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2020-2021学年华东师大新版九年级下册数学期中复习试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若+|m﹣5|化简的结果为一个常数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0
B．m≥5
C．m≤2
D．2≤m≤5
2．下列式子为最简二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值是（　　）
A．0
B．2
C．﹣2
D．2或﹣2
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝2：3，若△ADE的周长为2a，则△ABC的周长是（　　）
A．3a
B．9a
C．5a
D．25a
5．关于x的方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤5
B．k＜5且k≠3
C．k≤5且k≠3
D．k≥5且k≠3
6．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　）
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．②和④
7．如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么我们把这样的纸张叫做标准纸．则标准纸的宽和长的比值为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（　　）
A．1+x＝225
B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225
D．1+（1+x2
）＝225
9．在比例尺是1：4000的成都市城区地图上，位于锦江区的九眼桥的长度约为3cm，它的实际长度用科学记数法表示为（　　）
A．12×103cm
B．1.2×102m
C．1.2×104m
D．0.12×105cm
10．如图，已知点A（﹣1，0），点B是直线y＝x+2上的动点，点C是y轴上的动点，则△ABC的周长的最小值等于（　　）
A．
B．2+
C．1﹣+
D．1﹣
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．计算：（）2＝　
　．
12．方程3x2+1＝8x的一次项系数是　
　．
13．如果3a﹣4b＝0（其中a≠0且b≠0），则a：b＝　
　．
14．给出表格：
a
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
0.1
1
10
100
利用表格中的规律计算：已知，则a+b＝　
　．（用含k的代数式表示）
15．如图，将矩形纸片ABCD沿EF对折，使得点C与点A重合，若AB＝4cm，BC＝8cm，则线段AF的长为　
　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）3+2；
（2）（+）．
17．（15分）用适当的方法解下列方程．
（1）4（x﹣1）2＝9；
（2）x2+4x﹣5＝0（配方法）；
（3）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）；
（4）2x2﹣7x+3＝0．
18．（8分）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求证△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．
19．（7分）已知关于x的方程x2﹣4x+3﹣m＝0．
（1）若方程都有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
（2）若此方程的一个根为1，求m的值．
20．（8分）如图，是某市街心花园的一角，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12m，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D．AC＝4m，D是OB的中点，出口E在弧AB上，现决定沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路．若铺设小路CE所用的石材每米的造价为a元，铺设小路DE所用石材每米的造价为2a元，请问在弧AB上是否存在E点，使铺设CE和DE小路的总造价最低？若存在，指出在图中如何确定E点的位置，并求出最低造价（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由．
21．（8分）某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．
22．（10分）（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系　
　，位置关系　
　；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．
23．（11分）如图，直角坐标系中，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（3，0），点B（0，﹣4），过D（0，8）作平行x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且AG＝AF．
（1）求直线AB的函数表达式．
（2）当点E恰好是OD中点时，求△ACG的面积．
（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：
+|m﹣5|＝|m﹣2|+|m﹣5|，
∵+|m﹣5|化简的结果为一个常数，
∴
解得：2≤m≤5．
故选：D．
2．解：A、＝|a+b|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，
∴a2﹣4＝0，
解得a＝±2，
∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴a＝﹣2．
故选：C．
4．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴C△ABC＝×2a＝5a，
故选：C．
5．解：当k﹣3＝0，即k＝3，方程化为﹣4x＝2，解得x＝﹣；
当k﹣3≠0时，△＝（﹣4）2﹣4（k﹣3）×2≥0，解得k≤5且k≠3，
综上所述，k的范围为k≤5．
故选：A．
6．解：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴＝，
＝，
即＝＝，
∴两三角形的三边对应边成比例，
∴①③相似．
故选：C．
7．解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y：，
解得y：x＝．
故选：A．
8．解：设1人平均感染x人，
依题意可列方程：（1+x）2＝225．
故选：C．
9．解：3×4000＝12000（cm）
12000cm＝1.2×104cm
12000cm＝120m＝1.2×102m．
故选：B．
10．解：作点A关于直线y＝x+2的对称点A′，作点A关于y轴的对称点A″，连接A′A″交直线y＝x+2于B，交y轴于C，如图1所示．
∵点A、A′关于直线y＝x+2对称，点A、A″关于y轴对称，
∴AB＝A′B，AC＝A″C．
∴C△ABC＝AB+BC+CA＝A′B+BC+CA″＝A′A″（由两点之间，线段最短，可得出此时△ABC的周长最小）．
过点A′作AD⊥x轴于点D，如图2所示．
∵直线的解析式为y＝x+2，AA′⊥该直线，
∴∠DAA′＝45°，
∴△ADA′为等腰直角三角形，点D为直线y＝x+2与x轴的交点，
∴点D（﹣2，0），AD＝1，
∴点A′（﹣2，1）．
∵点A、A″关于y轴对称，点A（﹣1，0），
∴点A″（1，0）．
在Rt△A′DA″中，A′D＝1，A″D＝1﹣（﹣2）＝3，
∴A′A″＝＝．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：（）2＝5．
故答案为：5．
12．解：一元二次方程3x2+1＝8x的一般形式3x2﹣8x﹣1＝0，其中一次项系数为﹣8，
故答案是：﹣8．
13．解：∵3a﹣4b＝0，
∴3a＝4b，
∴a：b＝4：3＝．
14．解：，则a+b＝10.1k，
故答案为：10.1k．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4cm，AD＝BC＝8cm，∠C＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿EF对折，使得点C与点A重合，
∴DF＝GF，AG＝CD＝4cm，∠G＝∠C＝90°，
设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，
在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF2＝AG2+GF2，
∴x2＝42+（8﹣x）
2，
解得：x＝5，
即线段AF的长为5cm，
故答案为：5cm．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）原式＝5；
（2）原式＝×+×
＝3+1
＝4．
17．解：（1）∵4（x﹣1）2＝9，
∴（x﹣1）2＝，
则x﹣1＝，
∴x1＝，x2＝﹣；
（2）∵x2+4x﹣5＝0，
∴x2+4x＝5，
则x2+4x+4＝5+4，即（x+2）2＝9，
∴x+2＝±3，
解得x1＝1，x2＝﹣5；
（3）∵3（x﹣5）2＝2（5﹣x），
∴3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0，
则（x﹣5）（3x﹣13）＝0，
∴x﹣5＝0或3x﹣13＝0，
解得x1＝5，x2＝；
（4）∵2x2﹣7x+3＝0，
∴（x﹣3）（2x﹣1）＝0，
则x﹣3＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝3，x2＝0.5．
18．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∵∠BPA+∠APD+∠DPC＝180°，且∠APD＝60°，
∴∠BPA+∠DPC＝120°，
∵∠DPC+∠C+∠PDC＝180°，
∴∠DPC+∠PDC＝120°，
∴∠BPA＝∠PDC，
∴△ABP∽△PCD；
（2）解：∵2BP＝3CD，且BP＝1，
∴CD＝，
∵△ABP∽△PCD，
∴＝，
设AB＝x，则PC＝x﹣1，
∴，
∴x＝3．
即AB＝3．
∴△ABC的边长为3．
19．解：（1）由题意可知：△＝16﹣4（3﹣m）＞0，
解得：m＞﹣1；
（2）将x＝1代入方程可得：1﹣4+3﹣m＝0，
解得：m＝0．
20．解：如图，延长OB到P，使BP＝OB，连接OE，EP，CP，设PC交⊙O于R，连接DR．
∵铺设CE和DE小路的总造价＝100a?CE+200a?DE＝100a（CE+2DE），
∴当CE+2DE的值最小时，总造价最底，
∵OD＝DB＝6cm，OE＝OB＝PB＝12cm
∴＝＝，∵∠EOD＝∠POE，
∴△EOD∽△POE，
∴＝＝，
∴PE＝2DE，
∴EC+2DE＝EC+PE≤PC，
∵∠POC＝90°，OC＝12cm＜OP＝24cm，
∴PC＝＝＝8cm，
∴EC+2DE≥8cm
∴当C，E，P共线，点E与R重合时，EC+2DE的值最小，
∴铺设CE和DE小路的总造价800a元．
21．解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，
依题意，得：50（1+m）2＝72，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商品平均每月的价格增长率为20%．
（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，
整理，得：x2﹣300x+14400＝0，
解得：x1＝60，x2＝240．
∵商家需尽快将这批商品售出，
∴x＝60．
答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．
22．解：（1）如图1，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADE+∠EDG＝∠ADC+∠ADE，
即∠ADG＝∠CDE，
∵DG＝DE，DA＝DC，
∴△GDA≌△EDC（SAS），
∴AG＝CE，∠GAD＝∠ECD，
∵∠COD＝∠AOH，
∴∠AHO＝∠CDO＝90°，
∴AG⊥CE，
故答案为：相等，垂直；
（2）不成立，CE＝2AG，AG⊥CE，理由如下：
如图2，由（1）知，∠EDC＝∠ADG，
∵AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，
∴，＝＝，
∴＝，
∴△GDA∽△EDC，
∴＝，即CE＝2AG，
∵△GDA∽△EDC，
∴∠ECD＝∠GAD，
∵∠COD＝∠AOH，
∴∠AHO＝∠CDO＝90°，
∴AG⊥CE；
（3）①当点E在线段AG上时，如图3，
在Rt△EGD中，DG＝3，ED＝4，则EG＝5，
过点D作DP⊥AG于点P，
∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，
∴△DGP∽△EGD，
∴＝，即，
∴PD＝，PG＝，
则AP＝＝＝，
则AE＝AG﹣GE＝AP+GP﹣GE＝+﹣5＝；
②当点G在线段AE上时，如图4，
过点D作DP⊥AG于点P，
∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，
同理得：PD＝，AP＝，
由勾股定理得：PE＝＝，
则AE＝AP+PE＝+＝；
综上，AE的长为．
23．解：（1）将点A、B的坐标代入函数表达式：y＝kx+b并解得：
k＝，b＝﹣4，
故直线的表达式为：；
（2）当y＝8时，
解得x＝9，
∴点C的坐标为（9，8），
∴CD＝9，
∵E是OD中点，
∴DE＝OE，
则△EDC≌△EOF（AAS），
∴OF＝CD＝9，
∴AG＝AF＝OF+OA＝12，
过点C作CH⊥x轴于点H，
∴；
（3）①当∠FCG＝90°时，
AG＝AF，则AC是中线，则AF＝AC＝＝10，
故点F（﹣7，0），
由点C、F的坐标可得：直线CF的表达式为：y＝（x+7），
故点E（0，），则m＝；
②当∠CGF＝90°时，则点G（9，0），
则AF＝AG＝6，
故点F（﹣3，0），
同理直线CF的表达式为：y＝（x+3），
故m＝2；
综上，m＝或2．

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