资源简介

教
案
教学基本信息
课题
一次函数的复习
学科
数学
学段：
初中
年级
初二
教材
书名：
《人教版数学八年级下册教科书》
出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年11
月
教学目标及教学重点、难点
根据条件求出一次函数的解析式；会解决与一次函数有关的面积、最值问题；会用函数观点看方程、不等式。
重点:运用数形结合的思想分析一次函数相关的问题。
难点:以图象为工具研究函数有关的问题。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
本节课为一次函数复习课的第二课时，通过本节课的复习，能根据条件求出一次函数的解析式，熟练解决相关面积、最值问题的问题，并且会用函数观点看方程及不等式。
通过典型例题，将基础知识点进一步梳理，并且运用数形结合的思想去解决问题，加强对知识的灵活掌握，提升运用知识的解题能力。
让学生对本节课学习有个整体的了解、明确本节课的学习目标
例题
例1.直线过点，且与直线相交于点.
求直线的表达式；
若直线与轴交于点，点在轴上，且，求出点的坐标。
例2.已知直线.
求它关于轴对称的直线所对应的函数表达式；
将直线向左平移3个单位，求平移后所得直线所对应的函数表达式；
将直线绕原点顺时针旋转，求旋转后所得直线所对应的函数表达式。
例3.已知点和点，分别求出满足下列条件的点的坐标：
（1）在直线y=4上找一点C，使得AC+BC的值最小；
（2）在x轴上找一点D，使得的周长最小；
（3）在y轴上找一点E，使得|AE-BE|的值最大.
两直线的交点体现了函数与方程的关系，从数的角度看，交点的坐标值是两个一次函数组成的二元一次方程组的解；从形的角度讲，是指两条直线均经过该点.熟悉点的坐标和距离之间的关系。
运用数形结合的思想.
熟练运用待定系数法求一次函数的解析式；点的坐标就是函数解析式与函数图像转化的工具。充分利用数形结合的思想；求已知直线平移、翻折或者旋转后所得直线的的解析式，本质上是考察变换前后坐标之间的关系。
这是几何问题在函数中的体现，借助一次函数求最值问题，关键是求出有关直线的解析式及相应点的坐标。
总结
解析式是一次函数的很重要的一种表示形式，它从数的角度反映了变量之间的变化规律，而函数图象的本质是，用坐标系中直线上点的坐标反映了变量之间的对应关系，函数的解析式和函数图像可以相互转化，这种转化的工具就是点的坐标。因此，解决函数相关的问题，我们要理解题目的本质，熟练运用数形结合的思想。
提升思想高度，抓住事物本质
作业
1.若直线y=2x-4与直线y=4x+b的交点在第三象限,则b的取值范围是
.
2.如图，直线经过点，则关于的一元一次不等式的解集是_______.
3.直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点，这两条直线交于点.
求点的坐标；
若为直线上一点，当的面积为时，求点的坐标.
巩固本节课所学的方法和数学思想《一次函数复习（第一课时）》学习任务单
【学习目标】
本节课通过三道例题，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型，复习函数的定义、三种表示方法，通过例题，复习一次函数的定义和性质，用待定系数法求一次函数的解析式，通过函数观点看解方程（组）和不等式，尝试用研究一次函数的方法探究新函数；从数形结合的角度，用运动变化的观点进行分析，将前面所学的知识融会贯通，根据具体情况灵活地思考，解决问题。
【课上任务】
1．复习函数的定义；
2．通过一个实际应用问题，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型，并复习函数的三种表示方法，关注从实际问题抽象为数学问题的过程，关注函数表示方法之间的关系。
例1：下表记录了一辆汽车在实验场地上做耗油实验的数据。在行驶的过程中，油箱中剩余油量G和行驶时间t是否具有函数关系呢？
汽车行驶时间t/小时
0
1
2
3
…
油箱中剩余油量G/升
100
94
88
82
…
3．通过例题，梳理一次函数相关知识。
例2:已知一次函数y=kx+b
(k≠0)的图象，经过点M(1,2)和点N(3,-2)，求一次函数的解析式.
4．运用研究函数的一般方法，画出一个新函数的图象.
通过所学的绝对值知识再次认识新函数中的变量.并结合图象，数形结合考虑问题，解决有关不等式和方程的相关问题.
例3：画出函数的图象.根据函数图象回答下列问题：
（1）求不等式的解集；
（2）若关于x的方程有解，求b的取值范围.
【课后作业】
作业一：根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（
）
x
－2
0
1
y
3
p
0
A．－1
B．1
C．3
D．－3
作业二：直线经过两点A(2,1)和点B(-1,-2)，则不等式的解集为________________.
作业三：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x、y轴分别交于点A、B，则△OAB为此函数的坐标三角形．
（1）求函数y＝x＋3的坐标三角形的面积；
（2）若一次函数y＝kx＋4（k为常数）的坐标三角形的面积
为,
求一次函数的解析式．
【课后作业参考答案】
作业一：B；
作业二：
-1作业三：(1)6,(2)
或教
案
教学基本信息
课题
一次函数复习（第一课时）
学科
数学
学段：
初中
年级
初二
教材
书名：
《人教版数学八年级下册教科书》
出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年11
月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：复习函数的定义、三种表示方法、正比例函数和一次函数的关系，一次函数的相关知识，能结合图象数形结合地理解解不等式、方程（组），体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型，尝试用研究一次函数的方法探究新函数；
重点:
结合图象数形结合地分析简单的函数关系；
难点:
用研究一次函数的方法探究新函数。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
前面几节课上，我们从认识变量与函数开始，学习了一类最基本的函数——一次函数，本节课我们就对前面学过的知识进行一个小结。
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，对于变量x的每一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，称x为自变量。
函数的定义作为复习的起点。
例题
例1：下表记录了一辆汽车在实验场地上做耗油实验的数据。在行驶的过程中，油箱中剩余油量G和行驶时间t是否具有函数关系呢？
汽车行驶时间t/小时0123…油箱中剩余油量G/升100948882…
通过观察行驶时间，我们发现在实验过程中每隔一个小时会进行一次监测，观察剩余油量的变化，发现每小时都减少6升。在这个变化过程中，行驶时间和剩余油量是两个变量。剩余油量随着行驶时间的变化而变化，并且对于行驶时间中每一个确定的t值，剩余油量都有唯一确定的值与其对应，满足函数的定义。因此G是t的函数，其中t为自变量，解析式为G=100-6t。函数图象为连接点（0，100）和（，0）的一条线段。和列表法、解析式法相比，图象法则更加直观、形象。
在一次函数的学习中，就始终贯穿着数形结合的思想。已知一次函数的解析式，我们可以得到满足条件的两组x、y的对应值，以每组对应值中的x作为横坐标，y作为纵坐标，就可以在平面直角坐标系中确定两个点，连接两个点的直线就是一次函数的图象；反之（按）如果已知图象，可以在上面任取两个点，分别将这两个点的横纵坐标代入解析式中的x、y，从而得到关于k、b的一个二元一次方程组，解出k、b的值，进而得到一次函数的解析式。这种求函数解析式的方法称为待定系数法。
例2:已知一次函数y=kx+b
(k≠0)的图象，经过点M(1,2)和点N(3,-2)，求一次函数的解析式.
将点M、N代入y=kx+b中，解得k=-2，b=4，因此解析式为y=-2x+4.
结合这个一次函数，从以下几个方面回顾一次函数的有关知识：
1、图象的位置：
（1）正比例函数y=kx（k≠0）可以看作是一次函数中b=0的特殊情况。正比例函数的图象经过原点，一次函数的图象经过（0，4），正比例函数图象经过第二、四象限，向上平移4个单位长度后，一次函数的图象经过第二、一、四象限；
（2）图象与坐标轴的交点.
2、函数变化规律：
从数的角度看，
k=-2<0，因此y随x的增大而减小,从形的角度看，直线从左到右逐渐下降；
从形的角度看，在这条直线上选取两点（，）、(,)，对比他们的横纵坐标，可以发现，当<时,
>，这也说明了y随x的增大而减小.
3、从函数的观点看不等式、方程（组）：
（1）一元一次不等式-2x+4≤2：将不等号左边的-2x+4对应函数y=-2x+4，不等式-2x+4≤2就理解为求y≤2时，自变量x的取值范围，进一步借助函数图象找到对应的横坐标的取值范围为；
（2）二元一次方程2x+y=4：将方程改写为y=-2x+4的形式，这个方程对应着一次函数y=-2x+4，同时也对应直线
y=-2x+4，这条直线上每个点的坐标都是二元一次方程的一个解，直线上的无数个点也就对应了方程的无数个解；
（3）二元一次方程组：两个方程对应着两个一次函数y=-2x+4和y=x-5，同时也对应着两条直线；从数的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时，相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从形的角度看，解这个方程组，相当于确定两条相应直线y=-2x+4与
y=x-5交点的坐标.
例3：画出函数的图象.根据函数图象回答下列问题：
（1）求不等式的解集；
（2）若关于x的方程有解，求b的取值范围.
解：确定自变量x的取值范围应为任意实数。
列表：
x…-3-2-1012345…y…432101234…
描点、连线：
（1）解这个不等式，相当于求函数的函数值大于1时，自变量的取值范围。从图象上看，可得x<0或x>2.
（2）将方程左右两边分别看作是两个函数和，方程有解就对应着两个函数的图象有交点：
当b=0时，与的图象有交点，因此对应方程有解，满足题意；
当向上移动时，与始终有两个交点，对应方程有解；
当向下移动时，交点从2个减少到1个，最后没有交点；
因此经过点（1，0）的直线为临界状态。
将（1，0）代入中，解得此时b=.再结合刚才的分析可知，当时，方程有解。
通过一个实际问题帮助学生理解函数的概念，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型，并复习函数的三种表示方法。
从函数定义过渡到一次函数的相关知识复习。
一次函数是本章的学习重点，学生已经习惯于给出一次函数，回答相应问题。但是如何全面地理解一次函数，利用所学知识，由浅入深地分析函数则是对学生能力的考察。因此本例旨在从解析式出发，帮助学生梳理所学的有关一次函数的有关性质，加强对基础知识和基本技能的掌握，提高基本能力，达到举一反三的效果。
通过本例，力求渗透研究函数的一般方法，经历观察、猜想、取点、画图，考察函数概念学习的全过程，最后利用数形结合的思想解决相关问题。
总结
本章的主要内容包括变量与函数的概念，函数表示法，一次函数（包括正比例函数）的解析式、图象及性质.通过本章的学习，可以判断具体问题中的函数关系，转换函数的不同表示方法，利用图象数形结合地分析简单的函数关系.通过对初等函数“一次函数”的学习，经历学习和探究一个具体函数的一般过程，即从定义、图象、性质、函数与方程及不等式的关系等方面进行研究。希望通过本节的学习，学生可可以对所学知识之间的相互关系更加清晰，学会全面地分析问题、思考问题。
回顾本章所学内容，对本节课所学内容的一个小结。
作业
1.
根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（
）
x－201y3p0
A．1
B．－1
C．3
D．－3
2．
直线经过两点A(2,1)和点B(-1,-2)，则不等式的解集为________________.
3.
在平面直角坐标系中，给出如下定义：一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，我们称之为一次函数的坐标三角形．
例如，图中的一次函数的图象与x、y轴分别交于点A、B，则△OAB为此函数的坐标三角形．
(1)求一次函数的坐标三角形的面积；
(2)若一次函数
（k为常数）的坐标三角形的面积为，求一次函数的解析式．
巩固本节课所学的知识，注重数形结合、综合所学知识分析、解决问题。《课题名称》学习任务单
【学习目标】
会根据条件求出一次函数的解析式；
会解决与一次函数有关的面积、最值问题；
会用函数观点看方程、不等式。
【课前预习任务】
总结用待定系数法求一次函数解析式的步骤；
总结一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的关系。
【课上学习任务】
例1.直线过点，且与直线相交于点.
求直线的表达式；
若直线与轴交于点，点在轴上，且，求出点的坐标。
例2.已知直线y=2x-1.
求它关于轴对称的直线所对应的函数表达式；
将直线y=2x-1向左平移3个单位，求平移后所得直线所对应的函数表达式；
将直线y=2x-1绕原点O顺时针旋转，求旋转后所得直线所对应的函数表达式。
例3.已知点和点，分别求出满足下列条件的点的坐标：
（1）在直线y=4上找一点C，使得AC+BC的值最小；
（2）在x轴上找一点D，使得的周长最小；
（3）在y轴上找一点E，使得|AE-BE|的值最大.
【课后作业】
1.若直线y=2x-4与直线y=4x+b的交点在第三象限,则b的取值范围是
.
2.如图，直线经过点，则关于的一元一次不等式的解集是_______.
3.直线y=x+1与x、y轴分别交于点A、B，直线y=-2x+4与x、y轴分别交于点D、C，这两条直线交于点E.
求E点的坐标；
若P为直线CD上一点，当的面积为时，求点P的坐标.
【课后作业参考答案】
1.-42..
3.（1）点E的坐标为（1,2）；
（2）点P的坐标为（-1,6）或（5,6）.

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