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高一数学人教版(2019)必修第二册
【6.1 平面向量的概念】
【学习目标】：熟练掌握平面向量的基本概念与实际背景
【重点突破】
知识点一：向量的实际背景与概念定义我们把既大小又有方向的量叫做向量
知识点二：向量的几何表示
（1）向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示，具有方向的线段叫做有向线段，包含3个要素：起点、方向、长度，A为起点，B为终点的有向线段记作false.
（2）向量的字母表示：向量可以用字母a,b,c…表示.
（3）向量false的大小：向量false的大小称为向量false的长度，（或称模），记作false，长度为0的向量叫做零向量，记作0，长度等于1的单位长度的向量，叫做单位向量.
知识点三：相等向量与共线向量
（1）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
（2）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
向量a与b平行，记作a//b
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a
（3）任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.
【例题分析】
例1.若平面向量 a ， b 满足 |a|=|b|=a?b=2 ，则对于任意实数 λ ， |λa+(1?λ)b| 的最小值是（??? ）
A.?3?????????????????????????????????????????B.?32?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?1
7.【答案】 A
【解析】由题意得，设向量 a,b 夹角为 θ ，则 |cosθ|=|ab||a||b|=12 ，
(a+b)?[λa+(1?λ)b]=4+a?b=6 ，设 (a+b) 与 λa+(1?λ)b 的夹角为 γ ，
∴ |a+b|?|λa+(1?λ)b|cosγ=6 ， ∵|a+b|2=a2+b2+2a?b=12 ，
∴ |λa+(1?λ)b|cosγ=3 ， γ∈[0,π2) ， |λa+(1?λ)b|≥3
故答案为：A
例2.已知平面向量 a ， b ， c ， d 满足 |a|=|b|=1 ， |c|=2 ， a?b=0 ， |c?d|=1 ，则 |2a+b+d| 的取值范围为________.
【答案】 [0,5+3]
【解析】令 a=(1,0) ， b=(0,1) ， c=(x,y) ，设 C 的坐标为 (x,y) ， C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.
设 d=(x′,y′) ， D 的坐标为 (x′,y′) ， D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上. |2a+b+d|=|d?(?2,?1)| 表示 D 与点 P(?2,?1) 的距离，
由图可知，故 |2a+b+d| 的取值范围为 [0,5+3] .
故答案为： [0,5+3]

【小题巩固】
1.已知向量 a =（1，1，0），则与 a 共线的单位向量 e =（ ??）
A.?(22,?22,0)?????????????????????B.?(0, 1， 0)?????????????????????C.?(22,22,0)?????????????????????D.?(1, 1， 1)
2.下列命题是真命题的是（??? ）
A.?若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B.?AB=CD 的充要条件是A与C重合，B与D重合
C.?若向量 AB,CD 满足 |AB|>|CD| ，且 AB 与 CD 同向，则 AB>CD
D.?若两个非零向量 AB 与 CD 满足 AB+CD=0 ，则 AB//CD
3.给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量 a ， b 满足 |a|=|b| ，则 a=b ；③若空间向量 m ， n ， p 满足 m=n ， n=p ，则 m=p ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.
其中假命题的个数是（??? ）.
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
4.下列说法正确的是（??? ）
A.?若 |a|=|b| ，则 a=b 或 a=?b????????????????????B.?若 a 、 b 为相反向量，则 a+b=0
C.?零向量是没有方向的向量????????????????????????????????????D.?若 a 、 b 是两个单位向量，则 a=b
5.已知平面向量 a 与 b 的夹角为 120° ， b 在 a 上的投影是 ?1 ，且满足 (2a+b)⊥(a?3b) ，则 |a+2b|= ________.
6.已知向量 a=(0,?1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=29 ，且 λ>0 ，则 λ= ________．
【参考答案】
1.【答案】 C
【解析】因为向量 a =（1，1，0）
所以与 a 共线的单位向量可为 (a,a,0) 且 a2+a2+0=1
解得 a=±22
所以可得与 a 共线的单位向量为 (22,22,0) 或 (?22,?22,0)
故答案为：C
2.【答案】 D
【解析】因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，故答案为：项A是假命题；
由 AB=CD 知， |AB|=|CD| ，且 AB 与 CD 同方向，但A与C，B与D不一定重合，故答案为：项B是假命题；
因为空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有 AB>CD 这种写法，故答案为：项C是假命题；
因为 AB+CD=0 ，所以 AB=?CD ，即 AB 与 CD 共线，故 AB//CD ，D是真命题．
故答案为：D．
3.【答案】 D
【解析】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，
则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.
②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，
而且方向还要相同，但②中向量 a 与 b 的方向不一定相同.
③真命题.向量的相等具有传递性.
④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，
但方向不一定相同，以不一定相等.
⑤假命题.零向量的方向是任意的.
故答案为：D.
4.【答案】 B
【解析】对A，若 |a|=|b| ，只能表示 a 和 b 的长度相等，不能说明方向相同或相反，故 A不符合题意；
对B，若 a 、 b 为相反向量，则它们的和为零向量，B对；
对C，零向量的方向是任意的，C不符合题意；
对D，两个单位向量只是模都为1，但方向不一定相同，D不符合题意．
故答案为：B
5.【答案】 72
【解析】因为平面向量 a 与 b 的夹角为 120° ， b 在 a 上的投影是 ?1 ，
所以 |b|cos120°=?1 ，所以 |b|=2
因为 (2a+b)⊥(a?3b) ，即 (2a+b)?(a?3b)=0 ，即 2a2?5a?b?3b2=0
所以 2|a|2+5|a|?12=0 ，解得 |a|=32
所以 (a+2b)2=94+4×32×(?1)+4×4=494 ，所以 |a+2b|= 72
故答案为： 72
6.【答案】 3
【解析】因为 a=(0,?1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=29 ，
所以 λa+b=(4,1?λ,λ) ，
可得 16+(1?λ)2+λ2=29 ，
因为 λ>0 ，解得 λ=3 ，故答案为3.

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