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高一数学人教版（2019）必修第二册
【8.5空间直线、平面之间的平行】
【学习目标】掌握空间直线、平面之间的垂直定理及其符号语言认识
【难点突破】
知识点1：直线与直线平行
平行于同一条直线的两条直线平行
定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
知识点2： 直线与平面平行
判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言：false
性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言：false
知识点3：平面与平面平行
判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言：false
性质定理:两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言：false
【例题分析】
7.如图，四棱锥 P?ABCD 的底面是边长为1的正方形，点 E 是棱 PD 上一点， PE=3ED ，若 PF=λPC 且满足 BF// 平面 ACE ，则 λ= ________．
【答案】 23
【解析】如图，连接 BD ，交 AC 于点 O ，连接 OE ，则 BO=OD ，
在线段 PE 取一点 G 使得 GE=ED ，则 PGPE=23 .
连接 BG,FG ，则 BG//OE ，
又因为 OE? 平面 AEC ， BG? 平面 AEC ，
所以 BG// 平面 AEC .
因为 BF// 平面 ACE 且满足 BG∩BF=B ，故平面 BGF// 平面 AEC .
因为平面 PCD∩ 平面 BGF=GF ，平面 PCD∩ 平面 AEC=EC ，则 GF//EC .
所以 PFPC=PGPE=23 ，即 λ=23 为所求.
故答案为： 23 .
在棱长为 1 的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，点 P1,P2 分别是线段 AB,BD1 （不包括端点）上的动点，且线段 P1P2 平行于平面 A1ADD1 ，则四面体 P1P2AB1 的体积的最大值是________.
【答案】 124
【解析】由线面平行的性质定理知 P1P2//AD1 ， ∴△P1P2B ∽ △AD1B ， P1BAB=P1P2AD1=P2BBD1 ，
设 P1B=x,x∈(0,1) ，则 P1P2=2x ， P2 到平面 AA1B1B 的距离为 ? ，则 ?A1D1=P2BBD1 ,
所以 ?=x ，所以四面体 P1P2AB1 的体积为 V=13×12×(1?x)×1×x=16(x?x2)=?16(x?12)2+124 ，
当 x=12 时，四面体 P1P2AB1 的体积取得最大值： 124 ．
所以答案应填： 124 ．
【小题演练】
1.设 l,?m 是两条不同的直线， α 是一个平面，则下列说法正确的是（??? ）
A.?若 l//α ， m?α ，则 l//m????????????????????????????B.?若 l//α ， m//α ，则 l//m
C.?若 l⊥m ， m?α ，则 l⊥α????????????????????????????D.?若 l⊥α ， l//m ，则 m⊥α
2.如图所示，在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， O 是底面正方形 ABCD 的中心， M 是 D1D 的中点， N 是 A1B1 的中点，则直线 NO ， AM 的位置关系是（??? ）
A.?平行???????????????????????????????B.?相交???????????????????????????????C.?异面垂直???????????????????????????????D.?异面不垂直
3.如果直线l的方向向量是 a=(?2,0,1) ，且直线l上有一点P不在平面 α 内，平面 α 的法向量是 b=(2,0,4) ，那么（??? ）.
A.?直线l与平面 α 垂直
B.?直线l与平面 α 平行
C.?直线l在平面 α 内
D.?直线l与平面 α 相交但不垂直
4.在空间直角坐标系中，已知 A(1,2,3) ， ， C(3,2,1) ， D(4,3,0) ，则直线 AB 与 CD 的位置关系是（???? ）
A.?垂直????????????????????????????????B.?平行????????????????????????????????C.?异面????????????????????????????????D.?相交但不垂直
5.已知 △ABC 在平面 α 内， ∠A=90° ， DA⊥ 平面 α ，则直线 CA 与 DB 的位置关系是________.
6.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如果 AB=(2,?1,?4),AD=(4,2,0), AP=(?1,2,?1) ，对于结论：① AP⊥AB ；② AP⊥AD ；③ AP 是平面 ABCD 的法向量；④ AP//BD .其中正确的说法的序号是________．
【参考答案】
1.【答案】 D
【解析】已知 l,?m 是两条不同的直线， α 是一个平面，
A选项，若 l//α ， m?α ，则 l 与 m 可能异面或平行，A不符合题意；
B选项，若 l//α ， m//α ，则 l 与 m 可能异面、平行或相交，B不符合题意；
C选项，若 l⊥m ， m?α ，则 l 与 α 可能平行、相交或线在面内，C不符合题意；
D选项，若 l⊥α ，则 l 垂直平面 α 内的任意一条直线；又 l//m ，则 m 也垂直平面 α 内的任意一条直线，所以 m⊥α ，D符合题意.
故答案为：D.
2.【答案】 C
【解析】建立空间直角坐标系，如图所示.设正方体的棱长为2，
则 A(2,0,0) ， M(0,0,1) ， O(1,1,0) ， N(2,1,2) ，
∴ NO=(?1,0,?2) ， AM=(?2,0,1) .
∵ NO?AM=0 ，
∴直线 NO ， AM 的位置关系是异面垂直.
故答案为：C
3.【答案】 B
【解析】因为直线l的方向向量是 a=(?2,0,1) ，平面 α 的法向量是 b=(2,0,4) ，
又因为 a?b=?4+0+4=0 ，所以直线l在平面 α 内或与平面 α 平行，又因为直线l上有一点P不在平面 α 内，所以直线l与平面 α 平行.
故答案为：B
4.【答案】 B
【解析】因为 A(1,2,3) ， B(?2,?1,6) ， C(3,2,1) ， D(4,3,0) ，所以, AB=(?3,?3,3),CD=(1,1,?1) ,可得 AB=?3CD ，所以 AB∥CD ，线 AB 与 CD 的位置关系是平行，故答案为：B．
5.【答案】 垂直
【解析】 ∵DA⊥ 平面 α ， AC? 平面 α ， ∴DA⊥CA ,
在 △ABC 中， ∵∠A=90° ， ∴AB⊥CA ，
且 DA∩BA=A ，
∴CA⊥ 平面 DAB ， DB? 平面 DAB ，
∴CA⊥DB 。
故答案为：垂直.
6.【答案】 ①②③
【解析】由 AB=(2,?1,?4),AD=(4,2,0),AP=(?1,2,?1) ,
在①中， AP?AB=?2?2+4=0 ，所以 AP⊥AB ，所以 AP⊥AB ，所以是正确的；
在②中， AP?AD=?4+4+0=0 ，所以 AP⊥AD ，所以 AP⊥AD ，所以是正确的；
在③中，由于 AP⊥AB ， AP⊥AD ，且 AB∩AD=A ，可知 AP 是平面 ABCD 的法向量，所以是正确的；
在④中， BD=AD?AB=(2,3,4) ,
假设存在实数 λ 使得 AP=λBD ，则 {?1=2λ2=3λ?1=4λ ，此时无解，所以是不正确的，
所以正确命题的序号为①②③。

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