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高一数学人教版(2019)必修第二册
【6.3平面向量基本定理及坐标表示】
【学习目标】了解向量的基本定理及对应坐标的理解
【重点突破】
知识点1：平面向量加、减运算的坐标表示
两个向量的和false的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和false.
如图6.3-12，作向量false,false,则
false=false-false
=false
=false.
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
知识点2：平面向量垂直的坐标表示
设false=false，false=false，则false
知识点3：平面向量的正交分解及坐标表示
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量的作正交分解.如图6.3-7，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解就是向量分解中常见而实用的一种情形.
【例题分析】
例1.若平面向量 a ， b 为单位向量， a?b=12 ，空间向量 c 满足 |c|=8 ， a?c=4 ， b?c=5 ，则对任意的实数 t1,t2 ， |c?t1a?t2b| 的最小值是________．
【答案】 6
【解析】解： |c?(t1a+t2b)|2=c2+t12a2+t22b2?2t1c·a?2t2c·b+2t1t2a·b ，
由题得 a2=b2=1 ， |c|=8 ， a?c=4 ， b?c=5 ， a?b=12
将条件代入可得上式 |c?(t1a+t2b)|2=c2+t12a2+t22b2?2t1c·a?2t2c·b+2t1t2a·b
=64+t12+t22?2t1×4?2t2×5+2t1t2×12
=64+t12+t22?8t1?10t2+t1t2=(t1+t2?82)2+34(t2?4)2+36?36 ，
当且仅当 t1=2 ， t2=4 取等号，
故 |c?t1a?t2b| 的最小值是6。
故答案为：6。
例2.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A ， B 为圆 C ： (x?m)2+(y?2)2=4 上两个动点，且 AB=23 .若直线 l:y=?2x 上存在点 P ，使得 OC=PA+PB ，则实数 m 的取值范围为________.
[?1?5,?1+5]
【解析】由题意知圆 C 的圆心 C(m,2) ，半径 r=2 .
取 AB 的中点 Q ，连结 CQ ，则 CQ⊥AB .所以 CQ=r2?AQ2=4?3=1 ，
所以点 Q 在圆 (x?m)2+(y?2)2=1 上.
因为 OC=PA+PB=2PQ ，
设 P(x0,y0) ， Q(x1,y1) ，则 PQ=(x1?x0,y1?y0) ，
OC=(m,2) ，所以 {m=2(x1?x0),2=2(y1?y0),
则 {x1=m2+x0,y1=y0+1, 因为 Q(x1,y1) 在圆 (x?m)2+(y?2)2=1 上，
所以 (m2+x0?m)2+(y0?1)2=1 ，
即 (x0?m2)2+(y0?1)2=1 ，所以点 P 在以 D(12m,1) 为圆心，1为半径的圆 D 上，
又点 P 在直线 l ： y=?2x 上，所以直线 l 与圆 D 有公共点，
所以 |m+1|5≤1 ，解得 ?1?5≤m≤?1+5 .
故答案为： [?1?5,?1+5]
【小题巩固】
1.已知平面单位向量 a ， b 满足 |a?b|≤1 ．设向量 2a+b 与向量 a?2b 的夹角为 θ ，则 cosθ 的最大值为________．
2.已知 e1,e2,e3 是平面向量，且 e1,e2 是互相垂直的单位向量，若对任意 λ∈R 均有 |e3+λe1| 的最小值为 |e3?e2| ，则 |e1+3e2?e3|+|e3?e2| 的最小值为________．
3.已知向量 a ， b 满足 |a+b|=|a?b|=2|a|=2 ，则 (a?2b)?(a+b)= ________.
4.已知 a ， b 是不共线的向量， OA=λa+μb,OB=3a+2b ， OC=2a+3b 若 A,B,C 三点共线，则实数 λ,μ 满足（??? ）
A.?λ=μ?1???????????????????????????B.?λ=μ+5???????????????????????????C.?λ=5?μ???????????????????????????D.?λ=μ+1
5.已知 a=(?4,3),b=(0,5) ，则 b 在 a 方向上的投影为________.
6.如图，F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C在抛物线上，若 FA ＋ FB ＋ FC ＝ 0 ，则| FA |＋| FB |＋| FC |＝________.
【参考答案】
1.【答案】 ?2114
【解析】 ∵a,b 是单位向量， ∴|a|=|b|=1 ，设 a,b 的夹角为 α ，
则由 |a?b|≤1 可得 |a?b|2≤1 ，即 a2?2|a|?|b|?cosα+b2≤1 ，可得 cosα≥12 ，
则 cosθ=(2a+b)?(a?2b)|2a+b|?|a?2b|=2a2?3a?b?2b24a2+4a?b+b2?a2?4a?b+4b2
=?3cosα5+4cosα?5?4cosα=?3cos2α25?16cos2α=?3125cos2α?16 ，
当 cosα=12 时， cosθ 取得最大值为 ?2114 。
故答案为： ?2114 。
2.【答案】 3
【解析】 |e3+λe1|2=|e3|2+2λe1e3+λ2|e1|2≥|e3?e2|2=|e3|2?2e2e3+|e2|2 ，即 λ2+2λe1e3+2e2e3?1≥0 ，所以 Δ=4(e1e3)2?4(2e2e3?1)=0 ，即 (e1e3)2?2e2e3+1=0 ，设 e1 为 x 轴的方向向量， e2 为 y 轴方向向量，所以 e3=xe1+ye2 ，对应的坐标为 (x,y) ，所以 x2?2y+1=0 ，得 x2=2(y?12) ； |e1+3e2?e3|+|e3?e2|=|(1,3)?(x,y)|+|(x,y)?(0,1)| ，因为 x2=2(y?12) 为抛物线 x2=2y 向上平移 12 个单位，所以焦点坐标为 (0,1) ，准线为 y=0 ，所以点 (x,y) 到 (0,1) 的距离与到 y=0 的距离相等， |(1,3)?(x,y)|+|(x,y)?(0,1)|=|(1?x,3?y)|+|y|≥|3?y|+|y|=3 ，当且仅当 x=y=1 时，取最小值。
故答案为：3。
3.【答案】 -5
【解析】 ∵|a+b|=|a?b| ， ∴|a+b|2=|a?b|2 ，即 a?b=0 ，
∵2|a|=2 ，即 |a|=1 ，
∵|a+b|2=a2+2a?b+b2=1+b2=4 ， ∴|b|=3 ，
∴(a?2b)?(a+b)=a2?a?b?2b2=1?0?2×3=?5 。
故答案为：-5。
4.【答案】 C
【解析】由 A,B,C 点共线，得 OA=tOB+(1?t)OC=(t+2)a+(3?t)b ，
而 OA=λa+μb ，于是有 λa+μb=(t+2)a+(3?t)b ，
即 {λ=t+2μ=3?t ， λ=5?μ 。
故答案为：C.
5.【答案】 3
【解析】根据投影的概念可得 b 在 a 方向上的投影为： |b|cos?a,b?=|b|?a?b|a||b|=a?b|a|=0×(?4)+5×342+32=3 。
故答案为：3。
6.【答案】 6
【解析】设A(x1 ， y1)，B(x2 ， y2)，C(x3 ， y3)，
∵F(1，0)，∴ FA ＋ FB ＋ FC ＝(x1＋x2＋x3－3，y1＋y2＋y3)＝0，
∴ {x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0 ，且 p=2 ，
∴| FA |＋| FB |＋| FC |＝x1＋ p2 ＋x2＋ p2 ＋x3＋ p2 ＝3＋3＝6．
故答案为：6.

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