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第五章抛体运动
第2节运动的合成与分解
【考点指导】
在考试说明中，本节内容是深入学习的基础，命题时一般将本节内容作为分析综合问题的一个知识点，单独考察的概率比较小，一般会以选择题的形式出现。不过，本节知识是进一步学习力与运动的基础，必须掌握与其有关的思想方法，为进一步学习打下良好的基础。
【能力提升】
一、运动实例的分析——小船渡河问题
1.模型展示
小船在渡河时，同时参与了两个运动:一是随水沿水流方向的运动，二是船本身相对于水的运动。小船实际发生的运动是这两个运动的合运动。模型主要讨论船渡河时间最短和位移最短这两个问题。设一条河宽为d, 船在静水中的速度为vc，水流速度为vs下面讨论小船渡河的这两类问题。
2三种速度
vc(船在静水中的速度) vs(水的流速)、v合(船的实际速度)。
3.船头指向与运动方向
船头指向，是分运动的方向。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动的方向，一般情况下与船头指向不一致。船头指向与河岸垂直说明船在静水中的速度方向与河岸垂直;行驶路线与河岸垂直说明船的合速度方向与河岸垂直。
4.分析思路及方法
方法一:根据运动的实际效果分解
小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动(水的运动速度为vs,)和船相对于水的运动(船在静水中的速度为vc, )，船的实际运动是合运动(v合)。
①当小船垂直于河岸过河时，过河路径最短，此时应将船头偏向上游，如图5-2-4所示，过河时间t=dv合=dvcsinθ(d为河宽)。
同时可以看出若要使小船垂直于河岸过河，必须使vs、vc，和v合构成三角形，即满足vc>vs，也就是船在静水中的速度要大于水流速度。
②若要小船过河的时间最短，应使船头垂直于河岸行驶，如图5-2-5所示,过河时间t=dvc，此时小船一定在对岸下游处靠岸。
③如果vc>vs，要使渡河位移最小，小船不能垂直于河岸渡河。以水流速度的末端A为圆心,小船在静水中速度大小为半径作圆，过0点作该圆的切线,交圆于B点，此时船头指向与半径AB平行，如图5-2-6所示。小船实际运动的速度(合速度)与垂直于河岸方向的夹角最小时，小船渡河位移最小。
由相似三角形可得sd=vsvc解得s=vsvcd
渡河时间仍可以采用①中的方法求解,t=dvcsinθ
方法二:利用正交分解法分解
将船相对于水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图5-2-7所示，则vs-vccosθ为船实际沿水流方向的速度,vcsinθ为船垂直于河图5-2-7岸方向的运动速度。
①要使船垂直渡河，则应使"，vs-vccosθ=0,此时cosθ=vsvc(船头方向与上游河岸夹角θ的余弦值为vsvc),渡河位移最小为d。
②要使渡河时间最短，则应使vcsinθ最大，即当θ=90°(船头方向与河岸垂直)时,渡河时间最短，t=dvc
二、合速度与分速度的理解及牵连速度问题
1.模型分析
“牵连物体”是指物控绳(杆)或绳(杆)拉物问题(下面为了方便，统一说“绳”)。解题原则是:把物体的实际速度分解为垂直与绳合平行于绳的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小与绳上各点的速率相同求解。
合速度方向：物体世纪运动方向
分速度方向：①沿绳方向：使绳伸缩②垂直于绳方向：使绳转动。
2.四种情景
情景一：
情景二：
情景三：
情景四：
【典型例题】
1．如图所示，有人在河面上方的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住一条小船，人以恒定的速率v拉绳使小船靠岸，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，某时刻认得拉力大小为F，绳与水面夹角为
，那么（　　）
A．船是减速靠近河岸 B．此时船的速度为
C．此时船的速度为 D．此时船的浮力为
【解析】C
【解析】ABC．船运动的速度是沿绳子收缩方向的速度和绕定滑轮的摆动速度的合速度，如图所示
则有
随着船靠近河岸，角度增大，则船是加速靠近河岸，故AB错误，C正确；
D．对小船竖直方向平衡有
故D错误。
故选C。
2．如图所示，小船以大小为v1、方向与上游河岸成θ的速度（在静水中的速度）从A处过河，经过t时间正好到达正对岸的B处。现要使小船在更长的时间内过河并且也正好到达正对岸B处，在水流速度不变的情况下，可采取下列方法中的哪一种（　　）
A．只要增大v1大小，不必改变θ角
B．只要增大θ角，不必改变v1大小
C．在增大v1的同时，也必须适当增大θ角
D．在减小v1的同时，也必须适当减小θ角
【解析】D
【解析】A．若只增大υ1大小，不改变θ角，则船在水流方向的分速度增大，因此船不可能垂直达到对岸，故A错误；
B．若只增大θ角，不改变υ1大小，同理可知，水流方向的分速度在减小，而垂直河岸的分速度在增大，船不可能垂直到达对岸，故B错误；
C．若在增大υ1的同时，也必须适当增大θ角，这样才能保证水流方向的分速度不变，而垂直河岸的分速度在增大，则船还能垂直达到对岸，且时间更短，故C错误；
D．若减小υ1的同时适当减小θ角，则水流方向的分速度可以不变，能垂直到达对岸，而垂直河岸的分速度减小，则船垂直达到对岸的时间更长，故D正确。
故选D。
【变式训练】
1．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v匀速向右运动到如图所示位置时，物体P的运动性质及速度大小为（　　）
A．P做加速运动，vp=vcos
B．P做减速运动，vp=
C．P做匀速直线运动，vp=vcos
D．P做匀速直线运动，vp=
【解析】A
【解析】设绳子与水平方向的夹角为，将小车的速度分解为沿绳方向和垂直绳方向，沿绳方向的速度即为物体P的速度，根据平行四边形定则得
当小车以速度v匀速向右运动时，减小，增大，故增大，P做加速运动，故选项BCD错误，A正确。
故选A。
2．如图所示，利用卷扬机将套在光滑竖直杆上的重物提升到高处。卷扬机以速度v0匀速缠绕钢丝绳，当重物运动到图示位置时，下列说法正确的是（　　）
A．重物的速度等于
B．重物的速度小于
C．钢丝绳对重物的拉力与重物的重力的合力一定沿水平方向
D．钢丝绳对重物的拉力与竖直杆对重物的弹力的合力一定沿着杆向上
【解析】D
【解析】AB．假设此时重物的速度为v，绳子与杆的夹角为θ，将重物速度沿绳和垂直于绳分解，如图所示
沿绳方向的速度相等
所以重物的速度大于v0，A错误，B错误；
CD．夹角θ将越来越大，v0不变，所以重物的速度越来越大，因此重物向上做加速运动，故合外力竖直向上，重物受到重力、钢丝绳对重物的拉力以及杆提供的向右的弹力，故钢丝绳对重物的拉力与重物的重力的合力一定斜向左上方，故钢丝绳对重物的拉力与竖直杆对重物的弹力的合力一定沿着杆向上，C错误，D正确。
故选D。
3．一质量为2kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的x-t图像和y方向的v-t图像分别如图所示。下列关于该质点的说法正确的是（ 　　）
A．初速度为3m/s B．做匀变速直线运动
C．初速度方向与合外力方向垂直 D．所受的合外力为3N
【解析】D
【解析】A．在x方向，物体做匀速直线运动，其速度为
所以物体的初速度为
A错误；
B．因为物体在x方向做匀速直线运动，在y方向做匀加速直线运动，所以物体做匀加速曲线运动。B错误；
C．根据运动的合成，合速度初速度不在x方向，而合力在y方向，所以二者不垂直。C错误；
D．加速度为
合力为
D正确。
故选D。
4．质量m=2.0kg的物体在水平外力的作用下在水平面上运动，物体和水平面间的动摩擦因数μ=0.1，已知物体运动过程中的坐标与时间的关系为x=5.0t，y=0.5t2（单位均为m），g取10m/s2。根据以上条件，下列说法正确的是（　　）
A．物体运动的轨迹是直线
B．任意时间内的速度变化量的方向是沿y轴负方向
C．物体所受的合外力大小、方向都是恒定不变的
D．物体对水平面的压力不变，物体所受的滑动摩擦力也不变
【解析】C
【解析】A．物体在y方向上做匀加速直线运动，在x方向上做匀速直线运动，有
可知物体运动的轨迹是抛物线，故A错误；
B．因为加速度不变，且方向沿y轴正方向，可知速度的变化量的方向沿y轴正方向，故B错误；
C．因为物体在x方向上的加速度为零，y方向上的加速度为1m/s2，则合加速度为1m/s2，大小和方向都不变，则合力的大小和方向不变，故C正确；
D．因为物体的运动轨迹是曲线，滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，则滑动摩擦力的方向在变化，故D错误；
故选C。
5．如图所示，在注满清水的竖直密封玻璃管中，红蜡块R正以较小的速度v0沿y轴匀速上浮，与此同时玻璃管沿水平x轴正方向做匀速直线运动。从红蜡块通过坐标原点O开始计时，直至蜡块运动到玻璃管顶端为止。在此过程中，下列说法正确的是（　　）
A．红蜡块做匀速直线运动
B．红蜡块做变速曲线运动
C．红蜡块的速度与时间成正比
D．仅增大玻璃管运动的速度，红蜡块将更快运动到顶端
【解析】A
【解析】AB．两个匀速直线运动的合运动还是匀速直线运动，则红蜡块做匀速直线运动，所以A正确；B错误；
C．红蜡块做匀速直线运动，红蜡块的速度保持不变，所以C错误；
D．根据运动的独立性原理，水平方向的运动不会影响竖直方向的运动，则仅增大玻璃管运动的速度，红蜡块运动到顶端的时间不变，所以D错误；
故选A。
6．如图所示，用一小车通过轻绳提升一货物，某一时刻，两段绳恰好垂直，且拴在小车一端的绳与水平方向的夹角为θ，此时小车的速度为υ0，则此时货物的速度为（　　）
A．υ0 B．υ0sinθ C．υ0cosθ D．
【解析】A
【解析】车的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，根据平行四边形定则，有
v0cosθ=v绳
而货物的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，则有
v货cosα=v绳
由于两绳子相互垂直，所以α=θ，则由以上两式可得，货物的速度就等于小车的速度；
故选A。
7．一质点在xOy平面内的运动轨迹如图所示，下列判断正确的是（　　）
A．质点沿x轴方向可能做匀速运动
B．质点沿y轴方向不可能做变速运动
C．若质点沿y轴方向始终匀速运动，则沿x轴方向可能先加速后减速
D．若质点沿y轴方向始终匀速运动，则沿x轴方向可能先减速后加速
【解析】D
【解析】AB．质点做曲线运动，合力指向曲线内侧，即加速度方向指向曲线内侧，不能只沿y轴方向，所以在x轴方向一定有分量，所以沿x轴不可能做匀速运动，y轴方向可能有加速度分量，y轴方向可能做变速运动，故AB错误；
CD．质点在y轴做匀速直线，则加速度沿x轴方向，质点沿x轴先沿正方向运动再沿负方向运动，最终x轴方向位移为0，所以物体沿x轴方向不可能先加速后减速，可能先减速后加速，故C错误，D正确。
故选D。
8．如图所示，长L＝0.5m的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在物块B上，B的表面光滑，当B在图示位置被锁定时θ=，现解除锁定，控制物块B由静止开始水平向左做a=0.2m/s2的匀加速直线运动，则在t=1s时，直杆端点A的线速度为（　　）
A．m/s B．m/s C．m/s D．m/s
【解析】C
【解析】物块B由静止开始水平向左做a=0.2m/s2的匀加速直线运动，则在t=1s时，B的速度大小
v=at=0.2×1m/s=0.2m/s
运动的位移为
x=at2=0.1m
而杆的长度为L=0.5m，依据三角知识，则有
得
θ′=
如图将A点的速度分解
接触点A的实际运动，即合运动为在A点垂直于杆的方向的运动，该运动由水平向左的分运动和竖直向下的分速度组成，所以
vA
那么直杆端点A的线速度为
vAm/s=m/s
故选C。
9．如图所示，光滑水平面内的xOy直角坐标系中，一质量为1 kg的小球沿x轴正方向匀速运动，速度大小为1 m/s，经过坐标原点O时，小球受到的一沿y轴负方向、大小为1 N的恒力F突然撤去，其他力不变，则关于小球的运动，下列说法正确的是（　　）
A．做变加速曲线运动
B．任意两段时间内速度变化大小都相等
C．经过x、y坐标相等的位置时所用时间为1 s
D．1 s末速度大小为m/s
【解析】D
【解析】A．当恒力F撤去后，剩下的力的合力沿y轴正方向，则小球将做匀变速曲线运动，选项A错误；
B．因加速度不变，故小球在任意两段相等时间内速度变化大小都相等，选项B错误；
C．经过x、y坐标相等的位置时满足
解得
t=2s
选项C错误；
D．1s末y方向的速度大小
则合速度
选项D正确；
故选D。

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