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第3节　洛伦兹力的应用
[学习目标]　1．理解洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，对带电粒子不做功。(物理观念)2．知道垂直射入匀强磁场的带电粒子将做匀速圆周运动。(物理观念)3．会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径和周期公式，并会应用它们解决问题。(科学思维)4．知道质谱仪、回旋加速器的基本构造和原理，知道其在生产、生活中的应用。(科学态度与责任)
一、带电粒子在磁场中的运动
1．用洛伦兹力演示仪显示电子的运动轨迹
(1)当没有磁场作用时，电子的运动轨迹为直线。
(2)当电子垂直射入匀强磁场中时，电子的运动轨迹为一个圆，所需要的向心力是由洛伦兹力提供的。
(3)当电子斜射入匀强磁场中时，电子的运动轨迹是一条螺旋线。
2．带电粒子在洛伦兹力作用下的圆周运动
(1)运动性质：匀速圆周运动。
(2)向心力：由洛伦兹力提供，qvB＝。
(3)半径：r＝。
(4)周期：T＝，由周期公式可知带电粒子的运动周期与粒子的质量成正比，与电荷量和磁感应强度成反比，而与运动半径和运动速率无关。
二、回旋加速器和质谱仪
1．回旋加速器
(1)主要构造：两个半圆形中空铜盒，两个大型电磁铁。
(2)工作原理(如图所示)
①磁场作用：带电粒子垂直磁场方向射入磁场时，只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其周期与半径和速率无关。
②交变电压的作用：在两D形盒狭缝间产生周期性变化的电场，使带电粒子每经过一次狭缝加速一次。
③交变电压的周期(或频率)：与带电粒子在磁场中做圆周运动的周期(或频率)相同。
2．质谱仪
(1)功能：分析各化学元素的同位素并测量其质量、含量。
(2)工作原理(如图所示)
带电粒子在电场中加速：Uq＝mv2①
带电粒子在磁场中偏转距离为：x＝2r②
在磁场中，轨道半径为：
r＝③
由①②③得带电粒子的比荷：＝。
由此可知，带电离子的比荷与偏转距离x的平方成反比，凡是比荷不相等的离子都被分开，并按比荷顺序的大小排列，故称之为质谱。
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)带电粒子进入磁场一定做匀速圆周运动。 (×)
[提示]　带电粒子平行磁场进入时，做匀速直线运动。
(2)匀强磁场中，同一带电粒子垂直磁场方向的速度越大，圆周运动半径越大。 (√)
(3)匀强磁场中带电粒子垂直磁场方向的速度越大，粒子在磁场中做圆周运动的周期越小。 (×)
[提示]　带电粒子在磁场中运动的周期与速度无关。
(4)回旋加速器中的交流电源U越大，则粒子的最终速度越大。 (×)
[提示]　回旋加速器的最终速度取决于D形盒的半径。
(5)回旋加速器中交变电压周期等于带电粒子在磁场中的运动周期。 (√)
2．处于匀强磁场中的一个带电粒子，仅在磁场力作用下做匀速圆周运动。将该粒子的运动等效为环形电流，那么此电流值(　　)
A．与粒子电荷量成正比
B．与粒子速率成正比
C．与粒子质量成正比
D．与磁感应强度成正比
D　[假设带电粒子的电荷量为q，在磁场中做圆周运动的周期为T＝，则等效电流I＝＝，故答案选D。]
3．(多选)关于回旋加速器中带电粒子所获得的能量，下列结论中正确的是(　　)
A．与加速器的半径有关，半径越大，能量越大
B．与加速器的磁场有关，磁场越强，能量越大
C．与加速器的电场有关，电场越强，能量越大
D．与带电粒子的质量和电荷量均有关，质量和电荷量越大，能量越大
AB　[回旋加速器中的带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，满足qvB＝，则v＝，故带电粒子所获得的能量E＝mv2＝。由此式可知，R越大，能量越大，选项A正确；B越大，能量越大，选项B正确；E与加速器的电场无关，选项C错误；质量m变大时，E变小，选项D错误。]
　 带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题
1．匀速直线运动：若带电粒子(不计重力)的速度方向与磁场方向平行(相同或相反)，此时带电粒子所受洛伦兹力为零，带电粒子将以入射速度v做匀速直线运动。
2．匀速圆周运动：若带电粒子垂直磁场方向进入匀强磁场，洛伦兹力提供了匀速圆周运动的向心力。
设粒子的速度为v，质量为m，电荷量为q，由于洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m，得到轨道半径r＝。
由轨道半径与周期的关系得周期T＝＝＝。
温馨提示　①由公式r＝知，轨道半径与运动速率成正比；②由公式T＝知，周期与轨道半径和运动速率均无关，而与比荷成反比。
【例1】　质子和α粒子由静止出发经过同一加速电场加速后，沿垂直磁感线方向进入同一匀强磁场，则它们在磁场中的各运动量间的关系正确的是(　　)
A．速度之比为2∶1　　 B．周期之比为1∶2
C．半径之比为1∶2 D．角速度之比为1∶1
思路点拨：①由电场加速求出速度。
②由洛伦兹力提供向心力分析圆周运动各物理量。
B　[由qU＝mv2，qvB＝，得v＝，r＝，而mα＝4mH，qα＝2qH，故rH∶rα＝1∶，又T＝，故TH∶Tα＝1∶2。同理可求其他物理量之比。]
[跟进训练]
1．初速度为零的带有相同电荷量的两种粒子，它们的质量之比为m1∶m2＝1∶4，使它们经过同一加速电场后，垂直进入同一个匀强磁场中做匀速圆周运动，则它们所受向心力之比F1∶F2等于(　　)
A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4
A　[设粒子的带电荷量为q，经电压为U的电场加速后，有qU＝mv2，而在磁场中偏转的向心力F＝qvB，所以＝＝＝，故选A。]
　 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
研究带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题，应按照“一找圆心，二求半径r＝，三求周期T＝或时间”的基本思路分析。
1．圆心的确定
带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，其圆心一定在与速度方向垂直的直线上。通常有两种确定方法。
(1)已知入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心)。
甲　　　　　　　　乙
(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心)。
2．运动半径的确定
作入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，利用三角形的解析方法或其他几何方法，求解出半径的大小，并与半径公式r＝联立求解。
3．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由此式表示：t＝T(或t＝T)。可见粒子转过的圆心角越大，所用时间越长。
【例2】　如图所示，一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，在直线上一点O沿与直线夹角为30°方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直线上另一点P，求：
(1)粒子做圆周运动的周期；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度多大？
思路点拨：①画出粒子由O点到P点的运动轨迹，确定圆心、圆心角。
②确定粒子运动时间与周期的关系。
③确定粒子运动的半径及其与OP之间的关系。
[解析]　(1)作出粒子轨迹，如图所示，由图可知粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角为300°，则＝，
周期T＝t＝×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s。
(2)由于粒子做圆周运动所需的向心力为洛伦兹力，得Bqv＝，所以
B＝＝ω＝＝ T＝0.314 T。
(3)由几何知识可知，半径R＝OP＝0.1 m
故粒子的速度
v＝＝ m/s＝3.49×105 m/s。
[答案]　(1)1.8×10－6 s　(2)0.314 T
(3)3.49×105 m/s
上例中，若同时将相同速度为v0、比荷大小均为的正、负粒子(不计重力)以速度方向与水平方向成θ角射入磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，则两种粒子射出磁场时相距多远？
[解析]　由左手定则可知，两种粒子的偏转方向相反，如图所示，
由qvB＝m可知，
R＝，
由几何关系可知，两出射点相距d＝4Rsin θ＝·sin θ。
[答案]　·sin θ
带电粒子在不同边界匀强磁场中的运动模型归纳
(1)直线边界：进出磁场具有对称性，如图所示。
(2)平行边界：存在临界条件，如图所示。
(3)圆形边界：沿径向射入必沿径向射出，如图所示。
[跟进训练]
2．如图所示是某离子速度选择器的原理示意图，在一半径为R的圆柱形筒内有磁感应强度为B的匀强磁场，方向平行于轴线。在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b分别作为入射孔和出射孔。现有一束质量为m、电荷量为q的正离子，以角度α入射，不经碰撞而直接从小孔b射出，这束离子的速度大小是(　　)
A．　B． C． D．
D　[由几何关系可知，离子运动的半径r和圆筒半径R之间满足＝sin α，又qvB＝m，联立解得v＝，故选D。]
　质谱仪和回旋加速器的原理
1．质谱仪
(1)加速：带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得qU＝mv2。①
(2)偏转：带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：qvB＝m②
(3)由①②两式可以求出粒子的半径r、质量m、比荷等。其中由r＝可知电荷量相同时，半径将随质量变化而变化。
2．回旋加速器
(1)粒子每经过一次加速，其轨道半径就要增大，但粒子做圆周运动的周期不变。
(2)最大半径及最大速度
粒子的最大半径等于D形盒的半径R，所以最大速度v＝。最大速度与交变电压无关。
(3)最大动能及决定因素
最大动能Ekm＝mv2＝，即粒子所能达到的最大动能由磁场B、D形盒的半径R、粒子的质量m及带电荷量q共同决定，与加速电场的电压无关。
(4)粒子被加速次数的计算
粒子在回旋加速器盒中被加速的次数n＝(U是加速电压大小)，一个周期加速两次。设在电场中加速的时间为t1，缝的宽度为d，则nd＝t1，t1＝。
(5)粒子在回旋加速器中运动的时间
在磁场中运动的时间t2＝T＝，总时间为t＝t1＋t2，因为t1?t2，一般认为在盒内的时间近似等于t2。
【例3】　回旋加速器是用于加速带电粒子流，使之获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒间狭缝中形成匀强电场，使粒子每穿过狭缝都得到加速；两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面。粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出粒子电荷量为q，质量为m，粒子最大回旋半径为Rm，其运动轨迹如图所示，问：
(1)粒子在盒内做何种运动？
(2)粒子在两盒间狭缝内做何种运动？
(3)所加交变电压频率为多大？粒子运动角速度多大？
(4)粒子离开加速器时速度多大？
思路点拨：解此题关键是分阶段研究带电粒子的运动特点及规律。
[解析]　(1)D形盒由金属导体制成，可屏蔽外电场，因而盒内无电场，盒内存在垂直盒面的匀强磁场，故粒子在盒内磁场中做匀速圆周运动。
(2)两盒间狭缝内存在匀强电场，且粒子速度方向与电场方向在同条直线上，故粒子做匀加速直线运动。
(3)粒子在电场中运动时间极短，高频交变电压频率要符合粒子回旋频率f＝＝。
角速度ω＝2πf＝。
(4)粒子最大回旋半径为Rm，
由Rm＝得vm＝。
[答案]　(1)匀速圆周运动　(2)匀加速直线运动
(3)频率f＝　角速度ω＝　(4)
解决带电粒子在回旋加速器中运动的三点注意
(1)电场加速，磁场回旋(匀速圆周运动)。
(2)始终加速的条件：T电＝T磁＝。
(3)最大动能：Ekm＝，由磁感应强度B、盒半径R和粒子的比荷共同决定。
[跟进训练]
3．如图所示是质谱仪的工作原理示意图。带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器。速度选择器内存在相互正交的匀强磁场和匀强电场。匀强磁场的磁感应强度为B，匀强电场的电场强度为E。平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2。平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场。下列表述不正确的是(　　)
A．质谱仪是分析同位素的重要工具
B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外
C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小
D　[因同位素原子的化学性质完全相同，无法用化学方法进行分析，故质谱仪就成为同位素分析的重要工具，选项A正确。在速度选择器中，带电粒子所受电场力和洛伦兹力在粒子沿直线运动时应等大反向，结合左手定则可知选项B正确。再由qE＝qvB有v＝，选项C正确。在磁感应强度为B0的匀强磁场中R＝，所以＝，选项D错误。]
1．两个电子以大小不同的初速度沿垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场中，设这两个电子的运动轨道半径分别为r1、r2，运动周期分别为T1、T2，则(　　)
A．r1＝r2，T1≠T2
B．r1≠r2，T1≠T2
C．r1＝r2，T1＝T2
D．r1≠r2，T1＝T2
D　[由半径公式r＝知，两电子速度不同，则r1≠r2，由周期公式T＝知T1＝T2，故选D。]
2．(多选)1932年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法正确的是(　　)
A．粒子由加速器的中心附近进入加速器
B．粒子由加速器的边缘进入加速器
C．粒子从磁场中获得能量
D．粒子从电场中获得能量
AD　[粒子从加速器的中间位置进入加速器，最后由加速器边缘飞出，所以A对，B错。加速器中所加的磁场使粒子做匀速圆周运动，所加的电场由交流电提供，用以加速粒子，获得能量。交流电的周期与粒子做圆周运动的周期相同，故C错，D对。]
3．现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为(　　)
A．11　　　　B．12　　　　C．121　　　　D．144
D　[带电粒子在加速电场中运动时，有qU＝mv2，在磁场中偏转时，其半径r＝，由以上两式整理得：r＝。由于质子与一价正离子的电荷量相同，B1∶B2＝1∶12，当半径相等时，解得：＝144，选项D正确。]
4．如图所示，两电子沿MN方向从M点射入两平行平面间的匀强磁场中，它们分别以v1、v2的速率射出磁场，通过匀强磁场所用时间分别为t1、t2。则(　　)
A．v1∶v2＝1∶2　t1∶t2＝2∶1
B．v1∶v2＝1∶2　t1∶t2＝3∶2
C．v1∶v2＝2∶1　t1∶t2＝1∶1
D．v1∶v2＝2∶1　t1∶t2＝2∶3
B　[电子的运动轨迹如图所示，电子垂直射入磁场，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，电子做圆周运动的半径r＝，所以电子在磁场中的运动速度之比等于电子做圆周运动的半径之比，根据几何关系有＝，所以电子在磁场中的速度之比为＝＝；电子在磁场中做圆周运动的周期T＝＝，由此知电子在磁场中做圆周运动的周期T是相同的，由运动轨迹知，以v1运动的电子在磁场中运动的时间t1＝，以v2运动的电子在磁场中运动的时间t2＝，所以电子在磁场中运动的时间之比为＝。故选B。]

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