosα－cosβ或cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；同时还要注意公式的适用条件是α，β为任意角．
(3)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角：β＝(α＋β)－α，β＝－等．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos(60°－30°)＝cos
60°－cos
30°.(　　)
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos
α－cos
β都不成立．(　　)
(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β都成立．(　　)
(4)cos
30°cos
120°＋sin
30°sin
120°＝0.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．cos(30°－45°)等于(　　)
A.　　　　B.
C.
D.
解析：cos(30°－45°)＝cos
30°cos
45°＋sin
30°sin
45°＝×＋×＝.
答案：D
3．cos
45°·cos
15°＋sin
45°·sin
15°等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：原式＝cos(45°－15°)＝cos
30°＝.
答案：B
4．已知cos
α＝，α∈，则cos＝________.
解析：因为cos
α＝，α∈，
所以sin
α＝＝＝.
所以cos＝cos
α
cos＋sin
α
sin＝×＋×＝.
答案：
类型一　运用公式化简求值
例1　化简求值：
(1)cos
63°sin
57°＋sin
117°sin
33°；
(2)cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)sin
β.
【解析】　(1)原式＝cos
63°cos
33°＋sin
63°sin
33°＝cos(63°－33°)＝cos
30°＝.
(2)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos
α.
(1)由117
°＝180
°－63
°，57
°＝90
°－33
°，利用诱导公式化成同角．
(2)利用公式求值．
方法归纳
两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
跟踪训练1　求值：
(1)cos
15°＝________；
(2)cos
75°cos
15°＋sin
75°sin
15°＝________.
解析：(1)cos
15°＝cos(45°－30°)＝cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°＝×＋×＝.
(2)原式＝cos(75°－15°)＝cos
60°＝.
答案：(1)　(2)
(1)15
°＝45
°－30
°.
(2)利用公式求值．
类型二　给值求值问题
例2　已知α，β∈，且sin
α＝，cos(α＋β)＝－，求cos
β的值．
【解析】　因为α，β∈，
所以0<α＋β<π，
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝，
又sin
α＝，所以cos
α＝，
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝×＋×＝.
β看成是β＝(α＋β)－α，从已知条件中求出(α＋β)与α的正、余弦的值，然后运用差角的余弦公式．
方法归纳
给值求值的解题策略
(1)利用两角差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式．
(2)常用的变角技巧有α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝(α＋2β)－β，α＋β＝－等．
跟踪训练2　若把本例2中“α，β∈”改为“α，β∈”，求cos
β的值．
解析：因为α，β∈，
所以π<α＋β<2π，
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝－，
又sin
α＝，所以cos
α＝－，
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝×＋×＝－.
由α，β∈，得α＋β∈(π，2π)，由已知求α＋β，α的正(余)弦值再利用公式求值．
类型三　由三角函数值求角
例3　已知cos
α＝，cos(α＋β)＝－，且0<β<α<，求β的值．
【解析】　因为0<β<α<，
所以0<α＋β<π，
由cos
α＝，cos(α＋β)＝－，
得sin
α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝－×＋×＝.
又β∈
所以β＝.
要求β，因为0<β<所以先求cosβ，又cosβ＝cos[(α＋β)－α]再利用公式求值．
方法归纳
(1)要求角需先求这个角的三角函数值，然后根据范围得出角的值．
(2)已知一个角的正弦值(余弦值)求余弦值(正弦值)时，要根据角的范围确定其符号．
跟踪训练3　已知α，β均为锐角，且sin
α＝，sin
β＝，则α－β＝________.
解析：因为α，β均为锐角，
所以cos
α＝，cos
β＝.
所以cos(α－β)＝cos
α·cos
β＋sin
α·sin
β＝×＋×＝.
又因为sin
α>sin
β，所以0<β<α<，
所以0<α－β<，故α－β＝.
答案：
由sinα，sinβ求cosα，cosβ，再利用公式先求cos(α－β)的值，再求α－β的范围，最后求α－β的值．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．cos
65°cos
35°＋sin
65°sin
35°等于(　　)
A．cos
100°
B．sin
100°
C.
D.
解析：cos
65°cos
35°＋sin
65°sin
35°＝cos(65°－35°)＝cos
30°＝.故选C.
答案：C
2．coscos＋cossin的值是(　　)
A．0
B.
C.
D.
解析：和不是特殊角，但＋＝，所以本题可利用角的互余关系转化函数名，逆用Cα－β求值．
coscos＋cossin＝coscos＋sinsin＝cos＝cos＝.
答案：C
3．sin
α＝，α∈，则cos的值为(　　)
A．－
B．－
C．－
D．－
解析：由条件可得cos
α＝－，
∴cos＝cos
α＋sin
α
＝(cos
α＋sin
α)＝＝－，
故选B.
答案：B
4．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cos
A，sin
A)，b＝(cos
B，sin
B)且a·b＝1，则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析：因为a·b＝cos
Acos
B＋sin
Asin
B＝cos(A－B)＝1，且A，B，C是三角形的内角，所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形．故选B.
答案：B
5．设α，β都是锐角，且cos
α＝，sin(α－β)＝，则cos
β等于(　　)
A.
B．－
C.或－
D.或
解析：因为α，β都是锐角，且cos
α＝，
sin(α－β)＝，
所以sin
α＝＝；
同理可得cos(α－β)＝，
所以cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)＝×＋×＝，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．求值：cos
15°cos
105°－sin
15°sin
105°＝________.
解析：原式＝cos(15°＋105°)＝cos
120°＝－.
答案：－
7．计算：cos
555°＝________.
解析：cos
555°＝cos(720°－165°)＝cos
165°
＝cos(180°－15°)＝－cos
15°＝－cos(45°－30°)
＝－(cos
45°cos
30°＋sin
45°
sin
30°)
＝－
＝－.
答案：－
8．已知sin
α＝，α∈，则cos的值为________．
解析：∵sin
α＝，α∈，
∴cos
α＝－＝－＝－，
∴cos＝coscos
α＋sinsin
α
＝×＋×＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．计算下列各式的值：
(1)cos
56°cos
26°＋sin
56°sin
26°；
(2)coscos
θ＋sinsin
θ.
解析：(1)cos
56°cos
26°＋sin
56°sin
26°
＝cos(56°－26°)＝cos
30°＝.
(2)coscos
θ＋sinsin
θ
＝cos＝cos＝.
10．已知cos＋sin
α＝，求cos的值．
解析：因为cos＋sin
α＝cos
α＋sin
α＝，
所以cos
α＋sin
α＝，
所以cos＝cos
α＋sin
α＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos的值为(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：因为0<α<，－<β<0，
所以<α＋<，<－<.
又因为cos＝，
cos＝，
所以sin＝，sin＝，
所以cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
答案：C
12．若cos(α－β)＝，则(sin
α＋sin
β)2＋(cos
α＋cos
β)2＝________.
解析：原式＝2＋2(sin
αsin
β＋cos
αcos
β)＝2＋2cos(α－β)＝.
答案：
13．已知sin＝，且π<α<π，求cos
α的值．
解析：因为π<α<π，所以π<α＋<2π，
所以cos>0，
所以cos＝
＝＝，
所以cos
α＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.
14．已知cos
α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
解析：由cos
α＝，0<α<，
得sin
α＝＝＝，
由0<β<α<，得0<α－β<.
又因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)得
cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)＝×＋×＝，又β∈，所以β＝.
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