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详解2011年高考试题(福建卷理)15题详解
前言
2011年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷理)的15题，以映射为背景，集中考查演绎推理和论证能力，考查类比与转化思想、必然与或然思想。试题格调新颖，寓意深厚，别具匠心，给人耳目一新。乍一接触本题，给人一头雾水，深入分析后方知其中奥妙.下面试解如下：
原题
2011年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数　学 (理工农医类)
15．设V是全体平面向量构成的集合，若映射 满足：对任意向量 以及任意 ，均有
则称映射 具有性质P．
先给出如下映射：
①
②
③
其中，具有性质P的映射的序号为________．（写出所有具有性质P的映射的序号）
解：先验证①是否是具有性质P的映射.：设
∵f1( )=x-y, 则f(a)=f((x1,y1))= x1－y1, f(b)=f((x2,y2))= x2－y2,
设 = a+(1- )b,
∴有f1( )=f1( a+(1- )b)= f1{ (x1,y1)+(1- )(x2,y2)}
= f1{ ( x1, y1)+ ((1- )x2, (1- )y2)}
= f1{ [ x1+(1- )x2, y1+(1- )y2]}
=[ ( x1+(1- )x2]-[ y1+(1- )y2)]
=[ x1- y1]+[(1- )x2-(1- )y2]
= ( x1-y1)+ (1- )(( x2-y2))
= f(a) + (1- ) f(b)
∴f1是具有性质P的映射.
再来验证②是否是具有性质P的映射.
设
∵f2( )=x2+y, 则f(a)=f((x1,y1))= +y1, f(b)=f((x2,y2))= +y2,
设 = a+(1- )b,
∴有f1( )=f1[ a+(1- )b]= f1{ (x1,y1)+(1- )(x2,y2)}
= f1{ ( x1, y1)+ [(1- )x2, (1- )y2]}
= f1{ ( x1+(1- )x2, y1+(1- )y2)}
=[( x1+(1- )x2) + y1+(1- )y2)
= +2
= f(a)+ (1- )f(b)+2
≠ f(a) + (1- ) f(b)
∴f2是不具有性质P的映射.
最后验证③是否是具有性质P的映射.
设
∵f1( )=x+y+1, 则f(a)=f((x1,y1))= x1+ y1+1. f(b)=f((x2,y2))= x2+ y2+1.
设 = a+(1- )b,
∴有f1( )=f1( a+(1- )b)= f1{ (x1,y1)+(1- )(x2,y2)}
= f1{ ( x1, y1)+ ((1- )x2, (1- )y2)}
= f1{ ( x1+(1- )x2, y1+(1- )y2)}
=[ x1- y1]+[(1- )x2-(1- )y2]+1
= ( x1-y1)+ (1- )( x2-y2)+1
= （x1+ y1+1）+ (1- )( x2+ y2+1.)
= f(a) + (1- ) f(b)
∴f3是具有性质P的映射.
具有性质P的映射的序号为______①③

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