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第七章万有引力与宇宙航行
第3节万有引力理论的成就
【考点指导】
本节内容是高考的高频考点,主要考查中心天体质量和密度的计算、双星问题等。试题形式以选择题为主，也时常有计算题出现。试题特别强调理解能力、建模能力以及运用数学知识解决问题的能力等，难度适中
【能力提升】
一、天体密度的计算
要计算天体的密度，就要先求出天体的质量，以地球为例：如果已知地球的半径R地，且把地球视为球体，则地球的体积V= 43πR地3，根据ρ=mv，就可计算出地球的平均密度ρ
1.利用天体表面的重力加速度求天体密度
由mg=GMmR2 及M=ρ?43πR3，得ρ=3g4πGR
其中g为天体表面的重力加速度,R为天体半径。
2.利用天体的卫星求天体的密度
设卫星绕天体运动的轨道半径为r,周期为T，天体半径为R,则可列出方程:
GMmr2=m4π2T2r，M=ρ?43πR3
得ρ=M43πR3=4π2r3GT243πR3=3πr3GT2R3
当天体的卫星环绕天体表面运动时,其轨道半径r等于天体半径R,则天体密度为ρ=3πGT2
二、多星系统问题的求解
1.双星系统
(1)双星做匀速圆周运动向心力的来源
双星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，其向心力由两颗星间的万有引力提供。
(2)双星做匀速圆周运动的运动参量关系
两星的运动周期和角速度是相等的，线速度与各自的轨道半径成正比。
(3)双星做圆周运动的动力学关系
设双星相距L,质量分别为M1和M2,线速度分别为v1和v2，轨道半径分别为r1和r2,共同运动的周期为T角速度为ω，如图所示。对于这两星，由万有引力定律和向心力公式分别有
GM1M2L2=M1v12r1=M1r1ω2=M1r14π2T2
GM1M2L2=M2v22r2=M2r2ω2=M2r24π2T2
其中r1+r2=L
因此，在求解双星问题时，要注意弄清双星各自的轨道半径,切勿与两星之间的距离相混淆。
(4)几个基本结论（建议自行推导）
①轨道半径：r1=M2M1+M2L,r2=M1M1+M2L
②星体质量：M1=4π2r2L2GT2，M2=4π2r1L2GT2
③系统质量：M=4π2L3GT2
④星体周期：T=2πLLG（M1+M2）
2三星系统
宇宙中存在一些离其他恒星较远(可忽略其他星体对它们的引力作用)的三颗星组成的三星系统。已观测到稳定的三星系统主要有两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动;另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运动。
对第一种形式中A而言,B、C对A的万有引力提供A做圆周运动的向心力，则有GM2R12+GM2(2R1)2=mR1（2πT）2
对第二种形式中A而言,B、C对A的万有引力提供A做圆周运动的向心力，则有GM2r2cos30°+GM2r2cos30°=mR22πT2
这里r=2R2cos30°
【典型例题】
1．小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为（　　）
A．4.7π
B．3.6π C．1.7π D．1.4π
【答案】A
【详解】
设登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行时的周期为T，因其绕月球作圆周运动，所以应用牛顿第二定律有
解得：
在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，有：
所以有
设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T1，航天飞机在大圆轨道运行的周期是T2．对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律分别有：
为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足(其中)
联立解得：(其中)
当n=1时，登月器可以在月球上停留的时间最短，即为
A. 4.7π与分析相符，故A项与题意相符；
B. 3.6π与分析不相符，故B项与题意不相符；
C. 1.7π与分析不相符，故C项与题意不相符；
D. 1.4π与分析不相符，故D项与题意不相符．
2．“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接及“蛟龙”号下潜突破7000米入选2012年中国十大科技进展新闻。若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体（质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零）。“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“天宫一号”所在处与“蛟龙”号所在处的重力加速度之比为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
“天宫一号”绕地球运行，所以
“蛟龙”号在地表以下，所以
“天宫一号”所在处与“蛟龙”号所在处的重力加速度之比为
故ACD错误，B正确。
故选B。
【变式训练】
1．地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量计算出来的地球平均密度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据在地球表面万有引力等于重力有
解得
则
故选A。
2．地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球转动的角速度应为原来的（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】物体在赤道上随地球自转时，有
物体随地球自转时，赤道上物体受万有引力和支持力，支持力大小等于重力，即F－mg=ma
物体“飘”起来时只受万有引力，有F=ma′
故a′=g＋a
则有
解得
故A正确。
故选A。
3．地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，高空中某处重力加速度为，该处距地面的距离是（　　）
A．3R B．2R C． D．
【答案】D
【解析】设地球的质量为M，物体的质量为m，则
解得
故选D。
4．电影《火星救援》的热映，再次激起了人们对火星的关注。某火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，已知探测器速度为v，周期为T，引力常量为G。下列说法不正确的是（　　）
A．可算出探测器的质量m=
B．可算出火星的质量M=
C．可算出火星的半径R=
D．飞船若要离开火星，必须启动助推器使飞船加速
【答案】A
【解析】C．根据v=
可知火星的半径R=
C正确，不符合题意；
AB．由
可得火星的质量M=
探测器为环绕天体，不能求出质量；
A错误，符合题意，B正确，不符合题意；
D．飞船若要离开火星，必须启动助推器使飞船加速， D正确，不符合题意。
本题选错误的，故选A。
5．已知一质量为m的物体分别静止在北极与赤道时对地面的压力差为ΔN，假设地球是质量分布均匀的球体，半径为R。则地球的自转周期为（　　）
A．T=2π B．T=2π C．T=2π D．T=2π
【答案】A
【解析】在北极，物体所受的万有引力与支持力大小相等，在赤道处，物体所受的万有引力与支持力的差值提供其随地球自转的向心力，由题意可得
解得
故选A。
6．火星成为我国深空探测的第二颗星球，假设火星探测器在着陆前，绕火星表面做匀速圆周运动（不计周围其他天体的影响），宇航员测出飞行 N 圈用时 t，已知地球质量为 M，地球半径为 R，火星半径为 r，地球表面重力加速度为 g。则（ ）
A．火星探测器匀速圆周运动的速度约为
B．火星探测器在火星表面附近匀速飞行的向心加速度约为
C．火星探测器的质量为
D．火星的平均密度为
【答案】D
【解析】A．火星探测器绕火星表面飞行N圈用时t，故速度为
故A错误；
B．火星探测器匀速飞行的向心加速度约为
故B错误；
C．探测器受到的万有引力提供向心力，则
等式两边的质量m约去了，无法求解探测器的质量m，故C错误；
D．探测器受到的万有引力提供向心力，则
火星的平均密度
联立解得
又在地球表面上，有
联立以上两式得
故D正确。
故选D。
7．近年来，人类发射了多枚火星探测器，火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。假设火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，若测得该探测器运动的周期为，则可以算得火星的平均密度，式中是一个常量，该常量的表达式为（已知引力常量为）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由万有引力定律，知
得
又
而火星探测器绕火星做“近地”圆周运动，有，解得
故题中的常量
故选C。
8．一卫星绕火星表面附近做匀速圆周运动，其绕行的周期为T.假设宇航员在火星表面以初速度v水平抛出一小球，经过时间t恰好垂直打在倾角α=30°的斜面体上，如图所示．已知引力常量为G，则火星的质量为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】以M表示火星的质量，r0表示火星的半径，g′表示火星表面附近的重力加速度，火星对卫星的万有引力提供向心力，有：=mr0
在火星表面有：G=m′g′
由题意知平抛小球速度的偏转角为60°，则：
联立以上各式解得：
故B正确，ACD错误。
故选B。

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