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第七章万有引力与宇宙航行
第4节宇宙航行
【考点指导】
本节知识在考试说明中为I级要求,是高考考查的重点内容之一，在历年的高考试题中几乎年年都考。考题多联系当今航天科学技术实际,考查角度灵活多样,题型以选择题为主,试题难度适中,要求考生注重理解能力及物理建模能力的培养。
【能力提升】
一、地球同步卫星
1.同步卫星的特征
所谓地球同步卫星(又叫通信卫星)，是指相对于地面静止的和地球具有相同周期的卫星,T=24h.由于卫星的向心力由地球的引力提供，所有卫星轨道平面定过地心，而地球同步卫星的周期为固定值，所以同步卫星在赤道上方距离地面的高度h是一定的。
2.同步卫星的高度
如图所示，假设卫星在轨道B上随着地球的自转同步地做匀速圆周运动，卫星运动的向心力由地球对它的引力F引的一个分力F1提供,由于另一个分力F2的作用将使卫星轨道靠向赤道，故只有在赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行。
由GMmR+r2=mω2R+h=m2πT2?R+h得h=3GMT24π2-R(T为地球自转周期，M、R分别为地球的质量、半径,h为卫星距离地面的高度)，代入数值得h=3.6x107 m。
3.同步卫星的特点
特点
理解
定周期
运行周期与地球自转周期相同,T=24 h
定轨道平面
所有地球同步卫星的轨道平面均在赤道平面内
定高度
离地面高度为3.6x104 km
定速率
运行速率为3.1 x103 m/s
定点
每颗同步卫星都定点在世界卫星组织规定的位置上
定加速度
由于同步卫星高度确定.则其轨道半径确定，因此向心加速度大小确定
二、同步卫星、近地卫星、赤道上物体得比较
比较内容
赤道表面的物体
近地卫星
同步卫星
向心力来源
万有引力的分力
万有引力
向心力方向
指向地心
重力与万有引力的关系
重力略小于万有引力
重力等于万有引力
轨道半径
地球半径R
地球半径R
地球半径R与高度h之和
周期
T=24h
T=85min
T=24h
角速度
ω1=ω自
ω2=GMR3
ω3=ω自=GMR+h2
ω1=ω3<ω2
线速度
v1=ω1R
v2=GMR
v3=ω3R+h=GMR+h
v1向心加速度
a1=ω12R
a2=ω22R=GMR2
a3=ω32R+h=GMR+h2
a1三、.卫星轨道变化动态分析
卫星轨道的渐变
当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行。
(1)当卫星的速度逐渐增加时，GMmr2(2)当卫星的速度逐渐减小时，GMmr2>mv2r，即万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动,轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v=GMr可知其运行速度比原轨道时增大。
2.卫星轨道的突变
由于技术上的需要,有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机,使飞行器轨道发生突变，使其进人预定的轨道。如图7-4-3所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成:先将卫星发送到近地轨道,使其绕地球做匀速圆周运动，速率为0，变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道II ;卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4,使卫星进入同步轨道Ⅲ,绕地球做匀速圆周运动。
(1)速度:设卫星在圆轨道I和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v4,在轨道II上过P点和Q点速率分别为以v2、v3。在P点加速，则v2>v1，在Q点加速，则v4>v3，又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。
(2)加速度:因为在P点,卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道I还是轨道I上经过P点,卫星的加速度都相同，同理,经过Q点加速度也相同。
(3)周期:设卫星在I、 II、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1，T2，T3，轨道半径分别为r1，r2(半长轴) r3，由开普勒第三定律r3T2=k可知T1【典型例题】
1．嫦娥五号探测器于2020年11月24日在中国文昌航天发射场发射空并进入地月转移轨道。探测器实施2次轨道修正、2次近月制动，顺利进入环月圆高空轨道。已知月球的半径为
，月球表面的重力加速度为，引力常量为，嫦娥五号离月球中心的距离为。绕月周期。根据以上信息可求出（　　）
A．“嫦娥五号”绕月运行的线速度
B．“嫦娥五号”绕月运行的线速度为
C．“嫦娥五号”绕月运行的角速度
D．月球的平均密度为
【答案】B
【详解】
设月球的质量为M，嫦娥五号的质量为m，
AB．嫦娥五号在环月轨道做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则
在月球表面，万有引力与重力相等，则
联立两式解得
故A错误，B正确；
C．根据线速度与角速度的关系可得
故C错误；
D．嫦娥五号在环月轨道做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，则
解得
月球的体积为
月球的密度为
故D错误。
故选B。
2．2019年7月25日，一颗名为“2019OK”的小行星与地球擦肩而过，该小行星与地球围绕太阳公转的轨道如图所示，图中两点为地球轨道与小行星轨道的交点，且地球与小行星均沿逆时针方向运动，已知该小行星围绕太阳公转的周期约为2.72年，不考虑其他天体的影响，则（　　）
A．该小行星公转轨道的半长轴约为地球公转半径的2.72倍
B．地球和该小行星各自经过N点时的加速度大小相等
C．小行星在近日点的速率小于在M点的速率
D．在围绕太阳转动的过程中，地球的机械能守恒，小行星的机械能不守恒
【答案】B
【详解】
A．地球和小行星均围绕太阳转动，设地球的公转半径为，周期为，小行星公转轨道的半长轴为，周期为，由开普勒第三定律可得
因，解得
故A错误；
B．在N点，地球和小行星到太阳中心的距离相等，设为，太阳的质量为，地球的质量为，小行星的质量为，则对地球有
可得地球运动到N点时具有的加速度大小
同理可得小行星运动到N点时的加速度大小
故有，故B正确；
C．小行星从M点运动到近日点的过程中，太阳对小行星的万有引力做正功，小行星速率增大，故C错误；
D．由于地球和小行星在围绕太阳运动的过程中，只有太阳对各自的万有引力做功，故其机械能守恒，故D错误。
故选B。
【变式训练】
1．设两个行星A和B各有一个卫星a和b，且两卫星的圆轨道均很贴近行星表面。若两行星的质量比MA:MB=p，两行星的半径比RA：RB=q，那么这两个卫星的运行周期之比Ta：Tb应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，两卫星的轨道半径等于星球半径，根据万有引力提供向心力
解得
两行星质量之比为 ，半径之比为 ，所以两卫星周期之比
故选B。
2．在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成在引力作用下都绕某点做匀速圆周运动，我们称为“模型一”；但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动，我们称为“模型二”，已知月球中心到地球中心的距离为L，月球公转的周期为T，引力常量为G。利用（　　）
A．“模型一”可确定地球的质量
B．“模型二”可确定地球的质量
C．“模型一”可确定月球的质量
D．“模型二”可确定月球和地球的总质量
【答案】B
【解析】AC. 对于“模型一”，是双星问题。设月球的质量为m，地球的质量为M，月球和地球做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，根据万有引力提供向心力，有
其中
可得
所以“模型一”可以确定月球和地球的总质量，故AC错误；
BD. 对于“模型二”， 月球是绕地心做圆周运动，根据万有引力提供向心力，有
可得地球的质量
不能确定月球的质量，故B正确，D错误。
故选B。
3．我国北斗卫星导航系统（BDS）已经开始提供全球服务，具有定位、导航、授时、5G传输等功能，A、B为“北斗”系统中的两颗工作卫星，其中A是高轨道的地球同步轨道卫星，B是中轨道卫星。已知地球表面的重力加速度为g，地球的自转周期为T0，下列判断正确的是（　　）
A．卫星A可能经过江苏上空
B．卫星B的轨道平面可能不过地心
C．周期大小TA=T0D．向心加速度大小aA＜aB＜g
【答案】D
【解析】A．地球静止同步轨道卫星的轨道平面只能是赤道平面，不能经过江苏的上空， A错误；
B．卫星运行过程中万有引力提供向心力，方向指向地心，所以卫星的轨道平面一定通过地心，B错误；
C．同步卫星的周期等于地球自转周期
对卫星A、B，根据万有引力提供向心力
解得周期
卫星A的轨道半径大，则
故周期大小
C错误；
D．对卫星A、B，有
则
则
地球表面的加速度
，则向心加速度大小
D正确。
故选D。
4．假设地球可视为质量分布均匀的球体。已知地球表面两极处的重力加速度大小约为10m/s2，贴近地球表面飞行的卫星运行周期约为90分钟，则一质量为3000kg的汽车停在地球赤道上随地球自转所需要的向心力约为（　　）
A．30N B．60N C．117N D．234N
【答案】C
【解析】在两极
贴近地球表面飞行的卫星
解得
地球自转周期，则一质量为的汽车停在地球赤道上随地球自转所需要的向心力
故选C。
5．A为地球赤道上一个物体，随地球自转而做匀速圆周运动，两颗人造卫星B、C绕地球做匀速圆周运动，其中B为近地卫星，C为地球的同步卫星，两卫星的质量之比为mB：mC=3：1，运行周期之比为TB：TC=1：27，则下列说法正确的是（　　）
A．A、C线速度之比为vA：vC=3：1
B．A、C加速度之比为aA：aC=27：1
C．B、C轨道半径之比为rB：rC=1：9
D．B、C线速度之比为vB：vC=
【答案】C
【解析】A．同步卫星的周期与地球的自转周期相同，同步卫星的高度约为 ，则同步卫星的轨道半径 ，根据
A、C线速度之比为
A错误；
B．根据
A、C加速度之比为
B错误；
C．根据开普勒第三定律
解得
C正确；
D．根据
则
D错误。
故选C。
6．2020年12月17日，嫦娥五号轨道器与返回器在距离地球5000公里处实施分离，返回器携带月壤样品返回地球，轨道器启程飞往距离地球约150万公里的日地拉格朗日L1点(如图)，在这个位置的轨道器会在太阳与地球引力的作用下，与地球同步绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　）
A．该轨道器绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度
B．该轨道器所受的地球的引力和太阳的引力大小相等
C．该轨道器绕太阳运动的线速度大于地球绕太阳运动的线速度
D．该轨道器绕太阳运动的周期和地球公转的周期相等
【答案】D
【解析】AC．向心加速度，线速度，该轨道器和地球绕太阳做匀速圆周运动的角速度相等，而轨道半径小于地球公转的半径，则该轨道器绕太阳运动的向心加速度小于地球绕太阳运动的向心加速度，线速度小于地球绕太阳运动的线速度，故A、C错误。
B．该轨道器在点环绕太阳做圆周运动时，该轨道器受到地球和太阳的引力的合力指向太阳，因此该轨道器受到太阳的引力大于地球的引力，故B错误。
D．该轨道器与地球同步绕太阳做圆周运动，周期相同，即绕太阳运动的周期和地球公转的周期相等，故D正确。
故选D。
7．2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家，如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的（　　）
A．线速度小于地球的线速度 B．向心加速度大于地球的向心加速度
C．向心力仅由太阳的引力提供 D．向心力仅由地球的引力提供
【答案】B
【解析】A．飞行器与地球同步绕太阳运动，角速度相等，根据，知探测器的线速度大于地球的线速度，选项A错误；
B．根据知，探测器的向心加速度大于地球的向心加速度，选项B正确；
CD．探测器的向心力由太阳和地球引力的合力提供，选项C、D错误；
故选B。
8．如图，a、b、c三颗卫星绕地球做匀速圆周运动，已知ma>mb，则下列说法正确的是（　　）
A．a、b受到的万有引力大小相等
B．a的向心加速度小于b的向心加速度
C．a的周期大于c的周期
D．a的线速度大于c的线速度
【答案】C
【解析】A．根据万有引力定律可知，a比b受到的万有引力大。A错误；
B．根据牛顿第二定律
a的向心加速度等于b的向心加速度。B错误；
C．根据开普勒第三定律
可得，a的周期大于c的周期。C正确；
D．根据牛顿第二定律
可得
所以a的线速度小于c的线速度。D错误。
故选C。

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