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直线的倾斜角与斜率
【例1】　(1)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1，l2的斜率．
(2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．
[解]　(1)由图形可知，α2＝α1＋90°，则k1，k2可求．
直线l1的斜率k1＝tan
α1＝tan
30°＝.
∵直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，
∴直线l2的斜率k2＝tan
120°＝－.
(2)由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan
45°＝1，
又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2＝kP2P3＝kl，
即＝＝1，解得x2＝7，y1＝0.
求直线的倾斜角与斜率注意点
(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．
(2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．
1．(1)若三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于________．
(2)如果直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．
(1)－9　(2)30°　[(1)∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC.
∴＝，即b＝－9.
(2)因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°.]
直线五种形式的方程的应用
【例2】　已知△ABC中，A(1，3)，AB，AC边上中线方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程.
思路探究：本题利用中线的特殊点(即AB的中点D在AB边的中线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方程．
[解]　设AB，AC边的中线分别为CD，BE，其中D，E为中点，
∵点B在中线y－1＝0上，
∴设点B的坐标为(xB，1).
∵点D为AB的中点，又点A的坐标为(1，3)，
∴点D的坐标为.
∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，
∴－2×2＋1＝0，∴xB＝5.
∴点B的坐标为(5，1).
∵点C在直线x－2y＋1＝0上，
∴设点C的坐标为(2t－1，t).
∴AC的中点E的坐标为.
∵点E在中线BE：y＝1上，
∴＝1，∴t＝－1.
∴点C的坐标为(－3，－1)，
∴△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0，BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0.
求直线方程的方法
(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．
(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单．
2．过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．
[解]　(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；
(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.
令y＝0，分别得x＝－1，x＝－.
由题意得＝1，即k＝1.
则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，
即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0
综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
两条直线的位置关系
【例3】　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
[解]　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.
即a2－a－b＝0，①
又点(－3，－1)在l1上，
∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，
∴l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝.
故l1和l2的方程可分别表示为
l1：(a－1)x＋y＋＝0，
l2：(a－1)x＋y＋＝0.
∵原点到l1与l2的距离相等，
∴4＝，解得a＝2或a＝.
因此或
两条直线的位置关系的判断方法及注意点
(1)方法：两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系．
(2)注意点：解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．
3．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)l1⊥l2时，求a的值．
[解]　(1)若l1∥l2，
则
∴a＝－1.
∴a＝－1时，l1∥l2.
(2)当l2的斜率不存在时，a＝1.
则l2：x＝0，l1：x＋2y＋6＝0.
显然l1与l2不垂直．
当l2斜率存在时，a≠1.
则k2＝，k1＝－.
∵l1⊥l2，
∴k1·k2＝·＝－1.
∴a＝.
距离公式的应用
【例4】　已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．
[解]　(1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0,
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝或λ＝2.
所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由解得交点P(2，1)，过P作任一直线l(图略)，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).所以dmax＝|PA|＝.
距离公式的运用
(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离．
(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．
(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力．
4．若P、Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.]
对称问题
[探究问题]
1．怎样求点关于点的对称点？
[提示]　设出所求点坐标，利用中点坐标公式求解．
2．怎样求点关于直线的对称点坐标？
[提示]　设出所求点坐标(x,
y)，利用中点坐标公式建立关于x,
y的第一个方程，再利用垂直关系建立x,
y的另一个方程，然后通过联立方程解二元一次方程组求解．
【例5】　光线通过点A(2,
3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
[解]　设点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则
解之得，A′(－4，－3).
由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1，1)，
所以反射光线所在直线的方程为
y－1＝(x－1)·，即4x－5y＋1＝0.
解方程组得反射点P.
所以入射光线所在直线的方程为
y－3＝(x－2)·，即5x－4y＋2＝0.
综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x－4y＋2＝0；4x－5y＋1＝0.
1．点关于直线对称的点的求法
点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点
M(x，y)可由方程组
求得．
2．直线关于直线的对称的求法
求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程．
5．已知A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若|PA|＋|PB|取最小值，求点P的坐标．
[解]　点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，连线A′B与直线x＋y＝0的交点，即为所求的点，直线A′B的方程为y＋3＝(x－1)，即y＝x－，与x＋y＝0联立得x＝，y＝－.故点P.
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求圆的方程
【例1】　求圆心在圆＋y2＝2上，且与x轴和直线x＝－都相切的圆的方程．
[解]　设圆心坐标为(a，b)，半径为r，
因为圆＋y2＝2在直线x＝－的右侧，且所求的圆与x轴和直线x＝－都相切，所以a＞－.
所以r＝a＋，r＝|b|.
又圆心(a，b)在圆＋y2＝2上，
所以＋b2＝2，联立
解得
所以所求圆的方程是＋(y－1)2＝1，
或＋(y＋1)2＝1.
采用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选择圆的方程的某一形式．
(2)由题意得a,
b,
r(或D,
E,
F)的方程(组).
(3)解出a,
b,
r(或D,
E,
F).
(4)代入圆的方程．
1．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x＋3y－29＝0相切，求圆的方程．
[解]　设圆心为M(m，0)(m∈Z)，
由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，
所以＝5，即|4m－29|＝25，
因为m为整数，故m＝1，
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.
直线与圆的位置关系
【例2】　已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
(1)m∈R时，证明l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
[解]　(1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，
由点斜式可知，直线过点P(4,
－3).
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，
所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
(2)如图，当圆心C(3,
－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，所以直线l的斜率为－，所以m＝－.
在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5，
所以|AP|2＝|AC|2－|PC|2＝25－10＝15，
所以|AP|＝，所以|AB|＝2，
即最短弦长为2.
直线与圆位置关系的判断
求出圆心到直线的距离d与r比较或由直线与圆联立方程组消去一个变量，得到一元二次方程，判断判别式Δ的符号
d＞r?相离?Δ＜0
d＝r?相切?Δ＝0
d＜r?相交?Δ＞0
2．已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2,
2)和原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1,
0)，若l1，l2被圆C所截得弦长相等，求此时直线l1的方程．
[解]　(1)由题意知，直线x＋y＋2＝0过圆C的圆心，设圆心C(a,
－a－2).
由题意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，解得a＝－2.
因为圆心C(－2，0)，半径r＝2，
所以圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝4.
(2)由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，
所以l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
l2：y＝－(x＋1)，即x＋ky＋1＝0.
由题意，得圆心C到直线l1，l2的距离相等，
所以＝，解得k＝±1，
所以直线l1的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
圆与圆的位置关系
【例3】　已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点(2,
3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．
[解]　(1)证明：把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.
圆心与半径长分别为C1(－2，2)，r1＝；
C2(4，－2)，r2＝.
因为|C1C2|＝＝2＝r1＋r2，
所以圆C1与圆C2相切．
由得12x－8y－12＝0，
即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程．
(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为
x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.
点(2,
3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝.
所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－y－9＝0.
判断两圆位置关系的两种比较方法
(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系，(其中R＞r)
d＞R＋r?外离，
d＝R＋r?外切，
R－r＜d＜R＋r?相交，
d＝R－r?内切，
0≤d＜R－r?内含．
(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．
3．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A,
B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
x＋y－3＝0　[AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2.
又C1(3，0)，C2(0，3)，所以C1C2所在直线的方程为x＋y－3＝0.]
空间中点的坐标及距离公式的应用
【例4】　如图，已知正方体ABCD?A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．
[解]　由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
因为正方体棱长为a，所以B(a，a，0)，A′(a，0，a)，C′(0，a，a)，D′(0，0，a).由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M，O′.
因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N.
根据空间两点间的距离公式，
可得|MN|＝＝a.
求空间中坐标及两点间距离方法及注意点
(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．
(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般来说，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．
4．如图所示，直三棱柱ABC?A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
[解]　以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，
由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，
∴|DE|＝＝，
|EF|＝＝.
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