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3.4　基本不等式：≤
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解基本不等式的证明过程．2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(重点、难点)3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)
1.通过利用基本不等式比较大小和证明不等式的学习，培养逻辑推理素养．2.借助利用基本不等式求最值和基本不等式的实际应用，培养数学建模及数学运算素养．
1．重要不等式
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”).
思考：如果a>0，b>0，用，分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？
[提示]　a＋b≥2.
2．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
思考：不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？
[提示]　不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；≤成立的条件是a，b均为正实数．
3．算术平均数与几何平均数
(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；
(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
思考：≥与≥ab是等价的吗？
[提示]　不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R.
4．用基本不等式求最值的结论
(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝时，积xy有最大值为．
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y＝时，和x＋y有最小值为2．
5．基本不等式求最值的条件
(1)x，y必须是正数．
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足．
思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？
[提示]　三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值．
1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　)
A．x≥2y　　　　
B．x＞2y
C．x≤2y
D．x＜2y
B　[因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B.]
2．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为
．
400　[因为x，y都是正数，
且x＋y＝40，所以xy≤＝400，当且仅当x＝y＝20时取等号．]
3．函数f(x)＝x＋(x＞0)的最小值为
．
2　[由基本不等式可得x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．]
4．给出下列说法：
①若x∈(0，π)，则sin
x＋≥2；
②若a，b∈(0，＋∞)，则lg
a＋lg
b≥2；
③若x∈R且x≠0，则≥4.
其中正确说法的序号是
．
①③　[①因为x∈(0，π)，所以sin
x∈(0，1]，
所以①成立；②只有在lg
a>0，lg
b>0，
即a>1，b>1时才成立；
③＝|x|＋≥
2＝4成立．]
利用基本不等式比较大小
【例1】　已知0[解]　法一：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，
所以四个数中最大的数应为a＋b或a2＋b2.
又因为0所以a2＋b2－(a＋b)＝a2－a＋b2－b
＝a(a－1)＋b(b－1)<0，
所以a2＋b2所以a＋b最大．
法二：令a＝b＝，
则a＋b＝1，2＝1，a2＋b2＝，2ab＝2××＝，
再令a＝，b＝，a＋b＝＋＝，2＝
2＝，
所以a＋b最大．
(1)在使用基本不等式≤(a≥0，b≥0)时，要注意不等式的双向性．
①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab≤；
②从右到左：常使用a＋b≥2.
(2)运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件．
(3)特殊值法是解决不等式的一个有效方法，
但要使特殊值具有一般性．
1．(1)已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是
．
(2)若a>b>1，P＝，Q＝(lg
a＋lg
b)，R＝lg
，则P，Q，R的大小关系是
．
(1)m>n　(2)P2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，
所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.
(2)因为a>b>1，所以lg
a>lg
b>0，
所以Q＝(lg
a＋lg
b)>＝P；
Q＝(lg
a＋lg
b)＝lg
＋lg
＝lg
＝R.
所以P利用基本不等式证明不等式
【例2】　已知a，b，c为不全相等的正实数．
求证：a＋b＋c>＋＋.
思路探究：→→→
[证明]　∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b≥2>0，
b＋c≥2>0，
c＋a≥2>0，
∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，
即a＋b＋c≥＋＋.
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．
∴a＋b＋c>＋＋.
1．所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明．
2．利用基本不等式证明不等式的注意点
(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
2．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：≥8.
[证明]　因为a，b，c为正实数，
且a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥.
同理，－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，
相乘得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
基本不等式的实际应用
【例3】　如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36
m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)要使每间虎笼面积为24
m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
思路探究：(1)已知a＋b为定值，如何求ab的最大值？(2)已知ab为定值，如何求a＋b的最小值？
[解]　(1)设每间虎笼长x
m，宽y
m，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤，
即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长4.5
m，宽3
m时，可使面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴9－y>0，
∴0S＝xy＝y＝(6－y)·y.
∵0∴6－y>0，
∴S≤·＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5
m，宽3
m时，可使面积最大．
(2)由条件知S＝xy＝24.
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48.
当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由，解得
故每间虎笼长6
m，宽4
m时，可使钢筋网总长最小．
法二：由xy＝24，得x＝.
∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48.
当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.
故每间虎笼长6
m，宽4
m时，可使钢筋网总长最小．
求实际问题中最值的解题4步骤
(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式；
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性；
(4)正确写出答案．
3．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示．池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖).试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．
[解]　设污水池的长为x米，则宽为米，总造价y＝(2x＋2·)·200＋2×250·＋80×400＝400＋32
000≥400×2＋32
000＝56
000(元)，当且仅当x＝，即x＝30时取等号．
故污水池的长为30米、宽为米时，最低造价为56
000元.
利用基本不等式求最值
[探究问题]
1．由x2＋y2≥2xy知xy≤，当且仅当x＝y时“＝”成立，能说xy的最大值是吗？能说x2＋y2的最小值为2xy吗？
[提示]　最值是一个定值(常数)，而x2＋y2或2xy都随x，y的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用基本不等式≥(a，b∈R＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．
2．小明同学初学利用基本不等式求最值时，是这样进行的：
“因为y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x2＝1时“＝”号成立，所以y＝x＋的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？
[提示]　不正确．因为利用基本不等式求最值，必须满足x与都是正数，而本题x可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”基本不等式求解．正确解法应为：当x>0时，y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取“＝”，y＝x＋的最小值是2；当x<0时，y＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝，即x＝－1时，取“＝”，y＝x＋的最大值是－2.
3．已知x≥3，求y＝的最小值，下列求解可以吗？为什么？
“解：∵y＝＝x＋≥2＝4，
∴当x≥3时，y＝的最小值为4.”
[提示]　不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合基本不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y＝x＋的单调性求解．
【例4】　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0(3)已知x>0，求f(x)＝的最大值；
(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
思路探究：变形所求代数式的结构形式，使用符合基本不等式的结构特征．
(1)4x－2＋＝4x－5＋＋3.
(2)x(1－2x)＝·2x·(1－2x).
(3)＝.
(4)x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y).
[解]　(1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵00，
∴y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝，
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.
(3)f(x)＝＝.
∵x>0，∴x＋≥2＝2，
∴f(x)≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．
(4)∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，
当且仅当＝，又＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
1．(变条件)在例题(1)中条件改为x>，求函数f(x)＝4x－2＋的值域．
[解]　∵x>，∴4x－5>0，
∴f(x)＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5.当且仅当4x－5＝.即x＝时，等号成立．f(x)的值域为[5，＋∞).
2．(变条件)在例题(1)中去掉条件x<，求f(x)＝4x－2＋的最值如何求解？
[解]　由f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3
①当x>时，4x－5>0
∴f(x)＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5
当且仅当4x－5＝时等号成立
即x＝时f(x)min＝5.
②当x<时，4x－5<0.
f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1
当且仅当5－4x＝，即x＝1时等号成立．故当x＝1时，f(x)max＝1.
利用基本不等式求条件最值的常用方法
(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值．
(2)构造法：
①构造不等式：利用ab≤，
将式子转化为含ab或a＋b的一元二次不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围；
②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值．
(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值．
易错警示：利用基本不等式求函数最值，一定要判断等号何时成立．
1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.
2．在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．
3．用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的单调性求得函数的最值．
1．判断正误
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．
(　　)
(2)对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值．
(　　)
(3)若xy＝4，则x＋y的最小值为4.
(　　)
(4)函数f(x)＝x2＋的最小值为2－1.
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．若0．
　[由00，
故＝·≤·＝，
当且仅当x＝时，上式等号成立．
所以0<≤.]
3．建造一个容积为8
m3，深为2
m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2，80元/m2，那么水池的最低总造价为
元．
1
760　[设池底一边长为x
m，总造价为y元．
则y＝4×120＋2×80＝320＋480(x>0).
因为x＋≥2＝4，
当且仅当x＝即x＝2时取等号，
所以ymin＝480＋320×4＝1
760(元).]
4．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.
[证明]　因为a>0，b>0，c>0，
所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，
所以＋＋≥6，
当且仅当＝，＝，＝，
即a＝b＝c时，等号成立．
所以＋＋≥6.
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13
-第2课时　线性规划的实际应用
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素
养
理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题．(重点、难点)
借助线性规划的实际应用，培养数学建模和直观想象素养．
应用线性规划解决实际问题的类型
思考：一家银行的信贷部计划年初投入25
000
000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30
000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元．那么x和y应满足哪些不等关系？
[提示]　分析题意，我们可得到以下式子
1．已知目标函数z＝2x＋y，且变量x，y满足约束条件则(　　)
A．zmax＝12，zmin＝3　
B．zmax＝12，无最小值
C．zmin＝3，无最大值
D．z既无最大值又无最小值
D　[画出可行域如图所示，z＝2x＋y，即y＝－2x＋z在平移过程中的纵截距z既无最大值也无最小值．
]
2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人每天50元，请瓦工需付工资每人每天40元．现有工人工资预算每天2
000元，设请木工x人，请瓦工y人，则请工人的约束条件是
．
3．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1
600元/辆和2
400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为
元．
36
800　[设租用A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，则
画出可行域(如图中阴影部分内的整点)，则目标函数z＝1
600x＋2
400y在点(5，12)处取得最小值zmin＝36
800元．]
线性规划的实际应用问题
[探究问题]
1．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．设投资甲、乙两个项目的资金分别为x、y万元，那么x、y应满足什么条件？
[提示]　
2．若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？
[提示]　根据公司所获利润＝投资项目甲获得的利润＋投资项目乙获得的利润，可得z与x，y的关系为z＝0.4x＋0.6y.
3．x，y应在什么条件下取值，x，y取值对利润z有无影响？
[提示]　x，y必须在线性约束条件下取值．x，y取不同的值，直接影响z的取值．
【例1】　某家具厂有方木料90
m3，五合板600
m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要木料0.1
m3，五合板2
m2，生产每个书橱需要木料0.2
m3，五合板1
m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.
怎样安排生产可使所获利润最大？
思路探究：可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解．
[解]　设生产书桌x张，生产书橱y个，利润为z元，则目标函数为z＝80x＋120y，根据题意知，
约束条件为
即画出可行域如图所示，
作直线l：80x＋120y＝0，并平移直线l，由图可知，当直线l过点C时，z取得最大值，解得C(100，400)，所以zmax＝80×100＋120×400＝56
000，即生产100张书桌，400个书橱，可获得最大利润．
(变结论)例题中的条件不变，如果只安排生产书桌可获利润多少？如果只安排生产书橱呢？
[解]　(1)若只生产书桌，则y＝0，此时目标函数z＝80x，由图可知zmax＝80×300＝24
000，即只生产书桌，可获利润24
000元．
(2)若只生产书橱，则x＝0，此时目标函数z＝120y，由图可知zmax＝120×450＝54
000，即只生产书橱，可获利润54
000元．
解答线性规划应用题的一般步骤
(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些．由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．
(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．
(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
线性规划中的最优整数解问题
【例2】　某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车，4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员．在建筑某段高速公路的工程中，此公司承包了每天运送360吨沥青的任务．已知每辆卡车每天往返次数为：A型车8次，B型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为：A型车160元，B型车280元．每天派出A型车与B型车各多少辆时，公司花的成本费最低？
思路探究：①本题的线性约束条件及目标函数分别是什么？②根据实际问题的需要，该题是否为整点问题？
[解]　设公司每天所花成本费为z元，每天派出A型车x辆，B型车y辆，则z＝160x＋280y,
x，y满足的约束条件为
作出不等式组的可行域，如图．
作直线l：160x＋280y＝0，即l：4x＋7y＝0.
将l向右上方移至l1位置时，直线l1经过可行域上的M点，且此时直线与原点的距离最近，z取得最小值．
由方程组
解得
但y＝0.4不是整数，故取x＝7，y＝1，此时z取得最小值．
所以，当每天派出A型车7辆、B型车1辆时，公司所花费用最低．
寻找整点最优解的三种方法
(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，
这种方法应充分利用整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．
(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值．
(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解．
某厂有一批长为18
m的条形钢板，可以割成1.8
m和1.5
m长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元.售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．
[解]　设割成的1.8
m和1.5
m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，则z＝20x＋15y－(x＋0.6y)
即z＝19x＋14.4y
且
作出不等式组表示的平面区域如图，又由
解出x＝，y＝，所以M，
因为x，y为自然数，在可行域内找出与M最近的点为(3，8)，此时z＝19×3＋14.4×8＝172.2(元).
又可行域的另一顶点是(0，12)，z＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)：
过顶点(8，0)的直线使z＝19×8＋14.4×0＝152(元).
M附近的点(1，10)，(2，9)，
直线z＝19x＋14.4y过点(1，10)时，z＝163；过点(2，9)时z＝167.6.
所以当x＝0，y＝12时，z＝172.8元为最大值．
答：只截1.5
m长的零件12个，可获得最大利润．
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，应结合可行域与目标函数微调．
1．判断正误
(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．
(　　)
(2)当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√
2．一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元，现该农民手头有400元，那么获得最大收益为
元．
1
650　[设该农民种x亩水稻，y亩花生时能获得利润z元，
则
即z＝960x＋420y，
作出可行域如图阴影部分所示，
将目标函数变形为y＝－x＋，作出直线y＝－x，在可行域内平移直线y＝－x，可知当直线过点B时，z有最大值，
由解得B，故当x＝1.5，y＝0.5时，zmax＝1
650元，故该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1
650元．]
3．某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A，B，C，D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙分别在各种设备上需要加工的台时数如下：
设备产品
A
B
C
D
甲
2
1
4
0
乙
2
2
0
4
已知各设备在计划期内有效台时数分别为12，8，16，12(1台设备工作1小时称为1台时)，该厂每生产一件甲产品可得到利润2元，每生产一件乙产品可得到利润3元
，若要获得最大利润，则生产甲产品和乙产品的件数分别为
．
4，2　[设在计划期内生产甲产品x件，乙产品y件，则由题意得约束条件为
即
作出可行域如图阴影部分所示，目标函数为z＝2x＋3y，由图可知当直线z＝2x＋3y经过点A时，z有最大值，
解得即安排生产甲产品4件，乙产品2件时，利润最大．]
4．某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2
m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3
m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)
[解]　设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，依题意
钢铁总面积z＝2x＋3y.作出可行域，如图所示．
由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，z最小．由方程组得
所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．
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-
1
-3.3.2　简单的线性规划问题
第1课时　简单的线性规划问题
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解线性规划的意义，以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．(重点)2.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系．(易混点)
通过简单线性规划问题的学习，培养直观想象素养．
1．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式组
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
思考：在线性约束条件下，最优解唯一吗？
[提示]　不一定，可能只有一个，可能有多个，也可能有无数个．
2．线性目标函数的最值
线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，它表示斜率为－，在y轴上的截距是的一条直线，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．
当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；
当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．
思考：若将目标函数z＝x＋y看成直线方程时，z具有怎样的几何意义？
[提示]　把目标函数整理可得y＝－x＋z，z为直线在y轴上的截距．
1．若则z＝x－y的最大值为
．
1　[
根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值．顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组得顶点M的坐标为(1，0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.]
2．已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝
．
0　[当直线z＝2x＋4y经过两直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3－k)时，z最小，所以－6＝2×3＋4(－3－k)，解得k＝0.]
3．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么PO的最小值等于
，最大值等于
．
　　[
如图所示，线性区域为图中阴影部分，PO指线性区域内的点到原点的距离，所以最短为＝，最长为＝.]
求线性目标函数的最值问题
【例1】　(1)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是
．
(2)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为
．
(1)3　(2)－5　[(1)法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点(2，3)时，z＝x＋y取得最大值，即zmax＝2＋×3＝3.
法二：易知z＝x＋y在可行域的顶点处取得最大值，由解得代入z＝x＋y，可得z＝－；由
解得代入z＝x＋y，可得z＝－；由
解得代入z＝x＋y，可得z＝3.比较可知，z的最大值为3.
(2)法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直线y＝x并平移，
观察可知，当直线经过点A(3，4)时，zmin＝3－2×4＝－5.
法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得zmin＝－5.]
解线性规划问题的一般步骤
(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；
(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；
(3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值；
(4)答：给出正确答案．
1．(1)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为(　　)
A．4　　　　B．　　　　C．6　　　　D．
(2)变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于(　　)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
(1)B　(2)C　[(1)不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，作直线l0：3x＋2y＝0，平移直线l0，当经过点A时，z取得最小值．
此时∴A，∴zmin＝3×1＋2×＝.
(2)对于选项A，当m＝－2时，可行域如图(1)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确；
对于选项B，当m＝－1时，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如图(2)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；
对于选项C，当m＝1时可行域如图(3)，当直线y＝2x－z过点A(2，2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确；
对于选项D，当m＝2时，可行域如图(4)，直线y＝2x－z与直线2x－y＝0平行，截距最小值为0，z最大为0，不符合题意，故D不正确．故选C.
非线性目标函数的最优解问题
[探究问题]
1．目标函数z＝x2＋y2和z＝(x－a)2＋(y－b)2的几何意义是什么？
[提示]　z＝x2＋y2表示可行域内的点(x，y)到坐标原点的距离的平方；z＝(x－a)2＋(y－b)2表示可行域内的点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方．
2．目标函数z＝(x≠a)和z＝(ac≠0)表示的几何意义是什么？
[提示]　z＝(x≠a)表示可行域内的点(x，y)与定点(a，b)的连线的斜率；z＝＝·，表示可行域内的点(x，y)与定点的连线的斜率的倍．
3．z＝|ax＋by＋c|(a2＋b2≠0)的几何意义是什么？
[提示]　z＝|ax＋by＋c|＝·，表示可行域内的点(x，y)到直线ax＋by＋c＝0的距离的倍．
【例2】　已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的范围．
思路探究：(1)把z＝x2＋y2－10y＋25化为z＝x2＋(y－5)2，其几何意义是什么？(2)把z＝化为z＝2·，其几何意义是什么？
[解]　作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1，3)，B(3，1)，C(7，9).
(1)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2＝.
(2)z＝＝2·表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－)连线的斜率的2倍，因为kQA＝，kQB＝，故z的范围为.
1．本例中的条件不变，求z＝|x＋2y－4|的最大值．
[解]　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
法一：z＝|x＋2y
－4|＝
×，其几何意义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得点C的坐标为(7，9)，显然点C到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
法二：由图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－4>0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点C时，目标函数z取得最大值，
由得点C的坐标为(7，9)，此时zmax＝21.
2．本例题中的条件不变
(1)求z＝x2＋y2的最小值；
(2)求z＝的范围．
[解]　(1)由z＝x2＋y2的几何意义为区域内的点(x，y)至(0，0)的距离的平方知，z的最小值为(0，0)到直线x＋y－4＝0的距离的平方．
∴zmin＝＝8.
(2)由z＝的几何意义为区域内的点(x，y)与原点连线的斜率．因为A(1，3)，B(3，1)，kOA＝3.kOB＝，
∴z的取值范围是.
1．利用线性规划求最值，关键是理解线性目标函数的几何意义，从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确．
2．非线性目标函数的最值的求解策略
(1)z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的平方，特别地，z＝x2＋y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方．
(2)z＝型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
(3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍．
已知目标函数的最值求参数
【例3】　已知约束条件且目标函数z＝a2x＋(a－2－a2)y取得最小值的最优解唯一，为(2，2)，则a的取值范围是
．
思路探究：本题中的目标函数中两个元的系数都含有参数，因此需要研究参数的几何意义和符号特征，注意到a－2－a2的判别式非正，且a2≥0，又最小值的最优解唯一，从而斜率范围可以确定．
　[线性约束条件所表示的区域如图中阴影部分所示．
由于目标函数的y的系数a－2－a2＝－(a－)2－<0，x的系数a2≥0，故平行直线系z＝a2x＋(a－2－a2)y的斜率非负，为.由于是最小值问题且最优解唯一，为图中的点A(2，2)，从而只需<，解得根据目标函数的最值求参数的解题思路
采用数形结合法，先画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标函数取得最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解，再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件，即可求出参数的值或范围．
2．若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(　　)
A.2　　　　
B．－2
C．
D．－
D　[
若k≥0，z＝y－x没有最小值，不合题意；若k<0，画出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知，直线z＝y－x，即y＝x＋z，在点A处取得最小值，所以0－＝－4，解得k＝－.]
1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤
(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；
(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；
(3)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；
(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
1．判断正误
(1)可行域是一个封闭的区域．
(　　)
(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的．
(　　)
(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解．
(　　)
(4)线性规划问题一定存在最优解．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　
[提示]　(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．
2．已知实数x，y满足则z＝2x－y的取值范围是
．
[－5，7]　[可行域如图阴影部分所示，
线性目标函数为z＝2x－y，zmax＝2×5－3＝7，zmin＝2×(－1)－3＝－5.
]
3．给出平面区域如图，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为
．
　[取得最大值的最优解有无穷多个，说明将l0：ax＋y＝0平移时，恰好和AC所在的直线重合，即－a＝kAC＝＝－，∴a＝.]
4．已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3，1)处取得最大值，求a的取值范围．
[解]　变量x，y满足约束条件，在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD.
其中A(3，1)，D，B(1，3)，kAD＝1，kAB＝－1，目标函数z＝ax＋y(其中a>0)中的z表示斜率为－a的直线系中的截距的大小，若仅在点(3，1)处取得最大值，则斜率应小于－1，即－a<－1，所以a的取值范围为(1，＋∞).
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11
-3.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1　二元一次不等式(组)与平面区域
学
习
目
标
核
心
素
养
1.会从实际情景中抽象出二元一次不等式(组).2.理解二元一次不等式(组)的几何意义．3.会画二元一次不等式(组)表示的平面区域．(重点、难点)
通过二元一次不等式(组)表示的平面区域及其应用的学习，培养直观想象素养．
1．二元一次不等式的概念
我们把含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的不等式称为二元一次不等式．
2．二元一次不等式组的概念
我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
思考：点(2，1)是否是不等式3x－2y＋1>0的解？
[提示]　是．把(2，1)代入，不等式成立．
3．二元一次不等式(组)的解集概念
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成一个有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
思考：把二元一次不等式的解看作有序数对，它与平面内的点之间有什么关系？
[提示]　一一对应．
4．二元一次不等式表示的平面区域及确定
(1)直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：
①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0．
②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0，另一侧平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c<0．
(2)在直角坐标平面内，把直线l：ax＋by＋c＝0画成实线，表示平面区域包括这一边界直线；画成虚线表示平面区域不包括这一边界直线．
(3)①对于直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c所得的符号都相同．
②在直线ax＋by＋c＝0的同一侧取某个特殊点(x0，y0)，由ax0＋by0＋c的符号可以断定ax＋by＋c>0表示的是直线ax＋by＋c＝0哪一侧的平面区域．
5．二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分．
思考：y≥ax＋b所表示的平面区域与y>ax＋b表示的平面区域有什么不同？如何体现这种区别？
[提示]　前者表示的平面区域含有该直线上的点，后者表示的平面区域不含该直线上的点．画图时用实线表示前者，用虚线表示后者．
1．以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是(　　)
A．x－y＋1＜0　
B．2x＋3y－6＞0
C．2x＋5y－10≥0
D．4x－3y≤12
D　[将点(0，0)代入不等式验证即可．]
2．直线x＋2y－1＝0右上方的平面区域可用不等式
表示．
x＋2y－1>0　[用右上方特殊点(1，1)代入x＋2y－1得结果为2>0.所以所求为x＋2y－1>0.]
3．不等式组所表示的平面区域的面积是
．
10　[画出不等式组表示的平面区域(图略)，它是一个底边长为5，高为4的三角形区域，其面积S＝×5×4＝10.]
4．已知点A(1，0)，B(－2，m)，若A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，则m的取值集合是
．
　[因为A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，所以把点A(1，0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>－.]
二元一次不等式表示的平面区域
【例1】　(1)画出不等式3x＋2y＋6＞0表示的区域；
(2)写出如图表示平面区域的二元一次不等式：
[解]　(1)如图：
第一步：画出直线3x＋2y＋6＝0(注意应画成虚线)，
第二步：直线不过原点，把原点坐标(0，0)代入3x＋2y＋6得6＞0，∴不等式表示的区域为原点所在的一侧．
(2)①x＋y－1≤0；
②x－2y＋2＜0；
③x＋y≥0.
二元一次不等式表示平面区域的判定方法
第一步：直线定界．画出直线ax＋by＋c＝0，不等式为ax＋by＋c＞0(＜0)时直线画虚线，不等式为ax＋by＋c≥0(≤0)时画成实线；
第二步：特殊点定域．在平面内取一个特殊点，当c≠0时，常取原点(0，0).若原点(0，0)满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域．当c＝0
时，可取(1，0)或(0，1)作为测试点．
简记为：直线定界，注意虚实；特殊点定域，常取原点．
1．画下列不等式表示的平面区域：
(1)2x＋y－10<0；(2)y≥－2x＋3.
[解]　(1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线).
取原点(0，0)，代入2x＋y－10＝2×0＋0－10<0，∴原点在2x＋y－10<0表示的平面区域内，不等式2x＋y－10<0表示的平面区域如图所示．
(2)先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线).
取原点(0，0)，代入2x＋y－3＝2×0＋0－3<0，
∴原点不在2x＋y－3≥0表示的平面区域内，
不等式y≥－2x＋3所表示的平面区域如图所示．
二元一次不等式组表示的平面区域
【例2】　画出不等式组表示的平面区域．
思路探究：①你能作出各不等式对应的直线吗？②如何确定各不等式表示的区域？③各线是实线还是虚线？
[解]　不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0及其右下方的点的集合；x＋y≤0表示直线x＋y＝0及其左下方的点的集合；y≥－3表示直线y＝－3及其上方的点的集合．不等式组表示的平面区域即为下图所示的三角形区域：
1．二元一次不等式组表示的平面区域是由每个不等式所表示的平面区域来确定的，是它们所表示平面区域的交集．
2．画平面区域的步骤
(1)画线——画出不等式对应的方程所表示的直线；
(2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律，确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；
(3)求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域．
2．画出不等式组表示的平面区域．
[解]　先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O(0，0)代入x－y＋5，
∵0－0＋5＝5＞0，
∴原点在x－y＋5＞0表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．如图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域．
二元一次不等式(组)表示平面区域的应用
[探究问题]
1．若点P(1，2)，Q(1，1)在直线x－3y＋m＝0的同侧，如何求m的取值范围？
[提示]　直线x－3y＋m＝0将坐标平面内的点分成三类：在直线x－3y＋m＝0上的点和在直线x－3y＋m＝0两侧的点，而在直线x－3y＋m＝0同侧点的坐标，使x－3y＋m的值同号，异侧点的坐标使x－3y＋m的值异号．
故有(1－3×2＋m)(1－3×1＋m)>0，即(m－5)(m－2)>0，
所以m>5或m<2.
2．不等式组表示的区域是什么图形，你能求出它的面积吗？该图形若是不规则图形，如何求其面积？
[提示]　不等式组表示的平面区域如图阴影部分△ABC，该三角形的面积为S△ABC＝×6×3＝9.若该图形不是规则的图形．我们可以采取“割补”的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．
3．点(0，0)，(1，0)，(2，1)，(3，4)在不等式组表示的平面区域内吗？该平面区域内有多少个纵、横坐标均为整数的点？
[提示]　若所给点在不等式组所表示的平面区域内，则该点的坐标一定适合不等式组，否则，该点不在这个不等组表示的平面区域内．经代入检验可知，在(0，0)，(1，0)，(2，1)，(3，4)中只有点(2，1)在不等式组表示的平面内．在寻求平面区域内整数点时，可根据不等式组表示的平面区域(探究2提示中的图形)边界的顶点，先给其中的一个未知数赋值，如x＝1，则不等式组可化为显然该不等式组无解；再令x＝2，则原不等式组化为则0【例3】　已知不等式组
(1)画出不等式组表示的平面区域；
(2)求不等式组所表示的平面区域的面积；
(3)求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标．
思路探究：(1)怎样画出不等式组表示的平面区域？(2)该平面区域是什么图形？如何求其面积？
(3)整点是什么样的点？怎样求其坐标？
[解]　(1)不等式4x＋3y≤12表示直线4x＋3y＝12上及其左下方的点的集合；x>0表示直线x＝0右方的所有点的集合；y>0表示直线y＝0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图(1)所示．
(1)　　　　　　(2)
(2)如图(1)所示，不等式组表示的平面区域为直角三角形，其面积S＝×4×3＝6.
(3)当x＝1时，代入4x＋3y≤12，得y≤，∴整点为(1，2)，(1，1).
当x＝2时，代入4x＋3y≤12，得y≤，
∴整点为(2，1).
∴区域内整点共有3个，其坐标分别为(1，1)，(1，2)，(2，1).如图(2).
1．(变条件)若将例题中的条件“”变为“”求此不等式组所表示区域的面积．
[解]　如图所示，其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域．
由得A(1，3).
同理得B(－1，1)，C(3，－1).
∴|AC|＝＝2，而点B到直线2x＋y－5＝0的距离为d＝＝，∴S△ABC＝|AC|·d＝×2×＝6.
2．若将例题中的条件“”变为“”
求此不等式组所表示的平面区域的面积．
[解]　可将原不等式组分解成如下两个不等式组：
①或
②
上述两个不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，所围成的面积S＝×4×2－×2×1＝3.
1．在应用平面区域时，准确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键．
2．画出不等式组表示的平面区域后，常常要求区域面积或区域内整点的坐标．
(1)求区域面积时，要先确定好平面区域的形状，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样易求底与高．必要时分割区域为特殊图形．
(2)整点是横、纵坐标都是整数的点，求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点，以免出现错误．
1．对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B＞0时，(1)Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；(2)Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．
2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．
1．判断正误
(1)由于不等式2x－1>0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域．
(　　)
(2)点(1，2)不在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内．
(　　)
(3)不等式Ax＋By＋C>0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的．
(　　)
(4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式．
(　　)
(5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　
[提示]　(1)错误．不等式2x－1>0不是二元一次不等式，表示的区域是直线x＝的右侧(不包括边界).
(2)错误．把点(1，2)代入2x＋y－1，得2x＋y－1＝3>0，所以点(1，2)在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内．
(3)错误．不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域不包括边界，而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．
(4)错误．在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如也称为二元一次不等式组．
(5)错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域．
2．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是
．
　[因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6<0表示，所以由点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6<0，解得t>.]
3．平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的形状是
．
等腰直角三角形　[画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
由图易知平面区域为等腰直角三角形．]
4．画出不等式组表示的平面区域．
[解]　
不等式x>0表示直线x＝0(y轴)右侧的点的集合(不含边界).
不等式y>0表示直线y＝0(x轴)上方的点的集合(不含边界).
不等式x＋y－3<0表示直线x＋y－3＝0左下方的点的集合(不含边界).所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
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2
-第2课时　一元二次不等式的应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握一元二次不等式的实际应用．(重点)2.理解三个“二次”之间的关系．3.会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)
1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养．2.借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养．
1．分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
类型
同解不等式
>0(<0)
法一：或法二：f(x)·g(x)>0(<0)
≥0(≤0)
法一：或法二：
>a
先移项转化为上述两种形式
思考：>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？
[提示]　等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．
2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a
f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a
思考：x－1>0在区间[2，3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2，3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？
[提示]　x－1>0在区间[2，3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2，3]上的图象恒在x轴上方．区间[2，3]内的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故区间[2，3]是不等式x－1>0的解集的子集．
3．从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．
(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系).
(3)解不等式(或求函数最值).
(4)回扣实际问题．
思考：解一元二次不等式应用题的关键是什么？
[提示]　解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于(　　)
A．{x|－1≤x<0}　　
B．{x|0C．{x|0≤x<2}
D．{x|0≤x≤1}
B　[∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|02．不等式≥5的解集是
．
　[原不等式?≥?≤0?解得03．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是
．
(0，8)　[因为x2－ax＋2a>0在R上恒成立，
所以Δ＝a2－4×2a<0，所以04.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是
．
[10，30]　[设矩形高为y，由三角形相似得：＝，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.]
分式不等式的解法
【例1】　解下列不等式：
(1)<0；
(2)≤1.
[解]　(1)<0?(x－3)(x＋2)<0?－2∴原不等式的解集为{x|－2(2)∵≤1，
∴－1≤0，
∴≤0，
即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为
.
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
1．解下列不等式：(1)≥0；(2)<3.
[解]　(1)根据商的符号法则，不等式≥0可转化成不等式组
解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.
即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．
(2)不等式<3可改写为－3<0，即<0.
可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1所以，原不等式的解集为{x|－1一元二次不等式的应用
【例2】　国家原计划以2
400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%).为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
思路探究：将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8－x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(1＋2x%)吨，“原计划的78%”即为2
400m×8%×78%.
[解]　设税率调低后“税收总收入”为y元．
y＝2
400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400)(0依题意，得y≥2
400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2
400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，知02．某校园内有一块长为800
m，宽为600
m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
[解]　设花卉带的宽度为x
m(0m．
不等式恒成立问题
[探究问题]
1．若函数f(x)＝ax2＋2x＋2对一切x∈R，f(x)>0恒成立，如何求实数a的取值范围？
[提示]　若a＝0，显然f(x)>0不能对一切x∈R都成立．所以a≠0，此时只有二次函数f(x)＝ax2＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则解得a>.
2．若函数f(x)＝x2－ax－3对x∈[－3，－1]上恒有f(x)<0成立，如何求a的范围？
[提示]　要使f(x)<0在[－3，－1]上恒成立，则必使函数f(x)＝x2－ax－3在[－3，－1]上的图象在x轴的下方，由f(x)的图象可知，此时a应满足
即
解得a<－2.
故当a∈(－∞，－2)时，有f(x)<0在x∈[－3，－1]时恒成立．
3．若函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意a∈[－3，1]时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？
[提示]　由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数f(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令g(a)＝2x·a＋x2－4x＋4.
要使对任意a∈[－3，1]，y<0恒成立，只需满足
即
因为x2－2x＋4<0的解集是空集，
所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意a∈[－3，1]，y<0恒成立．
【例3】　已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
思路探究：对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．
[解]　设函数f(x)＝x2＋ax＋3－a在x∈[－2，2]时的最小值为g(a)，则
(1)当对称轴x＝－<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，与a>4矛盾，不符合题意．
(2)当－∈[－2，2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.
综上，a的取值范围为－7≤a≤2.
1．(变结论)本例条件不变，若f(x)≥2恒成立，求a的取值范围．
[解]　若x∈[－2，2]，f(x)≥2恒成立可转化为：当x∈[－2，2]时，f(x)min≥2?
或
或
解得a的取值范围为[－5，－2＋2].
2．(变条件)将例题中的条件“f(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2，2]，f(x)≥0恒成立”变为“不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R”求a的取值范围．
[解]　法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，
∴函数f(x)＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，
∴Δ＝4－4(a2－3)<0，
解得a>2或a<－2.
法二：令f(x)＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，则a满足f(x)min＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.
法三：由x2＋2x＋a2－3>0，得a2>－x2－2x＋3，
即a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值，即a2>4，故a>2或a<－2.
1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；
当a≠0时，
2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)
的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，
3．f(x)≤a恒成立?a≥[f(x)]max，
f(x)≥a恒成立?a≤[f(x)]min.
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论
(1)若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则a1．判断正误
(1)不等式>1的解集为x<1.
(　　)
(2)求解m>f(x)恒成立时，可转化为求解f(x)的最小值，从而求出m的范围．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　
[提示]　(1)>1?－1>0?<0?{x|0f(x)恒成立转化为m>f(x)max，(2)错．
2．不等式≥1的解集为
．
　[因为≥1等价于≥0，所以≤0，
等价于解得－43．若不等式x2＋mx＋>0恒成立，则实数m的取值范围是
．
(0，2)　[∵不等式x2＋mx＋>0，
对x∈R恒成立，
∴Δ<0，即m2－2m<0，∴04．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
[解]　设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]>400，解得：15≤x<20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15，20).
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-3.2　一元二次不等式及其解法
第1课时　一元二次不等式及其解法
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握一元二次不等式的解法．(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)
通过一元二次不等式解法的学习，培养数学运算素养．
1．一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0).
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0).
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0).
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0).
思考：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
[提示]　此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
3．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
思考：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？
[提示]　不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
4．三个“二次”的关系
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤
求方程f(x)＝0的解
有两个不等的实数解x1，x2
有两个相等的实数解x1＝x2
没有实数解
画函数y＝f(x)的示意图
得等的集不式解
f(x)＞0
{x|x＜x1或x＞x2}
R
f(x)＜0
{x|x1＜x＜x2}
?
?
思考：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
[提示]　结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得a∈?，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.
1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　　)
A．　
B．
C．
D．R
C　[3＋5x－2x2≤0?2x2－5x－3≥0?(x－3)(2x＋1)≥0?x≥3或x≤－.]
2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　　)
A．
B．
C．?
D．R
D　[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]
3．不等式x2－2x－5>2x的解集是
．
{x|x>5或x<－1}　[由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，
因为x2－4x－5＝0的两根为－1，5，
故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．]
4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为
．
?　[原不等式变形为3x2－5x＋4<0.
因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．
由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为?.]
一元二次不等式的解法
【例1】　解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0.
[解]　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为
.
(2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
1．解下列不等式
(1)2x2－3x－2>0；
(2)x2－4x＋4>0；
(3)－x2＋2x－3<0；
(4)－3x2＋5x－2>0.
[解]　(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝
－，x2＝2，
∴不等式2x2－3x－2>0的解集为
.
(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
∴不等式x2－4x＋4>0的解集为.
(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，
由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，
∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.
(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，
由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，
∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为.
含参数的一元二次不等式的解法
【例2】　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
思路探究：①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？
[解]　当a＝0时，原不等式可化为x>1.
当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.
当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，
∵<1，∴x<或x>1.
当a>0时，原不等式可化为(x－)·(x－1)<0.
若<1，即a>1，则若＝1，即a＝1，则x∈?；
若>1，即0综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为{x解含参数的一元二次不等式时的注意点
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0).
[解]　原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，
化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
∵a<0，∴(x＋1)≤0.
当－2当a＝－2时，x＝－1；
当a<－2时，－1≤x≤.
综上所述，
当－2解集为；
当a＝－2时，
解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，
解集为.
一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系
[探究问题]
1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？
[提示]　y＝x2－2x－3的图象如图所示．
函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．
2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？
[提示]　方程x2－2x－3＝0的解集为{－1，3}．
不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1[提示]　一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1【例3】　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2思路探究：→→
→→
[解]　法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|21．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
[解]　由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0.
∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，
即x2＋x＋<0.
解之得.
2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[解]　法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为
知a＜0.
又×2＝＜0，则c＞0.
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－＝，∴＝－.
又＝－，∴b＝－a，c＝－a，
∴所求不等式变为x2＋x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0.
又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，
所求不等式的解集为{x}．
法二：由已知得a＜0
且＋2＝－，×2＝知c＞0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
其中＝＝－，
－＝＝＝＋＝－，
∴x1＝＝－3，x2＝.
∴不等式cx2＋bx＋a＜0(c＞0)的解集为.
已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解集来判断二次项系数的符号；
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
(3)约去
a,
将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
1．解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．
有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
2．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，
x1＝x2，x1＜x2.
3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数图象的开口及与x轴的交点坐标．
1．判断正误
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．
(　　)
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．
(　　)
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1(　　)
(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　
[提示]　(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．(2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.(3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1(4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R.
2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为
．
　[因为a<－1，所以a(x－a)·<0?(x－a)·>0.又a<－1，所以>a，所以x>或x3．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值为
．
－14　[由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a<0.
∴解得
∴a＋b＝－14.]
4．解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2>2(x－1).
[解]　(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
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-3.1　不等关系与不等式
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解不等式的性质．(重点)2．能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)
通过学习用不等式表示不等关系、比较两数(式)的大小及不等式的性质，培养学生的逻辑推理素养．
1．不等符号与不等关系的表示
(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；
(2)不等关系用不等式来表示．
2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换
大于
大于等于
小于
小于等于
至多
至少
不少于
不多于
＞
≥
＜
≤
≤
≥
≥
≤
思考：不等式a≥b和a≤b有怎样的含义？
[提示]　①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a3．比较两实数a，b大小的依据
思考：x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？
[提示]　作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.
4．不等式的性质
名称
式子表达
性质1(对称性)
a>b?b性质2(传递性)
a>b，b>c?a>c
性质3(可加性)
a>b?a＋c>b＋c
推论
a＋b>c?a>c－b
性质4(可乘性)
a>b，c>0?ac>bc
a>b，c<0?ac性质5(不等式同向可加性)
a>b，c>d?a＋c>b＋d
性质6(不等式同向正数可乘性)
a>b>0，c>d>0?ac>bd
性质7(乘方性)
a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)
性质8(开方性)
a>b>0?>(n∈N，n≥2)
思考：关于不等式的性质，下列结论中正确的有哪些？
(1)a>b且c>d，则a－c>b－d.
(2)a>b，则ac>bc.
(3)a>b>0，且c>d>0则>.
(4)a>b>0，则an>bn.
(5)a>b，则>.
[提示]　对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质，
(1)中例如5>3且4>1时，则5－4>3－1是错的，故(1)错．
(2)中当c≤0时，不成立．
(3)中例如5>3且4>1，则>是错的，故(3)错．
(4)中对n≤0均不成立，例如a＝3，b＝2，n＝－1，则3－1>2－1显然错，故(4)错．
(5)因为>0，所以a·>b·，故(5)正确．因此正确的结论有(5).
1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　)
A．T<40　
　B．T>40　
　C．T≤40　
　D．T≥40
C　[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.]
2．已知a>b，c>d，且cd≠0，则(　　)
A.ad>bc
B．ac>bc
C．a－c>b－d
D．a＋c>b＋d
D　[a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项，故选D项．]
3．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A．a>b>－b>－a　　
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a
D．a>b>－a>－b
C　[法一：∵A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．
令a＝2，b＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2，
即a>－b>b>－a.
法二：∵a＋b>0，b<0，∴a>－b>0，－a∴a>－b>0>b>－a，即a>－b>b>－a.]
4．设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是
．
m≥n　[m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.]
用不等式表示不等关系
【例1】　用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18
m，要求菜园的面积不小于110
m2，靠墙的一边长为x
m．试用不等式表示其中的不等关系．
[解]　由于矩形菜园靠墙的一边长为x
m，而墙长为18
m，所以0这时菜园的另一条边长为＝(m).
因此菜园面积S＝x·，依题意有S≥110，
即x≥110，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系．
2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤：
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、不少于等．
(2)适当的设未知数表示变量．
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
1．某矿山车队有4辆载重为10
t的甲型卡车和7辆载重为6
t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360
t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
[解]　设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则
即
比较两数(式)的大小
【例2】　已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小．
思路探究：注意结构特征，尝试用作差法或者作商法比较大小．
[解]　法一：(作差法)－(＋)＝＋＝＋＝
＝．
∵a，b为正实数，
∴＋>0，>0，(－)2≥0，
∴≥0，
当且仅当a＝b时等号成立．
∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号).
法二：(作商法)＝＝＝＝
＝1＋≥1，当且仅当a＝b时取等号．
∵＋>0，＋>0，
∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号).
法三：(平方后作差)∵＝＋＋2，(＋)2＝a＋b＋2，∴－(＋)2＝.
∵a>0，b>0，
∴≥0，
又＋>0，＋>0，故＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号).
1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．
2．如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.
2．(1)已知|a|＜1，比较与1－a的大小．
(2)若m>2，比较mm与2m的大小．
[解]　(1)由|a|＜1，得－1＜a＜1.∴1＋a＞0，1－a＞0.
即＝，
∵0＜1－a2≤1，∴≥1，∴≥1－a.
(2)因为＝，又因为m>2，所以>1，所以>＝1，所以mm>2m.
不等式性质的应用
[探究问题]
1．小明同学做题时进行如下变形：
∵2∴<<，
又∵－6∴－2<<4.
你认为正确吗？为什么？
[提示]　不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－62．由－6[提示]　不正确．因为同向不等式具有可加性，但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？
∵2∴－4又∵－2∴0∴－3这怎么与－2[提示]　利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2【例3】　已知c>a>b>0，求证：>.
思路探究：①如何证明<？
②由<怎样得到<？
[证明]　∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.
由?<，
?>.
1．(变条件，变结论)将例题中的条件“c>a>b>0”变为“a>b>0，c<0”证明：>.
[证明]　因为a>b>0，所以ab>0，>0.
于是a×>b×，即>.由c<0，得>.
2．(变条件，变结论)将例题中的条件“c>a>b>0”变为“已知－6[解]　因为－6所以－12<2a<16，
所以－10<2a＋b<19.
又因为－3<－b<－2，所以－9(1)当0≤a<8时，0≤<4；
(2)当－6由(1)(2)得－3<<4.
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，
记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
2．利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题
(1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质．
(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等．
(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．
1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．
a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.
2．作差法比较大小的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．
1．判断正误
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.
(　　)
(2)若a(　　)
(3)若a>b，则ac>bc一定成立．
(　　)
(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　
[提示]　(1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2.
(2)正确．不等式a≤b表示a(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．
(4)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.
2．设a，b是非零实数，若aA．a2B．ab2C．<
D．<
C　[因为a0，所以－＝>0，故>.]
3．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示为
．
　[“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以]
4．若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
[证明]　因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤.
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