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2020-2021年度苏科版七年级数学下册《第9章整式乘法与因式分解》
单元综合优生提升训练（附答案）
1．先化简；再求值：
[（x﹣3y）2﹣7（x+y）（y﹣x）+（2x﹣y）（2y+x）]÷（﹣x），其中10x﹣3y＝10．
2．计算：
（1）；
（2）（﹣2×1012）×（﹣2×102）3÷（0.5×103）3；
（3）；
（4）（a﹣2b+3c）×（a+2b﹣3c）；
（5）（﹣2m﹣3）2（3﹣2m）2；
（6）4×1.632+6.52×6.74+6.742．（用乘法公式计算）
3．我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），
所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7×（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）．
但小白在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式．
x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42
＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）．
这种在二次三项式x2+6x﹣7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．
（1）请使用小白发现的方法把x2﹣8x+7分解因式；
（2）填空：x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+　
　+9y2﹣　
　＝（x﹣5y）2﹣16y2
＝（x﹣5y）2﹣（　
　）2＝[（x﹣5y）+　
　][（x﹣5y）﹣　
　]
＝（x﹣y）（x﹣　
　）；
（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx﹣13m2．
4．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是　
　　（写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是　
　，长是　
　，面积是　
　．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　
　．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
5．问题：已知多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
解答：设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（其中A为整式），
∴取x＝1，得1+m+n﹣16＝0，①
∴取x＝2，得16+8m+2n﹣16＝0，②
由①、②解得m＝﹣5，n＝20．
根据以上阅读材料解决下列问题：
（1）若多项式3x3+ax2﹣2含有因式（x﹣1），求实数a的值；
（2）若多项式2x2+mxy+ny2﹣4x+2y含有因式（x+y﹣2），求实数m、n的值；
（3）如果一个多项式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余数．请求出多项式x2020+2x1010+3除以一次因式（x+1）的余数．
6．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　
　；
（2）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81；
（3）求证，若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
7．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
例如由图①可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
请解答下列问题：
（1）写出由图②可以得到的数学等式　
　；
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值；
（3）可爱同学用图③中x个边长为a的正方形，y个宽为a，长为b的长方形，z个边长为b的正方形，拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝　
　．
8．如图1，用4个相同边长是x，y的长方形和中间一个小正方形密铺而形成的大正方形．
（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则x﹣y值为　
　；则x+y的值为　
　；
（2）若小长方形两边长为9﹣m和m﹣4，则大正方形的边长为　
　；若满足（9﹣m）（m﹣4）＝4，则（9﹣m）2+（m﹣4）2的值为　
　；
（3）如图2，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想a，b，c三边的数量关系，并说明理由．
9．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形，根据这一操作过程回答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长为　
　；
（2）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积．
方法一：　
　；
方法二：　
　；
（3）观察图②，写出代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系式：　
　；
（4）计算：（10.5+2）2﹣（10.5﹣2）2＝　
　．
10．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1
所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2
得a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若2a+b＝5，ab＝2，则2a﹣b＝　
　；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　
　．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
11．如图1，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形．现用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：　
　；方法2：　
　；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系　
　；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值．
12．如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）图2中的阴影部分的边长为　
　；
（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　
　；
（3）根据（2）中的结论，若x+y＝5，xy＝3，则（x﹣y）2＝　
　．
（4）实际上通过图形的面积可以探求相应的等式，通过观察图3写出一个等式　
　．
13．阅读理解：
已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝4，∴（a+b）2＝42，即a2+2ab+b2＝16．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10．
参考上述过程解答：
（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，则x2+y2＝　
　，（x+y）2＝　
　；
（2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，求（m﹣p）2+n2的值．
14．阅读材料：小明遇到这样一个问题：求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．
小明想通过计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找（x+2）（2x+3）所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：
也就是说，只需用x+2中的一次项x系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项x系数2，两个积相加1×3+2×2＝7，即可得到一次项系数．
延续上面的方法，求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．可以先用x+2的一次项x系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项x系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项x系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18．最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
（1）计算（5x+1）（2x+2）所得多项式的一次项系数为　
　．
（2）计算（x+1）（3x﹣2）（4x+3）所得多项式的一次项系数为　
　．
（3）若计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式的一次项系数为﹣2，求a的值．
（4）若x2﹣3x+1是x4+ax2+bx+2的一个因式，求2a+b的值．
15．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于　
　；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．
方法①　
　；
方法②　
　；
（3）观察图②，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．
16．已知，7张如图1的长为a，宽为b（其中a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在长方形ABCD内，长方形ABCD的长AD＝m，未被覆盖的部分的长方形MNPD的面积记作S1，长方形BEFG的面积记作S2．
（1）当a＝5，b＝1，m＝14时，求S1﹣S2的值；
（2）①请用含有a、b、m的代数式表示S1﹣S2；
②若S1﹣S2的值与m的取值无关，求a，b满足的数量关系．
17．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式：　
　．
（2）若用图1中的8块C型长方形卡片可以拼成如图3所示的长方形，它的宽为20cm，请你求出每块长方形的面积．
（3）选取1张A型卡片，3张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S＝S2﹣S1，则当a与b满足　
　时，S为定值，且定值为　
　．
18．阅读材料：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下列问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．
（2）（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，求（n﹣2019）（2020﹣n）．
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF，DF为边长作正方形，求阴影部分的面积．
19．若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（x﹣5）2+（2﹣x）2的值．
解：设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
所以（x﹣5）2+（2﹣x）2＝（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．
请运用上面的方法求解下面的问题：
（1）若x满足（8﹣x）（x﹣2）＝5，求（8﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是35，求长方形EMFD的周长．
20．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是　
　；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．
21．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．
22．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　
　；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x?y＝，则x﹣y＝　
　；
（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．
23．一天，小聪和小慧玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种纸片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）图③可以解释为等式：　
　．
（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图所示的　
　块，　
　块，　
　块．
（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个小长方形的两边长（x＞y），观察图形，以下关系式正确的是　
　（填序号）．
①x+y＝m；②x2﹣y2＝mn；③4xy＝m2﹣n2；④x2+y2＝
24．【阅读理解】“若x满足（70﹣x）（x﹣50）＝30，求（70﹣x）2+（x﹣50）2的值”．
解：设70﹣x＝a，x﹣50＝b，则（70﹣x）（x﹣50）＝ab＝30，a+b＝（70﹣x）+（x﹣50）＝20，（70﹣x）2+（x﹣50）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．
【解决问题】
（1）若x满足（40﹣x）（x﹣30）＝﹣20，则（40﹣x）2+（x﹣30）2的值为　
　；
（2）若x满足（2x﹣3）（x﹣1）＝，则（3﹣2x）2+4（x﹣1）2的值为　
　；
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝14，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
25．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：　
　；方法2：　
　；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系　
　；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；
②已知（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，求（2020﹣a）（a﹣2019）的值；
③已知（a﹣2019）2+（a﹣2021）2＝8，则求（a﹣2020）2的值．
26．对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如：图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2所表示的数学等式：　
　＝　
　；
（2）已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若a＝7k﹣5，b＝﹣4k+2，c＝﹣3k+4，且a2+b2+c2＝37，请利用（1）所得的结论求ab+bc+ac的值；
（3）小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形和m张邻边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个长方形，通过拼图求出m的值．（求出1个即可）
参考答案
1．解：原式＝（x2﹣6xy+9y2﹣7y2+7x2+4xy+2x2﹣2y2﹣xy）÷（﹣x）
＝（10x2﹣3xy）÷（﹣x）
＝﹣20x+6y，
∵10x﹣3y＝10，
∴原式＝﹣2（10x﹣3y）＝﹣2×10＝﹣20．
2．解：（1）＝2+1﹣9+（﹣1）＝﹣7；
（2）（﹣2×1012）×（﹣2×102）3÷（0.5×103）3
＝（﹣2×1012）×（﹣23×106）÷（×109）
＝27×109＝128×109＝1.28×1011；
（3）＝﹣x3y3+3x2y3；
（4）（a﹣2b+3c）×（a+2b﹣3c）
＝[a﹣（2b﹣3c）][a+（2b﹣3c）]＝a2﹣（2b﹣3c）2＝a2﹣4b2+12bc﹣9c2；
（5）（﹣2m﹣3）2（3﹣2m）2＝（2m+3）2?（3﹣2m）2
＝[（3+2m）（3﹣2m）]2＝（9﹣4m2）2＝81﹣72m2+16m4；
（6）4×1.632+6.52×6.74+6.742
＝（2×1.63）2+2×3.26×6.74+6.742＝3.262+2×3.26×6.74+6.742
＝（3.26+6.74）2＝102＝100．
3．解：（1）x2﹣8x+7＝x2﹣8x+16+7﹣16＝（x﹣4）2﹣9＝（x﹣4）2﹣32
＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）＝（x﹣1）（x﹣7）；
（2）x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+25y2+9y2﹣25y2＝（x﹣5y）2﹣16y2
＝（x﹣5y）2﹣（4y）2＝[（x﹣5y）+4y][（x﹣5y）﹣4y]＝（x﹣y）（x﹣9y）；
故答案为：25y2，25y2，4y，4y，4y，9y；
（3）方法1：原式＝x2+[13m+（﹣m）]x+13m?（﹣m）＝（x+13m）（x﹣m）；
方法二：原式＝x2+12mx+36m2﹣13m2﹣36m2
＝（x+6m）2﹣49m2＝（x+6m+7m）（x+6m﹣7m）＝（x+13m）（x﹣m）．
4．解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）①解：原式＝（10+0.3）×（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；
②解：原式＝[2m+（n﹣p）]?[2m﹣（n﹣p）]＝（2m）2﹣（n﹣p）2＝4m2﹣n2+2np﹣p2．
5．解：（1）设3x3+ax2﹣2＝M（x﹣1）（其中M为整式），
∴取x＝1，得3+a﹣2＝0；
解得a＝﹣1；
（2）设2x2+mxy+ny2﹣4x+2y＝N（x+y﹣2）（其中N为整式）；
∴取x＝0，y＝2，得4n+4＝0①；
取x＝1，y＝1，得2+m+n﹣4+2＝0②；
由①②的m＝1，n＝﹣1；
（3）设这个非负数为a，另一因式为Q，
∴可得到关系式为x2020+2x1010+3﹣a＝Q（x+1），
将x＝﹣1代入，得1+2+3﹣a＝0；
解得a＝6．
故x2020+2x1010+3除以一次因式（x+1）的余数为6．
6．解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝（x﹣y+1）2；
（2）令A＝x2﹣6x，则原式变为A（A+18）+81＝A2+18A+81＝（A+9）2，
故（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝（A+9）2＝（x﹣3）4．
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
7．解：（1）观察图形可得：大正方形的边长为：a+b+c，该正方形的面积等于3个小正方形的面积加上6个长方形的面积，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，
∴62＝14+2（ab+ac+bc），
∴ab+ac+bc＝（36﹣14）÷2＝11．
（3）由题意得：（2a+b）（a+4b）＝xa2+yab+zb2，
∴2a2+8ab+ab+4b2＝xa2+yab+zb2，
∴2a2+9ab+4b2＝xa2+yab+zb2，
∴x＝2，y＝9，z＝4，
∴x+y+z＝2+9+4＝15．
故答案为：15．
8．解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，
∴（x+y）2＝36，（x﹣y）2＝4，
又∵x＞y＞0，
∴x+y＝6，x﹣y＝2，
故答案为：2，6；
（2）大正方形的边长为x+y＝9﹣m+m﹣4＝5，
∵（9﹣m）（m﹣4）＝4，
∴（9﹣m）2+（m﹣4）2＝[（9﹣m）+（m﹣4）]2﹣2（9﹣m）（m﹣4）＝52﹣8＝17，
故答案为：5，17；
（3）a，b，c三边的数量关系为a2+b2＝c2．理由如下：
由拼图可得，小正方形的边长为a﹣b，
由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，
（a﹣b）2+ab×4＝c2，
即a2+b2＝c2．
9．解：（1）由拼图可知，阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，
故答案为：m﹣n；
（2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为（m﹣n）2；
从边长为（m+n）的大正方形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即为阴影部分的面积，
即（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（3）由（2）的两种方法可得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（4）（10.5+2）2﹣（10.5﹣2）2
＝（10.5﹣2）2+4×10.5×2﹣（10.5﹣2）2＝4×10.5×2＝84．
故答案为：84．
10．解：（1）∵（x+y）2﹣2xy＝x2+y2，x+y＝8，x2+y2＝40，
∴82﹣2xy＝40，
∴xy＝12，
答：xy的值为12；
（2）①∵（2a﹣b）2＝（2a+b）2﹣8ab，2a+b＝5，ab＝2，
∴（2a﹣b）2＝52﹣8×2＝9，
∴2a﹣b＝±＝±3，
故答案为：±3；
②根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab可得，
（4﹣x）2+（5﹣x）2＝[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（4﹣x）（5﹣x），
又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝（﹣1）2+2×8＝17，
故答案为：17；
（3）设AC＝m，CF＝n，
∵AB＝6，
∴m+n＝6，
又∵S1+S2＝18，
∴m2+n2＝18，
由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴62＝18+2mn，
∴mn＝9，
∴S阴影部分＝mn＝，
答：阴影部分的面积为．
11．解：（1）方法一，直接利用正方形的面积公式可得图2的面积为（a+b）2
，
方法二，大正方形的面积等于4个部分面积和，可得a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2
，a2+b2+2ab；
（2）由（1）得，（a+b）2
＝b2+a2+2ab；
故答案为：（a+b）2
＝b2+a2+2ab；
（3）∵a+b＝5，a2+b2＝13，（a+b）2
＝b2+a2+2ab，
∴52＝13+2ab，
∴ab＝6．
12．解：（1）由图象可知：阴影部分的边长为b﹣a，
故答案为：b﹣a；
（2）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（3）根据（1）中的结论，可知（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∵x+y＝5，x?y＝3，
∴52﹣（x﹣y）2＝4×3，
∴（x﹣y）2＝13，故答案为：13；
（4）由图可得，长方形的面积＝（a+b）（3a+b），
长方形的面积＝3a2+4ab+b2，
∴（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
故答案为：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
13．解：（1）∵x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9﹣4＝5，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝5﹣4＝1，
故答案为：5，1；
（2）∵m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，
∴（m﹣p）2+n2＝（m﹣p+n）2﹣2（m﹣p）n＝100+24＝124．
14．解：（1）5×2+1×2＝12，
故答案为：12；
（2）1×（﹣2）×3+3×1×3+4×1×（﹣2）＝﹣6+9﹣8＝﹣5，
故答案为：﹣5；
（3）由题意得，1×a×（﹣1）+（﹣3）×1×（﹣1）+2×1×a＝﹣2，
也就是，﹣a+3+2a＝﹣2，
所以，a＝﹣5；
（4）设（x2﹣3x+1）（x2+mx+2）＝x4+ax2+bx+2，
x4+mx3+2x2﹣3x3﹣3mx2﹣6x+x2+mx+2＝x4+ax2+bx+2，
x4+（m﹣3）x3+（3﹣3m）x2+（m﹣6）x+2＝x4+ax2+bx+2，
∴m﹣3＝0，a＝3﹣3m，b＝m﹣6，
∴m＝3，a＝﹣6，b＝﹣3，
∴2a+b＝﹣12﹣3＝﹣15．
15．解：（1）根据拼图可得，阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，
故答案为：m﹣n；
（2）方法①，从大正方形中减去四个小长方形的面积，
即：（m+n）2﹣4mn，
方法②根据正方形的面积公式直接表示小正方形的面积为（m﹣n）2，
故答案为：①（m+n）2﹣4mn，②（m﹣n）2；
（3）由（2）知，（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn；
（4）由于（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
又∵a+b＝8，ab＝5，
∴（a﹣b）2＝64﹣20＝44．
16．解：（1）由图可得，
S1﹣S2＝（m﹣3b）a﹣（m﹣a）×4b＝ma﹣3ab﹣4mb+4ab＝ma+ab﹣4mb，
∵a＝5，b＝1，m＝14，
∴S1﹣S2＝14×5+5×1﹣4×14×1＝70+5﹣56＝19，
即S1﹣S2的值是19；
（2）①由图可得，
S1﹣S2＝（m﹣3b）a﹣（m﹣a）×4b＝ma﹣3ab﹣4mb+4ab
＝ma+ab﹣4mb，
即S1﹣S2＝ma+ab﹣4mb；
②由①知S1﹣S2＝ma+ab﹣4mb＝m（a﹣4b）+ab，
∵S1﹣S2的值与m的取值无关，
∴a﹣4b＝0，
∴a＝4b，
即a，b满足的数量关系是a＝4b．
17．解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，
方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）设每块C型卡片的宽为xcm，长为ycm，
根据题意得
x+y＝20，4x＝20，
解得
x＝5，y＝15，
所以每块长方形材料的面积是：5×15＝75（cm2）．
（3）设DG长为x．
∵S1＝a[x﹣（a+b）]＝ax﹣a2﹣ab，S2＝2b（x﹣a）＝2bx﹣2ab，
∴S＝S2﹣S1＝（2b﹣a）x+a2﹣ab，
由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化，
可知当2b﹣a＝0时，即a＝2b时，S＝a2﹣ab为定值，
故答案为：a＝2b，a2﹣ab．
18．解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．
（2）设n﹣2019＝a，2020﹣n＝b，则）（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝a2+b2＝1，a+b＝（n﹣2019）+（2020﹣n）＝1，
∴（n﹣2019）（2020﹣n）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝（1﹣1）＝0；
（3）有题意得，长方形EMFD的长DE＝a＝x﹣1，宽DF＝b＝x﹣3，
则有a﹣b＝2，
当x＝6时，ab＝（x﹣1）（x﹣3）＝15，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+60＝64，
∴a+b＝8，a+b＝﹣8（舍去）
所以阴影部分的面积为：（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8×2＝16，
答：阴影部分的面积为16．
19．解：（1）设8﹣x＝a，x﹣2＝b，则ab＝5，a+b＝6，
∴（8﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝36﹣10＝26．
（2）∵AE＝1，CF＝3
∴DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
∵长方形EMFD的面积是35，
∴DE?DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝35，
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则ab＝35，a﹣b＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+140＝144，
又∵a+b＞0，
∴a+b＝12，
∴长方形EMFD的周长＝2DE+2DF＝2（a+b）＝24．
20．解：（1）图1阴影部分的面积为a2﹣b2，图2阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），二者相等，从而能验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴21＝（a+b）×3，
∴a+b＝7；
②（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）
＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝×＝．
21．解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，
S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab；
（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，
∵a+b＝10，ab＝20，
∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40；
（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，
∴S3＝×30＝15．
22．解：（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∵x+y＝5，x?y＝，
∴52﹣（x﹣y）2＝4×，
∴（x﹣y）2＝16
∴x﹣y＝±4，
故答案为：±4；
（3））∵（2019﹣m）+（m﹣2020）＝﹣1，
∴[（2019﹣m）+（m﹣2020）]2＝1，
∴（2019﹣m）2+2（2019﹣m）（m﹣2020）+（m﹣2020）2＝1，
∵（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，
∴2（2019﹣m）（m﹣2020）＝1﹣15＝﹣14；
∴（2019﹣m）（m﹣2020）＝﹣7．
23．解：（1）（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2
（2）因为（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2，所以需要a×a的2块，a×b的7块，b×b的3块，
故答案为：2，7，3．
（3）由图④可知，m＝x+y，n＝x﹣y，
因此①正确；
因为mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，因此②正确；
因为m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y）＝2x?2y＝4xy，所以③正确；
因为＝＝＝x2+y2，所以④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
24．（1）解：设40﹣x＝a，x﹣30＝b，
则
（40﹣x）（x﹣30）＝ab＝﹣20，
a+b＝（40﹣x）+（x﹣30）＝10，
（40﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣20）＝140，
故答案为：140；
（2）解：设2x﹣3＝a，x﹣1＝b，则（2x﹣3）（x﹣1）＝ab＝，
﹣a+2b＝（3﹣2x）+2
（
x﹣1）＝1，
（3﹣2x）2+4（
x﹣1）2＝（﹣a）2+4b2＝（﹣a+2b）2+4ab＝1+9＝10；
（3）解：矩形EFGD的面积＝（x﹣14）（x﹣30）＝200，
设
x﹣14＝a，x﹣30＝b，
则
（x﹣14）（x﹣30）＝ab＝200
a﹣b＝（x﹣14）﹣（x﹣30）＝16
∴阴影部分的面积＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝162+4×200＝1056．
25．解：（1）方法1：图2是边长为（a+b）的正方形，
∴S正方形＝（a+b）2；
方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，
∴S正方形＝a2+b2+2ab．
故答案为：（a+b）2；a2+b2+2ab；
（2）由（1）可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2
（3）①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
又∵a2+b2＝13，
∴ab＝6；
②设2020﹣a＝x，a﹣2019＝y，则x+y＝1，
∵（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，
∴x2+y2＝5，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴xy＝＝＝﹣2，
即（2020﹣a）（a﹣2019）＝xy＝﹣2；
③设a﹣2019＝x，a﹣2021＝y，则x﹣y＝2，
∵（a﹣2019）2+（a﹣2021）2＝8，
∴x2+y2＝8，
∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，
∴xy＝，
∵x﹣y＝2，即y＝x﹣2，
∴（a﹣2020）2＝（a﹣2000）（a﹣2000）＝（x﹣1）（y+1）＝xy+x﹣y﹣1＝3．
26．解：（1）正方形的面积可表示为＝（a+b+c）2；
正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为（a+b+c）2；a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a＝7k﹣5，b＝﹣4k+2，c＝﹣3k+4，a2+b2+c2＝37，
∴（7k﹣5﹣4k+2﹣3k+4）2＝37+2（ab+bc+ac），
∴ab+bc+ac＝﹣18；
（3）如图所示：
2a2+7ab+3b2＝（a+3b）（2a+b）．
∴m＝7．

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