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第七章万有引力与宇宙航行
第2节万有引力定律
【考点指导】
万有引力定律及其应用在考试说明中为II级要求，在每年的高考中都会出现,通常与运动学规律、牛顿运动定律等知识结合起来进行综合考查，往往需要进行推导和计算，多以选择题形式出现，试题难度中等偏下。
【能力提升】
一、重力与万有引力的区别与联系
1.万有引力与重力
我们知道在地球和物体之间的吸引力也是万有引力，而重力是由于地球的吸引而产生的，由此可见这两个力是有所不同的，那么它们究竟有什么关系呢?
由于地球在不停地自转，地球上的物体随地球一起绕地轴上一 点(不一定在地球中心)做匀速圆周运动。地球表面上的物体所受的万有引力F引可以分解成物体随地球自转做匀速圆周运动的向心力F向(方向指向地轴的某一点)和所受的重力G,其中F引=GMmR2,F向=mrω2，重力只是万有引力的一一个分力。万有引力F引,重力G和物体由于随地球自转所需要的向心力F向,三个力的关系如图所示。
(1)物体在一般位置(不在赤道和两极)时，F向=mrω2 ,F向、F引、G不在一条直线上。
(2)当物体在赤道上时,F向达到最大值F向max，F向max=mRω2此时重力G最小,Gmin=F引-F向=GMmR2-mRω2。
(3)当物体在两极时F向=0,G=F引,重力达到最大值Gmax=GMmR2。可见只有在两极时，重力等于万有引力,其他位置时重力小于万有引力。
2.黄金代换式
由于物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力。因此不考虑地球自转(忽略)的影响时，在地球附近有mg=GMmR2，化简得gR2=GM。gR2=GM通常叫作黄金代换式，适用于任何天体，主要用于某星体的质量M未知的情况下，用该星体的半径R和表面的“重力加速度”g代换M。
二、重力加速度的计算方法
在地球表面附近(h?R)处的重力加速度g。(不考虑自转)
方法一:根据万有引力定律,有mg=GMmR2，g=GMR2=9.8m/s2
式中M=5.98x1024kg，R=6.37 x 106m。
方法二:利用与地球平均密度的关系,得g=GMR2=G4πR3ρ/3R2=43GπρR
(2)在地球上空距离地心r=R +h处的重力加速度为g'。
根据万有引力定律,得g'=GMr2∝1r2，g，g=（Rr）2=（RR+h）2，则g，=R2（R+h）2g
在质量为M' ,半径为R'的任意天体表面上的重力加速度为g’。根据万有引力定律，有g'=GM，R，2∝M，R，2，g，g=M,MRR,，则g，=M,MRR,2g
上述中M均为地球的质量,g均为地球表面的重力加速度。
误区警示
(1)上述方法一及方法二均忽略了地球(或其他中心天体)的自转影响。
(2)重力随物体离地面的高度变化而变化的关系:当物体在高空时可忽略地球自转的作用，重力跟万有引力相等，在地面上，mg=GMmR2，在h高度处mgh=GMmR+h2故gh=（RR+h）2g,随高度的增加，重力加速度减小，在计算时,这个因素不能忽略。
能力点3赤道上物体失重的几条规律
(1)物体在赤道上的视重等于地球的引力与物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力之差。
对地球上的物体受力分析,由牛顿第二定律得mg-FN=mω2R，所以，物体在赤道上的视重FN=mg-mω2R(2)物体在赤道上失去的重力等于绕地轴转动所需的向心力。
物体在赤道上失去的重力，即视重的减少量F =mg-FN= mω2R。
(3)物体在赤道上完全失重的条件
设想地球自转角速度增大为ω0,使赤道上的物体刚好处于完全失重状态，即FN=0，则有FN =mg-mω2R=0,
得mg=ma0 =mω02R=mv02R=m（2πT0）2R
所以完全失重的临界条件为
a0=g=9.8m/s2，ω0=gR≈1800rad/s,
v0=gR≈7.9km/s，T0=2πRg≈5024s≈84min
上述结果恰好是近地面人造地球卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期。
(4)地球不因自转而瓦解的最小密度。
地球以T=24 h的周期自转,不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力，即mg≥m(2πT0)2R,根据万有引力定律，有g=GMR2=43GπρR
所以，地球的密度应为ρ≥3πGT2≈18.9kg/m3
即最小密度为ρmin=18. 9 kg/m3。地球平均密度ρ0=5.5x103kg/m3?ρmin，足以保证地球处于稳定状态。
【典型例题】
1．如图所示，在1687年出版的《自然哲学的数学原理》一书中，牛顿设想，抛出速度很大时，物体就不会落回地面，已知地球半径为R，月球绕地球公转的轨道半径为n2R，周期为T，不计空气阻力，为实现牛顿设想，抛出的速度至少为(　　)
A．
B．
C． D．
【答案】D
【详解】
对月球，根据万有引力提供向心力可得公式
在地球表面列式可得
联立两个式子，求解得
故D项正确．
故选D。
2．两个质量均为m的星体，其连线的垂直平分线为MN，O为两星体连线的中点，如图所示，一物体从O沿OM方向运动，则它所受到的万有引力大小F随距离r的变化情况大致正确的是(不考虑其他星体的影响)(　 　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
因为在连线的中点时所受万有引力的和为零，当运动到很远很远时合力也为零（因为距离无穷大万有引力为零）而在其他位置不是零所以先增大后减小．设两个质量均为m的星体的距离是2L，物体质量是m′，物体沿OM方向运动距离是r时，它所受到的万有引力大小，故ACD错误，B正确；故选B．
【变式训练】
1．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在地球两极，物体所受重力等于万有引力，即有
在赤道处，物体所受万有引力和支持力的合力提供向心力，其中支持力的大小等于物体的重力，则有
联立解得
故选A。
2．2020年12月3日23时10分，“嫦娥五号”上升器 3000N 发动机工作约6分钟，成功将携带样品的上升器送入到预定高度的环月轨道，这是我国首次实现地外天体起飞。假设上升器绕月球做圆周运动的半径为 r1、周期为 T1；月球绕地球做圆周运动的半径为 r2、周期为 T2，引力常量为 G。根据以上条件能得出（　　）
A．月球的平均密度
B．地球对月球的引力
C．“嫦娥五号”上升器的质量
D．关系式
【答案】B
【解析】设上升器质量为m，月球质量为M1，地球质量为M，上升器与月球系统，有
解得
地月系统，有
解得
A．根据密度公式 可知，由于月球半径未知，所以无法求出月球密度。A错误；
B．地月的万有引力为
B正确；
C．上升器的质量被约掉，无法求解。C错误；
D．上升器与月球系统，有
地月系统，有
由于月球质量与地球质量不等，所以关系式不成立。D错误。
故选B。
3．假定“嫦娥五号”轨道舱绕月飞行时，轨道是贴近月球表面的圆形轨道。已知地球密度为月球密度的k倍，地球同步卫星的轨道半径为地球半径的n倍，则轨道舱绕月飞行的周期与地球同步卫星周期的比值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据万有引力充当向心力，设地球的半径为R，月球的半径为r，对地球同步卫星
对月球轨道舱
地球质量M1和月球质量M2分别为
联立可得轨道舱飞行的周期T2与地球同步卫星的周期T1的比值
故选A。
4．我国首个探月探测器“嫦娥四号”于2019年1月3日，成功降落在月球背面的艾特肯盆地内的冯·卡门撞击坑内，震惊了世界。着陆前，探测器先在很接近月面、距月面高度仅为h处悬停，之后关闭推进器，经过时间t自由下落到月球表面。已知引力常量为G，月球半径为R，忽略月球自转的影响，则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面重力加速度大小为
B．探测器落地时的速度大小为
C．月球的平均密度为
D．探测器自由下落过程处于超重状态
【答案】B
【解析】A．根据
得
A错误；
B．根据
解得
B正确；
C．忽略月球自转的影响，物体在月球表面受到的重力等于万有引力
解得月球质量为
则月球的平均密度为
C错误；
D．下落过程中，加速度向下，探测器处于失重状态，D错误。
故选B。
5．物理是一门以实验为基础的学科，对以下3个力学实验描述正确的是（ ）
A．伽利略完成实验1时必须保证斜面绝对光滑，否则得不到可靠的实验结论
B．牛顿利用扭秤实验成功测得了万有引力常量，使万有引力定律进入实用阶段
C．实验1和实验2都采用了理想实验的方法
D．实验2和实验3都采用了放大的实验方法
【答案】D
【解析】A．伽利略完成的斜面实验，最后是通过分析推理得出的结论，所以斜面不需要绝对的光滑，A错误；
B．卡文迪许利用扭秤实验测得了万有引力常量，B错误；
D．实验2是将很小的 万有引力通过扭秤来放大实现 ，实验3是通过光路的改变来实现放大的，都采用了放大的实验方法，D正确；
C．实验2都采用的放大的方法，实验1采用的是理想实验的方法，C错误。
故选D。
6．2018年2月，我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为．以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】试题分析;在天体中万有引力提供向心力，即 ，天体的密度公式，结合这两个公式求解．
设脉冲星值量为M，密度为
根据天体运动规律知：

代入可得： ，故C正确；
故选C
7．已知太阳的质量为1.97×1030 kg，地球的质量为5.98×1024 kg，太阳的体积是2000 亿亿亿立方米，是地球的130.25万倍，太阳的半径为6.96×108 m，地球的半径为6.37×106 m，太阳与地球的平均距离是1.49×1011 m，引力常量为6.672×10-11 N·m2/kg2．则它们之间引力大小的数量级是 ( )
A．1021 N B．1022 N C．1032N D．1033 N
【答案】B
【解析】
地球质量为m，太阳质量为M，太阳与地球之间的距离为r，根据万有引力定律得：地球与月球间的万有引力，
故B正确，ACD错误
故选B．
8．要使可视为质点的两物体间万有引力减小到原来的，可采取的方法是（　　）
A．两物体间距离保持不变，两物体的质量均减为原来的
B．两物体间距离保持不变，仅一个物体质量减为原来的
C．两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的
D．两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍
【答案】B
【解析】A．根据知，两物体间距离保持不变，两物体的质量均减为原来的，则万有引力减小为原来的，故A错误．
B．根据知，两物体间距离保持不变，仅一个物体质量减为原来的，则万有引力减小为原来的，故B正确．
C．根据知，两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的，则万有引力变为原来的4倍，故C错误．
D．根据知，两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍，则万有引力变为原来的，故D错误．
故选B．

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