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2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练24：锐角三角函数（含答案）
一、知识要点：
1、锐角三角函数
正弦：；
余弦：；
正切：。
常见三角函数值：
锐角α三角函数
30°
45°
60°
1
2、解直角三角形
解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共5个元素(三边、两锐角)，若知道其中2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素。
二、课标要求：
1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin
A，cos
A，tan
A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值。
2、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。
3、能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
三、常见考点：
1、30°，45°，60°角的三角函数值。
2、30°，45°，60°角的三角函数值与实数运算的结合。
3、解直角三角形。
4、用锐角三角函数的相关知识解决一些简单的实际问题。
四、专题训练：
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（　　）
A．sinA＝
B．cosA＝
C．tanA＝
D．cosA＝
2．如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（　　）米．（≈1.7）
A．145米
B．135米
C．125米
D．120米
3．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上．则cosB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则Rt△ABC的三边a、b、c之比a：b：c为（　　）
A．2：：3
B．1：：
C．1：2：3
D．2：：
5．在△ABC中，BC＝2，AC＝2，∠A＝30°，则AB的长为（　　）
A．
B．2
C．或4
D．2或4
6．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，则cosA的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，AC＝CB，sin∠ACD＝，则tan∠BDC的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
11．如图，CD是△ABC的高，若AB＝10，CD＝6，tan∠CAD＝，则BD＝　
　．
12．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ACB等于　
　．
13．如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角（锐角）为∠1，则sin∠1＝　
　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是AC边上的中线，则tan∠ADB的值是　
　．
15．如图，已知CD是△ABC的高，BD＝4AD，CD＝2AD，点E是BC上一点，EF⊥EA，AG＝EG，tan∠EFA的值为　
　．
16．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部8m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪CD的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为　
　m．（结果精确到个位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
17．如图，已知P（4，3）为∠α边上一点，则cosα＝　
　．
18．如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，通过测量可知河的宽度CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，则AC＝　
　m（计算结果用含根号的式子表示）．
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是　
　．
20．如图，一山坡的坡度i＝1：，小明从A处爬到B处所走的直线距离AB＝10米，则他在垂直方向上升的高度CB为　
　米．
21．如图，在一次数学综合实践活动中，小亮要测量一教学楼的高度，先在坡面D处测得楼房项部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向教学楼方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝16米，山坡的坡度i＝1：，求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）
22．一种升降熨烫台如图所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图1，若∠AOC＝120°，h＝60cm，求AB的长度；
（2）小明发现，实际使用时将家里这种升降熨烫台的两根支撑杆的夹角∠AOC由120°变为60°（如图2），使用起来才顺手，请问在（1）的条件下，该熨烫台升高了多少？
23．江阴芙蓉大道城市快速路在2020年5月份通车，在安装路灯过程中，工人师傅发现垂直于地面的灯柱OA与灯杆AB相交成一定的角度才能产生光照效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OC长为8m，从O、C两处测得路灯B的仰角分别为∠BOC和∠BCO，且tan∠BOC＝4，tan∠BCO＝．
（1）求路灯B到地面的距离；
（2）若∠OAB＝120°，求灯柱OA的高度（结果保留根号）．
24．如图所示，建筑物AB坐落在一斜坡的坡顶的平地上，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得建筑物AB在坡顶平地上的一部分影子BC＝15米，在斜坡CE上的另一部分影子CD＝5米，且斜坡CE的坡度为i（即tanα）＝1：，求建筑物AB的高度．（结果保留根号）
25．如图，楼和塔之间的距离AC为50m，小明在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，求楼高AD．
26．如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．
（1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；
（2）若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A'时，测得港口B在A'的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．
参考答案
1．解：如图所示：
∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝4，
∴sinA＝，故A错误；
cosA＝，故B正确；
tanA＝；故C错误；
cosA＝，故D错误；
故选：B．
2．解：在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝45°，
∴BD＝AB．
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝30°，
∴＝tan30°＝，
∴BC＝AB．
设AB＝x（米），
∵CD＝100米，
∴BC＝（x+100）米．
∴x+100＝x，
∴x＝50（+1），
即塔AB的高为50（+1）≈135米．
故选：B．
3．解：在Rt△BCD中，BD＝＝2，
所以cosB＝＝＝．
故选：B．
4．解：∵∠C＝90°，
∴cosB＝＝，
设a＝2x，c＝3x，
∴b＝＝x，
∴a：b：c＝2x：x：3x＝2：：3．
故选：A．
5．解：作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
当B2C＝2时，
∵∠A＝30°，∠ADC＝90°，AC＝2，
∴CD＝，
∴AD＝＝3，B2D＝＝1，
∴AB2＝3﹣1＝2，
同理可得，AB1＝3+1＝4，
即AB的长为2或4，
故选：D．
6．解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′，按键“＝”即可得到结果．
故选：A．
7．解：∵在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°．
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE＝BE，AD＝BD＝AB＝2，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，
∴BE＝BC＝AE，
设BC＝AE＝x，则CE＝AC﹣AE＝4﹣x．
∵∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BEC，
∴＝，
即＝，
解得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），
∴AE＝2﹣2，
∴cosA＝＝＝，故选：C．
8．解：∵∠C＝90°，
∴tanA＝＝2，
设AC＝x，则BC＝2x，
∴AB＝＝x，
∴sinA＝＝＝．故选：C．
9．解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E，过点C作CH⊥BD于H．
∵∠ACB＝∠CAD＝90°，DE⊥EC，
∴∠ACE＝∠E＝90°，
∴四边形ACED是矩形，
∴AD＝CE，AC＝DE，
∵sin∠ACD＝＝，
∴可以假设AD＝3k，CD＝5k，则AC＝BC＝DE＝4k，
∴BE＝BC+CE＝7k，
∴BD＝＝＝k，
∵S△CBD＝?BC?DE＝?BD?CH，
∴CH＝k，
∴DH＝＝＝，
∴tan∠BDC＝＝＝．
故选：C．
10．解：∵sin45°＝，
∴α+15°＝45°，
∴α＝30°，
故选：B．
11．解：∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝6，tan∠CAD＝＝，
∴AD＝CD＝8，
∵AB＝10，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣8＝2，
故答案为：2．
12．解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．
∵AB＝5，AC＝＝，BC＝＝5，
∴CD＝．
∵S△ABC＝15﹣﹣×4×3＝，
S△ABC＝×AC×DB，
∴××BD＝，
∴BD＝＝．
在Rt△BCD中，
tan∠ACB＝＝3．
故答案为：3．
13．解：如图，过点C作CE∥AB，连接DE，
∵CE＝，DE＝，CD＝，
∴DE＝CE，CE2+DE2＝10＝CD2，
∴∠CED＝90°，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∵CE∥AB，
∴∠1＝∠DCE＝45°，
∴sin∠1＝，
故答案为：．
14．解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝AC．
∵AB＝AC，
∴AD＝AB．
在Rt△ABD中，
tan∠ADB＝＝2．
故答案为：2．
15．解：设AD＝x，则CD＝2x，BD＝4x，
∵CD为高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∵＝＝2，
∴△ADC∽△CBD，
∴∠CAD＝∠BCD，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°，
∵AG＝GE，
∴CG＝AG＝GE，
∵EF⊥EA，
∴∠EFA+∠DAE＝90°，
∵∠DAE+∠AGD＝90°，
∴∠AGD＝∠EFA，
在Rt△AGD中，设DG＝t，则AG＝CG＝2x﹣t，
∵x2+t2＝（2x﹣t）2，
∴t＝x，
∴tan∠AGD＝＝＝，
∴tan∠EFA＝．
故答案为．
16．解：作DE⊥AB于点E，
由题意可得，DE＝CD＝8m，
∵∠ADE＝50°，
∴AE＝DE?tan50°≈8×1.19＝9.52（m），
∵BE＝CD＝1.5m，
∴AB＝AE+BE＝9.52+1.52＝11.2≈11（m），
故答案为：11．
17．解：过点P（4，3）作PQ⊥x轴，垂足为Q，则PQ＝3，OQ＝4，
在Rt△POQ中，OP＝＝＝5，
所以cosα＝＝，
故答案为：．
18．解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝∠CAE＝30°，∠ADB＝∠EAD＝45°，
∴AC＝2AB，DB＝AB．
设AB＝x，则BD＝x，AC＝2x，CB＝50+x，
∵tan∠ACB＝tan30°，
∴AB＝CB?tan∠ACB＝CB?tan30°．
∴x＝（50+x）?．
解得：x＝25（1+），
∴AC＝50（1+）（米）．
答：缆绳AC的长为50（1+）米．
故答案为：50（1+）
19．解：如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵AB＝12，∠H＝90°，
∴BH＝AB?cos60°＝6，AH＝AB?sin60°＝6，
∵EF⊥DF，DE＝5，
∴sin∠ADE＝＝，
∴EF＝4，
∴DF＝＝＝3，
∵S△CDE＝6，
∴?CD?EF＝6，
∴CD＝3，
∴CF＝CD+DF＝6，
∵tanC＝＝，
∴＝，
∴CH＝9，
∴BC＝CH﹣BH＝9﹣6．
故答案为：9﹣6．
20．解：因为坡度i＝1：，
∴tan∠A＝＝，
∴∠A＝30°，
∴CB＝AB＝5（米）．
故答案为：5．
21．解：过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如图所示：
则DG＝FP＝BH，DF＝GP，
∵坡面CD＝16米，山坡的坡度i＝1：，
∴∠DCG＝30°，
∴FP＝DG＝CD＝8，
∴CG＝DG＝8，
∵∠FEP＝60°，
∴FP＝EP＝8，
∴EP＝，
∴DF＝GP＝8+10+＝+10，
∵∠AEB＝60°，
∴∠EAB＝30°，
∵∠ADH＝30°，
∴∠DAH＝60°，
∴∠DAF＝30°＝∠ADF，
∴AF＝DF＝+10，
∴FH＝AF＝+5，
∴AH＝FH＝16+5，
∴AB＝AH+BH＝16+5+8＝24+5≈24+5×1.73≈32.7（米），
答：楼房AB高度约为32.7米．
22．解：（1）如图1中，过点B作BH⊥AC于H．
∵OA＝OC，∠AOC＝120°，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣120°）＝30°，
∵∠AHB＝90°，BH＝h＝60cm，
∴AB＝2BH＝120（cm）．
（2）如图2中，过点B作BT⊥AC于T．
在Rt△ABT中，AB＝120cm，∠A＝60°，∠ATB＝90°，
∴BT＝AB?sin60°＝60（cm），
∴熨烫台升高了（60﹣60）cm．
23．解：（1）过点B作BF⊥OC于F，
设BF＝x．
在Rt△BOF中，∵tan∠BOC＝＝4，
∴OF＝x，
在Rt△BCF中，∵tan∠BCO＝＝，
∴CF＝x，
∵OC＝8，
∴x+x＝8，
∴x＝8，
∴BF＝8（m），
即路灯B到地面的距离8m；
（2）过点A作AG⊥BF于点G，
∵∠OAB＝120°，
∴∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝120°﹣90°＝30°．
∵OF＝×8＝2，
∴AG＝OF＝2，
在Rt△BCF中，∵tan∠BAG＝，
∴BG＝tan30°×2＝
∴OA＝GF＝（8﹣）（m），
即灯柱OA的高度为（8﹣）m．
24．解：如图，延长BC交AD于F，过F作FG⊥CD于G，
∵斜坡CE的坡度为i（即tanα）＝1：，
∴α＝30°．
∵BF∥EM，
∴∠FCD＝∠E＝30°．
∵∠AFB＝60°．
∴∠CDF＝∠AFB﹣∠FCD＝30°．
∴∠ECD＝∠FDC＝30°．
∴FC＝FD．
∴CG＝CD＝．
∴CF＝＝＝5（米）．
∴BF＝BC+CF＝15+5＝20（米）．
∴AB＝BF?tan60°＝20（米）．
答：建筑物AB的高度是20米．
25．解：由题意，可知∠BDE＝30°，∠BAC＝60°，四边形ACED是矩形，
∴DE＝AC＝50m．
在Rt△DBE中，
∵tan∠BDE＝，
∴＝，
∴BE＝（m）．
在Rt△ABC中，
∵tan∠CAB＝，
∴＝，
∴BC＝50（m），
∴AD＝CE＝BC﹣BE＝50﹣＝（m）．
答：大楼AD的高为m．
26．解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，
由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
则CD＝BC＝60海里，
∵cos∠ACD＝＝cos30°＝，
即＝，
∴AC＝40（海里），
答：此时点A到军港C的距离为40海里；
（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图：
由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，
∵A'E∥CD，
∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，
∴∠BA′A＝45°，
∵∠BA'E＝75°，
∴∠ABA'＝15°，
∴∠2＝15°＝∠ABA'，
即A′B平分∠CBA，
∴A'E＝A'N，
设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，
∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，
∴A'C＝2A'N＝x，
∵A'C+AA'＝AC，
∴x+x＝40，
解得：x＝60﹣20，
∴AA'＝（60﹣20）海里，
答：此时渔船的航行距离为（60﹣20）海里．2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练4：因式分解（含答案）
知识要点：
因式分解定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
课标要求：
能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数),并能运用因式分解解决实际问题。。
常见考点：
1、利用提公因式法、公式法进行因式分解。
2、综合运用因式分解解决实际问题
四、专题训练：
1．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（　　）
A．b＞0，b2﹣ac≤0
B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0
D．b＜0，b2﹣ac≥0
2．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（　　）
A．a（a2b﹣b）
B．ab（a﹣1）2
C．ab（a+1）（a﹣1）
D．ab（a2﹣1）
3．因式分解：x2﹣2x＝　
　．
4．（a﹣b）2﹣（b﹣a）＝　
　．
5．已知x＝y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25＝　
　．
6．若多项式x2+2（m﹣2）x+25能用完全平方公式因式分解，则m的值为　
　．
7．因式分解：ab2﹣2ab+a＝　
　．
8．把ax2﹣4a分解因式的结果是　
　．
9．分解因式：am+an+bm+bn＝　
　．
10．：a3+a2b﹣ab2﹣b3＝　
　．
11．2x3﹣6x2+4x＝　
　．
12．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．
（1）二次项系数2＝1×2；
（2）常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；
1×3+2×（﹣1）＝1
1×（﹣1）+2×3＝5
1×（﹣3）+2×1＝﹣1
1×1+2×（﹣3）＝﹣5
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1＝﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：（x+1）（2x﹣3）＝2x2﹣3x+2x﹣3＝2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12＝　
　．
13．已知：a+b＝3，ab＝2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2；
（2）a2+b2．
14．化简：（a﹣b）（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）2+2b（a2+b2）
15．9（a+b）2﹣（a﹣b）2．
16．已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
17．分解因式：2a2b﹣a3﹣ab2．
18．分解因式：a2﹣2ab+b2﹣c2．
19．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1
20．在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣1．
参考答案
1．解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），
故选：C．
2．解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，
∴a+c＝2b，b＝，
∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，
∴b＜0，
∴b2﹣ac＝＝﹣ac＝＝≥0，
即b＜0，b2﹣ac≥0，
故选：D．
3．解：原式＝x（x﹣2），
故答案为：x（x﹣2）．
4．解：原式＝（a﹣b）2+（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b+1），
故答案为：（a﹣b）（a﹣b+1）
5．解：∵x＝y+95，即x﹣y＝95，
∴原式＝（x﹣y）2﹣25＝9025﹣25＝9000，
故答案为：9000
6．解：∵多项式x2+2（m﹣2）x+25能用完全平方公式因式分解，
∴2（m﹣2）＝±10，
解得：m＝7或﹣3，
故答案为：7或﹣3
7．解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；
故答案为：a（b﹣1）2．
8．解：ax2﹣4a＝a（x2﹣4）＝a（x+2）（x﹣2）．
故答案为：a（x+2）（x﹣2）．
9．解：am+an+bm+bn，＝（am+an）+（bm+bn），
＝a（m+n）+b（m+n），＝（m+n）（a+b）．
10．解：a3+a2b﹣ab2﹣b3＝a2（a+b）﹣b2（a+b）＝（a+b）（a2﹣b2）＝（a+b）2（a﹣b）．
11．解：2x3﹣6x2+4x＝2x（x2﹣3x+2）＝2x（x﹣1）（x﹣2）．
故答案为：2x（x﹣1）（x﹣2）．
12．解：3x2+5x﹣12＝（x+3）（3x﹣4）．
故答案为：（x+3）（3x﹣4）
13．解：（1）a2b+ab2＝ab（a+b）＝2×3＝6；
（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，＝32﹣2×2，＝5．
14．解：（a﹣b）（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）2+2b（a2+b2），
＝（a﹣b）（a+b）（a+b﹣a+b）+2b（a2+b2），
＝2b（a2﹣b2）+2b（a2+b2），＝2b（a2﹣b2+a2+b2），＝4a2b．
15．解：9（a+b）2﹣（a﹣b）2，＝[3（a+b）]2﹣（a﹣b）2，
＝[3（a+b）+（a﹣b）][3（a+b）﹣（a﹣b）]，
＝（4a+2b）（2a+4b），＝4（2a+b）（a+2b）．
16．解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，
将a+b＝3，ab＝2代入得，ab（a+b）2＝2×32＝18．
故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18．
17．解：2a2b﹣a3﹣ab2，＝﹣a（a2﹣2ab+b2），＝﹣a（a﹣b）2．
故答案为：﹣a（a﹣b）2．
18．解：a2﹣2ab+b2﹣c2，＝a2﹣2ab+b2﹣c2，＝（a2﹣2ab+b2）﹣c2，
＝（a﹣b）2﹣c2，＝（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）．
19．解：a2﹣b2﹣2a+1，＝（a2﹣2a+1）﹣b2，＝（a﹣1）2﹣b2，＝（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．
20．解：令x2﹣3x﹣1＝0，
解得：x＝，
则x1＝，x2＝，
则x2﹣3x﹣1＝（x﹣）（x﹣）．2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练6：二次根式（含答案）
知识要点：
1、二次根式的定义
一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式的基本性质
①
(a≥0)；
②
(a≥0)；
③
(a取全体实数)。
3、二次根式的乘除
(1)二次根式的乘法：①；
②
(a≥0，
b≥0)。
(2)二次根式的除法：①；
②
(a≥0，
b＞0)。
4、最简二次根式
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5、二次根式的加减
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二、课标要求：
1、了解二次根式、最简二次根式的概念，
2、了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。
三、常见考点：
1、二次根式的概念，求二次根式中字母的取值范围及相应的综合运用。
2、利用二次根式的基本性质进行运算。
3、运用二次根式的乘除、加减法则进行二次根式的化简，最简二次根式。
4、有关代数式的综合运算。
四、专题训练：
1．若＝3﹣a，则a与3的大小关系是（　　）
A．a＜3
B．a≤3
C．a＞3
D．a≥3
2．若4与可以合并，则m的值不可以是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．要使+有意义，则x应满足（　　）
A．≤x≤3
B．x≤3且x≠
C．＜x＜3
D．＜x≤3
4．已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|﹣的结果是（　　）
A．3﹣2a
B．﹣1
C．1
D．2a﹣3
5．将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（　　）
A．（2﹣2）a2
B．a2
C．a2
D．（3﹣2）a2
6．使得代数式有意义的x的取值范围是　
　．
7．若x，y为有理数，且，则xy的值为　
　．
8．若x的取值范围如图所示，则化简的结果是　
　．
9．当﹣1＜a＜0时，则＝　
　．
10．计算：的结果为　
　．
11．＝　
　．
12．若m＝3﹣，n＝3+，则＝　
　．
13．观察下列各式：
＝1+，
＝1+，
＝1+，
……
请利用你所发现的规律，
计算+++…+，其结果为　
　．
14．计算的结果是　
　．
15．计算：（）﹣1﹣20190+|﹣2|﹣．
16．计算：﹣（﹣1）2020﹣（π﹣3）0+．
17．计算：3tan30°﹣+（2020+π）0+（﹣）﹣2．
18．已知：，，求的值．
19．计算：﹣25÷23+|﹣1|×5﹣（π﹣3.14）0
20．计算：（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0
21．计算：（+2）2﹣+2﹣2
22．先化简，再求值：，其中x＝﹣3﹣（π﹣3）0．
参考答案
1．解：∵＝3﹣a
∴3﹣a≥0
∴a≤3
故选：B．
2．解：A、把代入根式分别化简：4＝4＝，＝＝，故选项不符合题意；
B、把代入根式化简：4＝4＝；＝＝，故选项不合题意；
C、把代入根式化简：4＝4＝1；＝，故选项不合题意；
D、把代入根式化简：4＝4＝，＝＝，故符合题意．
故选：D．
3．解：由题意得，，
解不等式①得，x≤3，
解不等式②的，x＞，
所以，＜x≤3．
故选：D．
4．解：由图知：1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．
故选：D．
5．解：设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为x，即正八边形的边长为x，
依题意得x+2x＝a，则x＝＝，
∴正八边形的面积＝a2﹣4××＝（2﹣2）a2．
故选：A．
6．解：∵代数式有意义，
∴x﹣3＞0，
∴x＞3，
∴x的取值范围是x＞3，
故答案为：x＞3．
7．解：∵x，y为有理数，且，
∴2x﹣1＝0，y＝4，
则x＝，
故xy＝4×＝2．
故答案为：2．
8．解：由数x在数轴上所表示的点位置可知1＜x＜3，
∴x﹣1＞0，x﹣3＜0，
∴＝|x﹣1|+|x﹣3|＝x﹣1+3﹣x＝2．
故答案为：2．
9．解：∵﹣1＜a＜0，
∴a+＜0，a﹣＞0，
原式＝﹣＝a﹣+a+＝2a，
故答案为：2a．
10．解：原式＝3××＝3×＝1，
故答案为：1．
11．解：∵a＞0，
∴原式＝＝＝|a|＝a，
故答案为：a
12．解：∵m＝3﹣，n＝3+，
∴＝＝＝7+3，
故答案为：7+3
13．解：由题意可得：
+++…+
＝1++1++1++…+1+
＝9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝9+＝9．故答案为：9．
14．解：原式＝﹣3＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．解：（）﹣1﹣20190+|﹣2|﹣＝＝5．
16．解：原式＝2﹣1﹣1+2＝2．
17．解：原式＝3×﹣+1+4，＝5．
18．解：化简，得a＝，b＝，
则原式＝＝5．
19．解：原式＝3﹣32÷8+5﹣1＝3﹣4+5﹣1＝3．
20．解：原式＝+﹣1+1＝3+﹣1+1＝4．
21．解：原式＝3+4+4﹣4+＝．
22．解：＝÷＝×＝．
x＝﹣3﹣（π﹣3）0＝×4﹣﹣1＝2﹣﹣1＝﹣1．
把x＝﹣1代入得到：＝＝．即＝2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练8：二元一次方程组（含答案）
一、知识要点：
1、定义
定义1：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
定义2：把两个方程合在一起，就组成了方程组。
定义3：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组。
定义4：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
定义5：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
2、解二元一次方程组的方法
①代入消元法；②加减消元法。
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
3、方程(组)与实际问题
解有关二元一次方程(组)的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列二元一次方程(组)。根据题中各个量的关系列出方程(组)。
第4步：解方程(组)。根据方程(组)的类型采用相应的解法。
第5步：答。
二、课标要求：
1、理解二元一次方程及其解的意义，能求出二元一次方程的特殊解。
2、掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。
三、常见考点：
1、二元一次方程(组)与方程(组)的解，解一次方程(组)。
2、应用二元一次一次方程(组)解决实际问题。
3、应用二元一次一次方程(组)解决相关综合问题。
四、专题训练：
1．为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，那么11只饭碗摞起来的高度更接近（　　）
A．21cm
B．22cm
C．23cm
D．24cm
2．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（　　）
A．120km
B．140km
C．160km
D．180km
3．今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（　　）
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
4．某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？（　　）
A．360
B．480
C．600
D．720
5．已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：
①是方程组的解；
②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；
③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；
④若x≤1，则1≤y≤4．
其中正确的是（　　）
A．①②
B．②③
C．②③④
D．①③④
6．若|3x﹣2y﹣1|+＝0，则x，y的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（　　）
A．B．C．D．
9．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是　
　．
10．已知a、b满足方程组，则＝　
　．
11．方程组的解是　
　．
12．若a﹣3b＝2，3a﹣b＝6，则b﹣a的值为　
　．
13．篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，艾美所在的球队在8场比赛中得14分．若设艾美所在的球队胜x场，负y场，则可列出方程组为　
　．
14．我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组　
　．
15．请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何”诗句中谈到的鸦为　
　只，树为　
　棵．
16．若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需　
　元．
17．已知关于x，y的方程组的解为，求m，n的值．
18．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：
由①﹣②，得3x＝3．
解法二：
由②，得3x+（x﹣3y）＝2，③
把①代入③，得3x+5＝2．
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“ד．
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
19．解方程组：
20．本学期学校开展以“感受中华传统美德”为主题的研学活动，组织150名学生参观历史博物馆和民俗展览馆，每一名学生只能参加其中一项活动，共支付票款2000元，票价信息如下：
地点
票价
历史博物馆
10元/人
民俗展览馆
20元/人
（1）请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？
（2）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？
21．学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？
22．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
23．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝0时，y＝2；x＝2时，y＝0．求a、b、c的值．
参考答案
1．解：设多摞一个碗，增高kcm，一个碗的高度是bcm
由题意得，，解得：，
则11只饭碗摞起来的高度为：×10+＝23（cm）．
更接近23cm．故选：C．
2．解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：
设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：
，
解得：．
∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．
或者：设AC＝ykm即可，从甲车的角度考虑问题，甲车给乙车注入燃料，要想最远，需满足一下两个条件：①注满乙车；②刚好够甲车从C回到A．从A到C，甲、乙两车都行驶了AC，即乙车行驶ykm，也即甲车注入燃料量可行驶ykm，注入后甲车剩余油量可行驶ykm（刚好返回A地），所以对于甲车，y+y+y＝210，所以y＝70．从乙车角度，从C出发是满燃料，所以AB为：105+70÷2＝140（km）．故选：B．
3．解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，踢平场数是所负场数的k倍，依题意得
，
把③代入①②得，
解得z＝（k为整数）．
又∵z为正整数，
∴当k＝1时，z＝7；
当k＝2时，z＝5；
当k＝16时，z＝1．
综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种情况．
故选：B．
4．解：设每盒方形礼盒x元，每盒圆形礼盒y元，则阿郁身上的钱有（3x+7y﹣240）元或（7x+3y+240）元．
由题意，可得3x+7y﹣240＝7x+3y+240，
化简整理，得y﹣x＝120．
若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下：
（7x+3y+240）﹣10x＝3（y﹣x）+240＝3×120+240＝600（元）．故选：C．
5．解：解方程组，得，
∵﹣3≤a≤1，∴﹣5≤x≤3，0≤y≤4，
①不符合﹣5≤x≤3，0≤y≤4，结论错误；
②当a＝﹣2时，x＝1+2a＝﹣3，y＝1﹣a＝3，x，y的值互为相反数，结论正确；
③当a＝1时，x+y＝2+a＝3，4﹣a＝3，方程x+y＝4﹣a两边相等，结论正确；
④当x≤1时，1+2a≤1，解得a≤0，且﹣3≤a≤1，
∴﹣3≤a≤0∴1≤1﹣a≤4∴1≤y≤4结论正确，
故选：C．
6．解：由题意可知：解得：故选：D．
7．解：可根据所用时间和所走的路程和得到相应的方程组为：
故选：B．
8．解：设绳长x尺，木长为y尺，依题意得，故选：B．
9．解：∵甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮，
而A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，
∴1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价＝58.5÷（1+30%）﹣6×3＝27（元），
∵乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮，
∴乙种粗粮每袋售价为（6+2×27）×（1+20%）＝72（元）．
甲种粗粮每袋成本价为58.5÷（1+30%）＝45（元），乙种粗粮每袋成本价为6+2×27＝60（元）．
设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，
由题意，得45×30%x+60×20%y＝24%（45x+60y），
45×0.06x＝60×0.04y，
＝．
故答案为：．
10．解：，
①×3+②得：7a＝28，即a＝4，
把a＝4代入②得：b＝5，
则原式＝3．
故答案为：3
11．解：解方程组，
由①得：x＝2﹣2y③，
将③代入②，得：2（2﹣2y）+y＝4，
解得：y＝0，
将y＝0代入①，得：x＝2，
故方程组的解为，
故答案为：．
12．解：由题意知，
①+②，得：4a﹣4b＝8，
则a﹣b＝2，
∴b﹣a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．解：设艾美所在的球队胜x场，负y场，
∵共踢了8场，
∴x+y＝8；
∵每队胜一场得2分，负一场得1分．
∴2x+y＝14，
故列的方程组为，
故答案为．
14．解：设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组：
．
故答案为：．
15．解：可设鸦有x只，树y棵．
则，
解得．
答：鸦有20只，树有5棵．
16．解：因为买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元．
所以买3支圆珠笔、3本日记本共需4+5＝9元，即买1支圆珠笔1、1本日记本需9÷3＝3元，
所以买4支圆珠笔、4本日记本需4×3＝12元．
答：买4支圆珠笔、4本日记本需12元．
17．解：将代入方程组中
得：，
解得：．
18．解：（1）解法一中的解题过程有错误，
由①﹣②，得3x＝3“×”，
应为由①﹣②，得﹣3x＝3；
（2）由①﹣②，得﹣3x＝3，解得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①，得﹣1﹣3y＝5，解得y＝﹣2．
故原方程组的解是．
19．解：，
②﹣①得：x＝6，
把x＝6代入①得：y＝4，
则方程组的解为．
20．解：（1）设参观历史博物馆的有x人，参观民俗展览馆的有y人，依题意，得
，
解得．
答：参观历史博物馆的有100人，则参观民俗展览馆的有50人．
（2）2000﹣150×10＝500（元）．
答：若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款500元．
21．解：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，
根据题意得：，
解得：．
答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人．
22．解：设鸡有x只，兔有y只，鸡有一个头，两只脚，兔有1个头，四只脚，
结合上有三十五头，下有九十四足可得：，
解得：．
答：鸡有23只，兔有12只．
23．解：把x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝0时，y＝2；x＝2时，y＝0代入等式y＝ax2+bx+c得，
，解得．
答：a、b、c的值分别为﹣，，22021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练14：二次函数（含答案）
一、知识要点：
1、定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
2、二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h
顶点
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。
最小值(或最大值)为0(k或)。
增
减
性
a>0
x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
a<0
x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
3、二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系：
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根；
(2)抛物线与x轴的交点和一元二次方程的根的关系
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置
一元二次方程ax2+bx+c=0的解
b2-4ac>0
两个公共点
两个不相等的实数根
b2-4ac=0
一个公共点
两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
4、二次函数与实际问题
在研究有关二次函数的实际问题时，要遵循一审、二设、三列、四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变量。根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数关系式；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
二、课标要求：
1、通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
2、会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。
3、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。
4、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
三、常见考点：
1、二次函数的基本概念。
2、结合已知条件确定二次函数的表达式，利用待定系数法求二次函数的解析式。
3、根据二次函数的图象及性质解决相关问题，如不等式、一元二次方程。
4、二次函数图象的平移。
5、二次函数与实际问题，二次函数与综合问题(与几何、函数、方程等的综合)。
四、专题训练：
1．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若S△ABC＝3，则a＝（　　）
A．
B．
C．﹣1
D．1
2．关于抛物线y1＝（1+x）2与y2＝（1﹣x）2，下列说法不正确的是（　　）
A．图象y1与y2的开口方向相同
B．y1与y2的图象关于y轴对称
C．图象y2向左平移2个单位可得到y1的图象
D．图象y1绕原点旋转180°可得到y2的图象
3．已知二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根之积为（　　）
A．﹣
B．﹣
C．﹣1
D．0
4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A．ac＜0
B．b2﹣4ac＞0
C．4a+2b+c＞0
D．3b＜2c
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；
④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论有（　　）
A．4
个
B．3
个
C．2
个
D．1
个
6．如图，二次函数y＝﹣x2+﹣1的图象交x轴于A，B两点，图象上的一点C使∠CBA＝135°，则点C的坐标是（　　）
A．（4，﹣1）
B．（4，﹣）
C．（4.5，﹣）
D．（4.5，﹣）
7．已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，则该二次函数的最小值是（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
8．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是（　　）
A．﹣7＜m＜﹣3
B．3＜m＜6
C．﹣7＜m＜3
D．﹣3＜m＜6
9．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为6m，则水管的长度OA是　
　m．
10．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移一个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称，则抛物线C3的表达式为　
　．
11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（2，﹣2），图象与x轴交于点B（m，0）和点C，且点B在点C的左侧，那么线段BC的长是　
　.（请用含字母m的代数式表示）
12．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，拱顶离水面2m，水面宽为4m．当水面下降1m后，水面宽为　
　m．
13．二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝2的解是　
　．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是　
　．
15．抛物线y＝﹣x2+x+1与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为　
　．
16．把抛物线y＝2x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是　
　．
17．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则点C的坐标为　
　．
18．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，6）和B（8，3），如图所示，则不等式ax2+bx+c＞kx+m的取值范围是　
　．
19．经过市场调查发现，某商品的售价为每件70元时，每周可卖出300件．为扩大销售、增加盈利，采取降价措施，每降价2元，每周可多卖出30件．若商品的进价为每件40元，售价为多少时每周利润最大？最大利润是多少？
20．为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花展活动．某公园想用一段长为80米的篱笆，围成一个一边靠围墙的ABCD，墙长36米．
（1）当AB长为多少米时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
（2）当花圃的面积为350平方米时，AB长为多少米？
21．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，AB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是△ABC边上一点，连接OD，将线段OD以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段OE，若点E落在抛物线上，求出此时点E的坐标；
（3）点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，是否存在以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，2），点B（1，6），点C（1，4），如果抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）恰好经过这三个点之中的两个点．
（1）试推断抛物线y＝ax2+bx+3经过点A、B、C之中的哪两个点？简述理由；
（2）求常数a与b的值；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+3先沿与y轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x轴平行的方向向右平移t（t＞0）个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点C（1，4），设这个新抛物线的顶点是D，试探究△ABD的形状．
23．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）若直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．
24．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连结OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q．
（1）求AB的长；
（2）当∠APQ＝∠B时，求点P的坐标；
（3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标．
25．如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标；
（4）若点P在直线AC上，点Q是平面上一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：令y＝0，则ax2﹣4ax+3＝0，
∴x1+x2＝4，x1?x2＝，
∴AB＝|x1﹣x2|＝＝．
令x＝0，y＝3，
∴OC＝3，
∴S△ABC＝AB?OC＝××3＝3，
∴a＝1．
故选：D．
2．解：∵抛物线y1＝（1+x）2＝（x+1）2，抛物线y2＝（1﹣x）2＝（x﹣1）2，
∴抛物线y1的开口向上，顶点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝﹣1，抛物线y2的开口向上，顶点为（1，0），对称轴为直线x＝1，故选项A说法正确；
∴y1与y2的顶点关于y轴对称，故选项B说法正确；
∴y1与y2的图象关于y轴对称，y2向左平移2个单位可得到y1的图象，故选项C说法正确；
∵y1绕原点旋转180°得到的抛物线为y＝﹣（x+1）2，与y2开口方向不同，
∴关于抛物线y1＝（2+x）2与y2＝（2﹣x）2的说法，故选项D说法不正确，
故选：D．
3．解：∵二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣＝0，
解得a＝﹣2，
∴二次函数y＝4x2﹣1，
∴当y＝0时，0＝4x2﹣1，解得x1＝﹣，x2＝，
∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根是x1＝﹣，x2＝，
∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根之积是（﹣）×＝﹣，
故选：B．
4．解：A、由抛物线的开口方向向下知a＜0，抛物线与y轴交于正半轴知c＞0，则ac＜0，故本选项结论正确．
B、由抛物线与x轴有两个交点知b2﹣4ac＞0，故本选项结论正确．
C、由抛物线图的轴对称性质知，抛物线与x轴的另一个交点坐标是点（2，0）的右侧，所以当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故本选项结论正确．
D、由抛物线的轴对称性质知，当x＝3时，y＜0，即y＝9a+3b+c＜0，且对称轴是直线x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得3b＞2c，故本选项结论错误；
故选：D．
5．解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；
②将点（﹣，0）代入函数表达式得：a﹣2b+4c＝0，故②正确，符合题意；
③函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，故2a+b＝0，故③错误，不符合题意；
④由②③得：a﹣2b+4c＝0，b＝﹣2a，则c＝﹣，故2c﹣3b＝＞0，故④错误，不符合题意；
⑤当x＝1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m（am+b）+c，故⑤正确，符合题意；
故选：C．
6．解：二次函数y＝﹣x2+﹣1中，令y＝0，则y＝﹣x2+﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠CBA＝135°，
∴∠CBD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝m，
∴C（3+m，﹣m），
∵点C在二次函数y＝﹣x2+﹣1的图象上，
∴﹣m＝﹣（3+m）2+（3+m）﹣1，
解得m1＝1，m2＝0（舍去），
∴C（4，﹣1），
故选：A．
7．解：∵y＝x2﹣4x+m
＝（x﹣2）2+m﹣4，
∴对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，
∵二次函数在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，
当x＝﹣1时，y＝7，
∴7＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m，
解得：m＝2，
∴当x＝2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2﹣4＝﹣2．
故选：A．
8．解：方法一：如右图所示，
当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m一定小于0，
故选：A．
方法二：如右图所示，
将y＝0代入二次函数y＝﹣x2+x+6，可得x1＝3，x2＝﹣2，
当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，
将x＝3，y＝0代入直线y＝x+m，得
0＝3+m，
解得m＝﹣3，
当﹣2＜x＜3时，对应的新函数解析式为y＝x2﹣x﹣6，
则x2﹣x﹣6＝x+m可化为x2﹣2x﹣6﹣m＝0，
当x2﹣2x﹣6﹣m＝0有两个相等的实数根时，
△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣6﹣m）＝4m+28＝0，
解得m＝﹣7，
故当﹣7＜m＜﹣3时，直线y＝x+m与这个新图象有四个交点，
故选：A．
9．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
由题意可知抛物线的顶点坐标为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0），
∴0＝a（6﹣2）2+5，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+5，
当x＝0时，y＝﹣（0﹣2）2+5＝．
∴水管的长度OA是m．
故答案为：．
10．解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线C1的顶点为（1，2），
∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，
∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），
∵抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称，
∴抛物线C3的开口方向相同，顶点为（0，2），
∴抛物线C3的解析式为y＝x2+2．
故答案是：y＝x2+2．
11．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（2，﹣2），
∴抛物线的对称轴是直线x＝2．
∵点B（m，0）和点C关于直线x＝2对称，
∴点C的坐标是（4﹣m，0）．
∴BC＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．
故答案是：4﹣2m．
12．解：由题意得：B（2，﹣2），
设抛物线解析式为y＝ax2，
将B（2，﹣2）代入y＝ax2，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
设D（x，﹣3），
把D（x，﹣3）代入y＝﹣x2得：x＝，
∴水面宽CD为2m，
故答案为：2．
13．解：如图所示，该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，该抛物线与y轴的交点坐标是（0，2）．
所以根据抛物线的对称性质，当y＝2时，x＝﹣2，即A（﹣2，2）．
所以关于x的方程ax2+bx+c＝2的解是：x1＝﹣2，x2＝0．
故答案是：x1＝﹣2，x2＝0．
14．解：∵抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴AB＝2×|﹣3|＝6，
∴点A的坐标为（0，﹣6），
∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝6，
∴点E到AB的距离为3，
∴点E的坐标为（﹣3，﹣9），
∴抛物线为y＝a（x+3）2﹣9，
∵点A（0，﹣6）在该抛物线上，
∴﹣6＝a（0+3）2﹣9，
解得a＝，
故答案为：．
15．解：∵y＝﹣x2+x+1与x轴交于点A、B，
则﹣x2+x+1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3．
交点坐标分别为：（﹣1，0），（3，0）；
∵y＝﹣x2+x+1与y轴交于点C，
∴C点的坐标为y＝1，即（0，1）．
∴△ABC的面积为：×AB×OC＝×4×1＝2．
故答案为：2．
16．解：由“上加下减”的原则可知，二次函数y＝2x2的图象向下平移1个单位得到y＝2x2﹣1，
由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2﹣1的图象向左平移2个单位可得到函数y＝2（x+2）2﹣1，
故答案是：y＝2（x+2）2﹣1．
17．解：由x2﹣2x﹣3＝0得x1＝3，x2＝﹣1，
所以AB距离为4，
要使△ABC的面积为10，C的纵坐标应为5，
把y＝5时代入函数y＝x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3＝5，
解得x1＝4，x2＝﹣2．
故答案为：（4，5）或（﹣2，5）．
18．解：当x＜﹣2或x＞8时，y1＞y2，
所以不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集为x＜﹣2或x＞8．
故答案为x＜﹣2或x＞8．
19．解：设这种商品每件降价x元，商场销售这种商品每周的利润为y元，由题意得：
y＝（70﹣40﹣x）（300+×30）＝﹣15x2+150x+9000＝﹣15（x﹣5）2+9375，
∵a＝﹣15＜0，
∴当x＝5时，y有最大值9375，即售价为70﹣5＝65元时，利润最大．
答：售价为65元时，周利润最大，最大利润是9375元．
20．解：（1）设AB长为x米，花圃面积为y平方米，由题意得：
y＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，
∴对称轴为x＝20，
由题意得：
，
解得22≤x＜40．
∵﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当x＞20时，y随x的增大而减小，
∴当x＝22时，y有最大值，最大值为792．
∴当AB长为22米时所围成的花圃面积最大，最大值是792平方米．
（2）由（1）知y＝﹣2x2+80x
令y＝350得：350＝﹣2x2+80x，
解得：x1＝5，x235，
∵22≤x＜40，
∴x＝35．
∴当花圃的面积为350平方米时，AB长为35米．
21．解：（1）∵点A（﹣4，0），B（1，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣2上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2；
（2）将△ABC以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，
∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2），
∴A′（0，﹣4），B′（0，1），C′（2，0），
如图1，设直线B′C′的解析式为y＝kx+b，
将点B′（0，1），C′（2，0）代入得，解得，
∴直线B′C′的解析式为，
解方程组得或（舍去），
B′C′与抛物线的交点坐标为（﹣2+，）；
A′B′与与抛物线的交点
坐标（0，﹣2），
A′C′与抛物线没有交点，
∴E点坐标为（﹣2+，）或（0，﹣2），
（3）存在．
抛物线的对称轴为直线x＝﹣，A（﹣4，0），C（0，﹣2），
当AC为边时，
如图2，若A点向右平移个单位可得M点，则C点向右平移个单位可得N点，即N点的横坐标为，当x＝时，y＝x2+x﹣2＝，此时N点坐标为（，）；
如图3，若C点向左平移个单位可得M点，则A点向左平移个单位可得N点，即N点的横坐标为﹣，当x＝﹣时，y＝x2+x﹣2＝，此时N点坐标为（﹣，）；
当AC为对角线时，
如图4，若，M点向右平移个单位可得C点，则A点向右平移个单位可得N点，即N点的横坐标为﹣，当x＝﹣时，y＝x2+x﹣2＝﹣，此时N点坐标为（﹣，﹣）．
综上所述，N点坐标为（，）或（﹣，）或（﹣，﹣）．
22．解：（1）抛物线与y轴的交点记作点E，
针对于抛物线y＝ax2+bx+3，
当x＝0时，y＝3，
∴抛物线与y轴的交点E的坐标为（0，3），
∵点B（1，6），点C（1，4），
∴BC∥y轴，
∴抛物线y＝ax2+bx+3经过点B、C两点中其中的一点，
而点A（﹣1，2），E（0，3），C（1，4），
∴点A，E，C从左到右，横坐标依次增加1，纵坐标也依次增加1，
∴点A，E，C再同一条直线上，
∴点C不在物线y＝ax2+bx+3上，
即抛物线y＝ax2+bx+3经过点A、B、C之中的A、B两个点；
（2）将点A（﹣1，2）、B（1，6）代入抛物线y＝ax2+bx+3中，得，
∴，
即a，b的值分别为1，2；
（3）由（2）知，a＝1，b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
由平移得，平移后新抛物线的解析式为y＝（x+1﹣t）2+2﹣2，
即新抛物线的解析式为y＝（x+1﹣t）2，
∵抛物线经过点C（1，4），
∴4＝（1+1﹣t）2，
∴t＝0（舍）或t＝4，
∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2，
∴顶点D（3，0），
∵点A（﹣1，2）、B（1，6），
∴AB＝＝2，AD＝＝2．BD＝＝2，
∴AB＝AD，AB2+AD2＝20+20＝40＝BD2，
∴△ABD是等腰直角三角形．
23．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，
∴，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴此抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1；
（3）联立方程组得：，
解得：（舍去），，
∴D（4，5）．
在直线y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，
∴F（0，1）
在抛物线y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，
∴E（0，﹣3）．
∴EF＝1﹣（﹣3）＝4．
过点D作DM⊥y轴于点M，
∴S△DEF＝EF?DM＝8．
24．解：（1）对于y＝﹣x2+6x+3，令x＝0，则y＝3，故点A（0，3），
令y＝﹣x2+6x+3＝3，解得x＝0或6，故点B（6，3），
故AB＝6；
（2）设P（m，﹣m2+6m+3），
∵∠P＝∠B，∠AHP＝∠OAB＝90°，
∴△ABO～△HPA，故，
∴＝，
解得m＝4．
∴P（4，11）；
（3）当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，
则2（AO+HQ）＝PH，
∴2（3+）＝﹣m2+6m，
解得：m1＝4，m2＝3，
∴P（4，11）或P（3，12）．
25．解：（1）把A（3，0）代入二次函数y＝﹣x2+2x+m得：
﹣9+6+m＝0，
m＝3；
（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x＝﹣1或3，
∴B（﹣1，0）；
（3）∵S△ABD＝S△ABC，
当y＝3时，﹣x2+2x+3＝3，
﹣x2+2x＝0，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或2，
∴只有（2，3）符合题意．
综上所述，点D的坐标为（2，3）；
（4）存在，理由：
①当AB是矩形的边时，此时，对应的矩形为ABP′Q′，
∵AO＝OC＝3，故∠PAB＝45°，
∴矩形ABP′Q′为正方形，
故点Q′的坐标为（3，4）；
②当AB是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，
同理可得，矩形APBQ为正方形，
故点Q的坐标为（1，﹣2），
故点Q的坐标为（3，4）或（1，﹣2）2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练28：直线与圆的位置关系（含答案）
一、知识要点：
直线和圆的位置关系
直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。这条直线叫做圆的割线。
直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有：
直线l和⊙O相交d＜r
；
直线l和⊙O相切d=r
；
直线l和⊙O相离d＞r
。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
二、课标要求：
1、知道三角形的内心。
2、了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。
三、常见考点：
1、直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系。2、切线的性质及判定。
四、专题训练：
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（　　）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
2．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　）
A．0≤b＜2
B．﹣2
C．﹣22
D．﹣2＜b＜2
3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（　　）
A．1
B．2
C．
D．
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点E，点F是AD与⊙O的交点，已知AB＝12，∠C＝60°，则弧FE的长等于（　　）
A．6π
B．3π
C．2π
D．π
5．如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC＝DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正确的结论有（　　）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
6．如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（　　）
A．DI＝DB
B．DI＞DB
C．DI＜DB
D．不确定
7．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（　　）
A．4
B．6.25
C．7.5
D．9
8．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）
A．4.5
B．4
C．3
D．2
9．如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为何？（　　）
A．174
B．176
C．178
D．180
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）
A．56°
B．62°
C．68°
D．78°
11．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为　
　．
12．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为　
　．
13．如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是　
　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB＝3，BC＝4，P是BC边上的动点，设BP＝x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP＝90°，则x的取值范围是　
　．
15．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为　
　．
16．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝40°，则∠B的度数是　
　°．
17．如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为　
　．
18．如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为　
　．
19．如图，点A、B、D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为　
　．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝　
　．
21．如图，⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，已知∠C＝90°，⊙O半径长为3cm，AC＝10cm，则AD长度为　
　cm．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为　
　°．
23．边长为1的正三角形的内切圆半径为　
　．
24．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC．
（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．
25．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．
（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．
26．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．
（1）求证：∠A＝∠DOB；
（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
27．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．
（1）求证：AE＝AF．
（2）若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半径．
28．如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE．
（1）求证：AB＝BM；
（2）若AB＝3，AD＝，求⊙O的半径．
29．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2a，∠ABC＝60°，过点B的⊙O与边AB，BC分别交于E，F两点．OG⊥BC，垂足为G，OG＝a．连接OB，OE，OF．
（1）若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由；
（2）若BE＝BF，求证：⊙O与AD相切于点A．
31．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB＝4，求FH的长（结果保留根号）．
32．如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．
（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．
33．如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线．
（2）如果BE＝2，CE＝4，求线段AD的长．
34．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点E是的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．
35．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若tan∠PAC＝，AC＝12，求直径AB的长．
36．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．
参考答案
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（　　）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
分析：根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可．
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，
∴＝＝，
∴AC＝4，
∴BC＝＝3，
∵r＝3，
∴BC＝r＝3，
∴⊙B与AC的位置关系是相切，
故选：B．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．
2．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　）
A．0≤b＜2
B．﹣2
C．﹣22
D．﹣2＜b＜2
分析：求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是（0，b），
当y＝0时，x＝b，则A的交点是（b，0），
则OA＝OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC＝2．
则OB＝OC＝2．即b＝2；
同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b＝﹣2．
则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2＜b＜2．
故选：D．
点评：本题考查了切线的性质，正确证得直线y＝﹣x+b与圆相切时，可得△OAB是等腰直角三角形是关键．
3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（　　）
A．1
B．2
C．
D．
分析：连接OB，根据菱形的性质得到OA＝AB，求得∠AOB＝60°，根据切线的性质得到∠DBO＝90°，解直角三角形即可得到结论．
解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝AB＝OB，
∴∠AOB＝60°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBO＝90°，
∵OB＝1，
∴BD＝OB＝，
故选：D．
点评：本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练正确切线的性质定理是解题的关键．
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点E，点F是AD与⊙O的交点，已知AB＝12，∠C＝60°，则弧FE的长等于（　　）
A．6π
B．3π
C．2π
D．π
分析：首先求出圆心角∠EOF的度数，再根据弧长公式l＝，即可解决问题．
解：如图，连接OE、OF，
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
∴∠OED＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝60°，
∴∠A＝∠C＝60°，∠D＝120°，
∵OA＝OF，
∴∠A＝∠OFA＝60°，
∴∠DFO＝120°，
∴∠EOF＝360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO＝30°，
∵AB＝12，
∴OA＝6，
∴的长为：．
故选：D．
点评：本题考查切线的性质、平行四边形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是求出圆心角的度数，熟记弧长公式．
5．如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC＝DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正确的结论有（　　）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
分析：根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案．
解：∵DC＝DP，
∴∠DPC＝∠DCP，
∵∠DPC＝∠APE，
∴∠DCP＝∠APE，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA；
∵∠OAC+∠APE＝90°，
∴∠OCA+∠DCP＝90°，
∴CD为⊙O的切线（①正确）；
②不一定；
连接CO，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCP＝∠AOC．
∵∠DCP＝（180°﹣2∠A），
又∵∠DCP＝（180°﹣∠CDP），
∴180°﹣2∠A＝180°﹣∠CDP，
∴∠CDP＝2∠A，③正确．
故选：B．
点评：本题主要考查了切线的判定的理解及运用．
6．如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（　　）
A．DI＝DB
B．DI＞DB
C．DI＜DB
D．不确定
分析：连接BI，如图，根据三角形内心的性质得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根据圆周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明∠4＝∠DBI，从而可判断DI＝DB．
解：连接BI，如图，
∵△ABC内心为I，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∵∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2，
∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，
即∠4＝∠DBI，
∴DI＝DB．
故选：A．
点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．
7．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（　　）
A．4
B．6.25
C．7.5
D．9
分析：利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠A＝90°，再利用切线的性质得到OF⊥AB，OE⊥AC，所以四边形OFAE为正方形，设OE＝AE＝AF＝r，利用切线长定理得到BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，所以5﹣r+12﹣r＝13，然后求出r后可计算出阴影部分（即四边形AEOF）的面积．
解：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，
∴AB2+CA2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，
∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形OFAE为正方形，
设OE＝r，
则AE＝AF＝r，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，
∴5﹣r+12﹣r＝13，
∴r＝＝2，
∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积是2×2＝4．
故选：A．
点评：本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质．
8．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）
A．4.5
B．4
C．3
D．2
分析：连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD＝DI，同理BE＝EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
解：连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI＝∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI＝∠AID，
∴∠BAI＝∠AID，
∴AD＝DI，
同理可得：BE＝EI，
∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选：B．
点评：本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
9．如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为何？（　　）
A．174
B．176
C．178
D．180
分析：连接CI，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由I点为△ABC的内心，可得出∠CAI、∠ACI、∠DCI的度数，利用三角形内角和定理可得出∠AIC、∠CID的度数，再由∠AID＝∠AIC+∠CID即可求出∠AID的度数．
解：连接CI，如图所示．
在△ABC中，∠B＝44°，∠ACB＝56°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°．
∵I点为△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAC＝40°，∠ACI＝∠DCI＝∠ACB＝28°，
∴∠AIC＝180°﹣∠CAI﹣∠ACI＝112°，
又ID⊥BC，
∴∠CID＝90°﹣∠DCI＝62°，
∴∠AID＝∠AIC+∠CID＝112°+62°＝174°．
故选：A．
点评：本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出∠AIC、∠CID的度数是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）
A．56°
B．62°
C．68°
D．78°
分析：由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，
∵∠AIC＝124°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）
＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）
＝68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B＝68°，
故选：C．
点评：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
11．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为　2﹣2或2+2．　．
分析：根据直线l：y＝﹣x+1由x轴的交点坐标A（0，1），B（2，0），得到OA＝1，OB＝2，求出AB＝；设⊙M与AB相切与C，连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，通过△BMC∽△BAO，即可得到结果．
解：在y＝﹣x+1中，
令x＝0，则y＝1，
令y＝0，则x＝2，
∴A（0，1），B（2，0），
∴AB＝；
如图，设⊙M与AB相切与C，
连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，
∵∠MCB＝∠AOB＝90°，∠ABO＝∠CBM，
∴△BMC～△BAO，
∴，即，
∴BM＝2，
∴OM＝2﹣2，或OM＝2+2．
∴m＝2﹣2或m＝2+2．
故答案为：2﹣2，2+2．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，注意分类讨论是解题的关键．
12．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为　4　．
分析：先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据△＝0即可求出m的值．
解：∵d、R是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且直线L与⊙O相切，
∴d＝R，
∴方程有两个相等的实根，
∴△＝16﹣4m＝0，
解得，m＝4，
故答案为：4．
点评：本题考查的是切线的性质及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键．
13．如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是　﹣≤x≤且x≠0　．
分析：由题意得x有两个极值点，过点P与⊙O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可．
解：将OA平移至P'D的位置，使P'D与圆相切，
连接OD，由题意得，OD＝1，∠DOP'＝45°，∠ODP'＝90°，
故可得OP'＝，即x的极大值为，
同理当点P在y轴左边时也有一个极值点，此时x取得极小值，x＝﹣，
综上可得x的范围为：﹣≤x≤．
又∵DP'与OA平行，
∴x≠0，
故答案为：﹣≤x≤且x≠0．
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，分别得出两圆与圆相切时求出OP的长是解决问题的关键，难度一般，注意两个极值点的寻找．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB＝3，BC＝4，P是BC边上的动点，设BP＝x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP＝90°，则x的取值范围是　3≤x≤4　．
分析：根据已知首先找出BP取最小值时QO⊥AC，进而求出△ABC∽△OQC，再求出x的最小值，进而求出PB的取值范围即可．
解：取BP中点O，以BP为直径作⊙O，
连接QO，当QO⊥AC时，QO最短，即BP最短，
∵∠OQC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△OQC，
∴＝，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
∵BP＝x，
∴QO＝x，CO＝4﹣x，
∴＝，
解得：x＝3，
当P与C重合时，BP＝4，
∴BP＝x的取值范围是：3≤x≤4，
故答案为：3≤x≤4．
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及三角形的相似的性质与判定和勾股定理等知识，找出当QO⊥AC时，QO最短即BP最短，进而利用相似求出是解决问题的关键．
15．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为　55°　．
分析：由直径所对的圆周角为直角得∠AED＝90°，由切线的性质可得∠ADC＝90°，然后由同角的余角相等可得∠C＝∠ADE＝55°．
解：∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°；
∵⊙O与BC相切，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠DAE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∵∠ADE＝55°，
∴∠C＝55°．
故答案为：55°．
点评：本题考查了切线的性质、圆的相关概念及性质及互余关系等知识点，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
16．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝40°，则∠B的度数是　25　°．
分析：先根据切线的性质得∠OAC＝90°，再利用互余计算出∠AOC＝90°﹣∠C＝50°，由于∠OBD＝∠ODB，利用三角形的外角性质得∠OBD＝∠AOC＝25°．
解：∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
而∠AOC＝∠OBD+∠ODB，
∴∠OBD＝∠AOC＝25°，
即∠ABD的度数为25°，
故答案为：25．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质．
17．如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为　2﹣π　．
分析：连接OD，根据菱形的性质得到OA＝AB，得到△OAB为等边三角形，根据切线的性质得到OD⊥AB，根据余弦的定义求出OD，根据菱形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
解：连接OD，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠A＝∠AOB＝60°，
∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴OD＝OA?sinA＝，
同理可知，△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴图中阴影部分的面积＝2×﹣＝2﹣π，
故答案为：2﹣π．
点评：本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、扇形面积公式是解题的关键．
18．如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为　　．
分析：连接OG，QG，证明△DOG∽△DFC，得出，设OG＝OF＝x，则，求出圆的半径为，证明△OFQ为等边三角形，求出CQ，CG，则可由三角形的面积公式求出答案．
解：连接OG，QG，
∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，
∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，
∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，
∴∠FDC＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∵⊙O与CD相切于点G，
∴OG⊥CD，
∵BC⊥CD，
∴OG∥BC，
∴△DOG∽△DFC，
∴，
设OG＝OF＝x，则，
解得：x＝，即⊙O的半径是．
连接OQ，作OH⊥FQ，
∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，
∴△OFQ为等边三角形；同理△OGQ为等边三角形；
∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH＝OQ＝，
∴QH＝＝，
∴CQ＝
∵四边形OHCG为矩形，
∴OH＝CG＝，
∴S阴影＝S△CGQ＝＝＝．
故答案为：．
点评：本题考查了扇形面积的计算，切线的性质，翻折变换，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键．
19．如图，点A、B、D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为　相切　．
分析：先利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出∠BOC＝2∠A＝50°，再求，∠OBC＝180°﹣50°﹣40°＝90°，可得结论．
解：∵∠BOC＝2∠A＝50°，∠OCB＝40°，
∴在△OBC中，∠OBC＝180°﹣50°﹣40°＝90度．
∴直线BC与⊙O相切．
点评：此题主要考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系，及圆的切线的判定．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝　1　．
分析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理可得AB＝5，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，可得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC，再根据切线长定理可得CE＝CF，所以矩形EOFC是正方形，可得CE＝CF＝r，所以AF＝AD＝3﹣r，BE＝BD＝4﹣r，进而可得△ABC的内切圆半径r的值．
解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
根据勾股定理，得AB＝5，
如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，
连接OD、OE、OF，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴四边形EOFC是矩形，
根据切线长定理，得
CE＝CF，
∴矩形EOFC是正方形，
∴CE＝CF＝r，
∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，
BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，
∵AD+BD＝AB，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
解得r＝1．
则△ABC的内切圆半径r＝1．
故答案为：1．
点评：本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．
21．如图，⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，已知∠C＝90°，⊙O半径长为3cm，AC＝10cm，则AD长度为　7　cm．
分析：连接OD、OE、OF，如图，根据内切圆的定义和切线的性质得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，接着证明四边形OECF为正方形，则CE＝OE＝3，所以AF＝AC﹣CF＝7，然后根据切线长定理求AD．
解：连接OD、OE、OF，如图，设⊙O的半径为r，
∵⊙O为△ABC内切圆，与三边分别相切于D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴四边形OECF为矩形
而OF＝OE，
∴四边形OECF为正方形，
∴CE＝OE＝3，
∵AC＝10，
∴AF＝AC﹣CF＝7，
∴AD＝AF＝7（cm）．故答案为7．
点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线的性质与切线长定理．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为　75　°．
分析：连接DO，FO，利用切线的性质得出∠ODA＝∠OFA＝90°，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出∠DOF的度数，进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数．
解：连接DO，FO，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°
∴∠A＝30°，
∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴∠ODA＝∠OFA＝90°，
∴∠DOF＝150°，
∴∠DEF的度数为75°．
故答案为：75．
点评：此题主要考查了圆周角定理以及切线的性质和四边形内角和定理等知识，得出∠DOF＝150°是解题关键．
23．边长为1的正三角形的内切圆半径为　　．
分析：根据等边三角形的三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的30°的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可．
解：∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，
则∠OBD＝30°，BD＝，
∴tan∠OBD＝＝，
∴内切圆半径OD＝＝．
故答案为：．
点评：此题主要考查了三角形的内切圆，注意：根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个30°的直角三角形．
24．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC．
（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．
分析：（1）连接OA、AD，可求得∠ACE＝∠AEC＝30°，可证明△AOD为等边三角形，可求得∠EAO＝90°，可证明AE为⊙O的切线；
（2）结合（1）可得到OA＝2，AE＝6，再根据圆的面积公式和扇形面积公式即可求解．
（1）证明：连接OA、AD，如图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
又∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠ACE＝30°，
又∵AE＝AC，OA＝OD，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠AEC＝30°，∠ADO＝∠DAO＝60°，
∴∠EAD＝30°，
∴∠EAD+∠DAO＝90°，
∴∠EAO＝90°，即OA⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知△AEO为直角三角形，且∠E＝30°，
∴OA＝2，AE＝6，
∴阴影部分的面积为×6×2﹣＝6﹣2π．
故阴影部分的面积为6﹣2π．
点评：本题主要考查切线的判定和性质，掌握切线的证明方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点证明垂直，没有切点时，作垂直证明距离等于半径．注意这类问题的常用辅助线的作法．
25．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．
（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．
分析：（1）连接OD，只需证明∠ODC＝90°即可；
（2）由（1）中的结论可得∠ODB＝30°，可求得弧AD的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可．
解：（1）相切．理由如下：
连接OD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD，
又∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥CB，
∴∠ODC＝∠C＝90°，
∴CD与⊙O相切；
（2）若∠CDB＝60°，可得∠ODB＝30°，
∴∠AOD＝60°，
又∵AB＝6，
∴AO＝3，
∴的长＝＝π．
点评：此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用．一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
26．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．
（1）求证：∠A＝∠DOB；
（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
分析：（1）连接OC，由D为的中点，得到＝，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）根据平行线的判定定理得到AE∥OD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到结论．
（1）证明：连接OC，
∵D为的中点，
∴＝，
∴∠BOD＝BOC，
∵∠BAC＝BOC，
∴∠A＝∠DOB；
（2）解：DE与⊙O相切，
理由：∵∠A＝∠DOB，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
27．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．
（1）求证：AE＝AF．
（2）若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半径．
分析：（1）由切线的性质得出∠FAB＝90°，由圆周角定理得出∠CAE＝∠D，∠D＝∠B，证得∠F＝∠CEA，则可得出结论；
（2）由锐角三角函数的定义得出，求出AE＝10，由勾股定理求出AC，则可求出AB的长．
（1）证明：∵AF与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AB，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F+∠B＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵＝，
∴∠CAE＝∠D，
∴∠D+∠CEA＝90°，
∵∠D＝∠B，
∴∠B+∠CEA＝90°，
∴∠F＝∠CEA，
∴AE＝AF．
（2）解：∵AE＝AF，∠ACB＝90°，
∴CF＝CE＝EF＝6，
∵∠ABF＝∠D＝∠CAE，
∴sin∠ABF＝sin∠CAE＝，
∴，
∴AE＝10，
∴AC＝＝＝8，
∵sin∠ABC＝＝＝，
∴AB＝，
∴OA＝AB＝．
即⊙O的半径为．
点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
28．如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE．
（1）求证：AB＝BM；
（2）若AB＝3，AD＝，求⊙O的半径．
分析：（1）根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可求出答案．
（2）连接BC，先求出EM与AE的长度，再证明△MAE∽△CBA，根据相似三角形的性质即可求出答案．
解：（1）∵AP为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，
∴AP⊥AC，
∴∠CAB+∠PAB＝90°，
∴∠AMD+∠AEB＝90°，
∵AB＝BE，
∴∠AEB＝∠CAB，
∴∠AMD＝∠PAB，
∴AB＝BM．
（2）连接BC，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∵∠CAB+∠PAB＝90°
∴∠C＝∠PAB，
∵∠AMD＝∠MAB，∠C＝∠D，
∴∠AMD＝∠D＝∠C，
∴AM＝AD＝，
∵AB＝3，AB＝BM＝BE，
∴EM＝6，
∴由勾股定理可知：AE＝＝，
∵∠AMD＝∠C，∠EAM＝∠ABC＝90°，
∴△MAE∽△CBA，
∴＝，
∴，
∴CA＝5，
∴⊙O的半径为2.5．
点评：本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理以及等腰三角形的性质．
29．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
分析：（1）连接AD、OD．先证明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，从而可证明∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性质可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD+∠EDA＝90°，由三角形的内角和定理可知∠DEA＝90°，于是可得到DE⊥AC．
（2）由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．
（1）证明：连接AD、OD．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ADO+∠ODB＝90°．
∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO＝90°．
∴∠EDA＝∠ODB．
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∴∠EDA＝∠OBD．
∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∵∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°．
∴∠DEA＝90°．
∴DE⊥AC．
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵⊙O的半径为5，BC＝16，
∴AC＝10，CD＝8，
∴AD＝＝6，
∵S△ADC＝AC?DE，
∴DE＝＝＝．
点评：本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的性质是解题的关键．
30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2a，∠ABC＝60°，过点B的⊙O与边AB，BC分别交于E，F两点．OG⊥BC，垂足为G，OG＝a．连接OB，OE，OF．
（1）若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由；
（2）若BE＝BF，求证：⊙O与AD相切于点A．
分析：（1）由垂径定理得到BG＝FG＝a，则BG＝OG，FG＝OG，所以△BOG和△OFG都是等腰直角三角形，则∠BOF＝90°，从而可判断△BOF为等腰直角三角形．
（2）连接EF，如图，先证明△BEF为等边三角形，再证明点E、O、G共线，即EG⊥BF，接着计算出BE＝2BG＝2a＝AB，则可判断点A与点E重合，然后证明AG⊥AD，从而得到⊙O与AD相切于点A．
（1）解：△BOF为等腰直角三角形．
理由如下：∵OG⊥BC，
∴BG＝FG＝BF＝a，
∵OG＝a，
∴BG＝OG，FG＝OG，
∴△BOG和△OFG都是等腰直角三角形，
∴∠BOG＝∠FOG＝45°，
∴∠BOF＝90°，
而OB＝OF，
∴△BOF为等腰直角三角形．
（2）证明：连接EF，如图，
∵∠EBF＝60°，BF＝BE，
∴△BEF为等边三角形，
∴EB＝EF，
∵OG垂直平分BF，
∴点E、O、G共线，
即EG⊥BF，
∵OG＝a，∠OBG＝30°，
∴BG＝OG＝a，
∴BE＝2BG＝2a，
而AB＝2a，
∴点A与点E重合，
∵AD∥BC，AG⊥BF，
∴AG⊥AD，
∴⊙O与AD相切于点A
点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等边三角形的判定与性质和垂径定理．
31．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB＝4，求FH的长（结果保留根号）．
分析：（1）连接OD，由等边三角形的性质得出AB＝BC，∠B＝∠C＝60°，证出△OBD是等边三角形，得出∠BOD＝∠C，证出OD∥AC，得出DE⊥OD，即可得出结论；
（2）先证明△OCF是等边三角形，得出CF＝OC＝BC＝AB＝2，再由三角函数即可求出FH．
解：（1）DE是⊙O的切线；理由如下：
连接OD，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOD＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接OF，如图2所示：
∵OC＝OF，∠C＝60°，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF＝OC＝BC＝AB＝2，
∵FH⊥BC，
∴∠FHC＝90°，
∴FH＝CF?sin∠C＝2×＝．
点评：本题考查了切线的判定、等边三角形的性质与判定、平行线的判定、三角函数；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
32．如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．
（1）求BC的长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．
分析：（1）根据圆周角定理求得∠ADB＝90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；
（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO＝90°即可．
证明：（1）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴BD＝2，
∵D是BC的中点，
∴BC＝2BD＝4；
（2）证明：连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，则∠EDO＝∠CED
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，∠EDO＝∠CED＝90°
∴DE是⊙O的切线．
点评：此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．
33．如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线．
（2）如果BE＝2，CE＝4，求线段AD的长．
分析：（1）连接OC，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠ACO，则AD∥OC，证得∠OCE＝90°，则可得出结论；
（2）连接BC，证明△CBE∽△AEC，由相似三角形的性质得出，由勾股定理求出AC的长，证明△DAC∽△CAB，得出，则可求出答案．
证明：（1）如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCE＝∠ADC，
∴∠OCE＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BC，
∵∠OCE＝90°，
∴∠OCB+∠BCE＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠OBC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCE＝∠CAB，
∵∠CEB＝∠AEC，
∴△CBE∽△AEC，
∴，
∴AE＝8，
∴AB＝6，
设CB＝x，则AC＝2x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴x2+（2x）2＝62，
解得，x＝．
∴AC＝，
∵∠DAC＝∠CAB，∠D＝∠ACB＝90°，
∴△DAC∽△CAB，
∴，
∴，
∴AD＝．
点评：本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会作常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
34．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点E是的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．
分析：（1）由垂径定理可得OE⊥BD，BH＝DH，由平行线的性质可得OE⊥EF，可证EF是⊙O的切线；
（2）由勾股定理可求BC的长，由面积法可求OH的长，由锐角三角函数可求BH的长，由平行线分线段成比例可求解．
证明：（1）连接OE，交BD于H，
∵点E是的中点，OE是半径，
∴OE⊥BD，BH＝DH，
∵EF∥BC，
∴OE⊥EF，
又∵OE是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，
∴OB＝3，
∴BC＝＝＝，
∵S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OH，
∴OH＝＝，
∵cos∠OBC＝，
∴＝，
∴BH＝，
∴BD＝2BH＝，
∵CG∥OD，
∴，
∴＝，
∴CG＝．
点评：本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线分线段成比例等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
35．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若tan∠PAC＝，AC＝12，求直径AB的长．
分析：（1）连接PO，交AC于H，由等腰三角形的性质可得∠PAC＝∠PCA，∠PAO＝∠OPA，由平行线的性质和圆周角定理可得∠DPA＝∠PAC＝∠PCA＝∠PBA，∠APB＝90°，可证∠DPO＝90°，可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可求AH＝HC＝AC＝6，由锐角三角函数可求PH＝4，由勾股定理可求AO的长，即可求解．
解：（1）连接PO，交AC于H，
∵PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∵∠PCA＝∠PBA，
∴∠PAC＝∠PCA＝∠PBA，
∵DP∥AC，
∴∠DPA＝∠PAC＝∠PCA＝∠PBA，
∵OA＝OP，
∴∠PAO＝∠OPA，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠PAB+∠ABP＝90°，
∴∠OPA+∠DPA＝90°，
∴∠DPO＝90°，
又∵OP是半径，
∴DP是⊙O的切线；
（2）∵DP∥AC，∠DPO＝90°，
∴∠DPO＝∠AHO＝90°，
又∵PA＝PC，
∴AH＝HC＝AC＝6，
∵tan∠PAC＝＝，
∴PH＝×AH＝4，
∵AO2＝AH2+OH2，
∴AO2＝36+（OA﹣4）2，
∴OA＝，
∴AB＝2OA＝13．
点评：本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
36．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．
分析：（1）连结OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；
（2）连结AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；
（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
（1）证明：连结OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：连结AE，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB
∴E为△PAB的内心；
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠PAB＝，
在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，
∴AC＝，AO＝，
∵△PAO∽△ABC，
∴，
∴PO＝＝＝5．2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练20：视图与投影（含答案）
一、知识要点：
1、投影
(1)投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影。
(2)平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。
(3)中心投影：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。
(4)正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
2、视图
(1)视图：从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。
视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影。
(2)主视图、俯视图、左视图
对一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图。
主视图与俯视图的长对正；主视图与左视图的高平齐；左视图与俯视图的宽相等。
二、课标要求：
1、通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。
2、会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体。
3、了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型。
4、通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用。
三、常见考点：
1、中心投影和平行投影。
2、常见几何体的三视图。
3、常见几何体的折叠与展开。
四、专题训练：
1．如图，在下面四种用相同的正方体储物箱堆放在一起的形态中，从正面看到的和从左面看到的图形不相同的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图所示的几何体的左视图是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．用棱长为1的小立方体摆成如图所示的几何体，从左面看这个几何体得到的平面图形的面积是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
4．如图，晚上小明在路灯下沿路从A处径直走到B处，这一过程中他在地上的影子（　　）
A．一直都在变短
B．先变短后变长
C．一直都在变长
D．先变长后变短
5．如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体从正面、左面、上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
6．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．同一时刻，小明在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，小明的身高为1.6米，则旗杆的高为（　　）
A．3.2米
B．4.8米
C．5.2米
D．5.6米
8．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到的这个几何体的形状图是（　　）
A．B．C．D．
9．由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则以下说法正确的是（　　）
A．x＝1或2，y＝3
B．x＝1或2，y＝1或3
C．x＝1，y＝1或3
D．x＝2，y＝1或3
10．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（　　）
A．7
B．8
C．9
D．10
11．如图是某几何体从不同方向看到的图形．若从正面看的高为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，求这个几何体的侧面积（结果保留π）为　
　．
12．长方体从正面看和从上面看所得到的图形如图所示，则这个长方体的体积是　
　．
13．如图所示的是三个直立在地面上的艺术字母的投影（阴影部分）效果，在艺术字母“L，K，C”的投影中，属于同一种投影是　
　．
14．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是　
　．
15．如图，是由几个边长为1的小立方体所组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的表面积为　
　．
16．由若干个相同的小正方体搭成的几何体的三视图相同，如图所示．至少再加　
　个小正方体，该几何体可成为一个正方体．
17．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为　
　m．
18．如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三种视图，则构成这个立体图形的小正方体的个数是　
　个．
19．小华家客厅有一张直径为1.2m，高为0.8m的圆桌AB，有一盏灯E到地面垂直距离EF为2m，圆桌的影子为CD，FC＝2，则点D到点F的距离为　
　m．
20．用小立方块搭一几何体，它的主视图和俯视图如图所示，这个几何体最少要　
　个立方块，最多要　
　个立方块．
21．如图所示的几何体是由七个相形状同的正方体搭成的，请画出这个几何体的从正面、从左面、从上面看到的形状图．
22．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图．
23．一个几何体的三视图如图所示．说出这个几何体的形状，并求出它的表面积．
24．把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形式．
（1）画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；
（2）直接写出该几何体的表面积为　
　cm2；
（3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加　
　小正方体．
参考答案
1．解：A、从正面看到的和从左面看到的图形相同，底层是三个小正方形，中层和上层的左边分别是一个小正方形，故本选项不合题意；
B、从正面看到的和从左面看到的图形相同，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
C、从正面看到的和从左面看到的图形相同，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
D、从正面看，底层是三个小正方形，上层是两个小正方形；从左面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．解：从左边看，是一列2个矩形．
故选：C．
3．解：从左面看这个几何体得到图形是，
此平面图形的面积是4，
故选：B．
4．解：在小明由A处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短，当他从路灯下走到B处时，他在地上的影子逐渐变长．
故选：B．
5．解：从主视图和俯视图可知，几何体的底层有3个正方体，
从主视图和左视图可知，几何体的第二层有2个正方体，
则搭成这个几何体的小正方体的个数为：3+2＝5，
故选：B．
6．解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：D．
7．解：设旗杆的高为x，有，可得x＝4.8米．
故选：B．
8．解：根据所给出的图形和数字可得：
主视图有4列，每列小正方形数目分别为1，2，3，2，
则符合题意的是
故选：C．
9．解：由俯视图可知，该组合体有两行两列，
左边一列前一行有两个正方体，结合主视图可知左边一列叠有2个正方体，故x＝1或2；
由主视图右边一列可知，右边一列最高可以叠3个正方体，故y＝3，
故选：A．
10．解：由俯视图易得最底层有6个小正方体，第二层最多有3个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为3+6＝9个．
故选：C．
11．解：观察三视图可得这个几何体是圆柱；
∵从正面看的高为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，
∴该圆柱的底面直径为4cm，高为10cm，
∴该几何体的侧面积为2πrh＝2π×2×10＝40π（cm2）．
故这个几何体的侧面积（结果保留π）为40πcm2．
故答案为：40πcm2．
12．解：由主视图和俯视图知，该长方体的长为4、宽为3、高为3，
则这个长方体的体积为4×3×3＝36．
故答案为：36．
13．解：根据题意，字母L、K的投影为中心投影，字母C的投影为平行投影．
故答案为L、K．
14．解：仔细观察物体的主视图和左视图可知：该几何体的下面最少要有2个小正方体，上面最少要有1个小正方体，
故该几何体最少有3个小正方体组成．
故答案为：3．
15．解：这个几何体的主视图有三列，从左到右分别是3，4，1，左视图有三列，从左到右分别是3，4，2，
表面积为：（8+9+6）×2＝46，
故答案为：46．
16．解：易得第一层有3个正方体，第二层有1个正方体，共有4个小正方体，
8﹣4＝4（个）．
故至少再加4个小正方体，该几何体可成为一个正方体．
故答案为：4．
17．解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴＝，即＝，
∴OP＝（m）．
故答案为．
18．解：由俯视图易得最底层有6个正方体，第二层有2个正方体，则构成这个立体图形的小正方体的个数是6+2＝8个．
故答案为：8．
19．解：如图，由题意得，AB＝1.2，GF＝0.8，EF＝2，FC＝2，
∵AB∥CD，
∴△EAB∽△ECD，
∴＝，
即＝，
解得，CD＝2，
∴DF＝CD+FC＝2+2＝4，
故答案为：4．
20．解：由主视图可得，这个几何体（第2列，第3列组合不唯一）最少要1+3+4＝8个立方块；
由主视图可得，这个几何体最多要1+4+6＝11个立方块；
故答案为：8，11．
21．解：如图所示：
22．解：如图所示：
23．解：由题意推知几何体是长方体，长、宽、高分别220mm、100mm、60mm，
（220×100+220×60+100×60）×2＝（22000+13200+6000）×2＝41200×2＝82400（mm2）．
故它的表面积是82400mm2．
24．解：（1）如图所示：
（2）几何体表面积：2×（5+4+3）+2＝26（cm2），
故答案为：26；
（3）最多可以再添加2个小正方体．
故答案为：22021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练12：函数及其图象（含答案）
一、知识要点：
1、坐标与象限
定义1：我们把有顺序的两个数a与b所组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。
定义2：平面直角坐标系即在平面内画互相垂直，原点重合的两条数轴。水平的数轴称为x轴或横轴，取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。
2、函数与图象
定义1：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。
定义2：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
定义3：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
定义4：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。这种式子叫做函数的解析式。
表示函数的方法：解析式法、列表法和图象法。解析式法可以明显地表示对应规律；列表法直接给出部分函数值；图象法能直观地表示变化趋势。
画函数图象的方法——描点法：
第1步，列表。表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第2步，描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第3步，连线。按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。
二、课标要求：
1、结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。
2、理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。
3、在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置(参见例65)。
4、对给定的正方形，会选择合适的直角坐标系写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形。
5、在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置
6、探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。
7、结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。
8、能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。
9、能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。
10、能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。
11、结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。
三、常见考点：
1、坐标系中点与坐标的对应关系，根据坐标所处象限确定相应字母的取值范围。
2、指出一个变化过程中的变量、常量、自变量、函数等，能找出自变量的取值范围。
3、根据问题列出函数解析式或画出对应的函数图象。
4、根据函数图象回答问题。
四、专题训练：
1．若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（　　）
A．±
B．4
C．±或4
D．4或﹣
2．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥1
B．x＞1
C．x≥1且x≠2
D．x≠2
3．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠0
B．x≥2
C．x＞2且x≠0
D．x≥2且x≠0
4．如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），能正确反映容器中水的高度（h）与时间（t）之间对应关系的大致图象是（　　）
A．B．C．D．
5．从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示，则对应容器的形状为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（米）和所用时间t（分钟）的关系图．则下列说法中错误的是（　　）
A．小明吃早餐用时5分钟
B．小华到学校的平均速度是240米/分
C．小明跑步的平均速度是100米/分
D．小华到学校的时间是7：55
8．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数表达式是y＝x+32．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为　
　℃．
9．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　
　．
10．函数y＝中自变量x的取值范围是　
　
11．若a0+a1x+a2x2+a3x3＝（1+x）3，则a1+a2+a3＝　
　．
12．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需　
　分钟到达终点B．
13．已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A地出发到B地，9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y（千米）与甲所用的时间x（分）之间的关系如图所示，则乙到达A地的时间为　
　．
14．小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是　
　米/分钟．
15．如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为　
　．
16．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，直线l⊥AB．当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示，则四边形ABCD的周长是　
　．
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点B出发，沿边BA→AC以2cm/s的速度向终点C运动，过点D作DE∥BC，交边AC（或AB）于点E．设点D的运动时间为t（s），△CDE的面积为S（cm2）．
（1）当点D与点A重合时，求t的值；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
18．看图说故事．
请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：
（1）指出变量x和y的含义；
（2）利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．
19．如图是小陈同学骑自行车上学的路程与时间的关系图，请你根据图象描述他上学路上的情况．
20．下图表示长沙市2003年6月份某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图回答下列问题：
（1）这天的最高气温是　
　℃；
（2）这天共有　
　个小时的气温在31℃以上；
（3）这天在　
　（时间）范围内温度在上升；
（4）请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约是多少度？答：　
　．
21．如图1，A、D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形DOABC的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．
参考答案
1．解：把y＝8代入函数，
先代入上边的方程得x＝，
∵x≤2，x＝不合题意舍去，故x＝﹣；
再代入下边的方程x＝4，
∵x＞2，故x＝4，
综上，x的值为4或﹣．
故选：D．
2．解：依题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故选：C．
3．解：由题意得，x﹣2≥0且x≠0，
∴x≥2．
故选：B．
4．解：由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快．
表现出的函数图形为先缓，后陡．
故选：D．
5．解：根据图象可知，容器大致为：容器底部比较粗，然后逐渐变细，然后又逐渐变粗，最后又变得细小，并且最后非常细，推断可能是C容器．
故选：C．
6．解：由于乌龟比兔子早出发，而早到终点；
故B选项正确；
故选：B．
7．解：A、小明吃早餐用时13﹣8＝5分钟，此选项正确；
B、小华到学校的平均速度是1200÷（13﹣8）＝240（米/分），此选项正确；
C、小明跑步的平均速度是（1200﹣500）÷（20﹣13）＝100（米/分），此选项正确；
D、小华到学校的时间是7：53，此选项错误；
故选：D．
8．解：根据题意得x+32＝x，
解得x＝﹣40．
故答案是：﹣40．
9．解：由题意得，1+x≥0且x+2≠0，
解得x≥﹣1且x≠﹣2，
所以，x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
10．解：根据题意得：x+1≥0且x≠0，
解得x≥﹣1且x≠0．
故答案为x≥﹣1且x≠0．
11．解：令x＝1，则a0+a1+a2+a3＝（1+1）3＝8①，
令x＝0，则a0＝（1+0）3＝1②，
①﹣②得，a1+a2+a3＝8﹣1＝7．
故答案为：7．
12．解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，
甲的速度是1÷6＝千米/分钟，
由纵坐标看出AB两地的距离是16千米，
设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得
10x+16×＝16，
解得x＝千米/分钟，
相遇后乙到达A站还需（16×）÷＝2分钟，
相遇后甲到达B站还需（10×）÷＝80分钟，
当乙到达终点A时，甲还需80﹣2＝78分钟到达终点B，
故答案为：78．
13．解：因为甲30分走完全程10千米，所以甲的速度是千米/分，
由图中看出两人在走了5千米时相遇，那么甲此时用了15分钟，则乙用了（15﹣10）分钟，
所以乙的速度为：5÷5＝1千米/分，所以乙走完全程需要时间为：10÷1＝10分，因为9：10乙才出发，所以乙到达A地的时间为9：20；
故答案为9：20．
14．解：由图知，他离家的路程为1600米，步行时间为20分钟，
则他步行回家的平均速度是：1600÷20＝80（米/分钟），
故答案为：80．
15．解：如图，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC，则四边形ABA′C为菱形，菱形的对角线交于点O，
由图②知，当点P与点B重合时，
y＝PA+PE＝AB+BE＝ABAB＝3，解得：AB＝2，即：菱形的边长为2，
则该菱形的高为AB＝3，
点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
则∠BAA′＝60°，故△AA′B为等边三角形，
∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，
而AB∥A′C，故∠PA′C为直角，A′C＝AB＝2，
则PC＝＝＝4，
此时b＝PC，a＝A′E＝3（菱形的高），
则a+b＝3+4＝7．
故答案为7．
16．解：∵∠B＝30°，直线l⊥AB，
∴BE＝2EF，
由图可得，
AB＝4cos30°＝4×＝2，
BC＝5，
AD＝7﹣4＝3，
由图象可得，
AN＝5﹣4＝1，ND＝CM＝7﹣5＝2，DM＝2，
∵∠B＝30°，EF⊥AB，
∴∠M＝60°，
又∵DM＝MC＝2，
∴△DMC是等边三角形，
∴DC＝DM＝2，
∴四边形ABCD的周长是：AB+BC+AD+CD＝2+5+3+2＝10+2，
故答案为：10+2．
17．解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
当点D与点A重合时，BD＝AB＝10cm，
∴t＝＝5（s）；
（2）当0＜t＜5时，（D在AB上），
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
＝＝，
∴，
∴＝＝，
解得：DE＝，CD＝t，
∵DE∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠CED＝90°，
∴S＝DE?CD＝×t＝﹣t2+t；
当t＝5时，点D与点A重合，△CDE不存在；
如图2，当5＜t＜8时，（D在AC上），
则AD＝2t﹣10，
∴CD＝16﹣2t，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝＝，
∴＝，
∴DE＝，
∴S＝DE?CD＝×（16﹣2t）＝﹣t2+t﹣，
综上所述，S关于t的函数解析式为S＝．
18．解：本题答案不唯一，下列解法供参考．
（1）该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y（单位：km）与他所用的时间x（单位：min）的关系；
（2）小明以0.4km/min的速度匀速骑了5min，在原地休息了6min，然后以0.5km/min的速度匀速骑车回出发地．
19．解：前3分钟匀速前进了500米，自行车没气了，打气花了2分，继续匀速前进，用5分钟走到学校．
20．解：（1）由图可知这天的最高气温15时时是36℃；
（2）气温在31℃以上的是从12时到21时，21﹣12＝9个小时；
（3）由图可知这天在3﹣15（时间）范围内温度在上升3度；
（4）次日凌晨1点的气温大约是25℃．
21．解：（1）连接AD，设点A的坐标为（a，0），
由图2知，DO+OA＝6cm，则DO＝6﹣AO＝6﹣a，
由图2知S△AOD＝4，
∴DO?AO＝a（6﹣a）＝4，
整理得：a2﹣6a+8＝0，
解得a＝2或a＝4，
由图2知，DO＞3，
∴AO＜3，
∴a＝2，
∴A的坐标为（2，0），
D点坐标为（0，4），
在图1中，延长CB交x轴于M，
由图2，知AB＝5cm，CB＝1cm，
∴MB＝3，
∴AM＝＝4．
∴OM＝6，
∴B点坐标为（6，3）；
（2）因为P在OA、BC、CD上时，直线PD都不能将五边形OABCD分成面积相等的两部分，
所以只有点P一定在AB上时，才能将五边形OABCD分成面积相等的两部分，
设点P（x，y），连PC、PO，则
S四边形DPBC＝S△DPC+S△PBC＝S五边形OABCD＝（S矩形OMCD﹣S△ABM）＝9，
∴6×（4﹣y）+×1×（6﹣x）＝9，
即x+6y＝12，
同理，由S四边形DPAO＝9可得2x+y＝9，
由，
解得x＝，y＝．
∴P（，），
设直线PD的函数关系式为y＝kx+4（k≠0），
则＝k+4，
∴k＝﹣，
∴直线PD的函数关系式为y＝﹣x+4．2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练2：实数（含答案）
一、知识要点：
1、平方根
定义1：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记作，读作“根号a”，a叫做被开方数。即。
规定：0的算术平方根是0。
定义2：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。即。
定义3：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
2、立方根
定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。
3、无理数
无限不循环小数又叫做无理数。
4、实数
有理数和无理数统称实数。即实数包括有理数和无理数。
备注：最小的正整数是1，最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0。
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。
5、实数的比较大小
有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
6、实数的运算
在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
二、课标要求：
1、了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
2、了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根。
3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。
4、能用有理数估计一个无理数的大致范围。
三、常见考点：
1、求一个数的算术平方根、平方根、立方根。
2、根据已知数的算术平方根(或立方根)求对应的数的算术平方根(或立方根)。
3、实数与数轴上点的对应关系，判断一个无理数的取值范围，实数的比较大小。
4、实数的分类；求一个实数的相反数、绝对值。
5、实数的加、减、乘、除、乘方、开方及混合运算(常与锐角三角函数值结合)。
四、专题训练：
1．已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞6
B．m＜6
C．m＞﹣6
D．m＜﹣6
2．已知|a﹣1|+＝0，则a+b＝（　　）
A．﹣8
B．﹣6
C．6
D．8
3．若与|b+1|互为相反数，则的值为（　　）
A．
B．+1
C．﹣1
D．1﹣
4．已知实数x、y满足+|y+3|＝0，则x+y的值为（　　）
A．﹣2
B．2
C．4
D．﹣4
5．将一组数，，3，2，，…，3，按下面的方式进行排列：
，，3，2，；
3，，2，3，；…
若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（　　）
A．（5，2）
B．（5，3）
C．（6，2）
D．（6，5）
6．若a＝（﹣3）13﹣（﹣3）14，b＝（﹣0.6）12﹣（﹣0.6）14，c＝（﹣1.5）11﹣（﹣1.5）13，则下列有关a、b、c的大
小关系，何者正确？（　　）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a
7．若＜a＜，则下列结论中正确的是（　　）
A．1＜a＜3
B．1＜a＜4
C．2＜a＜3
D．2＜a＜4
8．一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝　
　．
9．按一定规律排成的一列数依次为：，，，，，，…按此规律排下去，这列数中的第10个数是　
　．
10．已知+|b﹣1|＝0，则a+1＝　
　．
11．下列实数中：①，②，③，④0，⑤﹣1.010010001．其中是无理数的有　
　（填序号）．
12．如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B，若点A是BC的中点，则点C表示的数为　
　．
13．在实数﹣5，﹣，0，π，中，最大的一个数是　
　．
14．a是的整数部分，b的立方根为﹣2，则a+b的值为　
　．
15．计算：＝　
　．
16．计算：﹣（﹣2016）0+|﹣3|﹣4cos45°．
17．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限，近似地满足如下的关系式：d＝7×（t≥12）．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年．
（1）计算冰川消失16年后苔藓的直径；
（2）如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
18．如图，数轴上点A表示，点A关于原点的对称点为B，设点B所表示的数为x，求（x﹣）0+x的值．
19．如图，数轴上表示的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，设点C所示的数为x，求的值．
20．比较下列四个算式结果的大小：（在横线上选填“＞”、“＜”或“＝”＞
42+52　
　2×4×5；
（﹣1）2+22　
　2×（﹣1）×2；
（）2+（）2　
　2××；
32+32　
　2×3×3．
通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．
21．计算：（﹣）﹣1++2cos60°﹣（π﹣1）0．
22．计算：（﹣1）2020+（﹣）﹣2﹣|2﹣|+4sin60°；
参考答案
1．解：根据题意得：，
解得：，
则6﹣m＜0，
解得：m＞6．
故选：A．
2．解：根据题意得，a﹣1＝0，7+b＝0，
解得a＝1，b＝﹣7，
所以，a+b＝1+（﹣7）＝﹣6．
故选：B．
3．解：∵与|b+1|互为相反数，
∴+|b+1|＝0，
∴a+＝0且b+1＝0，
∴a＝﹣，b＝﹣1，
∴＝+1．
故选：B．
4．解：∵+|y+3|＝0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0；
∴x＝1，y＝﹣3，
∴原式＝1+（﹣3）＝﹣2
故选：A．
5．解：3＝，3得被开方数是的被开方数的30倍，
3在第六行的第5个，即（6，5）
是（6，2）
故选：C．
6．解：∵a﹣b＝（﹣3）13﹣（﹣3）14﹣（﹣0.6）12+（﹣0.6）14＝﹣313﹣314﹣12+14＜0，
∴a＜b，
∵c﹣b＝（﹣1.5）11﹣（﹣1.5）13﹣（﹣0.6）12+（﹣0.6）14＝（﹣1.5）11+1.513﹣0.612+0.614＞0，
∴c＞b，
∴c＞b＞a．
故选：D．
7．解：∵1＜2，3＜4，
又∵＜a＜，
∴1＜a＜4，
故选：B．
8．解：根据题意知x+1+x﹣5＝0，
解得：x＝2，
故答案为：2．
9．解：分子可以看出：，，，，……，
故第10个数的分子为，
分母可以看出：第奇数个分母是其个数的平方加1，例如：12+1＝2，32+1＝10，52+1＝26，
第偶数个分母是其个数的平方减1，例如：22﹣1＝3，42﹣1＝15，62﹣1＝35，
故这列数中的第10个数是：＝．
故答案为：．
10．解：∵+|b﹣1|＝0，
∴b﹣1＝0，a﹣b＝0，
解得：b＝1，a＝1，
故a+1＝2．
故答案为：2．
11．解：下列实数中：①，②，③，④0，⑤﹣1.010010001．其中是无理数的为：②③，
故答案为②③
12．解：设点C表示的数是x，
∵数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B，点A是BC的中点，
∴＝1，解得x＝2﹣．
故答案为2﹣．
13．解：根据实数比较大小的方法，可得
π＞＞0＞＞﹣5，
故实数﹣5，，0，π，其中最大的数是π．
故答案为：π．
14．解：∵3＜＜4，
∴a＝3，
∵b的立方根为﹣2，
∴b＝﹣8，
则a+b＝3﹣8＝﹣5．
故答案为：﹣5．
15．解：原式＝（3+4﹣1﹣2）×505＝4×505＝2020．
故答案为2020．
16．解：原式＝2﹣1+3﹣4×＝2．
17．解：（1）当t＝16时，d＝7×＝7×2＝14cm；
（2）当d＝35时，＝5，即t﹣12＝25，解得t＝37年．
答：冰川消失16年后苔藓的直径为14cm，冰川约是在37年前消失的．
18．解：∵点A表示的数是，且点B与点A关于原点对称，
∴点B表示的数是，即x＝﹣，
则（x﹣）0+x＝（﹣﹣）0+×（﹣）＝1﹣2＝﹣1．
19．解：根据题意得AB＝﹣1，
又∵AC＝AB，
∴AC＝﹣1，
∴x＝1﹣（﹣1）＝2﹣，
∴x+＝2﹣+＝2﹣+2+＝4．
答：的值为4．
20．解：∵42+52＝41，2×4×5＝40，∴42+52＞2×4×5；
∵（﹣1）2+22＝5，2×（﹣1）×2＝﹣4，∴（﹣1）2+22＞2×（﹣1）×2；
∵（）2+（）2＝3，2××＝，
∴（）2+（）2＞2××；
∵32+32＝18，2×3×3＝18，
∴32+32＝2×3×3．
通过观察上述关系式发现，等式的左边都是两个数的平方和的形式，右边是前面两数不平方乘积的2倍，通过几个例子发现两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．
设两个实数a、b，则a2+b2≥2ab．
21．解：原式＝＝0，故答案为：0．
22．解：原式＝1+4﹣（2﹣2）+4×，＝1+4﹣2+2+2＝7．2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练11：不等式与不等式组（含答案）
一、知识要点：
1、定义
定义1：用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式。用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
定义2：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
定义3：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
定义4：求不等式的解集的过程叫做解不等式。
定义5：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
定义6：几个不等式的解集的公共部分，叫做由他们所组成的不等式组的解集。
2、不等式的性质
性质1：若a＞b，则a±c＞b±c。不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
性质2：若a＞b，c＞0，则ac＞bc，＞。不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：若a＞b，c＜0，则ac＜bc，＜。不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
对于不等式组，应先求出各不等式的解集，然后在数轴上表示，找出解集的公共部分。
3、不等式(组)与实际问题
解有关不等式(组)实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列不等式(组)。根据题中各个量的关系列不等式(组)。
第4步：解不等式(组)，找出满足题意的解(集)。
第5步：答。
二、课标要求：
1、结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。
2、能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。
3、能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。
三、常见考点：
1、一元一次不等式及不等式组的基本概念，能根据具体问题列出不等式(组)。
2、特定式子中字母的取值范围，不等式与函数图象的结合(在后面函数复习中体现)。
3、解一元一次不等式及不等式组，并能在数轴上表示出解集。
4、应用一元一次不等式及不等式组解决实际问题。
四、专题训练：
1．关于x的方程3x﹣2m＝1的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣
B．m＞﹣
C．m＞
D．m＜
2．已知a、b、c、d都是正实数，且＜，给出下列四个不等式：
①＜；②＜；③；④＜
其中不等式正确的是（　　）A．①③
B．①④
C．②④
D．②③
3．不等式组的解集为x＜6m+3，则m的取值范围是（　　）
A．m≤0
B．m＝0
C．m＞0
D．m＜0
4．不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．不等式组的解在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．已知方程组：的解x，y满足2x+y≥0，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣
B．m≥
C．m≥1
D．﹣≤m≤1
7．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（　　）
A．40%
B．33.4%
C．33.3%
D．30%
8．已知ab＝2．
①若﹣3≤b≤﹣1，则a的取值范围是　
　；
②若b＞0，且a2+b2＝5，则a+b＝　
　．
9．已知不等式组无解，则a的取值范围为　
　．
10．在数轴上表示不等式组的解集如图，则不等式组的解集为　
　．
11．若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是　
　．
12．如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是　
　．
13．苹果的进价为每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗，为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克　
　元．
14．试写出一个由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，使它的解集是﹣1＜x≤2，这个不等式组是　
　．
15．已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为　
　．
16．不等式组的所有整数解的和是　
　．
17．关于x的两个不等式①＜1与②1﹣3x＞0
（1）若两个不等式的解集相同，求a的值；
（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．
18．解不等式：3x﹣1≥2（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．
19．解不等式＜x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．
20．友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）当x＝8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
21．学校要组织去春游，小陈用50元负责购买小组所需的两种食品，买第一种食品共花去了30元，剩余的钱还要买第二种食品，已知第二种食品的单价为6元/件，问：小陈最多能买第二种食品多少件？
22．某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品女装．已知2件A型女装和3件B型女装共需5600元；1件A型女装和2件B型女装共需3400元．
（1）求A，B型女装的单价
（2）专卖店购进A，B两种型号的女装共60件，其中A型的件数不少于B型件数的2倍，如果B型女装打八折，那么该专卖店至少需要准备多少贷款？
23．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　
　；
（Ⅱ）解不等式②，得　
　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为　
　．
24．解不等式组：
参考答案
1．解：解方程3x﹣2m＝1得：x＝，
∵关于x的方程3x﹣2m＝1的解为正数，
∴＞0，
解得：m＞﹣，
故选：B．
2．解：∵＜，a、b、c、d都是正实数，
∴ad＜bc，
∴ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），
∴＜，所以①正确，②不正确；
∵＜，a、b、c、d都是正实数，
∴ad＜bc，
∴bd+ad＜bd+bc，即d（a+b）＜b（d+c），
∴＜，所以③正确，④不正确．
故选：A．
3．解：原不等式组可化为，
由①得，x＜6m+3，
由②得，x＜，
∵不等式组的解集为x＜6m+3，
根据“同小取较小”的原则可知，≥6m+3，即11m≤0，
∴m≤0．
故选：A．
4．解：不等式两边同乘12得：8x﹣3（x﹣5）＞10，
去括号，移项，合并同类项得：5x＞﹣5，
x系数化为1，得：x＞﹣1
故选：C．
5．解：由x+1＞2，得x＞1；
由3﹣x≥1，得x≤2，
不等式组的解集是1＜x≤2，
故选：C．
6．解：，
②﹣①×2得，
7x＝﹣m+1，
解得x＝﹣﹣﹣③；
把③代入①得，
y＝﹣﹣﹣④；
∵2x+y≥0，
∴×2+≥0，
解得m≥﹣．
故选：A．
7．解：设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，由题意得：
×100%≥20%，
解得：x≥≈33.4%，
经检验，x≥是原不等式的解．
∵超市要想至少获得20%的利润，
∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%．
故选：B．
8．解：①∵ab＝2即b＝，①若﹣3≤b≤﹣1，即﹣3≤≤﹣1，解得﹣2≤a≤﹣；
②若b＞0，且a2+b2＝5，则
（a+b）2＝a2+b2+2ab＝5+2×2＝9，
所以a+b＝3．
故答案为：①﹣2≤a≤﹣；②3．
9．解：∵不等式组无解，
∴a﹣1≤1，
解得：a≤2，
故答案为：a≤2．
10．解：在数轴上表示如下：
不等式组的解集是x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
11．解：解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，
∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，
①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0?x＜13恒成立；
②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，
∴m﹣6＜0，即m＜6，
∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞，
∵x＞﹣4都能使x＞成立，
∴﹣4≥，
∴﹣4m+24≤2m+1，
∴m≥，
综上所述，m的取值范围是≤m≤6．
故答案为：≤m≤6．
12．解：若x为偶数，根据题意，得：x×4+13＞100，
解之，得：x＞，
所以此时x的最小整数值为22；
若x为奇数，根据题意，得：x×5＞100，
解之，得：x＞20，
所以此时x的最小整数值为21，
综上，输入的最小正整数x是21．
13．解：设商家把售价应该定为每千克x元，
根据题意得：x（1﹣5%）≥3.8，
解得，x≥4，
所以为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克4元．
14．解：根据解集﹣1＜x≤2，构造的不等式为．
答案不唯一．
15．解：∵b＜0＜a，
∴关于x的不等式组的解集为：x＞a，
故答案为：x＞a．
16．解：，
由①得：x≤3，
由②得：x，
不等式组的解集为：﹣＜x≤3，
则不等式组的整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，
所有整数解的和：﹣2﹣1+0+1+2+3＝3．
故答案为：3．
17．解：（1）由①得：x＜，
由②得：x＜，
由两个不等式的解集相同，得到＝，
解得：a＝1；
（2）由不等式①的解都是②的解，得到≤，
解得：a≥1．
18．解：3x﹣1≥2（x﹣1），
3x﹣1≥2x﹣2，
3x﹣2x≥﹣2+1，
x≥﹣1；
将不等式的解集表示在数轴上如下：
19．解：去分母，得：5x﹣1＜3x+3，
移项，得：5x﹣3x＜3+1，
合并同类项，得：2x＜4，
系数化为1，得：x＜2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
20．解：设购买A型号笔记本电脑x台时的费用为w元，
（1）当x＝8时，
方案一：w＝90%a×8＝7.2a，
方案二：w＝5a+（8﹣5）a×80%＝7.4a，
∴当x＝8时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7.2a元；
（2）∵若该公司采用方案二购买更合算，
∴x＞5，
方案一：w＝90%ax＝0.9ax，
方案二：当x＞5时，w＝5a+（x﹣5）a×80%＝5a+0.8ax﹣4a＝a+0.8ax，
则0.9ax＞a+0.8ax，
x＞10，
∴x的取值范围是x＞10．
21．解：设第二种食品买x件，根据题意得
6x+30≤50
解得x≤，
所以第二种食品最多买3件．
22．解：（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元，
依题意得：，
解得．
答：A型女装的单价是1000元，B型女装的单价是1200元；
（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60﹣m）件，
根据题意，得m≥2（60﹣m），
∴m≥40，
设购买A、B两种型号的女装的总费用为w元，
w＝1000m+1200×0.8×（60﹣m）＝40m+57600，
∵40＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w最小＝40×40+57600＝59200．
答：该专卖店至少需要准备59200元的贷款．
23．解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．
故答案为：x≥﹣2，x≤1，﹣2≤x≤1．
24．解：
∵解不等式①得：x≤﹣1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集为x≤﹣12021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练22：全等三角形（含答案）
一、知识要点：
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
3、三角形全等的判定
(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。
(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
二、课标要求：
1、理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。
2、掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。
3、掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
4、掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
5、证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
6、探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
三、常见考点：
1、全等三角形的概念、性质及其应用。2、三角形全等的判定。
3、全等三角形的性质和判定在几何问题中的综合运用。
四、专题训练：
1．用两个全等的直角三角形拼成凸四边形，拼法共有（　　）
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
2．如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）
A．∠E＝∠ABC
B．AB＝DE
C．AB∥DE
D．DF∥AC
3．已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）
A．①正确，②错误
B．①错误，②正确
C．①，②都错误
D．①，②都正确
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有（　　）
A．4对
B．6对
C．8对
D．10对
5．如图，有两个三角锥ABCD、EFGH，其中甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．若∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则下列叙述何者正确（　　）
A．甲、乙全等，丙、丁全等
B．甲、乙全等，丙、丁不全等
C．甲、乙不全等，丙、丁全等
D．甲、乙不全等，丙、丁不全等
6．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（　　）
A．SAS
B．AAS
C．SSS
D．ASA
7．如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为a，梯子的底端位于AB上的点P，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离BC为b，梯子的倾斜角∠BPC为45°；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D处，点D到AB的距离AD为c，且此时梯子的倾斜角∠APD为75°，则AB的长等于（　　）
A．a
B．b
C．
D．c
8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC边上，且CE＝2BE，连接AE交BD于点G，过点B作BF⊥AE于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作OP⊥OF交DC于点N，S四边形MONC＝，现给出下列结论：①；②sin∠BOF＝；③OF＝；④OG＝BG；其中正确的结论有（　　）
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
9．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM＝BE，AN＝AD，则△CMN的形状是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．不等边三角形
11．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
12．如图，一束光线从点A（4，4）出发，经y轴上的点C反射后经过点B（1，0），则点C的坐标是（　　）
A．（0，）
B．（0，）
C．（0，1）
D．（0，2）
13．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝　
　度．
14．如图，在?ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F；点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为　
　．
15．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是　
　（只填序号）．
16．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是　
　．
17．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　
　（只需写一个，不添加辅助线）．
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝　
　度．
19．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　
　，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
20．如图，D是等边三角形ABC外一点．若BD＝8，CD＝6，连接AD，则AD的最大值与最小值的差为　
　．
21．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　
　．
22．现有A、B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有　
　种．
23．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：（1）OA＝OB；
（2）AB∥CD．
24．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．
25．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC与△DEC全等．
26．如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE．请你添加一个条件，使AC＝DF（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．
添加的条件是：　
　．
27．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．
28．如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
29．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F．
（1）若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；
（2）若AD＝DC＝2，求AF的长．
参考答案
1．解：
可拼成如上图所示的四种凸四边形．
故选：B．
2．解：A．添加∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故A选项不符合题意．
B．添加DE＝AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故B选项符合题意；
C．添加AB∥DE，可得∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项不符合题意；
D．添加DF∥AC，可得∠DFE＝∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项不符合题意；
故选：B．
3．解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，
∴B1C1＝B2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS），∴①正确；
∵∠A1＝∠A2、∠B1＝∠B2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，
设相似比为k，即＝＝＝k，
∴＝k，
∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，
∴k＝1，
即A1B1＝A2B2，B1C1＝B2C2，A1C1＝A2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2，∴②正确；
故选：D．
4．解：图中全等三角形有：△ABO≌△ADO、△ABO≌△CDO，△ABO≌△CBO；
△AOD≌△COD，△AOD≌△COB；
△DOC≌△BOC；
△ABD≌△CBD，
△ABC≌△ADC，
共8对．
故选：C．
5．解：∵∠ACB＝CAD＝70°，∠BAC＝∠ACD＝50°，AC为公共边，
∴△ABC≌△ACD，即甲、乙全等；
△EHG中，∠EGH＝70°≠∠EHG＝50°，即EH≠EG，
虽∠EFG＝∠EGH＝70°，∠EGF＝∠EHG＝50°，
∴△EFG不全等于△EGH，即丙、丁不全等．
综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确，
故选：B．
6．解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
故选：A．
7．解：过点C作CE⊥AD于E，如图所示：
则四边形ABCE是矩形，
∴AB＝CE，∠CED＝∠DAP＝90°，
∵∠BPC＝45°，∠APD＝75°，
∴∠CPD＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∵CP＝DP＝a，
∴△CPD是等边三角形，
∴CD＝DP，∠PDC＝60°，
∵∠ADP＝90°﹣75°＝15°，
∴∠EDC＝15°+60°＝75°，
∴∠EDC＝∠APD，
在△EDC和△APD中，
，
∴△EDC≌△APD（AAS），
∴CE＝AD，
∴AB＝AD＝c，
故选：D．
8．解：如图，过点O作OH∥BC交AE于点H，过点O作OQ⊥BC交BC于点Q，过点B作BK⊥OM交OM的延长线于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠BOM+∠MOC＝90°．
∵OP⊥OF，
∴∠MON＝90°，
∴∠CON+∠MOC＝90°，
∴∠BOM＝∠CON，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴S△BOM＝S△CON，
∴，
∴，
∴．
∵CE＝2BE，
∴，
∴．
∵BF⊥AE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BM＝，MQ＝．
∵AD∥BC，
∴，故①正确；
∵OH∥BC，
∴，
又∵CE＝2BE，
∴OH＝BE，AH＝HE＝．
∵∠HGO＝∠EGB，
∴△HOG≌△EBG（AAS），
∴OG＝BG，故④正确；
∵OQ2+MQ2＝OM2，
∴，
∴，故③正确；
∵，
即，
∴，
∴，故②错误；
∴正确的有①③④．
故选：D．
9．解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正确
∵∠DOF＝∠AOE，
∴∠DFO＝∠EAO＝90°，
∴BD⊥EC，故②正确，
∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠EFB，
∴∠AFE＝45°，故④正确，
若③成立，则∠EAF＝∠BAF，
∵∠AFE＝∠AFB，
∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，
所以AF不一定平分∠CAD，故③错误，
故选：C．
10．解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴BC＝AC，EC＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
在△BCE与△ACD中
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，
∵BM＝BE，AN＝AD，
∴BM＝AN，
在△MBC与△NAC中
，
∴△MBC≌△NAC（SAS），
∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，
∵∠BCM+∠MCA＝60°，
∴∠NCA+∠MCA＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MCN是等边三角形，
故选：C．
11．解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与OA＞OC矛盾，
∴③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
12．解：如图所示，延长AC交
x轴于点D．
∵这束光线从点A（4，4）出发，经y轴上的点C反射后经过点B（1，0），
∴设C（0，c），由反射定律可知，
∠1＝∠OCB
∴∠OCB＝∠OCD
∵CO⊥DB于O
∴∠COD＝∠BOC
∴在△COD和△COB中
∴△COD≌△COB（ASA）
∴OD＝OB＝1
∴D（﹣1，0）
设直线AD的解析式为y＝kx+b，则将点A（4，4），点D（﹣1，0）代入得
∴
∴直线AD为y＝
∴点C坐标为（0，）．故选：B．
13．解：∵△OAD≌△OBC，
∴∠OAD＝∠OBC；
在△OBC中，∠O＝65°，∠C＝20°，
∴∠OBC＝180°﹣（65°+20°）＝180°﹣85°＝95°；
∴∠OAD＝∠OBC＝95°．
故答案为：95．
14．解：①当BM＝AB时，设AB＝AC＝m，则BM＝m，
∵O是两条对角线的交点，
∴OA＝OC＝AC＝m，
∵∠B＝30°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝30°，
∵EF⊥AC，
∴cos∠ACB＝，即cos30°＝，
∴FC＝m，
∵AE∥FC，
∴∠EAC＝∠FCA，
又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE＝FC＝m，
∴OE＝AE＝m，
∴S△AOE＝OA?OE＝××m＝m2，
作AN⊥BC于N，
∵AB＝AC，
∴BN＝CN＝BC，
∵BN＝AB＝m，
∴BC＝m，
∴BF＝BC﹣FC＝m﹣m＝m，
作MH⊥BC于H，
∵∠B＝30°，
∴MH＝BM＝m，
∴S△BMF＝BF?MH＝×m×m＝m2，
∴＝＝．
②当BM＝AB时，同法可得＝
故答案为或．
15．解：∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB
∴若添加①∠A＝∠D，则可由AAS判定△ABC≌△DCB；
若添加②AC＝DB，则属于边边角的顺序，不能判定△ABC≌△DCB；
若添加③AB＝DC，则属于边角边的顺序，可以判定△ABC≌△DCB．
故答案为：②．
16．解：添加AC＝BC，
∵△ABC的两条高AD，BE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
在△ADC和△BEC中，
∴△ADC≌△BEC（AAS），
故答案为：AC＝BC．
17．解：添加AB＝ED，
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AB＝ED．
18．解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠EAF+∠AFE＝90°，∠DBF+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE（对顶角相等）
∴∠EAF＝∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD＝AD，
即∠ABC＝∠BAD＝45°．
故答案为：45．
19．解：添加的条件是：AB＝ED，
理由是：∵在Rt△ABC和Rt△EDF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA），
故答案为：AB＝ED．
20．解：如图，以CD为边向外作等边△CDE，连接BE，
∵△CDE和△ABC是等边三角形，
∴CE＝CD，CB＝CA，∠ECD＝∠BCA＝60°，
∴∠ECB＝∠DCA，
在△ECB和△DCA中，，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE＝AD，
∵DE＝CD＝6，BD＝8，
∴在△BDE中，BD﹣DE＜BE＜BD+DE，
即8﹣6＜BE＜8+6，
∴2＜BE＜14，
∴2＜AD＜14．
则当B、D、E三点共线时，可得BE的最大值与最小值分别为14和2．
∴AD的最大值与最小值的差为14﹣2＝12．
故答案为：12．
21．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝，
∴AP＝AD﹣PD＝，
∴PE＝＝＝2，
∵点G，H分别是EC，CP的中点，
∴GH＝EP＝1；
设DF，CE交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴BE＝CF，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠COF＝90°，
∴DF⊥CE，
∴CE＝DF＝＝，
∵点G，H分别是EC，PC的中点，
∴CG＝FH＝，
∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，
∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠FCO＝∠CDO，
∵∠DCF＝∠COF＝90°，
∴△COF∽△DOC，
∴＝，
∴CF2＝OF?DF，
∴OF＝＝＝，
∴OH＝，OD＝，
∵∠COF＝∠COD＝90°，
∴△COF∽△DOC，
∴，
∴OC2＝OF?OD，
∴OC＝＝，
∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，
∴HG＝＝＝1，
故答案为：1．
22．解：输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有4种，如图所示；
故答案为4．
23．证明：（1）∵△ABC≌△BAD，
∴∠CAB＝∠DBA，
∴OA＝OB．
（2）∵△ABC≌△BAD，
∴AC＝BD，
又∵OA＝OB，
∴AC﹣OA＝BD﹣OB，
即：OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠AOB＝∠COD，∠CAB＝，∠ACD＝，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴AB∥CD．
24．证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴CE＝CD，BC＝AC，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
∴∠ECB＝∠DCA，
在△CDA与△CEB中，
∴△CDA≌△CEB（SAS）．
25．解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠3+∠4＝∠4+∠5，
∴∠3＝∠5，
在△ACD中，∠ACD＝90°，
∴∠2+∠D＝90°，
∵∠BAE＝∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS）．
26．解：添加的条件例举：BC＝EF，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，BF＝CE等．
证明例举（以添加条件BC＝EF为例）．
∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°；
∵BC＝EF，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF．
故填空答案：BC＝EF或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或BF＝CE．
27．解：AD是△ABC的中线．
理由如下：
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BD＝CD．
∴AD是△ABC的中线．
28．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°
∵AB＝CF，
∴CF＝CD，
∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．
29．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣40°）＝×140°＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝×70°＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝∠ABD+∠BAF＝35°+90°＝125°；
（2）∵AE∥BC，
∴∠E＝∠DBC，
在△ADE和△CDB中，
，
∴△ADE≌△CDB（AAS），
∴AE＝BC，
∵∠E＝∠DBC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠E＝∠ABD，
∴AB＝AE，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝30°，
∵AD＝DC＝2，
∴AB＝AC＝4，
在Rt△ABF中，AF＝AB?tan∠ABF＝4×tan30°＝4×＝2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练10：一元二次方程（含答案）
一、知识要点：
1、定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2
是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2、一元二次方程的解法
直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
(1)直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
(2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。
(3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
，
②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
③b2-4ac＜0时，方程无实数根。
定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。
(4)因式分解法。主要用提公因式法、平方差公式。
3、一元二次方程与实际问题
解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
二、课标要求：
1、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。
3、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
三、常见考点：
1、一元二次方程的概念。
2、解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的应用。
3、应用一元二次方程解决实际问题。
4、应用一元二次方程解决相关综合问题。
四、专题训练：
1．若关于x的方程x2﹣mx+2＝0与x2﹣（m+1）x+m＝0有一个相同的实数根，则m的值为（　　）
A．3
B．2
C．4
D．﹣3
2．已知关于x的方程x2﹣px+q＝0的两个根是x1＝1，x2＝﹣2．则二次三项式x2﹣px+q可以分解为（　　）
A．（x﹣1）（x+2）
B．（x﹣1）（x﹣2）
C．（x+1）（x﹣2）
D．（x+1）（x+2）
3．关于方程式88（x﹣2）2＝95的两根，下列判断何者正确（　　）
A．一根小于1，另一根大于3
B．一根小于﹣2，另一根大于2
C．两根都小于0
D．两根都大于2
4．若一元二次方程式4x2+12x﹣1147＝0的两根为a、b，且a＞b，则3a+b之值为何？（　　）
A．22
B．28
C．34
D．40
5．若a，b为方程式x2﹣4（x+1）＝1的两根，且a＞b，则＝（　　）
A．﹣5
B．﹣4
C．1
D．3
6．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　）
A．a＝c
B．a＝b
C．b＝c
D．a＝b＝c
7．关于x的方程ax2﹣（a+2）x+2＝0只有一解（相同解算一解），则a的值为（　　）
A．a＝0
B．a＝2
C．a＝1
D．a＝0或a＝2
8．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝（n+1）x﹣n的图象不经过（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
9．若方程组有一个实数解，则m的值是（　　）
A．
B．
C．2
D．﹣2
10．已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，则a2+2ab+b2的值为　
　．
11．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则＝　
　．
12．一元二次方程x2+x＝0的根是　
　．
13．已知实数x满足，则＝　
　．
14．关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　
　．
15．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为　
　．
16．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为　
　．
17．某种洗衣机的包装箱外形是长方体，其高为1.2米，体积为1.2立方米，底面是正方形，则该包装箱的底面边长为　
　米．
18．已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为　
　．
19．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x＝2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）
①x2﹣x﹣2＝0；②﹣x2+x+2＝0；③x2﹣2x＝4；④﹣x2+2x+4＝0；⑤x2﹣2x﹣4＝0．
（2）方程x2﹣x＝2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？
20．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m＝0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．
21．在实数范围内定义运算“?”，其法则为：a?b＝a2﹣b2，求方程（4?3）?x＝24的解．
22．解方程：（x+2）（x+3）＝1．
23．已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1＝0有两个相等的实数根．
（1）求m的值；
（2）解原方程．
24．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1?x2，试求k的值．
25．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
参考答案
1．解：由方程x2﹣mx+2＝0得x2＝mx﹣2，由方程x2﹣（m+1）x+m＝0得x2＝（m+1）x﹣m．
则有mx﹣2＝（m+1）x﹣m，即x＝m﹣2．
把x＝m﹣2代入方程x2﹣mx+2＝0
得方程（m﹣2）2﹣m（m﹣2）+2＝0，从而解得m＝3．
故选：A．
2．解：关于x的方程x2﹣px+q＝0的两个根是x1＝1，x2＝﹣2，即（x﹣1）（x+2）＝0，
则二次三项式x2﹣px+q可以分解为（x﹣1）（x+2）的形式．答案选A．
3．解：∵88（x﹣2）2＝95，
（x﹣2）2＝，
x﹣2＝，
∴x＝+2，
∴，
∴x1＞3，
∴，
∴x2＜1．
故选：A．
4．解：4x2+12x﹣1147＝0，
移项得：4x2+12x＝1147，
4x2+12x+9＝1147+9，
即（2x+3）2＝1156，
2x+3＝34，2x+3＝﹣34，
解得：x＝，x＝﹣，
∵一元二次方程式4x2+12x﹣1147＝0的两根为a、b，且a＞b，
∴a＝，b＝﹣，
∴3a+b＝3×+（﹣）＝28，
故选：B．
5．解：方程式x2﹣4（x+1）＝1可化为x2﹣4x﹣5＝0，
（x+1）（x﹣5）＝0，
又∵a，b为方程式x2﹣4（x+1）＝1的两根，且a＞b，
∴a＝5，b＝﹣1．
∴＝﹣5
故选：A．
6．解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝0，
又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，
代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，
即（a+c）2﹣4ac＝a2+2ac+c2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c．
故选：A．
7．解：当a≠0时，方程ax2﹣（a+2）x+2＝0为一元二次方程，若方程有相等的两解，
则△＝[﹣（a+2）]2﹣4×a×2＝0，
整理得a2﹣4a+4＝0，
即△＝（a﹣2）2＝0，
解得a＝2；
当a＝0时，方程ax2﹣（a+2）x+2＝0为一元一次方程，
原方程转化为：﹣2x+2＝0，
此时方程只有一个解x＝1．
所以当a＝0或a＝2关于x的方程ax2﹣（a+2）x+2＝0只有一解．
故选：D．
8．解：一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0无实数根，说明△＝b2﹣4ac＜0，即（﹣2）2﹣4×n×（﹣1）＜0，
解得n＜﹣1，所以n+1＜0，﹣n＞0，故一次函数y＝（n+1）x﹣n的图象不经过第三象限．
故选：C．
9．解：由题意可得方程（2x+m）2＝4x
整理得4x2+（4m﹣4）x+m2＝0
即△＝（4m﹣4）2﹣16m2＝0，解得m＝．
故选：A．
10．解：∵x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，
∴1+a+b＝0，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+2ab+b2＝（a+b）2＝1．
故答案为1．
11．解：由题意两根不相等，
∵x2＝，
∴x＝±，
∴方程的两个根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1，
∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是2与﹣2，
∴＝2，
∴＝4．
故答案为：4．
12．解：x2+x＝0，
x（x+1）＝0，
x＝0，x+1＝0，
x1＝0，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝0，x2＝﹣1．
13．解：设＝y，则原方程可变形为y2﹣y＝6，
解得y1＝﹣2，y2＝3，
当y1＝﹣2时，＝﹣2，
x2+2x+2＝0，
∵△＝b2﹣4ac＜0
∴此方程无解，
当y2＝3时，＝3，
x2﹣3x+2＝0，
∵△＝b2﹣4ac＞0
∴此方程有解，
∴＝3；
故答案为：3．
14．解：由已知得：△＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1．
故答案为：k＜1．
15．解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0．
∴1+﹣＝0．
∴﹣﹣1＝0，
又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠．
∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．
∴m+＝2．
∴＝m+1+＝2+1＝3，
故答案为：3．
16．解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）＝21，
故答案为：x（x﹣1）＝21．
17．解：设该包装箱的底面边长为x米，则：
1.2x2＝1.2，解得x＝1（负值舍去）．
即：该包装箱的底面边长为1米；
故答案为1．
18．解：依题意得：，
解得
∵x≤y，
∴a2≤6a﹣9，
整理，得（a﹣3）2≤0，
故a﹣3＝0，
解得a＝3．
故答案是：3．
19．解：（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），因此①，②，④，⑤是方程x2﹣x＝2所化的一元二次方程的一般形式．
（2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．若设方程x2﹣x＝2的二次项系数为a（a≠0），则一次项系数为﹣2a，常数项为﹣4a，因此二次项系数：一次项系数：常数项＝1：（﹣2）：（﹣4）．
答：这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项＝1：（﹣2）：（﹣4）．
20．解：设方程的另一根为x2，则
﹣1+x2＝﹣1，
解得x2＝0．
把x＝﹣1代入x2+x+m2﹣2m＝0，得
（﹣1）2+（﹣1）+m2﹣2m＝0，即m（m﹣2）＝0，
解得m1＝0，m2＝2．
综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0．
21．解：∵a?b＝a2﹣b2，
∴（4?3）?x＝（42﹣32）?x＝7?x＝72﹣x2
∴72﹣x2＝24
∴x2＝25．
∴x＝±5．
22．解：化简得，
x2+5x+5＝0
∴a＝1，b＝5，c＝5
∴b2﹣4ac＝5＞0
∴x＝
∴x1＝，x2＝．
23．解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝m2﹣4×m×（m﹣1）＝0，且m≠0，
解得m＝2；
（2）由（1）知，m＝2，则该方程为：x2+2x+1＝0，
即（x+1）2＝0，
解得x1＝x2＝﹣1．
24．（1）解：∵原方程有实数根，
∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0
∴k≤1
（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
x1+x2
＝2，x1
?x2
＝2k﹣1
又∵+＝x1?x2，
∴
∴（x1+x2）2﹣2x1
x2
＝（x1
?x2）2
∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2
解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根
∵k≤1
∴．
25．解：设每件衬衫应降价x元，利润为w元，
根据题意，商场降价后每天盈利＝每件的利润×卖出的件数，
则有w＝（20+2x）（40﹣x）
＝﹣2x2+60x+800
＝﹣2（x﹣15）2+1250
即当x＝15时，w有最大值，为1250，
答：每件衬衫应降价15元，可获得最大利润，最大利润为12502021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练19：图形的变换（含答案）
一、知识要点：
1、平移
(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；
点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；
点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；
点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
2、轴对称
(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；
点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，
y）；
3、旋转
(1)旋转
定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等。
(2)中心对称
定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形。
(3)中心对称图形
定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。
(4)关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为
P′(-x，-y)。
二、课标要求：
1、图形的平移
(1)通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等。
(2)认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。
(3)运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。
(4)在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。
(5)在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。
2、图形的轴对称
(1)通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
(2)能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形。
(3)了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。
(4)认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。
(5)理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
(6)在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。
3、图形的旋转
(1)通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。
(2)了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
(3)探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。
(4)认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。
三、常见考点：
1、对图形平移、轴对称图形、图形旋转、中心对称图形的识别。平面图形的折叠。
2、平移、轴对称、旋转、中心对称等图形变换的性质。
3、坐标的平移、轴对称、中心对称变换。
四、专题训练：
1．在平面直角坐标系中，线段AB的端点分别为A（2，0），B（0，4），将线段AB平移到A1B1，且点A1的坐标为（8，4），则点B1的坐标为（　　）
A．（7，6）
B．（6，7）
C．（6，8）
D．（8，6）
2．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A'处，得到折痕BM，且BM与EF相交于点N，若直线BA'交直线CD于点O，BC＝5，EN＝，则OD的长为（　　）
A．
B．1
C．
D．
3．如图，在△ABC中，△ABC的面积为，AB＝2，BD平分∠ABC，E、F分别为BC、BD上的动点，则CF+EF的最小值是（　　）
A．
B．
C．2
D．
4．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3），B（5，3），C（5，0），点D在线段OA上，将△ABD沿着直线BD折叠，点A的对应点为E，当点E在线段OC上时，则AD的长是（　　）
A．1
B．
C．2
D．
5．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则重叠部分（即△BDE）的面积为（　　）
A．6
B．7.5
C．10
D．20
6．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
7．若点A（a，b）和点B（m，n）关于原点对称，且a+b＝1，则下列说法正确的是（　　）
A．mn＝﹣1
B．m﹣n＝﹣1
C．m+n＝﹣1
D．＝﹣1
8．如图，△ABC中，∠CAB＝72°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C'C∥AB，则∠BAB'的度数为（　　）
A．34°
B．36°
C．72°
D．46°
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕直角边AC的中点O旋转，得到△DEF，连接AD，若DE恰好经过点C，且DE交AB于点G，则tan∠DAG的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC、EG，取AC、EG的中点M、N，连接MN，若AB＝8，BC＝6，则MN＝（　　）
A．8
B．6
C．5
D．5
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝　
　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C'，连接B'C，则tan∠ACB'＝　
　．
13．如图，四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，过点E做EF⊥BC，垂足为F，若EF＝2，BF＝3，则线段CD的长是　
　．
14．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，将AC绕点A逆时针旋转120°得AD，若AB＝2，则BD的最大值为　
　．
15．如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一点，且BE＝2.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　
　．
16．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD、CE为△ABC的两条中线，且BD⊥CE于点N，M为线段BD上的动点，则AM+EM的最小值为　
　．
17．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（6，8），点D是OA的中点，点E在线段AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标是　
　．
18．如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为　
　．
19．平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m，3）．若将点A先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B（1，n），则m+n＝　
　．
20．如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，将三角形ABC沿AB方向平移AD的长度得到三角形DEF．已EF＝8，BE＝6，CG＝3．则图中阴影部分的面积是　
　．
21．如图1，将三角形纸片ABC，沿AE折叠，使点B落在BC上的F点处；展开后，再沿BD折叠，使点A恰好仍落在BC上的F点处（如图2），连接DF．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若△CDF为直角三角形，且∠CFD＝90°，求∠C的度数；
（3）若△CDF为等腰三角形，求∠C的度数．
22．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．
（1）请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，使点A坐标为（4，3），点C坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）在（1）的条件下．
①画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；
②点D是y轴上的一个动点，连接BD、DC，则△BCD周长的最小值为　
　．
23．如图1，等边△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，点P为线段AD上任一点，连接PC，将线段PC绕点C逆时针旋转60°得到线段CQ，连接PQ．
（1）如图2，当点Q恰好在AD的延长线上时，PD的长为　
　；
（2）如图3，连接BQ，求证：△ACP≌△BCQ；
（3）连接DQ，
①若△BDQ为等腰三角形时，求∠BDQ的度数；
②求线段DQ的最小值．
24．在学习完第十二章后，张老师让同学们独立完成课本56页第9题：“如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．”
（1）请你也独立完成这道题；
（2）待同学们完成这道题后，张老师又出示了一道题：在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．
25．如图1，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，且CD＝CE，此时显然AD＝BE，AD⊥BE成立．若保持△ABC不动，将△DCE绕点C逆时针旋转，旋转角为α．
（Ⅰ）如图2，当0°＜α＜90°时，问：AD＝BE，AD⊥BE是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（Ⅱ）如图3，当α＝45°时，延长BE交AD于点F，若CE＝，BC＝3，则线段EF＝　
　（直接写出结果即可）．
26．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．
例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？
把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处（如图2）．于是，由∠AC'D＝∠C，∠AC'D＞∠B，可得∠C＞∠B．
利用上述方法（或者思路）解决下列问题：
（1）如图2，上述阅读材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，则∠C'DB＝　
　°．
（2）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若CD＝2，AB＝6．求△ABD的面积．
（3）如图4，△ABC中，已知AD⊥BC于点D，且CD＝AB+BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度数．
参考答案
1．解：∵线段AB的端点分别为A（2，0），B（0，4），将线段AB平移到A1B1，且点A1的坐标为（8，4），
∴B1的坐标为：（6，8），
故选：C．
2．解：连接AA'．
∵EN＝，
∴由中位线定理得AM＝2，
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴A'A＝A'B，
∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，
∴A'B＝AB，∠ABM＝∠A'BM，
∴△ABA'为等边三角形，
∴∠ABA′＝∠BA′A＝∠A′AB＝60°，
又∵∠ABC＝∠BAM＝90°，
∴∠ABM＝∠A'BM＝∠A'BC＝30°，
∴BM＝2AM＝4，AB＝AM＝6＝CD．
在直角△OBC中，∵∠C＝90°，∠OBC＝30°，
∴OC＝BC?tan∠OBC＝5×＝5，
∴OD＝CD﹣OC＝6﹣5＝1．
故选：B．
3．解：如图，CH⊥AB，垂足为H，交BD于F点，过F点作FE′⊥BC，垂足为E′，则CF+E′F为所求的最小值，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴FH＝E′F，
∴CH是点B到直线AB的最短距离（垂线段最短），
∵△ABC的面积为，AB＝2，
∴CH＝＝，
∵CF+E′F的最小值是CF+E′F＝CF+FH＝CH＝．
故选：D．
4．∵A（0，3），B（5，3），C（5，0），
∴AB∥x轴，BC∥y轴，AB＝OC＝5，AO＝BC＝3，
∴∠DAB＝∠AOC＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∵将△ABD沿着直线BD折叠，点A的对应点为E，
∴AD＝DE，AB＝BE＝5，
∴CE＝＝＝4，
设AD＝DE＝x，则OD＝3﹣x，OE＝1，
∵OD2+OE2＝DE2，
∴（3﹣x）2+12＝x2，
解得x＝．
∴AD＝．
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
由折叠的性质得：∠C'BD＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠C'BD，
∴BE＝DE，
设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
则AE＝3，DE＝8﹣3＝5，
则S△BDE＝DE?AB＝×5×4＝10，
故选：C．
6．解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE＝BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠ACP＝30°，
故选：A．
7．解：∵点A（a，b）和点B（m，n）关于原点对称，
∴m＝﹣a，n＝﹣b，
∵a+b＝1，
∴m+n＝﹣a﹣b＝﹣（a+b）＝﹣1．
故选：C．
8．解：∵C′C∥AB，
∴∠C'CA＝∠CAB＝72°，
∵将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，
∴∠ACC'＝∠AC'C＝72°，
∴∠BAB'＝∠CAC'＝180°﹣72°×2＝36°，
故选：B．
9．解：连接OG，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵点O是AC边的中点，
∴OC＝OA＝OD＝AC＝2，
∴∠GCO＝∠ODC＝∠BAC，∠ADC＝90°，
∴AG＝CG，
∴OG⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，cos∠BAC＝，
∴sin∠OCG＝，cos∠OCG＝，
在Rt△OCG中，CG＝＝，在Rt△ACD中，CD＝AC?cos∠OCG＝，AD＝AC?sin∠OCG＝，
∴DG＝CD﹣CG＝﹣＝，
∴tan∠DAG＝＝＝．
故选：D．
10．解：如图，连接BD，BF，DF，
∵四边形ABCD，四边形BEFG都是矩形，M、N是AC、EG的中点，
∴点M是BD的中点，点N是BF的中点，
∴MN＝DF，
∵AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝＝10，
∴AC＝BD＝10，
∵将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，
∴DB＝BF＝10，∠DBF＝90°，
∴DF＝BD＝10，
∴MN＝5，故选：D．
11．解：如图，连接AD．
在Rt△ADF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴DF＝DC，
∵BD＝5，BC＝4，
∴CD＝DF﹣5﹣4＝1，
∵EF＝BC＝4，
∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
12．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，
∵根据旋转得出AB′＝AB＝2，∠B′AB＝90°，
即∠CMA＝∠MAB＝∠B＝90°，
∴CM＝AB＝2，AM＝BC＝1，
∴B′M＝2﹣1＝1，
在Rt△B′MC中，由勾股定理得：B′C＝＝＝，
∴S△AB′C＝B′C?AN＝CM?AB′，
∴××AN＝×2×2，
解得：AN＝，
在Rt△ANC中，由勾股定理得：CN＝＝＝，
∴tan∠ACB′＝＝＝；
故答案为：．
13．解：如图，连接AC，AE，BE，
∵EF＝2，BF＝3，
∴BE＝＝＝，
∵∠B＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，
∴AD＝AE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD＝，
故答案为：．
14．解：解法一：如图，将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与C重合，B'是定点，BD的最大值即B'C的最大值，即B'、O、C三点共线时，BD最大，过B'作B'E⊥AB于点E，
由题意得：AB＝AB'＝2，∠BAB'＝120°，
∴∠EAB'＝60°，
Rt△AEB'中，∠AB'E＝30°，
∴AE＝AB'＝1，EB'＝＝，
由勾股定理得：OB'＝＝＝，
∴B'C＝OB'+OC＝+1．
解法二：如图1，连接OC，将△AOC绕点A逆时针旋转120°得到△AGD，发现点D的运动轨迹是：以G为圆心，以AG为半径的圆，所以当B、G、D三点共线时，BD的值最大，如图2，过点G作GH⊥AB，交BA的延长线于H，
由旋转得：AO＝AG＝1，∠OAG＝120°，
∴∠HAG＝60°，
∴∠AGH＝30°，
∴AH＝，GH＝，
由勾股定理得：BG＝＝＝，
∴BD的最大值是+1．
故答案为：+1．
15．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
过点C作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
过点E作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM＝MP+CP＝HE+EC＝2.5+＝，
故答案为：．
16．解：连接DE．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BE＝AB，DC＝AC，
∴BE＝CD，
∵BC＝CB，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠ECB＝∠DBC，EC＝BD，
∴BN＝CN，
∴EN＝DN，
∵BD⊥EC，
∴△EDM，△BCN都是等腰直角三角形，
∵AE＝EB，AD＝DC，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴＝＝，
∴CN＝2EN，
∴BN＝2EN，
∵AE＝BE＝5，
∴EN＝5，BN＝10，
∴BN＝CN＝10，
∴BC＝10，
作点A关于直线BD的对称点H，连接EH交BD于M，连接AM，此时AM+EM的值最小，最小值＝线段EH的长，过点H作HT⊥AB于T，延长BD交AH于J．
∵AJ∥EN，AE＝EB，
∴BN＝NJ＝10，
∴AJ＝JH＝2EN＝10，BJ＝2BN＝20，AH＝2AJ＝20
∵S△ABH＝?AB?HT＝?AH?BJ，
∴HT＝＝8，
∴AT＝＝＝4，
∴ET＝AE﹣AT＝5﹣4＝，
∴EH＝＝＝5，
∴AM+EM的最小值为5．
故答案为5．
17．解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．
∵D（3，0），A（6，0），
∴H（9，0），
∴直线CH解析式为y＝﹣x+8，
∴x＝6时，y＝，
∴点E坐标（6，），
故答案为：（6，）．
18．解：由折叠的性质，可知：AF＝AB＝4，CF＝CB＝8，∠F＝∠B＝90°，∠ACF＝∠ACB．
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴∠CAD＝∠ACF，
∴AE＝CE．
设AE＝x，则EF＝8﹣x．
在Rt△AEF中，AF＝4，AE＝x，EF＝8﹣x，∠F＝90°，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝5，
∴AE＝5．
故答案为：5．
19．解：∵点A（m，3）向下平移2个单位，向左平移1个单位后得到点B（1，n），
∴m﹣1＝1，3﹣2＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴m+n＝3，
故答案为：3．
20．解：∵三角形ABC沿AB方向平移AD的长度得到三角形DEF，
∴△ABC≌△DEF，BC＝EF＝8，
∴BG＝BC﹣CG＝8﹣3＝5，
∵S阴影部分+S△DBG＝S△DBG+S梯形BEFG，
∴S阴影部分＝S梯形BEFG＝（5+8）×6＝39．
故答案为39．
21．解：（1）如图1中，
由翻折的旋转可知，AB＝AF，BA＝BF，
∴AB＝NF＝AF，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
（2）如图2中，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝∠DFC＝90°，
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△BFD（SAS），
∴∠BAD＝∠DFB＝90°，
∴∠ADF+∠ABC＝180°，
∴∠ADF＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CDF＝180°﹣∠ADF＝60°，
∴∠C＝90°﹣60°＝30°．
（3）如图3﹣1中，当FC＝FD时，设∠DAF＝∠DFA＝x，则∠FDC＝∠C＝2x，
∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝60°，
∴2x+x＝60°，
∴x＝20°，
∴∠C＝40°．
如图3﹣2中，当CD＝CF时，设∠DAF＝∠DFA＝y，则∠FDC＝∠CFD＝2y，
∴∠C＝180°﹣4y，
∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝60°，
∴180°﹣4y+y＝60°，
∴y＝40°，
∴∠C＝180°﹣160°＝20°，
综上所述，∠C＝40°或20°．
22．解：（1）平面直角坐标系如图所示：
（2）①如图，△A′B′C′即为所求作．
②如图，点D即为所求作．△BDC的周长的最小值＝+，
故答案为：+．
23．（1）解：如图2中，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝3，
∵CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∵CD⊥PQ，
∴∠PCD＝∠DCQ＝30°，
∴PD＝CD?tan30°＝．
故答案为：．
（2）证明：如图3中，
∵△ABC，∠PCQ都是等边三角形，
∴CA＝CB，CP＝CQ，∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS）．
（3）①解：由（1）知，△ACP≌△BCQ，
∴∠QBD＝∠PAC＝30°，
当△BDQ
是等腰三角形时，
①若BQ＝QD，如图3﹣1，则∠BDQ＝30°；
②若BQ＝BD，如图3﹣2，则∠BDQ＝75°；
③若BD＝DQ，如图3﹣3，则∠BDQ＝120°．
综上所述，满足条件的∠BDQ的值为30°或75°或120°．
②∵∠CBQ＝30°，
∴点Q在射线BQ上运动，
根据垂线段最短可知，当DQ⊥BQ时，DQ的值最小，此时DQ＝BD?sin30°＝．
24．解：（1）∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠CDA＝∠BEC＝90°，
∴∠DCA+∠DAC＝90°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠DCA+∠ECB＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DE＝CE﹣CD，
∴DE＝AD﹣BE，
∵AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，
∴BE＝AD﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8（cm）．
（2）结论：AD+BE＝DE．
证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD，
∴DE＝CE+DE＝AD+BE；
25．解：（Ⅰ）如图，延长BE交AD于H，
∵将△DCE绕点C逆时针旋转，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，
又∵∠AMH＝∠BMC，
∴∠AHE＝∠BCM＝90°，
∴BE⊥AD；
（Ⅱ）设AC与DE的交点为O，
∵CE＝，BC＝3，△ACB和△DCE是等腰直角三角形，
∴DE＝CE＝2，AB＝BC＝3，∠CDE＝∠CED＝45°，
∵α＝45°，
∴∠ACD＝∠BCE＝45°，
∴∠COD＝90°，
∴CO⊥DE，
∴DO＝CO＝OE＝1，
∴AO＝2，
∴AD＝＝＝，
∵sin∠ADO＝，
∴，
∴EF＝，
故答案为：．
26．解：（1）如图2中，
由翻折的旋转可知，∠AC′D＝∠C＝60°，
∵∠AC′D＝∠B+∠BDC′，
∴∠C′DB＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15．
（2）把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C'处，
∵AD平分∠ABC，DC⊥AC，DC′⊥AB，
∴DC'＝DC＝2，
∴△ABD的面积＝×AB×DC′＝6．
（3）把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B'处，则BD＝DB'，
∵AD⊥BB′，BD＝DB′，
∴AB＝AB′，
∵CD＝BD+AB，
∴AB'＝B'C，
∴∠B'AC＝∠C＝24°，
∴∠B＝∠AB'B＝∠C+∠B′AC＝48°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练1：有理数（含答案）
一、知识要点：
1、有理数的基本概念
(1)正数和负数
定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。
0既不是正数，也不是负数。
(2)有理数
正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。
2、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
3、相反数
代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。
a
=-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a
=0。
4、绝对值
定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
即：如果a
>0，那么|a|=a；
如果a
=0，那么|a|=0；
如果a
<0，那么|a|=-a。
a
=|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。
5、倒数
定义：乘积是1的两个数互为倒数。
所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a
=±1。
6、数的比较大小
法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。
7、乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。
如：an读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。
性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。
8、科学记数法
定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。
用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。
用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。
9、近似数
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；···。
10、有理数的加法
加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。
加法运算律：①交换律
a+b=b+a；
②结合律
(a+b)+c=a+(b+c)。
11、有理数的减法
减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a
-b=
a
+(-b)。
12、有理数的乘法
乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。
乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。
13、有理数的除法
除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0
的数，都得0。
14、有理数的混合运算
混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
二、课标要求：
1、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。
2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道｜a｜的含义(这里a表示有理数)。
3、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)。
4、会用科学记数法表示数(包括负指数幂的科学记数法)
5、理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。
6、能运用有理数的运算解决简单的问题。
7、了解近似数，在解决实际问题中，会按问题的要求对结果取近似值。
三、常见考点：
1、有理数的实际意义。
2、求一个数的相反数、绝对值、倒数；在数轴上找出相应的数；数的比较大小。
3、用科学记数法表示一个数(含负指数幂的科学记数法)。
4、有理数基本概念(相反数、绝对值、倒数)的辨析及综合运用。
5、有理数的运算。
四、专题训练：
1．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为（　　）
A．180元
B．202.5元
C．180元或202.5元
D．180元或200元
2．若（a2+2a+1）2+|1﹣b|＝0，则ab的值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．2
3．2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：+4，0，+5，﹣3，+2，则这5天他共背诵汉语成语（　　）
A．38个
B．36个
C．34个
D．30个
4．如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p，q，r，s．若|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，则|q﹣r|＝（　　）
A．7
B．9
C．11
D．13
5．计算+++++……+的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用A﹣C表示观测点A相对观测点C的高度）根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是（　　）米．
A﹣C
C﹣D
E﹣D
F﹣E
G﹣F
B﹣G
90米
80米
﹣60米
50米
﹣70米
40米
A．210
B．130
C．390
D．﹣210
7．如果水位升高2m时，水位的变化记为+2m，那么水位下降3m时，水位的变化情况是　
　．
8．点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是　
　．
9．若?|m|＝，则m＝　
　．
10．若|x﹣3|+|y+2|＝0，则x+y的值为　
　．
11．已知a与b互为相反数，b与c互为倒数．当a＝时，c的值为　
　．
12．在﹣，0，﹣1，1这四个数中，最小的数是　
　．
13．计算1+4+9+16+25+…的前29项的和是　
　．
14．已知：|m﹣n|＝n﹣m，|m|＝4，|n|＝3，则m﹣n＝　
　
15．已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝　
　．
16．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数﹣“纯数”．
定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，
例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
17．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所，已知青少年宫在学校东300m处，商场在学校西200m处，医院在学校东500m处，若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m．
（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；
（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．
18．计算6÷（﹣），方方同学的计算过程如下，原式＝6+6＝﹣12+18＝6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
19．已知|a﹣5|和（b+4）2互为相反数，求的值．
20．有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：1+2﹣6﹣9；
（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；
（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
21．计算：
（1）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|；
（2）66×．
22．（1）计算：16÷（﹣2）3﹣（﹣）3×（﹣4）+2.5；
（2）计算：（﹣1）2017+|﹣22+4|﹣（﹣+）×（﹣24）
参考答案
1．解：∵200×0.9＝180，200×0.8＝160，160＜162＜180，
∴一次性购书付款162元，可能有两种情况．
162÷0.9＝180元；162÷0.8＝202.5元．
故王明所购书的原价一定为180元或202.5元．
故选：C．
2．解：由题意得，a2+2a+1＝0，1﹣b＝0，
解得，a＝﹣1，b＝1，
则ab＝﹣1，
故选：B．
3．解：（+4+0+5﹣3+2）+5×6＝38个，
∴这5天他共背诵汉语成语38个，
故选：A．
4．解：根据数轴可得，p＜q＜r＜s，
∵|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，
∴p﹣r＝﹣10，p﹣s＝﹣12，q﹣s＝﹣9，
∴p＝r﹣10，p＝s﹣12，
∴r﹣10＝s﹣12，
∴s＝r+2，
∴q﹣s＝q﹣r﹣2＝﹣9，
∴q﹣r＝﹣7，
∴|q﹣r|＝7．
故选：A．
5．解：原式＝++++…+
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．
故选：B．
6．解：由表中数据可知：A﹣C＝90①，C﹣D＝80②，D﹣E＝60③，E﹣F＝﹣50④，F﹣G＝70⑤，G﹣B＝﹣40⑥，
①+②+③+…+⑥，
得：（A﹣C）+（C﹣D）+（D﹣E）+（E﹣F）+（F﹣G）+（G﹣B）＝A﹣B＝90+80+60﹣50+70﹣40＝210．
∴观测点A相对观测点B的高度是210米．
故选：A．
7．解：∵水位升高2m时水位变化记作+2m，
∴水位下降3m时水位变化记作﹣3m．
故答案是：﹣3m．
8．解：∵点A在数轴上表示的数是2，
∴点A表示的数的相反数是﹣2．
故答案为：﹣2．
9．解：由题意得，
m﹣1≠0，
则m≠1，
（m﹣3）?|m|＝m﹣3，
∴（m﹣3）?（|m|﹣1）＝0，
∴m＝3或m＝±1，
∵m≠1，
∴m＝3或m＝﹣1，
故答案为：3或﹣1．
10．解：∵|x﹣3|+|y+2|＝0，
∴x﹣3＝0，y+2＝0，
∴x＝3，y＝﹣2，
∴x+y的值为：3﹣2＝1，
故答案为：1．
11．解：由a与b互为相反数，当a＝时，得
b＝．
由b与c互为倒数，得
c＝2．
故答案为：2．
12．解：|﹣1|＞|﹣|，
﹣1＜﹣．
﹣1＜﹣＜0＜1，
故答案为：﹣1．
13．解：12+22+32+42+52+…+292+…+n2
＝0×1+1+1×2+2+2×3+3+3×4+4+4×5+5+…（n﹣1）n+n
＝（1+2+3+4+5+…+n）+[0×1+1×2+2×3+3×4+…+（n﹣1）n]
＝+{（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[（n﹣1）?n?（n+1）﹣（n﹣2）?（n﹣1）?n]}
＝+[（n﹣1）?n?（n+1）]
＝，
∴当n＝29时，原式＝＝8555．
故答案为
8555．
14．解：∵|m|＝4，|n|＝3，
∴m＝±4、n＝±3，
∵|m﹣n|＝n﹣m，
∴m﹣n≤0，即m≤n，
∴m＝﹣4、n＝±3，
当m＝﹣4、n＝3时，m﹣n＝﹣7；
当m＝﹣4、n＝﹣3时，m﹣n＝﹣1；
故答案为：﹣7或﹣1．
15．解；根据题意可得原式＝（3.9﹣3）+[（﹣1.8）﹣（﹣2）]﹣（1﹣1）＝0.9+0.2＝1.1；
故答案为：1.1
16．解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，
理由：当n＝2019时，n+1＝2020，n+2＝2021，
∵个位是9+0+1＝10，需要进位，
∴2019不是“纯数”；
当n＝2020时，n+1＝2021，n+2＝2022，
∵个位是0+1+2＝3，不需要进位，十位是2+2+2＝6，不需要进位，百位为0+0+0＝0，不需要进位，千位为2+2+2＝6，不需要进位，
∴2020是“纯数”；
（2）由题意可得，
连续的三个自然数个位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时，不会产生进位，
当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，共三个，
当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，共九个，
当这个数是三位自然数时，只能是100，
由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3+9+1＝13，
即不大于100的“纯数”的有13个．
17．解：（1）如图所示：点A表示商场，点C表示青少年宫，点D表示医院，原点表示学校；
（2）依题意得青少年宫与商场之间的距离为300﹣（﹣200）＝500（m）．
答：青少年宫与商场之间的距离为500m．
18．解：方方的计算过程不正确，
正确的计算过程是：
原式＝6÷（﹣+）＝6÷（﹣）＝6×（﹣6）＝﹣36．
19．解：根据非负数的性质，a＝5，b＝﹣4．
原式＝[+÷]÷（a+b）2＝÷（a+b）2＝．
把a＝5，b＝﹣4代入上式，得原式＝．
20．解：（1）1+2﹣6﹣9＝3﹣6﹣9＝﹣3﹣9＝﹣12；
（2）∵1÷2×6□9＝﹣6，
∴1××6□9＝﹣6，
∴3□9＝﹣6，
∴□内的符号是“﹣”；
（3）这个最小数是﹣20，
理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，
∴1□2□6的结果是负数即可，
∴1□2□6的最小值是1﹣2×6＝﹣11，
∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20，
∴这个最小数是﹣20．
21．解：（1）原式＝﹣9÷9﹣6+4＝﹣1﹣2＝﹣3；
（2）原式＝66×（﹣）﹣66××＝﹣33﹣14＝﹣47．
22．解：（1）原式＝16÷（﹣8）﹣×4+2.5＝﹣2﹣0.5+2.5＝﹣2+2＝0；
（2）原式＝﹣1+0+12﹣6+3＝8．2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练5：分式（含答案）
知识要点：
1、分式的定义
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
2、分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
；。
3、分式的约分和通分
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
4、分式的乘除
①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。
④整数负指数幂：。
5、分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：；
②异分母分式的加法：。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
二、课标要求：
1、了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；
2、能进行简单的分式加、减、乘、除运算；
三、常见考点：
1、分式的概念、意义，如求分式中字母的取值范围、分式为0的条件及相应的综合运用。
2、运用分式的基本性质进行约分、通分。
3、运用分式的加、减、乘、除法则进行分式的化简、代入求值。
4、考查学生对负整数指数幂的理解。
四、专题训练：
1．若实数a，b满足ab＝1，设M＝，N＝，则M，N的大小关系是（　　）A．M＞N
B．M＝N
C．M＜N
D．不确定
2．已知：a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝1÷（1﹣a1），a3＝1÷（1﹣a2），…，an＝1÷（1﹣an﹣1），则a2020等于（　　）A．x
B．x+1
C．
D．
3．同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣4，且x≠﹣2
B．x＝﹣4，或x＝2
C．x＝﹣4
D．x＝2
4．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（　　）
A．乙＞甲＞丙
B．乙＞丙＞甲
C．甲＞乙＞丙
D．甲＞丙＞乙
5．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x＝（x＞0），解得x＝1，这时矩形的周长2（x+）＝4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（　　）
A．2
B．1
C．6
D．10
6．已知m2+n2＝n﹣m﹣2，则﹣的值等于（　　）
A．1
B．0
C．﹣1
D．﹣
7．甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（　　）
A．
B．
C．
D．随所取盐水重量而变化
8．要使分式有意义，则x的取值范围是　
　．
9．若分式的值为0，则x的值为　
　．
10．当x＝1时，分式的值是　
　．
11．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．如分式就是“和谐分式”．若a为正整数，且为“和谐分式”，则a的值为　
　．
12．分式与的最简公分母是　
　，方程﹣＝1的解是　
　．
13．化简：÷＝　
　．
14．已知+＝3，求＝　
　．
15．化简：÷（﹣1）＝　
　．
16．a，b互为倒数，代数式÷（+）的值为　
　．
17．已知：（x+2）x+5＝1，则x＝　
　．
18．给定下面一列分式：，…，（其中x≠0）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．
19．化简：?．
20．化简：?．
21．化简：﹣．
22．化简：a﹣b﹣．
23．（1）计算：（﹣4）2×（﹣）3﹣（﹣4+1）．
（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
﹣
＝﹣…第一步
＝﹣…第二步
＝﹣…第三步
＝…第四步
＝…第五步
＝﹣…第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第　
　步是进行分式的通分，通分的依据是　
　．或填为：　
　；
②第　
　步开始出现错误，这一步错误的原因是　
　；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
24．先化简，再求值：?（+1），其中x是不等式组的整数解．
参考答案
1．解：M＝＝，
∵ab＝1，∴＝＝1．
N＝＝，
∵ab＝1，∴＝＝1，∴M＝N．
故选：B．
2．解：∵a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝1÷（1﹣a1），a3＝1÷（1﹣a2），…，an＝1÷（1﹣an﹣1），
∴a2＝﹣，a3＝，a4＝x+1，…，
∴a3n＝，a3n+1＝x+1，a3n+2＝﹣，
∵2020＝673×3+1，
∴a2020＝x+1．
故选：B．
3．解：由题意得：x2+6x+8≠0，且（x+1）2﹣9＝0，
（x+2）（x+4）≠0，x+1＝3或﹣3，
x≠﹣2且x≠﹣4，x＝2或x＝﹣4，
∴x＝2，故选D．
4．解：360＝2×2×2×3×3×5；
因为6＝2×3，
所以化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，
即化简后的甲为；
因为15＝3×5，
所以化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；
因为10＝2×5，
所以化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；
因为化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，
所以乙、丙的最小公倍数是360÷5＝72，
（1）当乙的分母是2时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：2×9＝18，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
（2）当乙的分母是4时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：4×9＝36，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9，
此时乙、丙的最小公倍数是：8×9＝72，
所以化简后的乙是，丙是，
因为，
所以乙＞甲＞丙．
故选：A．
5．解：∵x＞0，
∴在原式中分母分子同除以x，
即＝x+，
在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，
矩形的周长是2（x+）；
当矩形成为正方形时，就有x＝，（x＞0），
解得x＝3，
这时矩形的周长2（x+）＝12最小，
因此x+（x＞0）的最小值是6．
故选：C．
6．解：由m2+n2＝n﹣m﹣2，得
（m+2）2+（n﹣2）2＝0，
则m＝﹣2，n＝2，
∴﹣＝﹣﹣＝﹣1．
故选：C．
7．解：设从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水x，
则混合制成新盐水的含盐量为：＝，
故选：A．
8．解：∵分式有意义，
∴x+1≠0，即x≠﹣1
故答案为：x≠﹣1．
9．解：由分式的值为零的条件得，
由2x﹣4＝0，得x＝2，
由x+1≠0，得x≠﹣1．
综上，得x＝2，即x的值为2．
故答案为：2．
10．解：当x＝1时，原式＝＝，
故答案为：．
11．解：由题可知：x2+ax+9可以分解因式，且a为正整数，则：
①x2+ax+9＝（x+1）（x+9），此时a＝10，
②x2+ax+9＝（x+3）2，此时a＝6，
③x2+ax+9＝（x﹣3）2，此时a＝﹣6（不合题意舍去），
综上，a的值是6或10．
故答案为：6或10．
12．解：∵x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴分式与的最简公分母是x（x﹣2），
方程，
去分母得：2x2﹣8＝x（x﹣2），
去括号得：2x2﹣8＝x2﹣2x，
移项合并得：x2+2x﹣8＝0，变形得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或﹣4，
∵当x＝2时，x（x﹣2）＝0，当x＝﹣4时，x（x﹣2）≠0，
∴x＝2是增根，
∴方程的解为：x＝﹣4．
故答案为：x（x﹣2），x＝﹣4．
13．解：原式＝＝x﹣1
故答案为：x﹣1．
14．解：∵+＝3，
∴＝3，
则a+b＝3ab，
所以原式＝＝＝＝﹣，
故答案为：﹣．
15．解：原式＝÷（﹣）＝÷＝?＝﹣，
故答案为：﹣．
16．解：原式＝÷＝（a+b）?＝ab，
∵a，b互为倒数，
∴a?b＝1，
∴原式＝1．
故答案为：1．
17．解：根据0指数的意义，得
当x+2≠0时，x+5＝0，解得x＝﹣5．
当x+2＝1时，x＝﹣1，
当x+2＝﹣1时，x＝﹣3，x+5＝2，指数为偶数，符合题意．
故填：﹣5或﹣1或﹣3．
18．解：（1）﹣÷＝﹣；÷（﹣）＝﹣…规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于；
（2）∵由式子：，…，发现分母上是y1，y2，y3，…故第7个式子分母上是y7，分子上是x3，
x5，x7，故第7个式子是x15，再观察符号发现第偶数个为负，第奇数个为正，
∴第7个分式应该是．
19．解：原式＝?＝．
20．解：原式＝?＝．
21．解：﹣＝＝＝．
22．解：原式＝a﹣b﹣（a+b）＝a﹣b﹣a﹣b＝﹣2b．
23．解：（1）（﹣4）2×（﹣）3﹣（﹣4+1）＝16×（﹣）+3＝﹣2+3＝1；
（2）①以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．或填为：分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；
②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“﹣”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
任务二：﹣
＝﹣…第一步
＝﹣…第二步
＝﹣…第三步
＝…第四步
＝…第五步
＝﹣…第六步；
任务三：答案不唯一，如：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；五；括号前面是“﹣”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号．
24．解：?（+1）＝＝＝，
由不等式组，得﹣1≤x＜1，
∵x是不等式组的整数解，
∴x＝﹣1，0，
∵当x＝﹣1时，原分式无意义，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝＝﹣2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练18：相交线与平行线（含答案）
一、知识要点：
1、邻补角与对顶角
邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。
对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
注：对顶角相等。
如：∠1和∠2互为邻补角，∠2和∠3互为对顶角。
2、垂线
(1)定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
(2)性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
3、同位角、内错角、同旁内角
如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同旁内角。
4、平行线
(1)定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。
(2)平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
(3)平行线的性质
两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
(4)平行线的判定
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
二、课标要求：
1、理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(等角)的余角相等，同角(等角)的补角相等的性质。
2、理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
3、理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。
4、掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
5、识别同位角、内错角、同旁内角。
6、理解平行线概念；掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
7、掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
8、掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
9、能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
10、探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行；探索并证明平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补)。
11、了解平行于同一条直线的两条直线平行。
三、常见考点：
1、对顶角和邻补角的判断及性质的应用，垂线及垂线段。
2、同位角、内错角、同旁内角的识别。
3、平行线的判定及性质的应用。
四、专题训练：
1．如图，直线MN∥PQ，点A是MN上一点，∠MAC的角平分线交PQ于点B，若∠1＝20°，∠2＝116°，则∠3的大小为（　　）
A．136°
B．138°
C．146°
D．148°
2．如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1的大小为（　　）
A．14°
B．16°
C．24°
D．30°
3．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（　　）
A．114°
B．142°
C．147°
D．156°
4．如图，AB∥DE，那么∠BCD＝（　　）
A．180°+∠1﹣∠2
B．∠1+∠2
C．∠2﹣∠1
D．180°+∠2﹣2∠1
5．如图，AB∥CD，EF平分∠AEG，若∠FGE＝40°，那么∠EFC的度数为（　　）
A．100°
B．140°
C．70°
D．110°
6．如图，AB∥CD，则下列等式正确的是（　　）
A．∠1＝∠2+∠3
B．∠1﹣∠2＝180°﹣∠3
C．∠1﹣∠3＝180°﹣∠2
D．∠1+∠2+∠3＝180°
7．如图，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF＝65°，则∠B的度数为（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
8．如图，平面内直线a∥b∥c，点A，B，C分别在直线a，b，c上，BD平分∠ABC，并且满足∠α＞∠β，则∠α，∠β，∠γ关系正确的是（　　）
A．∠α＝∠β+2∠γ
B．∠α＝∠β+∠γ
C．∠α＝2∠β﹣2∠γ
D．∠α＝2∠β﹣∠γ
9．如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝62°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF的度数为　
　度．
10．∠AOB＝40°，BC∥OA，过点C作直线OA的垂线，点D为垂足，若∠OCD＝2∠OCB，则∠COB为　
　度．
11．把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝　
　．
12．如图，OP∥QR∥ST，若∠2＝100°，∠3＝120°，则∠1＝　
　．
13．如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，DG⊥BF于点G，若∠1＝130°，则∠2的度数为　
　．
14．如图，a∥b，∠2＝95°，∠3＝150°，则∠1的度数是　
　．
15．如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝　
　．
16．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为　
　°．
17．如图，如果AB∥CD，则角α＝130°，γ＝20°，则β＝　
　．
18．已知∠A与的∠B两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少20°，则∠A的大小是　
　．
19．如图，AB∥CD，CE交AB于F，∠C＝55°，∠AEC＝18°，则∠A＝　
　°．
20．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是　
　．
21．已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．
22．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°．
23．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM＝90°．
（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠BOC＝4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．
24．如图，已知CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，求证：FG∥BC．
25．阅读下?材料，完成（1）～（3）题．
数学课上，?师出示了这样?道题：
如图1，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，EP⊥FP，∠1＝60°．求∠2的度数．
同学们经过思考后，?明、?伟、?华三位同学?不同的?法添加辅助线，交流了??的想法：
?明：“如图2，通过作平?线，发现∠1＝∠3，∠2＝∠4，由已知EP⊥FP，可以求出∠2的度数．”
?伟：“如图3这样作平?线，经过推理，得∠2＝∠3＝∠4，也能求出∠2的度数．”
?华：“如图4，也能求出∠2的度数．”
（1）请你根据?明同学所画的图形（图2），描述?明同学辅助线的做法，辅助线：　
　；
（2）请你根据以上同学所画的图形，直接写出∠2的度数为　
　°；
?师：“这三位同学解法的共同点，都是过?点作平?线来解决问题，这个?法可以推?．”
请?家参考这三位同学的?法，使?与他们类似的?法，解决下?的问题：
（3）如图5，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，FP平分∠EFD，∠PEF＝∠PDF，若∠EPD＝α，请探究∠CFE与∠PEF的数量关系（?含α的式?表示），并验证你的结论．
参考答案
1．解：延长QC交AB于D，
∵MN∥PQ，
∴∠2+∠MAB＝180°，
∵∠2＝116°，
∴∠MAB＝180°﹣116°＝64°，
∵AB平分∠MAC，
∴∠MAB＝∠BAC＝64°，
△BDQ中，∠BDQ＝∠2﹣∠1＝116°﹣20°＝96°，
∴∠ADC＝180°﹣96°＝84°，
△ADC中，∠3＝∠BAC+∠ADC＝64°+84°＝148°．
故选：D．
2．解：如图：
∵矩形的对边平行，
∴∠2＝∠3＝44°，
根据三角形外角性质，可得∠3＝∠1+30°，
∴∠1＝44°﹣30°＝14°，
故选：A．
3．解：∵∠1＝24°，CE⊥直线c于点E，
∴∠EAC＝90°﹣∠1＝90°﹣24°＝66°，
∵a∥b，
∴∠EAC＝∠ABD＝66°，
∵∠ABD的平分线交直线a于点C，
∴∠CBD＝，
∴∠2＝180°﹣∠CBD＝180°﹣33°＝147°，
故选：C．
4．解：过点C作CF∥AB，如图：
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠BCF＝∠1①，∠2+∠DCF＝180°②，
∴①+②得，∠BCF+∠DCF+∠2＝∠1+180°，即∠BCD＝180°+∠1﹣∠2．
故选：A．
5．解：∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠FGE＝180°，
∴∠AEG＝180°﹣40°＝140°，
∵EF平分∠AEG，
∴∠AEF＝∠FEG＝70°，
∴∠EFC＝∠FEG+∠FGE＝70°+40°＝110°，
故选：D．
6．解：如右图所示，
∵CD∥AB，
∴∠4＝∠3，
∵∠4＝∠2+（180°﹣∠1），
∴∠3＝∠2+（180°﹣∠1），
∴∠1﹣∠2＝180°﹣∠3，
故选：B．
7．解：∵EF∥BC，∠DEF＝65°，
∴∠EDB＝∠DEF＝65°，
∵ED平分∠BEF，
∴∠BED＝∠DEF＝65°，
∴∠B＝180°﹣∠EDB﹣∠BED＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故选：B．
8．解：∵直线a∥b∥c，
∴∠α＝∠ABD+∠γ，∠β＝∠CBD﹣∠γ，
∴∠ABD＝∠α﹣∠γ，∠CBD＝∠β+∠γ，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠α﹣∠γ＝∠β+∠γ，
∴∠α＝∠β+2∠γ，
故选：A．
9．解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，
∵∠MFD＝∠BEF＝62°，
∴CD∥AB，
∴∠GEB＝∠FGE，
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝∠GEF＝BEF＝31°，
∴∠FGE＝31°，
∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣31°＝59°；
②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，
同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+31°＝121°．
则∠PGF的度数为59或121度．
故答案为：59或121．
10．解：如图所示，当点D在AO上时，
∵BC∥OA，CD⊥AO，
∴∠BCD＝90°，
又∵∠OCD＝2∠OCB，
∴∠BCO＝30°＝∠AOC，
又∵∠AOB＝40°，
∴∠COB＝40°﹣30°＝10°；
如图所示，当点D在AO的延长线上时，
∵BC∥OA，CD⊥AO，
∴∠BCD＝90°，
又∵∠OCD＝2∠OCB，
∴∠BCO＝30°＝∠DOC，
又∵∠AOB＝40°，
∴∠COB＝180°﹣40°﹣30°＝110°；
故答案为：10或110．
11．解：由翻折性质得，∠BOG＝∠B′OG，
∵∠AOB′+∠BOG+∠B′OG＝180°，
∴∠B′OG＝（180°﹣∠AOB′）＝（180°﹣70°）＝55°．
故答案为55°．
12．解：∵OP∥QR∥ST，∠2＝100°，∠3＝120°，
∴∠2+∠PRQ＝180°，∠3＝∠SRQ＝120°，
∴∠PRQ＝180°﹣100°＝80°，
∴∠1＝∠SRQ﹣∠PRQ＝40°，
故答案是40°．
13．解：∵AB∥CD，∠1＝130°，
∴∠CFB＝∠1＝130°，
∴∠BFD＝180°﹣∠CFB＝180°﹣130°＝50°，
∵DG⊥BF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠BFD＝90°﹣50°＝40°，
故答案为40°．
14．解：过点C作CD∥a，
∵a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠1+∠ECD＝180°，∠3+∠DCF＝180°，
∵∠2＝95°，∠3＝150°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°，
∴∠1＝360°﹣∠2﹣∠3＝360°﹣150°﹣95°＝115°，
故答案为：115°．
15．解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2，
∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠1+∠3＝45°，
∵∠5＝∠2+∠3，
∴∠5＝∠1+∠3＝45°，
即∠BFD＝45°，
故答案为：45°．
16．解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，
∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，
∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，
∴∠BCD＝46°，
故答案为：46．
17．解：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠D＝∠FED，
∴∠AEF＝180°﹣130°＝50°，∠FED＝20°，
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝50°+20°＝70°．
即β＝70°．
故答案为：70°．
18．解：因为∠A与的∠B两边分别平行，
所以∠A与∠B相等或互补，
因为∠A比∠B的3倍少20°，
所以∠A＝3∠B﹣20°，
①当∠A＝∠B时，
∠A＝3∠A﹣20°，
解得∠A＝10°；
②当∠A+∠B＝180°时，
∠A＝3（180°﹣∠A）﹣20°，
解得∠A＝130°．
所以∠A的大小是10°或130°．
故答案为：10°或130°．
19．解：∵AB∥CD，∠C＝55°，
∴∠EFB＝∠C＝55°，
∵∠AEC＝18°，
∴∠A＝∠EFB﹣∠AEC＝37°，
故答案为：37．
20．解：如图，过点B作BD∥a，
∴∠ABD＝∠1＝22°，
∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠2＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣22°＝38°．
故答案为：38°．
21．证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，
∴∠AFE＝∠AGH，
∴EF∥GH，
∴∠FEH+∠H＝180°，
∵FE⊥HE，
∴∠FEH＝90°，
∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，
∴HG⊥HE；
（2）过点M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD，
过点H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴HP∥CD，
∵GM平分∠HGB，
∴∠BGM＝∠HGM＝∠BGH，
∵EM平分∠HED，
∴∠HEM＝∠DEM＝∠HED，
∵MQ∥AB，
∴∠BGM＝∠GMQ，
∵MQ∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，
∵HP∥AB，
∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），
∴∠GHE＝∠2GME；
（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，
由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，
由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣10x，
∵FK平分∠AFE，
∴∠AFK＝∠KFE＝∠AFE，
即，
解得：x＝5°，
∴∠BGH＝10x＝50°，
∵HP∥AB，HP∥CD，
∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，
∵∠GHE＝90°，
∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，
∴∠HED＝40°．
22．解：（1）AD∥BC，
理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠BCF，
∴AD∥BC；
（2）AB∥EF，
理由是：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE，
∵∠ABC＝2∠E，
∴∠ABE＝∠E，
∴AB∥EF；
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，
∴∠ABE＝ABC，∠BAF＝∠BAD，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣90°＝90°＝∠EOF，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠EOF＝90°．
23．解（1）∵∠AOM＝90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC＝∠AOM＝×90°＝45°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°，
即∠AOD的度数为135°；
（2）∵∠BOC＝4∠NOB
∴设∠NOB＝x°，∠BOC＝4x°，
∴∠CON＝∠COB﹣∠BON＝4x°﹣x°＝3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM＝∠MON＝∠CON＝x°，
∵∠BOM＝x+x＝90°，
∴x＝36°，
∴∠MON＝x°＝×36°＝54°，
即∠MON的度数为54°．
24．证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，
∴DE∥FC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠1＝∠BCF（两直线平行，同位角相等）；
又∵∠2＝∠1（已知），
∴∠BCF＝∠2（等量代换），
∴FG∥BC（内错角相等，两直线平行）．
25．解：（1）?明同学辅助线的做法为：过点P作PQ∥AB；
（2）如图2，
∵AB∥PQ∥CD，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣60°＝30°，
如图3，
∵AB∥CD，PF∥EQ，
∴∠2＝∠3，∠4＝∠3，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣60°＝30°，
如图4，
∵AB∥CD，PE∥FQ，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠3，
∵∠2+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣60°＝30°；
（3）设∠CFE＝x，∠PEF＝∠PDF＝y，
过点P作PQ∥AB，
∴∠BEP+∠EPQ＝180°，∠CFE＝∠FEB＝x，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PDF＝∠DPQ，
∴∠DPQ＝∠PEF＝∠PDF＝y，
由∠CFE＝∠FEB＝x＝∠FEP+∠BEP，
∴x＝y+（180°﹣α+y），
∴x﹣2y＝180°﹣α，
即∠CFE﹣2∠PEF＝180°﹣α．
故答案为：（1）过点P作PQ∥AC；（2）302021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练26：平行四边形（含答案）
一、知识要点：
1、平行四边形
(1)定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
(2)平行四边形的性质
平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。
(3)平行四边形的判定
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(4)中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
2、矩形
(1)定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
(2)矩形的性质
矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(3)矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形。
3、菱形
(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(2)菱形的性质
菱形具有平行四边形的一切性质；
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。
(3)菱形的判定
一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边相等的四边形是菱形。
4、正方形:正方形是最特殊的四边形，它具有矩形的性质，也具有菱形的性质。
二、课标要求：
1、理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。
2、探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3、了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离。
4、探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性质。
5、探索并证明三角形的中位线定理。
三、常见考点：
1、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定。
2、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定在几何问题中的综合运用。
3、三角形的中位线定理。
四、专题训练：
1．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（　　）
A．2
B．
C．
D．
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（　　）
A．4
B．8
C．
D．6
4．如图，要判定?ABCD是菱形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝AC
B．BC＝BD
C．AC＝BD
D．AB＝BC
5．如图，在?ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是?ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）
A．
B．
C．3
D．2
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）
A．AB＝AD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．∠ABO＝∠CBO
7．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC＝24cm，则四边形ABCD的周长为（　　）
A．52cm
B．40cm
C．39cm
D．26cm
8．已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　
　．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝，过点C作CF∥AB，以AB为边作菱形ABEF，若∠F＝30°，则Rt△ABC的面积为　
　．
10．在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E、F、G、H，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD填加一个条件，使四边形EFGH成为一个菱形．这个条件是　
　．
11．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝　
　．
12．如图，在?ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为　
　．
13．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，点D是BC边的中点，则中线AD的长度的取值范围是　
　．
14．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是　
　．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC，②四边形ADEF为菱形，③S△ADF：S△ABC＝1：4．其中正确的结论是　
　．（填写所有正确结论的序号）
16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
17．如图，在?ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．
（1）求证：△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，则四边形AECF　
　（填“是”或“不是”）平行四边形．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
19．如图，已知?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26．
（1）求△ADO的周长；
（2）求证：△ADO是直角三角形．
20．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O直线EF分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若EF＝BD，BE＝8，BF＝16，求菱形ABCD的面积；
（3）若EF⊥AB，垂足为G，OB＝3AG，求的值．
21．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E在边AC上AB＝AE，过点E作EF∥BC，交AD于点F，连接BF．
（1）如图1，求证：四边形BDEF是菱形；
（2）如图2，当AB＝BC时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角．
参考答案
1．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（　　）
A．2
B．
C．
D．
分析：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x+2，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，
∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x+2，
∵AE⊥BC，BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，
∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，
整理得：2x2+4x﹣6＝0，
解得x＝1或﹣3（舍弃），
∴BE＝1，
∴AE＝，
故选：B．
点评：本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD
分析：根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．
解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
故选：C．
点评：本题考查平行四边形的判定，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（　　）
A．4
B．8
C．
D．6
分析：由菱形的性质得出OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH＝BD，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴OH＝BD，
∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×12×BD＝48，
∴BD＝8，
∴OH＝BD＝4；
故选：A．
点评：本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得OH＝BD．
4．如图，要判定?ABCD是菱形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝AC
B．BC＝BD
C．AC＝BD
D．AB＝BC
分析：根据菱形的判定方法即可解决问题．
解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，可知选项D正确，
故选：D．
点评：本题考查菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．如图，在?ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是?ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）
A．
B．
C．3
D．2
分析：延长BF交CD的延长线于H，可证EF是△BCH的中位线，由中垂线的性质可得BC＝CH＝8，可求DH＝3，由“AAS”可证△ABF≌△GFH，可得AB＝GH＝5，可求解．
解：如图，延长BF交CD的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AB∥CD，
∴∠H＝∠ABF，
∵EF∥AB，
∴EF∥CD，
∵E是边BC的中点，
∴EF是△BCH的中位线，
∴BF＝FH，
∵∠BFC＝90°，
∴CF⊥BF，
∴CF是BH的中垂线，
∴BC＝CH＝8，
∴DH＝CH﹣CD＝3，
在△ABF和△GHF中，
，
∴△ABF≌△GFH（AAS），
∴AB＝GH＝5，
∴DG＝GH﹣DH＝2，
故选：D．
点评：本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）
A．AB＝AD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．∠ABO＝∠CBO
分析：根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
解：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；
当∠ABO＝∠CBO时，
由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，
∴∠ABO＝∠ADO，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
故选：B．
点评：本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．
7．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC＝24cm，则四边形ABCD的周长为（　　）
A．52cm
B．40cm
C．39cm
D．26cm
分析：可定四边形ABCD为菱形，连接AC、BD相交于点O，则可求得BD的长，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得AB的长，从而可求得四边形ABCD的周长．
解：
如图，连接AC、BD相交于点O，
∵四边形ABCD的四边相等，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，S四边形ABCD＝AC?BD，
∴×24BD＝120，解得BD＝10cm，
∴OA＝12cm，OB＝5cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB＝＝13（cm），
∴四边形ABCD的周长＝4×13＝52（cm），
故选：A．
点评：本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键，注意勾股定理的应用．
8．已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　4或﹣2　．
分析：分别在平面直角坐标系中确定出A、B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定C的位置，从而求出x的值．
解：根据题意画图如下：
以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C（4，1）或（﹣2，1），
则x＝4或﹣2；
故答案为：4或﹣2．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝，过点C作CF∥AB，以AB为边作菱形ABEF，若∠F＝30°，则Rt△ABC的面积为　　．
分析：先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．
解：如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
∵根据题意四边形ABEF为菱形，
∴AB＝BE＝，
又∵∠ABE＝30°
∴在Rt△BHE中，EH＝，
根据题意，AB∥CF，
根据平行线间的距离处处相等，
∴HE＝CG＝，
∴Rt△ABC的面积为．
故答案为：．
点评：本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE＝CG，最终求出直角三角形面积．
10．在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E、F、G、H，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD填加一个条件，使四边形EFGH成为一个菱形．这个条件是　AC＝BD或ABCD是等腰梯形　．
分析：要使四边形EFGH是菱形，只需通过定义证明四边相等即可．由中位线定理可知，原四边形必须是对角线相等的四边形．如矩形、等腰梯形、正方形，等．
解：顺次连接四边形各边中点，根据菱形的特点可知四边必须相等，
由中位线定理可知，原四边形必须是对角线相等的四边形．
如矩形、等腰梯形、正方形都是对角线相等的四边形等，
所以添加的条件可是：AC＝BD或ABCD是等腰梯形等．
点评：主要考查了中位线定理和特殊四边形菱形的特点．要掌握：中位线平行且等于底边的一半．
11．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝　36　．
分析：连接EF，FG，GH，EH，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，得到EH，EF，FG，GH分别是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位线，根据三角形中位线定理得到EH，FG等于BD的一半，EF，GH等于AC的一半，由AC＝BD＝6，得到EH＝EF＝GH＝FG＝3，根据四边都相等的四边形是菱形，得到EFGH为菱形，然后根据菱形的性质得到EG⊥HF，且EG＝2OE，FH＝2OH，在Rt△OEH中，根据勾股定理得到OE2+OH2＝EH2＝9，再根据等式的性质，在等式的两边同时乘以4，根据4＝22，把等式进行变形，并把EG＝2OE，FH＝2OH代入变形后的等式中，即可求出EG2+FH2的值
解：如右图，连接EF，FG，GH，EH，
∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH＝BD＝3，
同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，
∴EF＝GH＝AC＝3，FG＝BD＝3，
∴EH＝EF＝GH＝FG＝3，
∴四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥HF，且垂足为O，
∴EG＝2OE，FH＝2OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝9，
等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2＝9×4＝36，
∴（2OE）2+（2OH）2＝36，
即EG2+FH2＝36．
故答案为：36．
点评：此题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理以及等式的基本性质，本题的关键是连接EF，FG，GH，EH，得到四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质得到EG⊥HF，建立直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
12．如图，在?ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为　16　．
分析：根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AE＝AB＝DE＝CD＝2，∠BEC＝90°，可得BC＝AD＝2+2＝4，再根据勾股定理解答即可．
解：∵BE、CE
分别平分∠ABC
和∠BCD
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝2，BC＝AD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE2+CE2＝BC2
，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE＝2，
同理可证
DE＝DC＝2，
∴DE+AE＝AD＝4，
∴BE2+CE2＝BC2＝AD2＝16．
故答案为：16．
点评：此题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．
13．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，点D是BC边的中点，则中线AD的长度的取值范围是　0.5＜AD＜3.5　．
分析：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．
解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC＝4，
∵AB＝3，
∴1＜AE＜7，
∴0.5＜AD＜3.5．
故答案为：0.5＜AD＜3.5．
点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
14．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是　（2，）　．
分析：根据直角三角形的性质可得OA和OD的长，根据菱形的性质和坐标与图形的性质可得答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，
∴CD＝AD＝AB＝2，
∵∠DAB＝120°，
∴∠OAD＝60°，
Rt△AOD中，∠ADO＝30°，
∴OA＝AD＝＝1，OD＝＝，
∴C（2，），
故答案为：（2，）．
点评：此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是确定OD的长．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC，②四边形ADEF为菱形，③S△ADF：S△ABC＝1：4．其中正确的结论是　①②③　．（填写所有正确结论的序号）
分析：①根据三角形的中位线定理可得出AD＝FE、AF＝FC、DF＝EC，进而可证出△ADF≌△FEC（SSS），结论①正确；
②根据三角形中位线定理可得出EF∥AB、EF＝AD，进而可证出四边形ADEF为平行四边形，由AB＝AC结合D、F分别为AB、AC的中点可得出AD＝AF，进而可得出四边形ADEF为菱形，结论②正确；
③根据三角形中位线定理可得出DF∥BC、DF＝BC，进而可得出△ADF∽△ABC，再利用相似三角形的性质可得出＝，结论③正确．此题得解．
解：①∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线，
∴AD＝AB＝FE，AF＝AC＝FC，DF＝BC＝EC．
在△ADF和△FEC中，，
∴△ADF≌△FEC（SSS），结论①正确；
②∵E、F分别为BC、AC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF＝AB＝AD，
∴四边形ADEF为平行四边形．
∵AB＝AC，D、F分别为AB、AC的中点，
∴AD＝AF，
∴四边形ADEF为菱形，结论②正确；
③∵D、F分别为AB、AC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴＝（）2＝，结论③正确．
故答案为：①②③．
点评：本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
分析：（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB≌△CND；
（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积．
解：（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝CO，
又∵点M，N分别为OA、OC的中点，
∴AM＝CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAM＝∠DCN，
∴△AMB≌△CND（SAS）；
（2）∵△AMB≌△CND，
∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，
又∵BM＝EM，
∴DN＝EM，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∴∠MBO＝∠NDO，
∴ME∥DN
∴四边形DEMN是平行四边形，
∵BD＝2AB，BD＝2BO，
∴AB＝OB，
又∵M是AO的中点，
∴BM⊥AO，
∴∠EMN＝90°，
∴四边形DEMN是矩形，
∵AB＝5，DN＝BM＝4，
∴AM＝3＝MO，
∴MN＝6，
∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．
点评：本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
17．如图，在?ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．
（1）求证：△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，则四边形AECF　是　（填“是”或“不是”）平行四边形．
分析：（1）由ASA证明△AOF≌△COE即可；
（2）由全等三角形的性质得出FO＝EO，再由AO＝CO，即可得出结论．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA）
（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：
由（1）得：△AOF≌△COE，
∴FO＝EO，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形；
故答案为：是．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
分析：（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
点评：此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解本题的关键．
19．如图，已知?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26．
（1）求△ADO的周长；
（2）求证：△ADO是直角三角形．
分析：（1）根据平行四边形的对角线互相平分确定AO和DO的长，然后求得周长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线AC与BD相互平分，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AC＝26，BD＝10，
∴OA＝13，OD＝5，
∵AD＝12，
∴△AOD的周长＝5+12+13＝30；
（2）由（1）知
OA＝13，OD＝5，AD＝12，
∵52+
122＝132
，
∴在△AOD中，AD2+DO2＝AO2
，
∴△AOD是直角三角形．
点评：考查了平行四边形的性质及勾股定理的逆定理的知识，解题的关键是了解对角线互相平分，难度不大．
20．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O直线EF分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若EF＝BD，BE＝8，BF＝16，求菱形ABCD的面积；
（3）若EF⊥AB，垂足为G，OB＝3AG，求的值．
分析：（1）根据菱形性质和全等三角形的判定即可得证；
（2）根据矩形的判定定理，先判断四边形EBFE是矩形，再根据勾股定理求菱形边长，即可求得结论；
（3）根据直角三角形的双垂型证明两个直角三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例和勾股定理，用含OB的式子表示OA和AB即可得结论．
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，又∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF（AAS）；
（2）由△AOE≌△COF，得OE＝OF，
∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF＝BD，
∴?EBFE是矩形，∴∠EBF＝90°，
设菱形ABCD的边长为x，∴AB＝AD＝x，∴AE＝16﹣x，
在Rt△AEB中，根据勾股定理，得
AB2＝AE2+BE2，即x2＝（16﹣x）2+82，解得x＝10，
∴S菱形＝BC?BE＝10×8＝80．
答：菱形ABCD的面积为80．
（3）∵EF⊥AB，垂足为G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA⊥OB∴∠AOG+∠BOG＝90°，
∵OG⊥AB，∴∠AOG+∠OAG＝90°，
∴∠BOG＝∠OAG，∠AGO＝∠BGO＝90°，
∴△OBG∽△AOG
∴，
∴OG2＝AG?BG
∵在Rt△GOB中，根据勾股定理，得
OG2＝OB2﹣BG2
∴OB2﹣BG2＝AG?BG，
∵OB＝3AG，
∴BG2+AG?BG﹣90AG2＝0
∴（BG﹣9AG）（BG+10AG）＝0
BG＝9AG，BG＝﹣10AG（不符合题意，舍去），
AB＝BG+AG＝10AG，
在Rt△AOB中，根据勾股定理，得
OA2＝AB2﹣OB2＝100AG2﹣90AG2＝10AG2
∴OA＝AG∴＝
答：的值为．
点评：本题考查了矩形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、双垂型三角形相似，解决本题的关键是综合运用以上知识．
21．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E在边AC上AB＝AE，过点E作EF∥BC，交AD于点F，连接BF．
（1）如图1，求证：四边形BDEF是菱形；
（2）如图2，当AB＝BC时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角．
分析：（1）根据菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据AB＝BC可得∠BAC＝∠BCA，再根据EF∥BC，可得∠AEF＝∠C，进而可得度数等于∠BAD的2倍的所有的角．
解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AB＝AE，AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴DB＝DE，∠BDA＝∠EDA．
∵EF∥BC，
∴∠EFD＝∠BDA，
∴∠EFD＝∠EDF，
∴EF＝ED，
∴EF＝BD，
∵EF∥BD，
∴四边形BDEF为菱形．
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝2∠BAD，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCA＝2∠BAD，
∵∠ABF＝∠AEF，
∴∠ABF＝2∠BAD．
所以图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角：
∠BAC，∠BCA，∠ABF，∠AEF2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练25：四边形（含答案）
一、知识要点：
定义1：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
按照组成多边形的线段的条数可以分为：三角形、四边形、五边形、六边形、···。三角形是最简单的图形。
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形。
定义2：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
定义3：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
定义4：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
n边形内角和等于(n-2)×180°。
多边形的外角和等于360°。
二、课标要求：
了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式。
三、常见考点：
1、多边形的概念，多边形的内角和与外角和。
四、专题训练：
1．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（　　）
A．141°
B．144°
C．147°
D．150°
2．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x，y，z，则++的值为（　　）
A．1
B．
C．
D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（　　）
A．2
B．
C．
D．
4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（　　）
A．∠B＝∠F
B．∠B＝∠BCF
C．AC＝CF
D．AD＝CF
5．如图，?ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论
①BE⊥AC②四边形BEFG是平行四边形③EG＝GF④EA平分∠GEF
其中正确的是（　　）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
6．菱形ABCD中，若对角线长AC＝8，BD＝6，则边长AB的长为（　　）
A．6
B．5
C．10
D．3或5
7．下列说法中不正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是　
　．
10．若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为　
　．
11．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是　
　°．
12．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　
　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
13．已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的一点，AD＝BC，E是BC延长线上的一点，且CE＝BD，则＝　
　．
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　
　．
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AB，AC边的中点，请你在△ABC中添加一个条件：　
　，使得四边形AEDF是菱形．
16．如图，将两张长为18，宽为6的矩形纸条交叉，可知重叠部分是一个　
　形（图形形状），那么该图形周长的最大值与最小值的差等于　
　．
17．如图，?ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE．
（1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由；
（2）求证：AE⊥DE．
18．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
19．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tanG＝，求AO的长．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．
21．如图，在矩形ABCD中，∠DAF＝30°，M是CD上一点，AM的延长线交BC的延长线于点F，BE垂直平分AM，DG∥AF，MG∥DE．
（1）判断四边形DEMG的形状，并说明理由？
（2）求证：△ADM≌△FCM．
22．如图，将?ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交BC边于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，请探究：当∠BFD与∠A之间满足怎样的数量关系时，能使四边形BECD成为矩形？为什么？
23．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数．
参考答案
1．解：（6﹣2）×180°÷6＝120°，
（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∠APG＝（6﹣2）×180°﹣120°×3﹣108°×2＝720°﹣360°﹣216°＝144°．
故选：B．
2．解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，
已知正多边形的边数为x、y、z，
那么这三个多边形的内角和可表示为：++＝360，
两边都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣＝2，
两边都除以2得，++＝．
故选：C．
3．解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，
∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x+2，
∵AE⊥BC，BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，
∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，
整理得：2x2+4x﹣6＝0，
解得x＝1或﹣3（舍弃），
∴BE＝1，
∴AE＝，
故选：B．
4．解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE＝AC，
A、根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B、根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC，
又∵BD＝2AD，
∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E
是OC中点，
∴BE⊥AC，
故①正确，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF＝CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE＝AB＝AG＝BG
∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明GE＝GF，
故③错误，
∵BG＝EF，BG∥EF∥CD
∴四边形BEFG是平行四边形
故②正确
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠AEG，
∴∠AEG＝∠AEF，
∴AE平分∠GEF，
故选：B．
6．解：如图，∵菱形ABCD中，对角线长AC＝8，BD＝6，
∴AO＝AC＝4，BO＝BD＝3，
∵菱形的对角线互相垂直，
∴在Rt△AOB中，AB＝＝5．
故选：B．
7．解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；
D．菱形的邻边相等；正确；
故选：C．
8．解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，
∴12＝×5×EO+×5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF＝，
故选：C．
9．解：第一个是1×3，
第二个是2×4，
第三个是3×5，…
第
n个是n?（n+2）＝n2+2n
故答案为：n2+2n．
10．解：设多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝360°，
解得：n＝4，
故答案为：4．
11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，
故答案为：30．
12．解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：2或6．
13．解：如图所示，过C作AE的平行线，过A作EC的平行线，交于点F，连接DF，则四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，CE＝AF，
又∵CE＝BD，
∴AF＝BD，
∵∠ABC＝90°，AF∥BE，
∴∠DAF＝90°＝∠CBD，
又∵AD＝BC，
∴△DAF≌△CBD（SAS），
∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，
又∵Rt△BCD中，∠DCB+∠BDC＝90°，
∴∠ADB+∠CDB＝90°，
即∠FDC＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
14．解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，
得矩形AGHE，
∴GH＝AE＝2，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴BG＝3，AG＝3＝EH，
∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，
∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，
∴FC＝AE＝2，
∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，
在Rt△EFH中，根据勾股定理，得
EF＝＝＝2．
故答案为：2．
15．解：添加条件：AB＝AC．理由如下：
∵AD⊥BC，点E，F分别是AB，AC边的中点，
∴DE＝AB＝AE，DF＝AC＝AF，
∵AB＝AC，
∴DE＝DF＝AE＝AF，
∴四边形AEDF是菱形；
故答案为：AB＝AC（答案不唯一）．
16．解：重叠部分是一个菱形，
当两张纸条如图1所示放置时，菱形周长最大，
设这时菱形的边长为xcm，
由勾股定理：x2＝（18﹣x）2+62，
解得：x＝10，
∴4x＝40，
即菱形的最大周长为40cm．
当两张纸条如图所2示放置时，即是正方形时取得最小值为：4×6＝24．
∴菱形周长的最大值与最小值的和是40﹣24＝16，
故答案为：16．
17．（1）解：四边形AECF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵点E与点F关于AC对称，
∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AE＝AF＝CE＝CF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）证明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B＝60°，
∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ACB＝30°，
∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°＝∠B，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，
∴∠AEC＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，
又∵CE＝AE，
∴CE＝BE＝BC＝AB＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，
∴AE⊥DE．
18．（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
19．（1）证明：连接BD，交AC于O，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，
∵BE＝DF，
∴AB：BE＝AD：DF，
∴EF∥BD，
∴AC⊥EF；
（2）解：如图2所示：
∵由（1）得：EF∥BD，
∴∠G＝∠CDO，
∴tanG＝tan∠CDO＝＝，
∴OC＝OD，
∵BD＝4，
∴OD＝2，
∴OC＝1，
∴OA＝OC＝1．
20．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，
∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝BD＝12，OM＝MN＝5，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM＝＝＝13，
∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．
21．解：（1）∵DG∥AF，MG∥DE，
∴四边形DEMG是平行四边形，
∵BE垂直平分AM，∠ADM＝90°，
∴DE是Rt△ADM的中线，
∴DE＝AM＝EM，
∴平行四边形DEMG是菱形；
（2）如图，连接BM，
∵∠BAD＝90°，∠DAM＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∵BE垂直平分AM，
∴BA＝BM，
∴△ABM是等边三角形，
∴AM＝BM，∠ABM＝60°，
∴∠CBM＝90°﹣60°＝30°，
又∵AD∥BC，
∴∠F＝∠DAM＝30°，
∴∠CBM＝∠F，
∴BM＝FM，
∴AM＝FM，
又∵∠ADM＝∠FCM＝90°，∠AMD＝∠FMC，
∴△ADM≌△FCM（AAS）．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CD，AB∥CD．
∵BE＝AB，
∴BE＝CD．
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，
在△BEF与△CDF中，
，
∴△BEF≌△CDF（ASA）；
（2）解：∠BFD＝2∠A时，四边形BECD成为矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，
∵AB＝BE，
∴CD＝EB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF＝CF，EF＝DF，
∵∠BFD＝2∠A，
∴∠BFD＝2∠DCF，
∴∠DCF＝∠FDC，
∴DF＝CF，
∴DE＝BC，
∴四边形BECD是矩形．
23．（1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠AOB：∠ODC＝4：3，
∴∠AOB：∠ABO＝4：3，
∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝3：4：3，
∴∠ABO＝54°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADO＝90°﹣54°＝36°2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练23：相似三角形（含答案）
一、知识要点：
1、相似多边形
定义1：形状相同的图形叫做相似图形。
定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的判定
定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。
定理：平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定2：三边成比例的两个三角形相似。
判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
判定4：两角分别相等的两个三角形相似。
3、相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
相似三角形对应线段的比等于相似比；
相似三角形周长的比等于相似比；
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
4、位似图形
定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又叫位似比。
二、课标要求：
1、了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
2、通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。
3、掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
4、了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。
5、了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
6、了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。
7、会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
8、在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。
三、常见考点：
1、比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。
2、相似多边形的性质。3、相似三角形的性质及判定。
4、相似三角形的性质和判定在几何问题中的综合运用。5、位似图形及坐标的位似。
四、专题训练：
1．两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是（　　）A．12
B．12或24
C．27
D．12或27
2．如图，在△ABC中，AC＝4，D是AC上一点，AD＝1，M、N分别是BD、BC的中点，若∠ABD＝∠ACB，则的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．已知等腰△ABC的底角为75°，则下列三角形一定与△ABC相似的是（　　）
A．顶角为30°的等腰三角形
B．顶角为40°的等腰三角形
C．等边三角形
D．顶角为75°的等腰三角形
4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC边上的点，连接DE并延长，与AC的延长线交于点F，且AD＝3BD，EF＝2DE，若CF＝2，则AF的长为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（　　）
A．3
B．2
C．5
D．
6．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC＝2：3，EF＝6，则DE的长是（　　）
A．8
B．9
C．4
D．10
7．如图，在?ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连结CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　）
A．△BFE
B．△AFD
C．△ACE
D．△BAE
9．如图，△ABC的两个顶点B、C均在第一象限，以点A（0，1）为位似中心，在y轴左侧作△ABC的位似图形△ADE，△ABC与△ADE的位似比为1：2．若点C的纵坐标是m，则其对应点E的纵坐标是（　　）
A．
B．2m+3
C．﹣（2m+3）
D．﹣2m+3
10．如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝8，AC＝6，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（　　）
A．
B．3
C．
D．
11．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，AE⊥DE，DC＝1，BE＝3，BC＝5，则AB＝　
　．
12．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为　
　米．
13．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC＝1：2，AE与BD相交于F，则S△ADF：S△EBF＝　
　．
14．如图，△ABC≌△DEF，AB＝AC＝5，BC＝EF＝6，点E在BC边上运动（不与端点重合），边DE始终过点A，EF交AC于点G，当△AEG是等腰三角形时，△AEG的面积是　
　．
15．已知（x，y，z均不为零），则＝　
　．
16．如图，二次函数y＝﹣2的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，在线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M，若△CPN与△BPM相似，则点P的坐标为　
　．
17．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，D是AB的中点，在边AC上确定点E的位置，使得△ADE∽△ACB，则AE的长为　
　．
18．如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，若BE＝3，则EC的长为　
　．
19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点F，则图中与△AFE相似的三角形为　
　；AF的长为　
　．
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连接AD，BD，BD与AC交于点E，请写出图中所有与△ADE相似的三角形　
　．
21．如图，在△ABC中，点D是AB上一点（不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．连接CD，若∠ACD＝∠B．
（1）求证：CD2＝DE?BC；
（2）若DE＝3，BC＝4，求的值．
22．如图，正方形ABCD的边长为2，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q．
（1）求证：AB?CQ＝PB?PC；
（2）当CQ最大时，求BP的长．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC上一点，BD＝2，E、F分别是AB、AC边上的动点，且∠EDF＝∠B．
（1）找出图中与△BDE相似的三角形，并说明理由；
（2）是否存在这样的位置，使DE⊥EF？若存在，求出BE的长；若不存在，说明理由．
24．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C在AB的延长线上．
（1）求证：△CAD∽△CDB；
（2）若∠C＝30°，AC＝9，求△DBC的面积．
25．如图，已知等边△ABC的边长为8，点M、N分别在AB、AC边上，CN＝3．
（1）把△ABC沿MN折叠，使得点A的对应点是点A′落在AB边上（如图1），求折痕MN的长度；
（2）如图2，若点P在BC上运动，且始终保持∠MPN＝60°．
①请判断△MBP和△PCN是否相似？并说明理由；
②当点P在何位置时线段BM长度最大，并求出线段BM长度的最大值．
26．如图1，已知△ABC、△DBE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DEB＝90°，BC＝2，E为BC的中点，将△DEB绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜360°），如图2，连接AD，CE．
（1）求证：△ADB∽△CEB．
（2）当α＝60°时，求AD的值．
（3）当A、D、E三点在同一直线上时，求CE的长．
27．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，CD＝BD，过点D作AC的垂线分别交AC，AB延长线于点E，F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AE＝3，sin∠EAF＝，求⊙O的半径．
参考答案
1．解：∵两个相似三角形面积比是4：9，
∴两个相似三角形相似比是2：3，
∴两个相似三角形周长比是2：3，
∵一个三角形的周长为18，设另一三角形周长为x，
∴18：x＝2：3或x：18＝2：3，
解得：x＝12或27，
∴另一个三角形的周长是12或27，故选：D．
2．解：∵M、N分别是BD、BC的中点，
∴AM，AN分别是△ABD，△ABC的中线，
∵∠ABD＝∠ACB，∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
∴AB＝2，
∴，故选：C．
3．解：∵等腰△ABC的底角为75°，
∴等腰△ABC的三角分别为30°，75°，75°，
∴一定与△ABC相似的是顶角为30°的等腰三角形，故选：A．
4．解：过点F作FG∥AB，交BC延长线于点G，
则△BED∽△GEF，
∴＝＝，即FG＝2BD，
∵AD＝3BD，
∴AB＝4BD，
∴AB＝2FG，
∵FG∥AB，
∴△ACB∽△FCG，
∴＝＝2，
∴AC＝2CF＝4，
∴AF＝AC+CF＝6，故选：B．
5．解：如图，连接AI，AC，
∵以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，
∴AG＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，
在Rt△AGI和Rt△ADI中，
，
∴Rt△AGI≌Rt△ADI（HL），
∴∠GAI＝∠DAI，
∴90°﹣∠GAI＝90°﹣∠DAI，
∴∠IAH＝∠AID，
∴IH＝AH，
又∵IH＝HC，
∴IH＝HC＝AH，
∴∠IAC＝90°，
∴∠DAI+∠DAC＝90°，
又∵∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠DAI＝∠DCA，
又∵∠ADI＝∠ADC＝90°，
∴△ADI∽△CDA，
∴，
∴，
∴DI＝1，
∴CI＝ID+CD＝5，
∴IH＝IC＝，故选：D．
6．解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB：BC＝2：3，EF＝6，
∴＝，
∴DE＝4，故选：C．
7．解：∵，△COD的面积是2，
∴△BOC的面积为4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝2+4＝6，
∴△DOE∽△BOC，
∴＝（）2＝，
∴S△DOE＝1，
∴四边形ABOE的面积＝6﹣1＝5，故选：C．
8．解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠DBC+∠C＝∠EAC+∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠EAC，
∴△ACE∽△BCD，
又∵∠ADF＝∠BDC＝90°，
∴△AFD∽△BCD，
∵∠FBE＝∠DBC，∠BEF＝∠BDC＝90°，
∴△BFE∽△BCD，
∴一定与△BCD相似的是△BFE，△AFD，△ACE，
故不一定与△BCD相似的是△BAE．故选：D．
9．解：设点C的纵坐标为m，则A、C间的纵坐标的长度为（m﹣1），
∵△ABC放大到原来的2倍得到△ADE，
∴E、A间的纵坐标的长度为2（m﹣1），
∴点E的纵坐标是﹣[2（m﹣1）﹣1]＝﹣（2m﹣3）＝﹣2m+3．故选：D．
10．解：如图，过点P作PH⊥BC于H．
∵＝，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∴PA⊥AC，
∵PH⊥BC，
∴PA＝PH，
在Rt△PCA和Rt△PCH中，
，
∴Rt△PCA≌Rt△PCH（HL），
∴AC＝CH＝6，
∵BC＝＝＝10，
∴BH＝4，
设PA＝PH＝x，则PB＝8﹣x，
在Rt△PBH中，∵PB2＝PH2+BH2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴PA＝3，
∴CP＝＝＝3，故选：B．
11．解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴AB＝6，
故答案为：6．
12．解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近黄金比，
∴＝，
∴a＝b＝×2＝（﹣1）米，
故答案为：（﹣1）．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∵BE：EC＝1：2，
∴BE：BC＝1：3，
∴BE：AD＝1：3，
∴AD：BE＝3：1，
∴S△ADF：S△EBF＝32：12＝9．
故答案为：9．
14．解：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AGE＞∠C，
∴∠AGE＞∠AEF，
∴AE≠AG；
当AE＝EG时，则△ABE≌△ECG，
∴CE＝AB＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝6﹣5＝1，
过点AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BM＝3，
∴AM＝＝＝4，
∴S△ABE＝S△CEG＝×1×4＝2，
∴S△AEG＝S△ABC﹣2S△ABE＝×6×4﹣2×2＝8，
当AG＝EG时，则∠GAE＝∠GEA，
∴∠GAE+∠BAE＝∠GEA+∠CEG，
即∠CAB＝∠CEA，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴，
∴CE＝＝，
∴BE＝6﹣＝，
∵∠CEG＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECG，
∴，
∴CG＝，
∴AG＝5﹣＝，
∵∠EAG＝∠AEG＝∠B＝∠C，
∴△GAE∽△ABC，
∴＝，
∴S△EAG＝×12＝．
故答案为：8或．
15．解：∵（x，y，z均不为零），
∴设x＝6k，则y＝4k，z＝3k，
∴＝＝＝．
故答案为：．
16．解：对于抛物线y＝﹣2，令x＝0，得到y＝﹣2，可得C（0，﹣2），
令y＝0，可得0＝﹣2，解得x＝3或﹣，
∴A（﹣，0），B（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
设P（m，m﹣2），
∵∠BPM＝∠CPN，
当CN∥AB时，∠PBM＝∠PCN，此时△PCN∽△PBM，N（，﹣2），
∴P（，﹣），
当NC⊥BC时，∠PCN＝∠PMB＝90°，此时△PCN∽△PMB，
过点N作NH⊥y轴于H．
∵N（m，m2﹣m﹣2），
∵∠OCB+∠NCH＝90°，∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝∠NCH，
∴tan∠NCH＝tan∠OBC，
∴＝＝，
∴＝，
∴m＝，
∴P（，﹣），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，﹣）或（，﹣），
故答案为：（，﹣）或（，﹣）．
17．解：∵AB＝3，D是AB的中点，
∴AD＝AB＝，
当△ADE∽△ACB时，
则AE：AB＝AD：AC，
即AE：3＝：4，
∴AE＝，
故答案为：．
18．解：过D点作DF∥CE交AE于F，如图，
∵DF∥BE，
∴＝，
∵O是BD的中点，
∴OB＝OD，
∴DF＝BE＝3，
∵DF∥CE，
∴＝，
∵AD：DC＝1：2，
∴AD：AC＝1：3，
∴＝，
∴CE＝3DF＝3×3＝9．
故答案为9．
19．解：（1）∵AB＝AC，ED＝EC，
∴∠ABC＝∠ACB，∠EDC＝∠ECD，
∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∠ECD＝∠ACB+∠ACE
∴∠ECA＝∠FEA，
∵∠FAE＝∠EAC，
∴△AFE∽△AEC．
（2）如图，作EG⊥CD交CD于点G，
∵ED＝EC，
∴，
∵AD∥EG，
∴，
∴＝2，
解得，
∵△AFE∽△AEC，
∴，
∴＝，
解得．
故答案为：．
20．解：∵＝，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠DAE＝∠DBC，
∴∠DAE＝∠ABD，
∵∠ADE＝∠ADB，
∴△ADE∽△BDA，
∵∠DAE＝∠EBC，∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
故答案为：△CBE，△BDA．
21．（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
又∵∠ACD＝∠B，
∴△DEC∽△CDB，
∴，
∴CD2＝DE?BC；
（2）解：∵CD2＝DE?BC，DE＝3，BC＝4，
∴CD2＝12，
∴CD＝2（负值舍去），
∵△DEC∽△CDB，
∴，
∴，
∵DE∥BC，
∴．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°
∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠QPC，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴AB?CQ＝PB?PC；
（2）解：设BP＝x，CQ＝y，由（1）得2y＝x（2﹣x），
∴，
∵，开口向下，对称轴是x＝1，且x的范围是0≤x≤2，
∴当x＝1时，y有最大值为，即当CQ最大时，BP＝1．
23．解：（1）△CFD∽△BDE，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B，
∴∠FDC＝∠BED，
∴△CFD∽△BDE；
（2）存在．理由如下：
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝BC＝×6＝3，
∵∠DEF＝∠AHB＝90°，∠EDF＝∠B，
∴△ABH∽△FDE，
∴DE：BH＝DF：AB，
∴DE：3＝DF：5，
∴DE：DF＝3：5，
∵△CFD∽△BDE，
∴BE：CD＝DE：DF＝3：5，
∵BD＝2，BC＝6，
∴CD＝4，
∴BE：4＝3：5，
∴BE＝．
24．（1）证明：如图，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠ABD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∴∠ODB+∠CDB＝90°，
∵AB
是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝∠CDB，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CDB；
（2）解：∵∠ODC＝90°，∠C＝30°，
∴OC＝2OD，
∵AB是⊙O的直径，AC＝9，
∴OA＝OB＝OD＝BC＝AC＝3，
由（1）得：△CAD∽△CDB，
∴CD：CB＝CA：CD，
∴CD2＝CB×CA＝3×9＝27，
∴CD＝＝3，
∴△OCD的面积＝OD×CD＝×3×3＝，
又∵BC＝OB，
∴△DBC＝面积＝△OCD的面积＝．
25．解：（1）∵等边△ABC的边长为8，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝8，
∵CN＝3，
∴AN＝5，
∵把△ABC沿MN折叠，点A的对应点A'恰好落在AB边上，
∴∠NMA＝90°，
∴sinA＝，
∴MN＝AN?sin60°＝；
（2）①∵∠MPN＝60°，
∴∠MPB+∠NPC＝120°，
∴∠NPC＝∠BMP，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△MBP∽△PCN；
②设BP＝x，BM＝y，则PC＝8﹣x，
∵△MBP∽△PCN，
∴，
∴，
∴，
当x＝4时，y最大值为，
因此，当点P位于BC的中点时，线段BM长度最大值为．
26．（1）证明：在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴，
同理：∠DBE＝45°，，
∴，
∵∠ABC＝∠EBD，
∴∠ACB﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，
∴∠CBE＝∠ABD，
∴△ADB∽△CEB；
（2）如图2，旋转前，点E是BC的中点，
∴BE＝BC＝1，
在Rt△ABC中，AB＝＝2
取BC的中点，连接EF，
∴BF＝BC＝1，
∴BF＝BE，
由旋转知，∠CBE＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BFE＝60°，EF＝BF＝CF，
∴∠BCE＝30°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴CE＝＝，
由（1）知，△ADB∽△CEB，
∴，
∴AD＝＝＝；
（3）①当点E在线段AD上时，如图3，
∵∠BED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE＝＝＝，
在Rt△BED中，DE＝BE＝1，
∴AD＝AE+DE＝+1，
由（1）知，△ADB∽△CEB，
∴，
∴CE＝＝＝；
②当点E在线段AD的延长线上，如图4，
同①的方法得，AE＝，
∴AD＝AE﹣DE＝﹣1，
由（1）知，△ADB∽△CEB，
∴，
∴CE＝＝＝，
即：满足条件的CE长为或．
27．（1）证明：连接OD，AD，
∵CD＝BD，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵AE⊥ED，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠ADO+∠EDA＝90°，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，
∴sin∠EAF＝，
∵sin∠EAF＝，
设EF＝4k，AF＝5k（k＞0），则AE＝3k，
∵AE＝3，
∴k＝1，
∴AF＝5，
∵EF⊥OD，EF⊥AE，
∴OD∥AE，
∴△FOD∽△FAE，
∴，
∴，
∴r＝2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练15：反比例函数（含答案）
一、知识要点：
1、定义
一般的，形如
(是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：或。
2、反比例函数的图象及其性质
反比例函数的图象是双曲线。当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；
3、反比例函数与实际问题
在研究有关反比例函数的实际问题时，要遵循一审、二设、三列、四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变量。根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数关系式；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
二、课标要求：
1、结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。
2、能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况。
3、能用反比例函数解决简单实际问题。
三、常见考点：
1、反比例函数的基本概念，根据已知条件写出或求出反比例函数解析式。
2、根据反比例函数的图象及性质解决相关问题，如不等式、图形面积等。
3、反比例函数与实际问题，反比例函数与综合问题。
四、专题训练：
1．已知点（x1，y1），（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2
B．y1≥y2
C．y1＜y2
D．y1≤y2
2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（　　）
A．
B．4
C．6
D．
3．如图，A、B是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（　　）
A．S＝2
B．S＝4
C．2＜S＜4
D．S＞4
4．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是边长为3的正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且BF＝5，则k值为（　　）
A．15
B．
C．
D．17
5．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）
A．4
B．
C．10
D．
6．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式﹣的值为（　　）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
7．如图，在平面直角坐标系中，PB⊥PA，AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象和反比例函数y＝的图象相交于A、P（﹣1，2）两点，则点B的坐标是（　　）
A．（1，3）
B．（1，4）
C．（1，5）
D．（1，6）
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC和BDEF都是正方形，∠AOC＝∠BFE＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点E，若S正方形OABC﹣S正方形BDEF＝6，则k为（　　）
A．12
B．9
C．6
D．3
9．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点E（1，0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，连接DF，DF∥x轴，则k的值为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．4
10．如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的两点，过点A作AC⊥x轴于点C，交直线OB于点D，连接OA．若点A的坐标为（3，1），OB＝BD，则sin∠AOD＝　
　．
11．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴交于A、B两点，AC⊥AB，交双曲线y＝（x＜0）于C点，且BC交x轴于M点，BM＝2CM，则k＝　
　．
12．如图，点A（﹣4，2）和B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，则不等式kx+b＜的解集是　
　．
13．如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的边AB，BC上的点F，E，其中CE＝CB，AF＝AB且四边形OEBF的面积为8，则k的值为　
　．
14．如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC＝CD，四边形BDCE的面积为3，则k的值为　
　．
15．在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，若sin∠BAO＝，则k的值为　
　．
16．如图，点A，D是反比例函数图象上的两个点，点B，C是反比例函数图象上的两个点，线段AB，CD均平行于y轴，若AB＝1，CD＝2，AB，CD之间的距离3，则m﹣n＝　
　．
17．如图，以矩形OABC的长OC作x轴，以宽OA作y轴建立平面直角坐标系，OA＝4，OC＝8，现作反比例函数交BC于点E，交AB于点F，沿EF折叠，点B落在OC的点G处，OG＝3GC，则k的值是　
　．
18．如图，直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A，B两点，BC⊥AB交该双曲线于点C，则sin∠BAC的值是　
　．
19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝1：2，S△OBD＝，则k的值为　
　．
20．若函数y＝与y＝﹣2x﹣4的图象的交点坐标为（a，b），则的值是　
　．
21．如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上，把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O′A′B′当这个函数图象经过△O′A′B′一边的中点时，则a的值是　
　．
22．如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（2，6）．
（1）求一次函数与反比例函数的关系式；
（2）C为线段AB延长线上一点，作CD∥OA与反比例函数y＝（x＞0）交于点D，连接OD，当四边形ACDO为平行四边形时，求点C的坐标．
23．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝的图象的一支相交于点A，与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，已知AC＝2BC．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若反比例函数y＝第一象限上有一点M，MN垂直于x轴，垂足为N，若△BOC∽△MNB，求点N的坐标．
24．已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）△AOB的面积为　
　；
（3）直接写出不等式kx+b＞的解集　
　；
（4）点P在x的负半轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
25．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集（请直接写出答案）．
26．一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）求△AOB的面积．
27．如图，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴相交于A，B，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线AB相交于C，D两点，且C点坐标是（2，n），tan∠BOC＝．
（1）求直线AB及反比例函数的表达式．
（2）若x轴上有一点P，使∠ODP＝90°，求P点的坐标．
参考答案
1．解：∵反比例函数y＝中的k＝5＞0，
∴反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，且在每一象限内y的值随x的值增大而减小．
∵（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2，即这两点都位于第三象限，
∴y1＞y2．
故选：A．
2．解：如图作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，OA＝BC，
∴BE⊥y轴，
∴OE＝BD，
∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），
根据系数k的几何意义，S矩形BDOE＝5，S△AOE＝，
∴四边形OABC的面积＝5﹣﹣＝4，
故选：B．
3．解：设A点的坐标是（a，b），则根据函数的对称性得出B点的坐标是（﹣a，﹣b），则AC＝2b，BC＝2a，
∵A点在y＝的图象上，
∴ab＝1，
∴△ABC的面积S＝＝＝2ab＝2×1＝2，
故选：A．
4．解：设AO＝a，
∵四边形ADEF是边长为3的正方形，BF＝5，
∴AB＝8，OD＝a+3，
∴B（a，8），E（a+3，3），
又∵点B、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴8a＝3（a+3），
解得a＝，
∴B（，8），
∴k＝×8＝，
故选：C．
5．解：设A（t，0），
∵D（﹣2，3），AD＝5，
∴（t+2）2+32＝52，解得t＝2，
∴A（2，0），
设C（0，m），
∵D点向右平移2个单位，向上平移（m﹣3）个单位得到C点，
∴A点向右平移2个单位，向上平移（m﹣3）个单位得到B点，
∴B（4，m﹣3），
∵AC＝BD，
∴22+m2＝（4+2）2+（m﹣3﹣3）2，解得m＝，
∴B（4，），
把B（4，）代入y＝得k＝4×＝．
故选：D．
6．由题意得，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），
∴ab＝3，b＝a﹣1，
∴﹣＝＝﹣；
故选：C．
7．解：∵AP为正比例函数，故点A、P关于原点对称，则点A（1，﹣2），则设点B（1，t），
过点P作y轴的平行线交x轴于点N，交点B与x轴的平行线于点M，
∵∠MPB+∠NPO＝90°，∠MPB+∠MBP＝90°，
∴∠NPO＝∠MPB，
BM＝1﹣（﹣1）＝2＝PN＝2，∠PNO＝∠BMP＝90°，
∴△PNO≌△BMP（AAS），
∴MP＝ON＝1，
故MN＝MP+PN＝1+2＝3，
故点B的坐标为（1，3），
故选：A．
8．解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则D（a+b，a），E（a+b，a﹣b），
∵点E在反比例函数上，
∴（a+b）（a﹣b）＝k，
∴a2﹣b2＝k，
∵S正方形OABC﹣S正方形BDEF＝a2﹣b2＝6，
∴k＝6
故选：C．
9．解：如图，过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，
∵DF∥x轴，
∴得矩形OFDH，
∴DF＝OH，DH＝OF，
∵E（1，0）和点F（0，1），
∴OE＝OF＝1，
∴∠OEF＝45，
∴AE＝EF＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠AEG＝∠OEF＝45°，
∴AG＝AE＝，
∴EG＝2，
∵DH＝OF＝1，
∠DHG＝90°，∠DGH＝∠AGE＝45°，
∴GH＝DH＝1，
∴DF＝OH＝OE+EG+GH＝1+2+1＝4，
∴D（4，1），
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∵k＝4．
则k的值为4．
故选：C．
10．解：∵AD⊥x轴，A（3，1），
∴OC＝3，点D的横坐标为3，
将点A（3，1）代入反比例函数y＝中得，k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝，
如图，过点B作BH⊥AD于H，
∵AD⊥x轴，
∴BH∥OC，
∵OB＝BD，
∴CH＝DH，
∴BH是△OCD的中位线，
∴BH＝OC＝，
当x＝时，y＝＝2，
∴点H（3，2），点B的坐标为（，2），
∴直线OB的解析式为y＝x，
∴D（3，4），
∴OD＝5，AD＝3，
过点A作AG⊥OD于G，
∴S△AOD＝AD?OC＝OD?AG，
∴AG＝＝＝，
∵OA＝＝，
在Rt△AGO中，sin∠AOD＝＝＝，
故答案为：．
11．解：作CD⊥OA于D，如图，
把x＝0代入y＝x+4得y＝4，把y＝0代入y＝x+4得x+4＝0，解得x＝﹣8，
∴B点坐标为（0，4），A点坐标为（﹣8，0），即OB＝4，OA＝8，
∵CD⊥OA，
∴∠CDM＝∠BOM＝90°，
而∠CMD＝∠BMO，
∴Rt△BMO∽Rt△CMD，
∴，
而BM＝2CM，OB＝4，
∴CD＝2，
∵AC⊥AB，
∴∠BAO+∠CAD＝90°，
而∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BAO＝∠ACD，
∴Rt△BAO∽Rt△ACD，
∴，即，
∴AD＝1，
∴OD＝OA﹣DA＝8﹣1＝7，
∴C点坐标为（﹣7，﹣2），
把C（﹣7，﹣2）代入y＝得k＝14．
故答案为14．
12．解：由图象，得
x的取值范围是x＞2或﹣4＜x＜0，
故答案为：x＞2或﹣4＜x＜0．
13．解：设E（a，），F（b，），则a＞0，b＞0，
∴CE＝a，AB＝，OA＝b，AF＝，
∵AF＝AB，
∴，即b＝3a，
∴SOABC＝OA?OB＝b?＝＝3k，
∵点E，F在双曲线上，
∴，
又∵四边形OEBF的面积为8，
S?OABC＝S△OCE+S△OAF+S?OEBF，即3k＝，
解得：k＝4．
故答案为：4．
14．解：如图所示，
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴BD∥AC，
∴△OCE∽△ODB，
∴＝（）2，
∵OC＝CD，
∴＝，
∵四边形BDCE的面积为3，
∴△ODB的面积为4，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣8．
故答案为：﹣8．
15．解：过点A、点B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M、N，
∵点A，B恰好分别落在函数y＝（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOM＝|k|＝﹣k，S△BON＝|4|＝2，
又∵sin∠BAO＝，
∴＝，
设OB＝2k，则AB＝5k，由勾股定理得，
OA＝＝＝k，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOM+∠BON＝180°﹣90°＝90°，
∵∠AOM+∠MAO＝90°，
∴∠MAO＝∠BON，
又∵∠AMO＝∠BNO＝90°，
∴△AOM∽△OBN，
∴＝（）2，
∴＝（）2＝，
∴k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．解：设AB与x轴交于点E，CD与x轴相交于点F，连接OA、OB、OC、OD，
∵点A，D是反比例函数图象上的两个点，点B，C是反比例函数图象上的两个点，
∴S△AOE＝S△DOF＝|n|＝﹣n，
S△BOE＝S△COF＝|m|＝m，
∵S△AOB＝S△AOE+S△BOE，
∴AB?OE＝m﹣n，
∵AB＝1，
∴OE＝m﹣n，
同理，OF＝m﹣n，
又∵线段AB，CD均平行于y轴且AB，CD之间的距离3，
∴OE+OF＝3，
即（m﹣n）+（m﹣n）＝3，
∴m﹣n＝2，
故答案为：2．
17．解：由折叠得，EG＝EB，
∵OC＝8，OG＝3GC，
∴OG＝8×＝6，GC＝8×＝2，
设EC＝x，则EB＝EG＝4﹣x，
在Rt△EGC中，由勾股定理得，
（4﹣x）2＝x2+22，
解得x＝，
∴E（8，），
把E（8，）代入反比例函数关系式得，
k＝8×＝12，
故答案为：12．
18．解：∵与交于A、B两点，
∴联立方程组，
解得，，
∴，
∴AB的长为，
设直线BC的解析式为y＝mx+b，
∵BC⊥AB，
∴m＝﹣2，
∴b＝﹣，
∴，
联立，
解得，，
∴BC＝，
由勾股定理得，AC＝，
∴．
故答案为：．
19．解：设D（m，n），过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F．则k＝mn，
∴△ACE∽△ADF，
∵AC：CD＝1：2，
∴AC：AD＝1：3，
∴，
∴CE＝DF＝m，
当x＝m时，y＝，
∴C（m，3n），
∵D（m，n），
∴直线AB的表达式为y＝﹣，
∴B（，0），OB＝，
∵S△OBD＝，
∴，
∴mn＝，
∴k＝mn＝，
故答案为．
20．解：联立两个函数表达式得，
整理得：x2+2x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
∴y＝﹣2，
交点坐标是（﹣1，﹣2），
∴a＝﹣1，b＝﹣2，
则＝﹣1﹣1＝﹣2．
故答案为﹣2．
21．解：如图，过点A作AC⊥OB，垂足为C，设OA的中点为M，AB的中点为N，
∵点B（4，0），等边三角形OAB，
∴OC＝BC＝2，OA＝OB＝AB＝4，
∴AC＝＝2，
∴A（2，2），
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数关系式为y＝，
∵O（0，0），A（2，2），B（4，0），
∴M（1，），N（3，），
当y＝时，x＝＝4，
∴a＝4﹣1＝3或a＝4﹣3＝1，
故答案为：3或1．
22．解：（1）∵点B（2，6）在直线y＝x+b上，
∴2+b＝6，
∴b＝4，
∴一次函数的解析式为y＝x+4；
∵点B（2，6）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝2×6＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由（1）知，一次函数的解析式为y＝x+4，
∴A（0，4），
∴OA＝4，
∵四边形ACDO为平行四边形，
∴CD＝OA＝4，
设点C的坐标为（m，m+4）（m＞2），
∵CD∥OA，
∴D（m，），
∴CD＝m+4﹣，
∴m+4﹣＝4，
∴m＝2或m＝﹣2（舍），
∴C（2，2+4）．
23．解：（1）如图，
过点A作AH⊥x轴于H，
∴AH∥OC，
∴△BOC∽△BHA，
∴，
∵AC＝2BC，
∴＝，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，
∴，
∴BH＝3，
∴OH＝2，
∴点A的横坐标为2，
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴点A的纵坐标为6，
∴A（2，6），
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为y＝2x+2；
（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝2x+2，
∴C（0，2），
∴OC＝2，
设点M（m，），
∵MN⊥x轴，
∴N（m，0），
∴BN＝m+1，MN＝，
∵△BOC∽△MNB，
∴，
∴，
∴m＝（舍）或m＝，
∴N（，0）．
24．解：（1）∵反比例函数y＝经过点A（﹣3，2），
∴m＝﹣6，
∵点B（1，n）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴B（1，﹣6），
把A，B的坐标代入y＝kx+b，则，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）如图设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），
∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB＝×4×3+×4×1＝8，
故答案为8；
（3）观察函数图象知，kx+b＞的解集为0＜x＜1或x＜﹣3，
故答案为0＜x＜1或x＜﹣3；
（4）由题意OA＝＝，
当AO＝AP时，可得P1（﹣6，0），
当OA＝OP时，可得P2（﹣，0），P4（，0）（舍去），
当PA＝PO时，过点A作AJ⊥x轴于J．设OP3＝P3A＝x，
在Rt△AJP3中，则有x2＝22+（3﹣x）2，
解得x＝，
∴P3（﹣，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣6，0）．
25．解：（1）把B（2，﹣4）代入y＝得m＝2×（﹣4）＝﹣8，
所以反比例函数解析式为y＝﹣，
把A（﹣4，n）代入y＝﹣得﹣4n＝﹣8，解得n＝2，则A点坐标为（﹣4，2），
把A（﹣4，2）、B（2，﹣4）代入y＝kx+b得，解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）把y＝0代入y＝﹣x﹣2得﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，则C点坐标为（﹣2，0），
所以S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+×2×4＝6；
（3）﹣4＜x＜0或x＞2．
26．解：（1）因为经过A（2，1），所以m＝2．
所以反比例函数的解析式为y＝．
（2）因为B（﹣1，n）在y＝上，所以n＝﹣2．
所以B的坐标是（﹣1，﹣2）．
把A（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y＝kx+b．得：
，
解得，
所以y＝x﹣1．
（3）设直线y＝x﹣1与坐标轴分别交于C、D，则C（1，0）、D（0，﹣1）．
所以：S△AOB＝S△BOD+S△COD+S△AOC＝×1×1+×1×1+×1×1＝．
27．解：（1）如图1，
过点C作CE⊥OB于E，
∴∠OEC＝90°，
∵C（2，n），
∴CE＝2，OE＝n，
∵tan∠BOC＝，
∴，
∴＝，
∴n＝4，
∴C（2，4），
将点C的坐标代入直线AB：y＝﹣x+b中，得4＝﹣×2+b，
∴b＝5，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
将点C的坐标代入反比例函数y＝中，得k＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）如图2，由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+5①，
反比例函数的解析式为y＝②，
联立①②解得，或，
∴D（8，2），
过点D作DF⊥OA于F，
∴∠OFD＝90°，
∴∠DOF+∠ODF＝90°，
∵∠ODP＝90°，
∴∠ODP+∠PDF＝90°，
∴∠DOF＝∠PDF，
∴△OFD∽△DFP，
∴，
∵D（8，2），
∴OF＝8，DF＝2，
∴，
∴PF＝，
∴OP＝OF+PF＝8+＝，
∴P（，0）．2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练7：一元一次方程（含答案）
知识要点：
1、定义
定义1：含有未知数的等式叫做方程。
定义2：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
定义3：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
2、等式的性质
性质1：若a=b，则a±c=b±c。等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。
性质2：若a=b，则ac=bc；(c≠0)。等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
3、解一元一次方程的一般步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
4、一元一次方程方程与实际问题
解有关一元一次方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。
第5步：答。
二、课标要求：
1、能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
2、经历估计方程解的过程。
3、掌握等式的基本性质。
4、能解一元一次方程。
三、常见考点：
1、一元一次方程的解，解一次方程。
2、应用一元一次方程解决实际问题。
3、应用一元一次方程解决相关综合问题。
四、专题训练：
1．欣欣服装店某天用相同的价格a（a＞0）卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（　　）
A．盈利
B．亏损
C．不盈不亏
D．与售价a有关
2．当a＝0时，方程ax+b＝0（其中x是未知数，b是已知数）（　　）
A．有且只有一个解
B．无解
C．有无限多个解
D．无解或有无限多个解
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（　　）
A．102里
B．126里
C．192里
D．198里
4．按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
5．《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（　　）
A．5x﹣45＝7x+3
B．5x+45＝7x﹣3
C．5x﹣45＝7x﹣3
D．5x+45＝7x+3
6．汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒，设听到回响时，汽车离山谷x米，根据题意，列出方程为（　　）
A．2x+4×20＝4×340
B．2x﹣4×72＝4×340
C．2x+4×72＝4×340
D．2x﹣4×20＝4×340
7．如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度为别为40公分，50公分，今将隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，则根据图中的数据，求隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为多少公分（　　）
A．43
B．44
C．45
D．46
8．某市出租车起步价是5元（3公里及3公里以内为起步价），以后每公里收费是1.6元，不足1公里按1公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11.4元，则此出租车行驶的路程可能为（　　）
A．5.5公里
B．6.9公里
C．7.5公里
D．8.1公里
9．阿伟的游戏机充满电后，可用来连续播放音乐36个小时或连续玩游戏6个小时．若游戏机在早上7点充满电后，阿伟马上使用游戏机播放音乐直到下午3点，并从下午3点继续使用游戏机玩游戏直到它没电，则他的游戏机何时没电？（　　）
A．晚上7点20分
B．晚上7点40分
C．晚上8点20分
D．晚上8点40分
10．已知面包店的面包一个15元，小明去此店买面包，结账时店员告诉小明：“如果你再多买一个面包就可以打九折，价钱会比现在便宜45元”，小明说：“我买这些就好了，谢谢．”根据两人的对话，判断结账时小明买了多少个面包？（　　）
A．38
B．39
C．40
D．41
11．关于x的方程kx﹣1＝2x的解为正实数，则k的取值范围是　
　．
12．已知x＝4是方程mx﹣8＝20的解，则m＝　
　．
13．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为　
　．
14．某班学生为希望工程捐款131元，比平均每人2元还多35元，设这个班的学生有x人，根据题意，列方程为　
　．
15．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将转化为分数时，可设＝x，则x＝0.3+x，解得x＝，即＝．仿此方法，将化成分数是　
　．
16．某家店商场将一件商品加价35%后打八折，仍获利800元，这件商品的进价是　
　元．
17．某公路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，为节约用电，现计划全部更换为新型节能灯，且相邻两盏灯的距离变为54米，则需更换新型节能灯　
　盏．
18．先阅读下列一段文字，然后解答问题．
已知：方程的解是x1＝2，x2＝﹣；方程的解是x1＝3，x2＝﹣；
方程的解是x1＝4，x2＝﹣；方程的解是x1＝5，x2＝﹣．
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程的解，并写出检验．
19．已知关于x的方程的解是x＝2，其中a≠0且b≠0，求代数式的值．
20．解方程：．
21．小陈妈妈做儿童服装生意，在“六一”这一天上午的销售中，某规格童装每件以60元的价格卖出，盈利20%，求这种规格童装每件的进价．
参考答案
1．解：设第一件衣服的进价为x元，
依题意得：x（1+20%）＝a，
设第二件衣服的进价为y元，
依题意得：y（1﹣20%）＝a，
∴x（1+20%）＝y（1﹣20%），
整理得：3x＝2y，
该服装店卖出这两件服装的盈利情况为：0.2x﹣0.2y＝0.2x﹣0.3x＝﹣0.1x，
即赔了0.1x元，
故选：B．
2．解：当a＝0，b＝0时，方程有无限多个解；
当a＝0，而b≠0时，方程无解．
故选：D．
3．解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，
依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x＝378，
解得：x＝6．
32x＝192，
6+192＝198，
答：此人第一和第六这两天共走了198里，
故选：D．
4．解：∵最后输出的数为656，
∴5x+1＝656，得：x＝131＞0，
∴5x+1＝131，得：x＝26＞0，
∴5x+1＝26，得：x＝5＞0，
∴5x+1＝5，得：x＝0.8＞0；
∴5x+1＝0.8，得：x＝﹣0.04＜0，不符合题意，
故x的值可取131，26，5，0.8共4个．
故选：C．
5．解：设买羊的人数为x人，
根据题意，可列方程为5x+45＝7x+3，
故选：D．
4．解：设汽车离山谷x米，则汽车离山谷距离的2倍即2x，
因为汽车的速度是72千米/时即20米/秒，
则汽车前进的距离为：4×20米/秒，
声音传播的距离为：4×340米/秒，
根据等量关系列方程得：2x+4×20＝4×340，
故选：A．
6．解：设长方形的宽为x公分，抽出隔板后之水面高度为h公分，长方形的长为130+70＝200（公分）
×40+×50＝200?x?h，
解得：h＝44，
故选：B．
8．解：设人坐车可行驶的路程最远是xkm，根据题意得：
5+1.6（x﹣3）＝11.4，
解得：x＝7．
观察选项，只有B选项符合题意．
故选：B．
9．解：设他的游戏机还需要x小时没电．则依题意得
×8＝1﹣x，
解得
x＝
小时＝4小时40分钟．
所以，他的游戏机到晚上7点40分没电．
故选：B．
10．解：小明买了x个面包．则
15x﹣15（x+1）×90%＝45
解得
x＝39
故选：B．
11．解：∵kx﹣1＝2x
∴（k﹣2）x＝1，
解得，x＝，
∵关于x的方程kx﹣1＝2x的解为正实数，
∴＞0，
解得，k＞2，
故答案为：k＞2．
12．解：把x＝4代入mx﹣8＝20
得：4m﹣8＝20
解得：m＝7
故填：7．
13．解：设快马x天可以追上慢马，
据题题意：240x＝150x+12×150，
故答案为：240x＝150x+12×150
14．解：设这个班的学生有x人，根据“比平均每人2元还多35元”可得出全班的捐款为2x+35元，已知“某班学生为希望工程捐款131元”，可得到方程为：2x+35＝131．
15．解：法一：设x＝0.45…，
则x＝0.45+1/100
x，
解得x＝45/99＝5/11
16．解：设该件商品的进价是x元．
依题意得：（x+35%x）×80%﹣x＝800，
解得
x＝10000．
即该件商品的进价是10000元．
故答案是：10000．
17．解：设需更换的新型节能灯有x盏，则
54（x﹣1）＝36×（106﹣1），
54x＝3834，
x＝71，
则需更换的新型节能灯有71盏．
故答案为：71．
18．解：猜想：方程的解是x1＝11，x2＝﹣．
检验：当x＝11时，左边＝11﹣＝10＝右边，
当x＝﹣时，左边＝﹣+11＝10＝右边．
19．解：把x＝2代入方程得：，
∴3（a﹣2）＝2（2b﹣3），
∴3a﹣6＝4b﹣6，
∴3a＝4b，
∴，，
∴．
20．解：方程去括号得：3x+2＝8+x，
移项合并得：2x＝6，
解得：x＝3．
21．解：设这种规格童装每件的进价为x元，
根据题意得，（1+20%）x＝60，
解方程得，x＝50，
答：这种规格童装每件的进价为50元2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练27：圆的有关性质（含答案）
一、知识要点：
1、圆:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。
能够重合的两个圆叫做等圆。
在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。
2、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、弧、弦、圆心角之间的关系
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
4、圆周角
定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
5、点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外d＞r
；点P在圆上d=r
；点P在圆内d＜r
。
性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
二、课标要求：
1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系。
2、掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
3、探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。
4、知道三角形的外心。
三、常见考点：
1、圆的对称性，垂径定理。2、弧、弦、圆心角之间的关系。3、圆周角定理及其推论。
4、三角形的外心。
四、专题训练：
1．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（　　）
A．2
B．
C．
D．
2．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（　　）
A．13寸
B．20寸
C．26寸
D．28寸
3．圆中有两条等弦AB＝AE，夹角∠A＝88°，延长AE到C，使EC＝BE，连接BC，如图．则∠ABC的度数是（　　）
A．90°
B．80°
C．69°
D．65°
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（　　）
A．45°﹣α
B．α
C．45°+α
D．25°+α
5．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为（　　）
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　）
A．125°
B．130°
C．135°
D．140°
7．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（　　）
A．1
B．2﹣1
C．
D．﹣1
8．如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30度．点E是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线EC交⊙O于D，则使DE＝DO的点E共有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（　　）
A．1个或3个
B．3个或4个
C．1个或3个或4个
D．1个或2个或3个或4个
10．在半径为0.5米的地球仪的表面之外，距赤道1米拉一根绳子绕地球仪一周，这条绳子比地球仪的赤道周长多M米；如果在地球赤道表面也这样做，这条绳子比地球赤道周长多N米，则M与N的关系为　
　．（①M＝N；②M＞N；③M＜N；④无法确定）
11．已知⊙O的直径为10，圆心O（4，5），则⊙O截y轴所得的弦长为　
　．
12．如图，AB是半圆O的直径，AB＝8，C是半径OA上的一动点，CD⊥AB交⊙O于点D，在边CB上取一点E，使得CE＝2CD．EF⊥AB交⊙O于点F．当DF∥AB时，四边形DCEF的周长为　
　．
13．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是　
　．
14．如图，已知：AB和CD为⊙O的两条直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，则∠BOC＝　
　度．
15．如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为　
　．
16．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是　
　．
17．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是　
　°．
18．如图，已知
A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣2，0），半径为2．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是　
　．
19．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为　
　．
20．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．
（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为　
　．
21．如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半径．
22．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
23．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
24．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；
（3）已知PA＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．
25．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，过点A作AE⊥BD于点E，延长BD交AC延长线于点F．
（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半径；
（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．
参考答案
1．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（　　）
A．2
B．
C．
D．
分析：连接BD、OC，根据矩形的性质得∠BCD＝90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，则BD＝2；由ABC为等边三角形得∠A＝60°，于是利用圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝120°，易得∠CBD＝30°，在Rt△BCD中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD＝BD＝1，BC＝CD＝，然后根据矩形的面积公式求解．
解：连结BD、OC，如图，
∵四边形BCDE为矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD＝2，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
而OB＝OC，
∴∠CBD＝30°，
在Rt△BCD中，CD＝BD＝1，BC＝CD＝，
∴矩形BCDE的面积＝BC?CD＝．
故选：B．
点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质．
2．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（　　）
A．13寸
B．20寸
C．26寸
D．28寸
分析：连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
故选：C．
点评：此题考查了垂径定理的应用，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．
3．圆中有两条等弦AB＝AE，夹角∠A＝88°，延长AE到C，使EC＝BE，连接BC，如图．则∠ABC的度数是（　　）
A．90°
B．80°
C．69°
D．65°
分析：根据题意可得出△ABE、△BEC是等腰三角形，在等腰三角形中先求出∠AEB的度数，然后利用外角的性质可求出∠EBC的度数，继而可得出答案．
解：∵AB＝AE，EC＝BE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠EBC＝∠ACB，
又∵∠A＝88°，
∴∠ABE＝∠AEB＝46°，∠EBC＝∠ACB＝∠AEB＝23°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝69°．
故选：C．
点评：此题考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解答本题的关键是求出∠ABE及∠EBC的度数，难度一般．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（　　）
A．45°﹣α
B．α
C．45°+α
D．25°+α
分析：连接OD，求得∠DCE＝α，得到∠BCD＝90°﹣α，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
解：连接OD，
∵的度数为α，
∴∠DCE＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣α，
∵BC＝DC，
∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣90°+α）＝45°+α，
∴∠A＝90°﹣∠B＝45°﹣α，
故选：A．
点评：本题考查了圆心角，弧，弦，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为（　　）
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
分析：根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论
解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．
∵∠D＝180°﹣∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠D＝100°，
故选：A．
点评：本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　）
A．125°
B．130°
C．135°
D．140°
分析：连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故选：B．
点评：本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．
7．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（　　）
A．1
B．2﹣1
C．
D．﹣1
分析：确定点C的运动路径是：以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时，OC的长最小，先求⊙D的半径为1，说明D是AB的中点，根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得OD＝，所以OC的最小值是﹣1．
解：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，
当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，
点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆（CA：PA＝1：2，则点C轨迹和点P轨迹相似，所以点C的轨迹就是圆），当O、C、D共线时，OC的长最小，
设线段AB交⊙B于Q，
Rt△AOB中，OA＝3，OB＝3，
∴AB＝3，
∵⊙B的半径为2，
∴BP1＝2，AP1＝3+2，
∵C1是AP1的中点，
∴AC1＝+1，AQ＝3﹣2，
∵C2是AQ的中点，
∴AC2＝C2Q＝﹣1，
C1C2＝+1﹣（﹣1）＝2，即⊙D的半径为1，
∵AD＝﹣1+1＝＝AB，
∴OD＝AB＝，
∴OC＝﹣1，
方法二：如图，取A′（0，﹣3），连接PA′．
根据三角形中位线定理可知：PA′＝2OC，求出PA′的最小值即可解决问题．
故选：D．
点评：本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短，确定出OC最小时点C的位置是解题关键，也是本题的难点．
8．如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30度．点E是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线EC交⊙O于D，则使DE＝DO的点E共有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
分析：作出图形，根据画图可知应分E在AB的延长线上、在BA的延长线上、在线段AB上，三种情况来解决．
解：
如图所示，点E的位置有3个．当是E1时，∠CE1O＝10°；
当是E2时，则∠CE20＝110°；
当是E3时，则∠CE3O＝50°．
故选：C．
点评：此题根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到三种情况．
9．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（　　）
A．1个或3个
B．3个或4个
C．1个或3个或4个
D．1个或2个或3个或4个
分析：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑．
解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；
（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；
（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．
故选：C．
点评：本题考查的是圆的确定，由于点的位置不确定，因此用分类讨论的思想方法进行解答．
10．在半径为0.5米的地球仪的表面之外，距赤道1米拉一根绳子绕地球仪一周，这条绳子比地球仪的赤道周长多M米；如果在地球赤道表面也这样做，这条绳子比地球赤道周长多N米，则M与N的关系为　①　．（①M＝N；②M＞N；③M＜N；④无法确定）（填序号）
分析：根据圆的周长公式分别计算出M与N的值，从而得到M与N的大小关系．
解：因为地球仪的半径为0.5米，所以所拉绳子组成的环的半径为0.5+1＝1.5米．
所以绳构成的环的周长为：2π×1.5＝3π米，
又因为地球仪赤道的周长为：2π×0.5＝π米，
所以这条绳子比地球仪赤道的周长多：3π﹣π＝2π米，即M＝2π；
设地球的半径是r米，则增加后，圆的半径是（r+1）米．
所以两者周长的差为：2π（r+1）﹣2πr＝2π米，即N＝2π．
∴M＝N．
故答案为①．
点评：本题主要考查了圆的周长公式：圆的周长＝2π×圆的半径．注意这里的M和N指的都是增加的周长．
11．已知⊙O的直径为10，圆心O（4，5），则⊙O截y轴所得的弦长为　6　．
分析：根据垂径定理解答即可．
解：∵⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
∵OD＝4，
∴AD＝，
∴⊙O截y轴所得的弦长为6，
故答案为：6．
点评：此题考查垂径定理问题，关键是根据点的坐标得出OD的长度．
12．如图，AB是半圆O的直径，AB＝8，C是半径OA上的一动点，CD⊥AB交⊙O于点D，在边CB上取一点E，使得CE＝2CD．EF⊥AB交⊙O于点F．当DF∥AB时，四边形DCEF的周长为　12　．
分析：证得四边形DCEF是矩形，进一步证得CD＝OC＝OE＝EF，解等腰直角三角形求得CD＝OC＝OE＝EF＝2，即可求得四边形的面积．
解：如图，连接OD，OF，
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∵DF∥AB，
∴四边形DCEF是矩形，
∴DC＝EF，
在Rt△CDO和Rt△EFO中，
，
∴Rt△CDO≌Rt△EFO（HL），
∴OC＝OE，
∵CE＝2CD，
∴CD＝OC，
∵AB＝8，
∴OD＝4，
∴OC＝CD＝2，
∴CE＝4，
∴四边形DCEF的周长＝12，
故答案为12．
点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，证得OC＝OE是解题的关键．
13．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是　①②④　．
分析：先利用等腰三角形的性质求出∠ABE、∠ABC的度数，即可求∠EBC的度数，再运用弧、弦、圆心角的关系即可求出②④．
解：连接AD，AB是⊙O的直径，则∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°，∠C＝∠ABC＝＝67.5°，AD平分∠BAC，
∴AE＝BE，∠EBC＝90°﹣67.5°＝22.5°，DB＝CD，故②正确，
∵∠ABE＝45°，∠EBC＝22.5°，故①正确，
∵AE＝BE，
∴＝，
又AD平分∠BAC，所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍，④正确．
∵∠EBC＝22.5°，BE⊥CE，
∴BE＞2EC，
∴AE＞2EC，故③错误．
∵∠BEC＝90°，
∴BC＞BE，
又∵AE＝BE，
∴BC＞AE
故⑤错误．
故答案为：①②④．
点评：本题利用了：①等腰三角形的性质；②圆周角定理；③三角形内角和定理．
14．如图，已知：AB和CD为⊙O的两条直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，则∠BOC＝　70　度．
分析：利用平行线的性质和等腰三角形的性质即可求出．
解：∵AB和CD为⊙O的两条直径，弧CE的度数为40°，
∴连接OE，则OE＝OC，
∠COE＝40°，
故∠1＝∠2＝（180°﹣∠COE）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠BOC＝∠1＝70°．
故填70°．
点评：本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，比较简单．
15．如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为　6　．
分析：根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．
解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形
∴OB＝BC＝6，
故答案为6．
点评：本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．
16．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是　2　．
分析：连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．
解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝2，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，
∴BC＝2，AB＝4，
∴OA＝2，
即⊙O的半径是2；
故答案为：2．
点评：本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
17．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是　120　°．
分析：设∠A＝4x，∠B＝3x，∠C＝5x，根据圆内接四边形的性质求出x的值，进而可得出结论．
解：∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，
∴设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，即4x+5x＝180°，解得x＝20°，
∴∠B＝3x＝60°，
∴∠D＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120．
点评：本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
18．如图，已知
A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣2，0），半径为2．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是　2﹣　．
分析：先根据当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，△ABE的面积最小，连接CD，则CD⊥AD，再求出A、B两点的坐标，再根据勾股定理求出AD，从而得出S△ACD，再根据△AOE∽△ADC，求出△ABE的面积．
解：当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，△ABE的面积最小，
连接CD，则CD⊥AD，
∴A、B两点的坐标是（2，0），（0，2），
在Rt△ACD中，CD＝2，AC＝OC+OA＝4，
由勾股定理，得：AD＝2，
∴S△ACD＝AD?CD＝×2×2＝2，
∵△AOE∽△ADC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△AOE＝S△ADC＝
∴S△ABE＝S△AOB﹣S△AOE＝×2×2﹣＝2﹣．
故答案为：2﹣．
点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是切线的性质、勾股定理、相似三角形的性质，关键是根据题意画出图形，求出△ABE的面积的最大值和最小值．
19．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为　（2，0）　．
分析：根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，据此及勾股定理可列式求解．
解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上
∴经过点A，B，C可以确定一个圆
∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上
∴设圆心坐标为M（2，m）
则点M在线段BC的垂直平分线上
∴MB＝MC
由勾股定理得：＝
∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1
∴m＝0
∴圆心坐标为M（2，0）
故答案为：（2，0）．
点评：本题考查了确定圆的条件，明确不在同一直线上的三点确定一个圆及圆心在这三条线段的垂直平分线的交点上，是解题的关键．
20．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．
（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为　0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a
2+4　．
分析：（1）利用在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122，求出r即可．
（2）根据切线的性质，连接OC，则OC⊥BC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，在Rt△OAD中用勾股定理计算求出圆的半径．
解：（1）如图1，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝r﹣8
在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122
解得：r＝13；
答：该圆的半径r为13；
（2）①如图2，易知，0＜r≤8时，r＝a；
②当r＞8时，
如图1：连接OC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
则四边形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
即：r2＝（r﹣8）2+a2，
整理得：r＝a2+4．
故答案为：0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a
2+4．
点评：本题考查的是切线的性质，根据切线的性质，利用图形得到直角三角形，然后用勾股定理计算求出圆的半径．
21．如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半径．
分析：（1）根据圆周角定理和AB为⊙O的直径，即可证明∠1＝∠2；
（2）连接DF，根据垂径定理可得FD＝FC＝10，再根据对称性可得DC＝DF，进而可得DE的长，再根据锐角三角函数即可求出⊙O的半径．
解：（1）∵∠ADC＝∠G，
∴＝，
∵AB为⊙O的直径，
∴＝，
∴∠1＝∠2；
（2）如图，连接DF，
∵＝，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，CE＝DE，
∴FD＝FC＝10，
∵点C，F关于DG对称，
∴DC＝DF＝10，
∴DE＝5，
∵tan∠1＝，
∴EB＝DE?tan∠1＝2，
∵∠1＝∠2，
∴tan∠2＝，
∴AE＝＝，
∴AB＝AE+EB＝，
∴⊙O的半径为．
点评：本题考查了圆周角定理、轴对称的性质、解直角三角形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
22．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
分析：（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可．
证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
点评：本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
23．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
分析：（1）根据外角的性质即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；
（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD＝∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD＝∠1+∠2，则∠A＝∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，即2∠A+α+β＝180°，再解方程即可．
解：（1）∠E＝∠F，
∵∠DCE＝∠BCF，
∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，
∵∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ADC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣42°＝48°；
（3）连结EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A，
∵∠ECD＝∠1+∠2，
∴∠A＝∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，
∴2∠A+α+β＝180°，
∴∠A＝90°﹣．
点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
24．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；
（3）已知PA＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．
分析：（1）利用圆周角定理得到∠BAC＝∠CPB＝60°，则∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，从而可判断△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于
的中点时，四边形PBOA是菱形，连接OP，如图1，先证明∠AOP＝∠BOP＝60°，再证明△OAP和△OBP都为等边三角形，从而得到四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD＝PA，证明△APB≌△ADC得到PB＝DC，从而得到PC＝PD+DC＝PA+PB＝a+b．
（1）证明：∵∠BAC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）解：当点P位于
的中点时，四边形PBOA是菱形．
理由如下：连接OP，如图1，
∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，
而P是的中点，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
又∵OA＝OP＝OB，
∴△OAP和△OBP都为等边三角形，
∴OA＝AP＝OB＝PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）解：如图2，在PC上截取PD＝PA，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PA＝DA，∠DAP＝60°，
∵∠PAB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，
∴∠PAB＝∠DAC，
在△APB和△ADC中
，
∴△APB≌△ADC（ASA），
∴PB＝DC，
又∵PA＝PD，
∴PC＝PD+DC＝PA+PB＝a+b．
点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了等边三角形的判定与性质和菱形的判定．
25．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，过点A作AE⊥BD于点E，延长BD交AC延长线于点F．
（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半径；
（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．
分析：（1）连接OA，求BE＝3，设OA＝x，则OB＝x，OE＝x﹣3，得出（x﹣3）2+42＝x2，易求出半径；
（2）连接CD，先证OA⊥BC，再得OA∥CD，设OA与BC交于点H，OH＝a，则CD＝2a，OA＝4a，得出AH＝3a，由勾股定理得BH＝a，求出AB＝2a，则可得出sin∠ACB＝．
解：（1）如图1，连接OA，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝4，AB＝5，
∴BE＝＝＝3，
设OA＝x，则OB＝x，
∴OE＝x﹣3，
在Rt△OAE中，OE2+AE2＝OA2，
∴（x﹣3）2+42＝x2，
解得x＝，
∴⊙O的半径为；
（2）如图2，连接CD，设OA与BC交于点H，
∵AB＝AC，
∴OA⊥BC，
∴∠BHO＝90°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BHO＝∠BCD，
∴OA∥CD，
设OH＝a，则CD＝2a，
∵BD＝2DF，BD＝2OD，
∴DF＝OD，
∴OA＝2CD＝4a，
∴AH＝3a，
∴BH＝＝＝a，
∴AB＝＝2a，
∴sin∠ACB＝sin∠ABC＝＝＝2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练9：分式方程（含答案）
一、知识要点：
1、定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的解法
①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；
②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；
③检验。
3、分式方程与实际问题
解有关分式方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。
二、课标要求：
1、能解可化为一元一次方程的分式方程。
2、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
三、常见考点：
1、根据问题描述列分式方程。2、解分式方程。
3、应用分式方程解决实际问题。
四、专题训练：
1．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（　　）
A．40×1.25x﹣40x＝800
B．﹣＝40
C．﹣＝40
D．﹣＝40
2．解分式方程的结果为（　　）
A．1
B．﹣1
C．﹣2
D．无解
3．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．0
B．1
C．4
D．6
4．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（　　）A．﹣10
B．﹣12
C．﹣16
D．﹣18
5．已知x为实数，且﹣（x2+3x）＝2，则x2+3x的值为（　　）
A．1
B．1或﹣3
C．﹣3
D．﹣1或3
6．若方程＝1有增根，则它的增根是（　　）
A．0
B．1
C．﹣1
D．1和﹣1
7．为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．＝
B．＝
C．+＝140
D．﹣140＝
8．九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x千米/时，根据题意列方程得（　　）
A．﹣30＝
B．+30＝
C．﹣＝
D．+＝
9．分式方程＝的解是　
　．
10．若关于x的分式方程无解，则m＝　
　．
11．已知：①x+＝3可转化为x+＝1+2，解得x1＝1，x2＝2，
②x+＝5可转化为x+＝2+3，解得x1＝2，x2＝3，
③x+＝7可转化为x+＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，……
根据以上规律，关于x的方程x+＝2n+4的解为　
　．
12．分式方程﹣＝0的解为x＝　
　．
13．方程的整数解x＝　
　．
14．若关于x的分式方程＝﹣3有增根，则实数m的值是　
　．
15．如果在解关于x的分式方程+＝2时出现了增根x＝1，那么常数k的值为　
　．
16．甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%，若设甲每小时检测x个，则根据题意，可列出方程：　
　．
17．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程　
　．
18．若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．
19．解方程：﹣＝1．
20．解方程：＝+1．
21．解方程：．
22．解方程：
23．甲、乙两辆货车分别从A、B两城同时沿高速公路向C城运送货物．已知A、C两城相距450千米，B、C两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，甲车比乙车早半小时到达C城．求两车的速度．
参考答案
1．解：小进跑800米用的时间为秒，小俊跑800米用的时间为秒，
∵小进比小俊少用了40秒，
方程是﹣＝40，
故选：C．
2．解：方程的两边同乘（x﹣1）（x+2），
得：x+2＝3
解得：x＝1．
检验：把x＝1代入（x﹣1）（x+2）＝0，即x＝1不是原分式方程的解．
则原分式方程无解．
故选：D．
3．解：由不等式组得：
∵解集是x≤a，
∴a＜5；
由关于y的分式方程﹣＝1得2y﹣a+y﹣4＝y﹣1
∴y＝，
∵有非负整数解，
∴≥0，
∴﹣3≤a＜5，
a＝﹣1（舍，此时分式方程为增根），a＝﹣3，a＝1，a＝3，（a＝0，﹣2，2或4时，y不是整数），
它们的和为1．
故选：B．
4．解：，
解①得x≥﹣3，
解②得x≤，
不等式组的解集是﹣3≤x≤．
∵仅有三个整数解，
∴﹣1≤＜0
∴﹣8≤a＜﹣3，
+＝1
3y﹣a﹣12＝y﹣2．
∴y＝
∵y≠2，
∴a≠﹣6，
又y＝有整数解，
∴a＝﹣8或﹣4，
所有满足条件的整数a的值之和是（﹣8）+（﹣4）＝﹣12，
故选：B．
5．解：设x2+3x＝y，则原方程变为：﹣y＝2，
方程两边都乘y得：3﹣y2＝2y，
整理得：y2+2y﹣3＝0，
（y﹣1）（y+3）＝0，
∴y＝1或y＝﹣3，
当x2+3x＝1时，△＞0，x存在．
当x2+3x＝﹣3时，△＜0，x不存在．
∴x2+3x＝1，
故选：A．
6．解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得
6﹣m（x+1）＝（x+1）（x﹣1），
由最简公分母（x+1）（x﹣1）＝0，可知增根可能是x＝1或﹣1．
当x＝1时，m＝3，
当x＝﹣1时，得到6＝0，这是不可能的，
所以增根只能是x＝1．
故选：B．
7．解：设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得：，
故选：A．
8．解：设慢车的速度为x千米/小时，则快车的速度为1.2x千米/小时，
根据题意可得：﹣＝．
故选：C．
9．解：分式方程的两边同时乘x（x﹣1），可得
4（x﹣1）＝3x
解得x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
故答案为：x＝4．
10．解：∵关于x的分式方程无解，
∴x＝﹣，
原方程去分母得：m（x+1）﹣5＝（2x+1）（m﹣3）
解得：x＝，m＝6时，方程无解．
或＝﹣是方程无解，此时m＝10．
故答案为6，10．
11．解：根据题意将方程变形得：x﹣3+＝n+n+1，
可得x﹣3＝n或x﹣3＝n+1，
则方程的解为x1＝n+3，x2＝n+4，
故答案为：x1＝n+3，x2＝n+4
12．解：去分母得：x﹣2﹣3x＝0，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解．
故答案为：﹣1
13．解：设y＝，
则y2﹣5y+6＝0，
解得y＝2或3，
∴或，
解得x＝2或x＝1.5，
经检验：x＝2或1.5是原方程的解．
但整数解是：x＝2．
故本题答案为：x＝2．
14．解：去分母，得：m＝x﹣1﹣3（x﹣2），
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程可得：m＝1，
故答案为：1．
15．解：分式方程去分母得：x﹣k＝2x﹣2，
解得：x＝2﹣k，
由分式方程的增根为x＝1，得到2﹣k＝1，
解得：k＝1，
故答案为：1
16．解：设设甲每小时检测x个，则乙每小时检测（x﹣20）个，
根据题意得，＝（1﹣10%），
故答案为＝×（1﹣10%）．
17．解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：
﹣＝．
故答案为：﹣＝．
18．解：去分母，得2x+a＝2﹣x
解得：x＝，∴＞0
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，且x≠2，
∴a≠﹣4
∴a＜2且a≠﹣4．
19．解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，方程左右两边相等，
所以x＝2是原方程的解．
20．解：两边都乘以（x﹣1）（x+2），得：x（x﹣1）＝2（x+2）+（x﹣1）（x+2），
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，（x﹣1）（x+2）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣；
21．解：设＝y，则＝y2，
所以原方程可化为2y2+y﹣6＝0．
解得y1＝﹣2，y2＝．
即：＝﹣2或＝．
解得x1＝2，．
经检验，x1＝2，是原方程的根．
22．解：设＝y，
则原方程可变形整理为：y+＝，
整理得：2y2﹣5y+2＝0．
解得：y1＝2，y2＝．
当＝2时，方程可整理为2x2﹣x+2＝0，
因为△＝b2﹣4ac＝﹣15＜0，所以方程无解．
当＝时，解得x＝1．
经检验x＝1是原方程的根．
∴原方程的根为x＝1．
23．解：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时．
根据题意，得：+＝，
解得：x＝80，或x＝﹣110（舍去），
∴x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
当x＝80时，x+10＝90．
答：甲车的速度为90千米/时，乙车的速度为80千米/时．2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练32：概率（含答案）
一、知识要点：
1、随机事件
必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件。
不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件。
必然事件和不可能事件统称确定性事件。
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
2、概率
(1)概率的性质：P(必然事件)=1；P(不可能事件)=0；0＜P(不确定事件)＜1。
(2)一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包括其中的m种结果，那么事件A发生的概率。
二、课标要求：
1、能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率。
2、知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率。
三、常见考点：
1、必然事件、不可能事件、随机事件的辨析。2、简单事件的概率求解。
3、用频率估计概率。4、用概率解决实际问题。
5、概率与其它知识的综合运用。
四、专题训练：
1．一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机模出一个球．若摸出白球的概率为，则盒子中原有的白球的个数为（　　）
A．10
B．15
C．18
D．20
2．下列说法正确的是（　　）
A．“买10张中奖率为的奖券必中奖”是必然事件
B．“汽车累计行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件
C．天气预报说“明天下雪的概率为80%”，但“明天下雪”仍是随机事件
D．射击奥运冠军射击一次，命中靶心是必然事件
3．在4张相同的卡片上分别写有数1、3、4、6．将卡片的背面朝上并洗匀，从中抽取一张，抽到的数是奇数的概率（　　）
A．
B．
C．
D．1
4．一只不透明的袋子中装有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后任意摸出一个球，则下列事件中发生的概率最大的是（　　）
A．摸到白球
B．摸到黄球
C．摸到红球
D．摸到不是白球
5．某同学掷一枚硬币，结果是一连8次都掷出正面朝上，请问他第9次掷出硬币时出现正面朝上的概率是（　　）
A．小于
B．大于
C．等于
D．不能确定
6．在四张究全相同的卡片上，分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．1
7．三个不透明的口袋中各有三个相同的乒乓球，将每个口袋中的三个乒乓球分别标号为1，2，3．从这三个口袋中分别摸出一个乒乓球，出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是（　　）A．
B．
C．
D．
8．在一个布袋中装着只有颜色不同，其它都相同的红、白两种小球各一个，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出一个球，则两次所摸出的球都是同一颜色球的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，A，B两个转盘分别被平均分成三个，四个扇形，分别转动A盘，B盘各一次，转动过程中，指针保持不动，如果指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向一个数字所在区域为止，两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于6的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．在一只不透明的口袋中放入红球5个，黑球1个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
11．一个口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出1个球，放回搅匀，再摸出第2个球，则两次摸球可能出现的所有结果中，都是白球的概率为　
　．
12．一个盒子中装有分别写上数字1，2，﹣4的三个大小形状相同的白球，现摇匀后从中随机摸出一个球，将上面的数字记作a，不放回．再从中随机摸出一个球，将上面的数字记作b，则a，b的值使得抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴在y轴右侧的概率为　
　．
13．在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共50个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在20%和30%，则箱子里蓝色球的个数很可能是　
　．
14．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF分别交边AB，CD于E，F两点，在这个平行四边形上做随机投掷图钉试验，针头落在阴影区域内的概率是　
　．
15．抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，则第二次正面朝上的概率为　
　．
16．小明抛掷两枚质地均匀的骰子（如图，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数），两枚骰子朝上的点数和是7的概率是　
　．
17．在一个不透明的口袋里有标号1，2，3，4，5的五个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球，若从袋中不放回地摸两次，则两球标号数字是一奇一偶的概率是　
　．
18．把一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，将“两次抛掷骰子所得点数相同”记为事件A，则P（A）＝　
　．
19．某校合唱团为了开展线上“同唱一首赞歌”活动，需招收新成员，小东、小海、小富、小美四名同学报名参加了应聘活动，其中小东、小海来自八年级，小富、小美来自九年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小东同学的概率为　
　；
（2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表法求两名同学均来自九年级的概率．
20．有4张印有“青”、“山”、“绿”、“水”字样的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同），放在一个不透明的盒子中，将卡片洗匀．
（1）从盒子中任意取出一张卡片，恰好取出印有“青”字的卡片的概率为　
　；
（2）先从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回并搅匀，再从其中任意取出一张卡片，求取出的两张卡片中，至少有1张印有“青”字的卡片的概率（画树状图或列表法求解）．
21．在一个口袋中装有3个大小形状完全相同的小球，小球上面分别写有数字1、2、3，现从袋中随机摸出1个小球，记下小球上的数字后放回，再随机地摸出1个小球，
（1）请用画树状图或列表法中的一种，列举出两次摸出的所有可能结果；
（2）求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率．
22．某校开展以“我和我的祖国”为主题的大合唱活动，九年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中随机抽选学生担任领唱．
（1）若只选一名学生担任领唱，则选中女生的概率是　
　；
（2）若随机选出两名学生担任领唱，请用树状图或列表法求选中一男一女的概率．
23．在一个不透明的布袋里装有3个大小、质地均相同的乒乓球，球上分别标有数字为1、2、3．
（1）随机从布袋中一次摸出两个乒乓球，写出两个乒乓球上的数字都是奇数的概率是　
　；
（2）随机从布袋中摸出一个乒乓球，记下数字后放回布袋里，再随机从布袋中摸出一个乒乓球，请用列表或画树状图的方法求出两个乒乓球上的数字之和不小于4的概率．
24．甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球编号分别是1、2、3、4，乙口袋中小球编号分别是2、3、4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下编号为n．
（1）请用画树状图或列表的方法表示（m，n）所有可能情况；
（2）规定：若m、n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，小明获胜；m、n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，小刚获胜，请说明此游戏规则是否公平？
25．一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字﹣1，0，1，2四个数字．这些小球除了数字不同外，其它都完全相同，袋内小球充分搅匀．
（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为　
　（直接写出答案）；
（2）若先从袋中随机模出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球，请用树状图或表格形式列出所有可能出现的结果，并求出两次摸出的小球球面上数字之和为1的概率．
参考答案
1．解：设盒子中原有的白球的个数为x个，
根据题意得：＝，解得：x＝20，
经检验：x＝20是原分式方程的解；
∴盒子中原有的白球的个数为20个．故选：D．
2．解：A、“买10张中奖率为的奖券必中奖”是随机事件，故原命题错误，不符合题意；
B、汽车累计行驶10000km，从未出现故障”是随机事件，故原命题错误，不符合题意；
C、天气预报说“明天下雪的概率为80%”，但“明天下雪”仍是随机事件，正确，符合题意；
D、射击奥运冠军射击一次，命中靶心是随机事件，故原命题错误，不符合题意，
故选：C．
3．解：∵共有4张相同的卡片，分别写有数1、3、4、6，其中奇数有1、3共有2个，
∴从中抽取一张，抽到的数是奇数的概率是＝．故选：B．
4．解：∵一只不透明的袋子中装有2个白球、3个黄球和5个红球，
∴摸到白球的概率为：＝；
摸到黄球的概率为：；
摸到红球的概率为＝；
摸不到白球的概率为1﹣＝，故选：D．
5．解：无论哪一次抛掷硬币，都有2种情况，即正、反，
故第10次掷出硬币时出现正面朝上的概率为．故选：C．
6．解：∵四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、圆，
∴现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为＝，故选：B．
7．解：画树状图得：
∵共有27种等可能的结果，两次摸出的乒乓球标号相同，并且三个标号符合三角形三边关系的有15种结果，
∴出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是＝．故选：B．
8．解：画树状图如图：
共有4个等可能的结果，两次所摸出的球都是同一颜色球的结果有2个，
∴两次所摸出的球都是同一颜色球的概率为＝，故选：A．
9．解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于6的结果数为6，
所以两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于6的概率＝＝．故选：A．
10．解：根据题意可得＝，
解得：n＝3，
经检验n＝3是分式方程的解，
即放入口袋中的黄球总数n＝3，故选：A．
11．解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，摸出两个白球的有4种结果，
∴两次摸出的球都是白球的概率为．故答案为：．
12．解：根据题意列表如下：
1
2
﹣4
1
﹣﹣﹣
（1，2）
（1，﹣4）
2
（2，1）
﹣﹣﹣
（2，﹣4）
﹣4
（﹣4，1）
（﹣4，2）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有6种，其中满足a，b的值使得抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴在y轴右侧的情况有4种，
则a，b的值使得抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴在y轴右侧的概率为＝，
故答案为：．
13．解：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为20%和30%，
所以摸到蓝球的概率为50%，
因为50×50%＝25（个），
所以可估计箱子中蓝色球的个数为25个．故答案为25．
14．解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，
观察发现：图中阴影部分面积＝S四边形ABCD，
∴点A落在阴影区域内的概率为，故答案为：．
15．解：∵每次抛掷硬币正面朝上的概率均为，且两次抛掷相互不受影响，
∴抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，则第二次正面朝上的概率为，
故答案为：．
16．解：画树状图为：
共有36个等可能的结果数，其中两枚骰子朝上的点数和是7的结果数为6个，
∴两枚骰子朝上的点数和是7的概率为＝，故答案为：．
17．解：列表如下：
1
2
3
4
5
1
﹣﹣﹣
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
2
（2，1）
﹣﹣﹣
（2，3）
（2，4）
（2，5）
3
（3，1）
（3，2）
﹣﹣﹣
（3，4）
（3，5）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
﹣﹣﹣
（4，5）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，其中两球标号数字是一奇一偶的情况有12种，
则两球标号数字是一奇一偶的概率是＝．
故答案为：．
18．解：利用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有36种等可能出现的结果，其中“两次抛掷骰子所得点数相同”的有6种，
∴P两次抛掷骰子所得点数相同＝P（A）＝＝，故答案为：．
19．解：（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小东同学的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
总共有12种可能结果，其中两名均来自九年级的结果有2种，
所以．
20．解：（1）从盒子中任意取出一张卡片，恰好取出印有“青”字的卡片的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由图可知，共有16个等可能的结果，其中取出的两张卡片中，至少有1张印有“青”字的卡片的结果有7个，
∴取出的两张卡片中，至少有1张印有“青”字的卡片的概率为．
21．解：（1）列表如下：
1
2
3
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
共有9种等可能的结果．
（2）由（1）得
两次摸出的球上的数字和为偶数的有5中情况，
所以两次摸出的球上的数字和为偶数的概率为．
22．解：（1）只选一名学生担任领唱，则选中女生的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选中一男一女的有12种情况，
∴选中一男一女的概率为＝．
23．解：列表得：
1
2
3
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（1）∵有9种可能结果，两个数字都是奇数的只有4种，
∴P（都是奇数）＝＝，
故答案为：；
（2）∵有9种可能结果，两个数字之和不小于4的只有6种，
∴P（都是奇数）＝＝．
24．解：（1）画树状图如图所示：由图知共有12种等可能结果；
（2）由（1）知若、都是方程的解有4种可能，
若、都不是方程的解有2种可能，即：
P（小明获胜）＝，
P（小刚获胜）＝，
故游戏不公平．
25．解：（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两次摸出的小球球面上数字之和为1的结果有4个，
∴两次摸出的小球球面上数字之和为1的概率为＝．2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练16：图形初步认识（含答案）
一、知识要点：
1、直线、射线、线段
(1)直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。
(2)相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们的交点。
(3)两点的所有连线中，线段最短。
简称：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
(4)线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。
(5)直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量；
射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量；
线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量。
2、角
(1)定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边。
(2)角的度量
1°=60′
1′=60″
(°、′、″分别是：度、分、秒)
(3)角的分类
①锐角(0°<
α
<
90°)
②直角(α
=
90°)
③钝角(90°<
α
<
180°)
④平角(α
=180°)
⑤周角(α
=360°)
(4)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
(5)角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
(6)余角与补角
余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角。
补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角。
性质：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的补角相等。
二、课标要求：
1、通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等。
2、会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。
3、掌握基本事实：两点确定一条直线。
4、掌握基本事实：两点之间线段最短。
5、理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离。
6、理解角的概念，能比较角的大小。
7、认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差。
8、探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
三、常见考点：
1、直线、射线、线段的基本概念、公理，角的概念及性质，余角与补角的性质，角平分线的性质。
2、命题真伪的判断。
3、线段、角的计算。
四、专题训练：
1．用一平面截一个正方体，不能得到的截面形状是（　　）
A．等边三角形
B．长方形
C．六边形
D．七边形
2．如图所示，∠AOB是平角，OC是射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，若∠COE＝28°，则∠AOD的度数为（　　）
A．56°
B．62°
C．72°
D．124°
3．钟表在7点55分时，它的时针和分针所构成的角（小于平角）的度数是（　　）
A．122.5°
B．117.5°
C．87.5°
D．92.5°
4．两根木条，一根长10cm，另一根长12cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（　　）
A．1cm
B．11cm
C．1cm
或11cm
D．2cm或11cm
5．如图∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，以OC为一边作∠COP＝15°，则∠BOP＝（　　）
A．15°
B．45°
C．15°或30°
D．15°或45°
6．已知三条不同的射线OA、OB、OC，有下列条件，其中能确定OC平分∠AOB的有（　　）
①∠AOC＝∠BOC
②∠AOB＝2∠AOC
③∠AOC+∠COB＝∠AOB
④∠BOC＝∠AOB
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．在所给的：①15°、②65°、③75°、④135°、⑤145°的角中，可以用一副三角板画出来的是（　　）
A．②④⑤
B．①②④
C．①③⑤
D．①③④
8．正方体的六个面分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，如图是其三种不同的放置方式，与数字“2”相对的面上的数字是（　　）
A．1
B．3
C．4
D．5
9．如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AC＝6，AB＝8，BC＝10，分别以直角三角形三边为直径向外作半圆，则图中阴影部分的面积为　
　．
10．如图，从O点引出6条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，且∠AOB＝80°，∠EOF＝160°，OE、OF分别是∠AOD、∠BOC的平分线．则∠COD的度数为　
　度．
11．如图，点B是线段AC上一点，点O是线段AC的中点，且AB＝20，BC＝8．则线段OB的长为　
　．
12．已知A，B，C三点，过其中每两个点画直线，一共可以画　
　条直线．
13．已知线段AB＝60cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝20cm，点D是AC的中点，则CD的长度是　
　．
14．若∠1＝52°18′，则∠1的补角为　
　．
15．已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点．若MR＝2，则MN＝　
　．
16．如图，∠AOB是直角，∠AOC＝40°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为　
　．
17．已知直线AB过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．
（1）操作发现：①如图1，若∠AOC＝30°，则∠DOE＝　
　；
②如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE＝　
　．（用含α的代数式表示）
（2）操作探究：将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由．
（3）拓展应用：将图2中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数．（用含α的代数式表示）
18．如图，AC＝8，CB＝6，O是线段AB的中点．
（1）求线段OC的长；
（2）若D是直线AB上一点，BD＝2，E为线段BD的中点，求线段CE的长．
19．在∠AOB和∠COD中，
（1）如图1，已知∠AOB＝∠COD＝90°，当∠BOD＝40°时，求∠AOC的度数；
（2）如图2，已知∠AOB＝82°，∠COD＝110°，且∠AOC＝2∠BOD时，请直接写出∠BOD的度数；
（3）如图3，当∠AOB＝α，∠COD＝β，且∠AOC＝n∠BOD（n＞1）时，请直接用含有α，β，n的代数式表示∠BOD的值．
20．已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，
（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：
（2）如图2，若BD＝AB＝CD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．
21．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角的直角顶点放在点O处，即∠MON，反向延长射线ON，得到射线OD．
（1）当∠MON的位置如图（1）所示时，使∠NOB＝20°，若∠BOC＝120°，求∠COD的度数．
（2）当∠MON的位置如图（2）所示时，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：射线ON的反向延长线OD是否平分∠AOC？请说明理由；注意：不能用问题（1）中的条件
（3）当∠MON的位置如图（3）所示时，射线ON在∠AOC的内部，若∠BOC＝120°．试探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，不需要证明，直接写出结论．
22．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．
（1）如图①，若∠AOB＝155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数．
（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论．
（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由．
参考答案
1．解：∵用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，
∴最多可以截出六边形，
∴不可能截得七边形．
故选：D．
2．解：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝56°．
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝124°．
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC＝62°．
故选：B．
3．解：7点55分时，时针与分针的夹角的度数是30°×（3+）＝92.5°，
故选：D．
4．解：如图，设较长的木条为AB＝12cm，较短的木条为BC＝10cm，
∵M、N分别为AB、BC的中点，
∴BM＝6cm，BN＝5cm，
①如图1，BC不在AB上时，MN＝BM+BN＝6+5＝11cm，
②如图2，BC在AB上时，MN＝BM﹣BN＝6﹣5＝1cm，
综上所述，两根木条的中点间的距离是1cm
或11cm，
故选：C．
5．解：∵∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝AOB＝30°，
又∠COP＝15°
①当OP在∠BOC内，
∠BOP＝∠BOC﹣∠COP＝30°﹣15°＝15°，
②当OP在∠AOC内，
∠BOP＝∠BOC+∠COP＝30°+15°＝45°，
综上所述：∠BOP＝15°或45°．
故选：D．
6．解：①由∠AOC＝∠BOC能确定OC平分∠AOB；
②如图1，∠AOB＝2∠AOC
所以不能确定OC平分∠AOB；
③∠AOC+∠COB＝∠AOB
不能确定OC平分∠AOB；
④如图2，∠BOC＝∠AOB，
不能确定OC平分∠AOB；
所以只有①能确定OC平分∠AOB；
故选：A．
7．解：①45°﹣30°＝15°，可以用一副三角板画出来；
②65°不可以用一副三角板画出来；
③45°+30°＝75°，可以用一副三角板画出来；
④90°+45°＝135°，可以用一副三角板画出来；
⑤145°不可以用一副三角板画出来；
故选：D．
8．解：由三个图形可看出与3相邻的数字有2，4，5，6，
所以与3相对的数是1，
由第一个图和第二个图可看出与4相邻的数有1，3，5，6，
所以与4相对的数是2．
故选：C．
9．解：分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，
由圆的面积计算公式知：S3＝πBC2，S2＝πAB2，S1＝πAC2，
则S1+S2＝π（AC2+AB2），
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S1+S2＝S3．
∵阴影部分面积等于：S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC＝×6×8＝24，
故答案为：24．
10．解：设∠AOE＝α，∠BOF＝β，
∵∠AOB＝80°，∠EOF＝160°，
∴∠AOE+∠BOF＝360°﹣∠AOE﹣∠BOF＝360°﹣80°﹣160°＝120°．
∵OE、OF分别是∠AOD、∠BOC的平分线．
∴∠AOD＝2α，∠BOC＝2β．
∴∠COD＝360°﹣∠AOB﹣∠AOD﹣∠BOC＝360°﹣80°﹣120°×2＝40°．
故答案为40．
11．解：如图所示：
∴AC＝AB+BC，AB＝20，BC＝8，
∴AC＝20+8＝28，
又∵点O是线段AC的中点，
∴AO＝CO＝＝＝14，
又∵OB＝OC﹣BC，
∴OB＝14﹣8＝6，
故答案为6．
12．解：如图，最多可以画3条直线，最少可以画1条直线，
．
故答案为：1或3．
13．解：（1）如图，当点C在线段AB上时，
CD＝（AB﹣BC）＝×（60﹣20）＝×40＝20（cm）；
（2）如图，当点C在线段AB的延长线上时，
CD＝（AB+BC）＝×（60+20）＝×80＝40（cm）；
故CD的长为20cm或40cm．
故答案为：20cm或40cm．
14．解：180°﹣∠1＝180°﹣52°18′＝127°42′．
故∠1的补角为127°42′．
故答案为：127°42′．
15．解：设QN＝x，则PQ＝x，MP＝2x，
∴MQ＝MP+PQ＝3x，
∴MR＝x＝2，
解得x＝，
MN＝2MP＝4x＝4×＝，
故答案为：．
16．解：∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠BOC＝25°．
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝90°﹣25°＝65°．
故答案为：65°．
17．解：（1）如图1，
①∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝90°+60°＝150°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝75°，
∴∠DOE＝75°﹣60°＝15°．
故答案为：15°；
②∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝α，
∴∠BOD＝90°﹣α，
∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝90°+90°﹣α＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣α，
∴∠DOE＝90°﹣α﹣（90°﹣α）＝α．
故答案为：α；
（2）②中的结论还成立，理由是：
如图2，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α；
（3）如图3，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+（90°﹣α）＝180°﹣α．
18．解：（1）∵O是AB的中点，
∴AO＝＝＝7，
∴OC＝AC﹣AO＝8﹣7＝1；
（2）∵E为BD的中点，
∴BE＝DE＝BD＝×2＝1，
当D在B左侧时，
CE＝BC﹣BE＝6﹣1＝5，
当D在B右侧时，
CE＝BC+BE＝6+1＝7，
答：（1）OC的长为1．
（2）CE的长为5或7．
19．解：（1）如图1，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90°+90°﹣40°＝140°，
答：∠AOC的度数为140°；
（2）如图2，∵∠AOB＝82°，∠COD＝110°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝82°+110°﹣∠BOD，
又∵∠AOC＝2∠BOD，
∴2∠BOD＝82°+110°﹣∠BOD，
∴∠BOD＝＝64°，
答：∠BOD的度数为64°；
（3）如图3，∵∠AOB＝α，∠COD＝β，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝α+β﹣∠BOD，
又∵∠AOC＝n∠BOD，
∴n∠BOD＝α+β﹣∠BOD，
∴∠BOD＝，
答：∠BOD＝．
20．解：（1）如图1所示：
∵AC＝AB+BC，AB＝6cm，BC＝4cm
∴AC＝6+4＝10cm
又∵D为线段AC的中点
∴DC＝AC＝×10＝5cm
∴DB＝DC﹣BC＝6﹣5＝1cm
（2）如图2所示：
设BD＝xcm
∵BD＝AB＝CD
∴AB＝4BD＝4xcm，CD＝3BD＝3xcm，
又∵DC＝DB+BC，
∴BC＝3x﹣x＝2x，
又∵AC＝AB+BC，
∴AC＝4x+2x＝6xcm，
∵E为线段AB的中点
∴BE＝AB＝×4x＝2xcm
又∵EC＝BE+BC，
∴EC＝2x+2x＝4xcm
又∵EC＝12cm
∴4x＝12，
解得：x＝3，
∴AC＝6x＝6×3＝18cm．
21．解：（1）∵∠AOB＝180°，∠NOB＝20°，∠BOC＝120°，
∴∠COD＝∠AOB﹣∠NOB﹣∠BOC＝180°﹣20°﹣120°＝40°，
∴∠COD为40°；
（2）OD平分∠AOC，
理由如下：∵∠MON＝90°，
∴∠DOM＝180°﹣∠MON＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DOC+∠MOC＝∠MOB+∠BON＝90°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB，
∴∠DOC＝∠BON，
∵∠BON+∠AON＝∠AON+∠AOD＝180°
∴∠BON＝∠AOD，
又∵∠BON＝∠COD，
∴∠COD＝∠AOD，
∴OD平分∠AOC；
（3）∵∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，
∵∠MON＝90°，
∴∠MON﹣∠AOC＝30°，
∴（∠MON﹣∠AON）﹣（∠AOC﹣∠AON）＝30°，
即∠AOM﹣∠NOC＝30°．
22．解：（1）∠AOD＝∠BOC＝155°﹣90°＝65°，
∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；
（2）∠AOD＝∠BOC，
∠AOB+∠DOC＝180°；
（3）∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，
∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB+∠DOC＝180°2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练31：数据的分析（含答案）
一、知识要点：
1、平均数
平均数：
加权平均数：（、…的权分别是、…）
2、众数与中位数
众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
3、方差
方差：
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
二、课标要求：
1、理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述。
2、体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差。
3、能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流。
三、常见考点：
1、平均数、众数、中位数的计算与分析。
2、方差的计算与应用分析。
四、专题训练：
1．两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为3，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中（　　）
A．平均年龄为13岁，方差改变
B．平均年龄为15岁，方差不变
C．平均年龄为15岁，方差改变
D．平均年龄不变，方差不变
2．某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）
A．中位数
B．平均数
C．方差
D．众数
3．农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高进行了测量，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．则统计的这组苗高数据的平均数、众数、中位数依次是（　　）
A．15.6，10，16
B．16，16，15.5
C．15.6，16，16
D．16，10，15.5
4．数据2，6，8，6，10的众数和中位数分别为（　　）
A．6和6
B．6和8
C．8和7
D．10和7
5．小丽参加了学校“新年迎新”诗歌朗诵比赛，如果将9位评委所给出的分数去掉一个最高分、去掉一个最低分，那么一定不发生变化的是（　　）
A．平均分
B．中位数
C．众数
D．方差
6．小明参加校园歌手比赛，唱功得80分，音乐常识得100分，综合知识得90分，学校按唱功、音乐常识、综合知识的6：3：1的比例计算总评成绩，那么小明的总评成绩是（　　）分．A．90
B．88
C．87
D．93
7．数据201，202，198，199，200的方差与极差分别是（　　）
A．1，4
B．2，2
C．2，4
D．4，2
8．若x1，x2，x3，x4的平均数为4，x5，x6，x7，…，x10的平均数为6，则x1，x2，…，x10的平均数为（　　）
A．5
B．4.8
C．5.2
D．8
9．一列数4，5，6，4，4，7，x，5的平均数是5，则中位数是　
　．
10．某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：178，180，183，184，190．现用一名身高185cm的队员换下场上身高190cm的队员，与换人前相比，场上队员身高的方差的变化情况　
　．（填变大、变小或不变）
11．若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为10，方差为1，则另一组数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差是　
　．
12．已知样本数据为2，3，4，5，6，则这5个数的方差是　
　．
13．数据3，1，x，﹣1，﹣3的平均数是1，则这组数据的方差是　
　．
14．小明某学期的数学平时成绩90分，期中考试80分，期末考试85分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时成绩：期中成绩：期末成绩＝3：3：4，则小明总评成绩是　
　分．
15．某次检测中，一个10人小组，其中6人的平均成绩是90分，其余4人的平均成绩是80分，那么这个10人小组的平均成绩是　
　．
16．若样本1，2，3，x的平均数为5，又知样本1，2，3，x，y的平均数为6，那么样本1，2，3，x，y的方差是　
　．
17．有10个数据的平均数为12，另有20个数据的平均数为15，那么所有这30个数据的平均数是　
　．
18．某班第1小组同学在“献爱心捐助活动”中，捐4元钱的有2人，捐3元钱的有2人，捐1元钱的有6人，那么该小组同学平均每人捐钱　
　元．
19．国庆长假期间，兴趣小组随机采访了10位到高邮的游客使用“街兔”共享电动车的次数，得到了这10位游客1天内使用“街兔”共享电动车的次数，统计如下：
使用次数
0
2
3
4
6
人数
1
1
4
3
1
（1）这10位游客1天内使用“街兔”共享电动车的次数的中位数是　
　次，众数是　
　次，平均数是　
　次；
（2）若小明同学把统计表中的数据“6”错看成了“5”，则用“街兔”共享电动车的次数的中位数、众数、和平均数这三个统计量中不受影响的是　
　；（填“中位数”、“众数”或“平均数”）
（3）若国庆长假期间，每天约有1200位游客到高邮，试估计这些游客7天国庆长假期间使用“街兔”共享电动车的总次数．
20．天府新区某校在暑假期间开展了“趣自然阅当夏”活动，王华调查了本校50名学生本学期购买课外书的费用情况，数据如下表：
费用（元）
20
30
50
80
100
人数
6
10
14
12
8
（1）这50名学生本学期购买课外书的费用的众数是　
　，中位数是　
　；
（2）求这50名学生本学期购买课外书的平均费用；
（3）若该校共有学生1000名，试估计该校本学期购买课外书费用在50元以上（含50元）的学生有多少名？
21．聪聪利用暑假到工厂进行社会实践活动，他跟在张师傅学加工某种机器零件，共加工9天，每天加工的机器零件个数如下：1，2，3，4，5，6，7，8，9．
（1）求聪聪这9天加工零件数的平均数；
（2）聪聪问张师傅加工的零件数，张师傅说：我每天加工的零件数是两位数，并且每天加工零件数的个位上数字都与你相同，这9天加工零件数的平均数比你多30但方差和你一样，听完张师傅的话，聪聪笑着说，师傅我知道了，根据上面的信息，请你直接写出张师傅每天加工的零件数．
22．某中学九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程．
甲同学五次体育模拟测试成绩统计表
次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
成绩（分）
35
39
37
a
40
小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下：S乙2＝[（36﹣38）2+（38﹣38）2+（37﹣38）2+（39﹣38）2+（40﹣38）2]＝2（分2）
根据上述信息，完成下列问题：
（1）a的值是　
　；
（2）根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由；
（3）如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为38分，与前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差　
　．（填“变大”“变小”或“不变”）
23．王大伯承包了一个鱼塘，投放了1000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示
（1）这20条鱼质量的中位数是　
　kg，众数是　
　kg；
（2）求这20条鱼质量的平均数；
（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？
24．某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6次预选赛，其中甲、乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：
甲
11.9
12.2
12.1
11.8
12.1
11.9
乙
12.3
12.1
11.8
12.0
11.7
12.1
（1）根据表中数据，甲运动员的百米赛跑成绩的中位数为　
　秒；
（2）分别求甲、乙两名运动员的百米赛跑成绩的平均数；
（3）学校要推荐一位成绩稳定的运动员参赛，应该推荐谁去参赛，为什么？
25．“疫情远未结束，防疫绝不放松”．为了解同学们掌握防疫知识的情况，增强防疫意识，某校举行了疫情防护知识测试活动，现从该校七、八年级各随机抽取20名学生的测试成绩进行整理、描述和分析，以下是部分信息．
七年级20名学生的测试成绩：
72，80，85，90，78，82，80，90，92，90，100，90，83，88，97，98，99，80，81，85．
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、90分及以上人数所占百分比如表所示：
年级
平均数
众数
中位数
90分及以上人数所占百分比
七年级
87
a
86.5
45%
八年级
87
94
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝　
　、b＝　
　、c＝　
　；
（2）该校七、八年级各有1500名学生参加了此次测试活动，这3000名学生中，成绩优秀（90分及以上为优秀）的学生估计有多少人？
参考答案
1．解：由题意知七年级（1）班全体学生的人数没有变化，而每位同学的年龄都增加了2岁，
所以今年升为九（1）班的学生的平均年龄增加2岁，即15岁，
又因为学生的年龄波动幅度没有变化，
所以今年升为九（1）班的学生年龄的方差不变，仍然为3，
故选：B．
2．解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为20与36的平均数，与被涂污数字无关．
故选：A．
3．解：这组苗高数据的平均数是＝15.6，
∵16出现了10次，出现的次数最多，
∴众数是16，
把这些数从小大排列，中位数是第13个数，
则中位数是16．
故选：C．
4．解：将数据重新排列为2、6、6、8、10，
所以这组数据的众数为6，中位数为6，
故选：A．
5．解：去掉一个最高分和一个最低分，数据一定不发生变化的是中位数．
故选：B．
6．解：小明的总评成绩是：80×+100×+90×＝87（分）．
故选：C．
7．解：极差为202﹣198＝4，
∵平均数为＝200，
∴方差为×[（201﹣200）2+（202﹣200）2+（198﹣200）2+（199﹣200）2+（200﹣200）2]＝2，
故选：C．
8．解：由题意可得，
x1，x2，…，x10的平均数为：＝＝＝5.2，
故选：C．
9．解：∵4，5，6，4，4，7，x，5的平均数是5，
∴4+5+6+4+4+7+x+5＝5×8，
解得x＝2，
∴将数据重新排列为2，4，4，4，5，5，6，7，
则这组数据的中位数为＝4.5，
故答案为：4.5．
10．解：用一名身高185cm的队员换下场上身高190cm的队员，与换人前相比，由于数据的波动性变小，所以数据的方差变小．
故答案为：变小．
11．解：∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为10，
∴数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数为3×10﹣1＝29，
∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的方差为1，
∴数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差是1×32＝9；
故答案为：9．
12．解：依题意可得，
数据2，3，4，5，6的平均数为：＝4，
方差为：[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2．
故答案为：2．
13．解：由题意得：x＝5×1﹣（3+1﹣1﹣3）＝5，
∴数据的方差S2＝×[（3﹣1）2+（1﹣1）2+（5﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（﹣3﹣1）2]＝8
故答案为：8
14．解：由题意可得，
＝＝＝85（分），
即小明总评成绩是85分，
故答案为：85．
15．解：由题意可得，
这个10人小组的平均成绩是：
[（6×90）+（80×4）]÷10＝（540+320）÷10＝860÷10＝86（分），
故答案为：86分．
16．解：∵样本1，2，3，x的平均数为5，
∴1+2+3+x＝5×4，
∴x＝14，
∵样本1，2，3，x，y的平均数为6，
∴1+2+3+x+y＝6×5，
∴x+y＝24，
∴y＝10，
∴样本的方差s2＝[（1﹣6）2+（2﹣6）2+（3﹣6）2+（14﹣6）2+（10﹣6）2]÷5＝26．
故答案为：26．
17．解：所有这30个数据的平均数＝＝14．
故答案为14．
18．解：（4×2+3×2+6）÷（2+2+6）＝20÷10＝2（元）．
故该小组同学平均每人捐款2元．故答案为：2．
19．解：（1）这10位游客1天内使用“街兔”共享电动车的次数的中位数是＝3（次），众数是3次，平均数为＝3.2（次），
故答案为：3、3、3.2；
（2）若小明同学把统计表中的数据“6”错看成了“5”，则用“街兔”共享电动车的次数的中位数、众数、和平均数这三个统计量中不受影响的是中位数和众数，
故答案为：中位数和众数；
（3）估计这些游客7天国庆长假期间使用“街兔”共享电动车的总次数为1200×3.2×7＝26880（次）．
20．解：（1）由表格可得，
这50名学生本学期购买课外书的费用的众数是50元，中位数是50元，
故答案为：50元，50元；
（2）＝57.6（元），
即这50名学生本学期购买课外书的平均费用是57.6元；
（3）1000×＝680（名），
答：估计该校本学期购买课外书费用在50元以上（含50元）的学生有680名．
21．解：（1）聪聪这9天加工零件数的平均数＝5；
（2）∵每天加工零件数的个位上数字都与聪聪相同，这9天加工零件数的平均数比聪聪多30，且方差和聪聪一样，
∴张师傅每天加工的零件个数为：31、32、33、34、35、36、37、38、39．
22．解：（1）由题意得：35+39+37+a+40＝36+38+37+39+40，
解得：a＝39，
故答案为：39；
（2）解：乙的体育成绩更好，理由是：
∵甲＝乙＝（35+39+37+39+40）＝38，
，
而，，两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定，所以乙的体育成绩更好．
（3）因为第六次模拟测试成绩为38分，前5次测试成绩的平均数为38分，所以甲6次模拟测试成绩的方差变小．
故答案为：变小．
23．解：（1）∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.5，
∴这20条鱼质量的中位数是＝1.45（kg），众数是1.5kg．
故答案为：1.45，1.5；
（2）＝＝1.45（kg）．
故这20条鱼质量的平均数为1.45kg；
（3）18×1.45×1000×90%＝23490（元）．
答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入23490元．
24．解：（1）将甲运动员的百米赛跑成绩重新排列为11.8、11.9、11.9、12.1、12.1、12.2，
所以甲运动员的百米赛跑成绩的中位数为＝12（秒），
故答案为：12；
（2）甲运动员的百米赛跑成绩的平均数为＝12（秒）；
乙运动员的百米赛跑成绩的平均数＝12（秒）；
（3）应推荐甲去参赛，理由如下：
∵甲运动员的百米赛跑成绩的方差＝×[（11.8﹣12）2+2×（11.9﹣12）2+2×（12.1﹣12）2+（12.2﹣12）2]＝0.02（秒2），
乙运动员的百米赛跑成绩的方差＝×[（11.7﹣12）2+（11.8﹣12）2+（12.0﹣12）2+2×（12.1﹣12）2+（12.3﹣12）2]＝0.04（秒2），
∴＜，
∴甲运动员的成绩稳定，
∴应推荐甲去参赛．
25．解：（1）∵七年级20名学生的测试成绩为：72，80，85，90，78，82，80，90，92，90，100，90，83，88，97，98，99，80，81，85，
∴a＝90，
由条形统计图可得b＝（84+90）÷2＝87，
c＝（3+5+1+1）÷20×100%＝50%．
故答案为：90，87，50%；
（2）∵从调查的数据看，七年级9人的成绩优秀，八年级10人的成绩优秀，
∴参加此次测试活动成绩优秀的学生有3000×＝1425（人）．
故参加此次测试活动成绩优秀的学生大约有1425人2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练29：圆的有关计算（含答案）
一、知识要点：
正多边形和圆
定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
弧长和扇形面积
n°的圆心角所对的弧长l为：。
圆心角为n°的扇形面积S为：。
圆锥的侧面积为：S=πrl。圆锥的全面积为：S=πrl+πr2。
二、课标要求：
1、会计算圆的弧长、扇形的面积。
2、了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
三、常见考点：
1、弧长和扇形面积，圆锥、圆柱的侧面积及其全面积
2、圆与其它知识(三角形、四边形、函数、相似)的综合运用。
四、专题训练：
1．如图，两个正六边形ABCDEF、EDGHIJ的顶点A、B、H、I在同一个圆上，点P在上，则tan∠API的值是（　　）
A．2
B．2
C．2
D．1
2．半径为3的正六边形的周长为（　　）
A．18
B．
C．
D．
3．在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（　　）
A．πcm
B．2πcm
C．3πcm
D．6πcm
4．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB⊥直径CD，∠A＝30°，则的长为（　　）
A．π
B．2π
C．3π
D．6π
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，以A为圆心AC为半径画圆，交AB于点D，则阴影部分面积是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，AB是⊙的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于C，D两点，∠C＝30°，CD＝2，则阴影部分的面积是（　　）
A．
B．π
C．
D．2π
7．如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为3的⊙O的圆心重合，延长AB，BC分别交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．
B．
C．9π﹣4
D．9π﹣2
8．已知圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则这个圆锥的全面积是（　　）
A．60πcm2
B．96πcm2
C．132πcm2
D．168πcm2
9．如图，已知圆锥的底面半径为r＝20cm，h＝20cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离是（　　）cm．
A．40
B．40π
C．160
D．80
10．正方形ABCD内接于⊙O，点E是⊙O上的点，则∠BEC的度数为　
　．
11．如图，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2．T1的六个顶点都在圆周上，T2的六条边都和⊙O相切（我们称T1、T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形）．设⊙O的半径为R，则图中阴影部分的面积　
　（用含R的式子表示）．
12．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形ABC，然后分别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若正三角形ABC的边长为2cm，则弧三角形的周长为　
　cm．
13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），弧AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A1A2是以点O为圆心，OA2为半径的圆弧；弧A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；弧A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…，称为正方形的“渐开线”，则点A2021的坐标是　
　．
14．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△AB'C'，AB＝2，则图中阴影部分的面积为　
　．
15．如图，在矩形ABCD中，BC＝1，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交BC于点E，∠DAE＝60°，则图中阴影部分的面积为　
　．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B（﹣5，0），C（5，0），点D（11，0），将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则的长度为　
　，线段AE的长为　
　，图中阴影部分面积为　
　．
17．如图，C是半圆上一点，AB是直径，将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD沿BD翻折交BC于点E，若E是弧BD的中点，AD＝2，则阴影部分面积为　
　．
18．已知圆锥的底面圆的半径为1，母线长为3，其侧面展开图的圆心角是　
　．
19．已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则母线长为　
　cm，圆锥的侧面积为　
　cm2．
20．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在⊙O上，
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝3，OA＝5，
①求弦AB的长；
②求劣弧AB的长．
21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E＝40°，∠F＝50°，连接BD．
（1）求∠A的度数；
（2）当⊙O的半径等于2时，请直接写出的长（结果保留π）
22．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．
23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．
24．在扇形OAB中，C是弧AB上一点，延长AC到D，且∠BCD＝75°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）扇形OAB是某圆锥的侧面展开图，若OA＝12，求该圆锥的底面半径．
25．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DE，AE．
（1）∠CPD＝　
　°；
（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．
参考答案
1．解：如图，连接AE，EI，AH，过点J作JM⊥EI于M．
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠DEF＝∠F＝120°，
∵FA＝FE，
∴∠FEA＝∠FAE＝30°，
∴∠AED＝90°，
同法可证，∠DEI＝∠EIH＝90°，
∴∠AED+∠DEI＝180°，
∴A，E，I共线，
设IH＝IJ＝JE＝a，
∵JM⊥EI，
∴EM＝MI＝a，
∴AI＝2EI＝2a，
∵∠API＝∠AHI，
∴tan∠API＝tan∠AHI＝＝＝2，
故选：A．
2．解：∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长a＝3，
正六边形的周长l＝6a＝18，
故选：A．
3．解：弧长为：＝2π（cm）．
故选：B．
4．解：如图，连接OB．
∵CD⊥AB，CD是直径，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠COB＝∠AOB＝60°，
∴∠DOB＝180°﹣60°＝120°，
∴的长＝＝2π，
故选：B．
5．解：△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
所以BC＝AC＝，∠A＝60°，
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ACD
＝×1×﹣＝﹣．
故选：B．
6．解：连接OC，AD
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∵AB⊥CD，
∴OA平分CD，
∴CE＝DE＝CD＝，
∵CD垂直平分OA，
∴四边形ACOD是菱形，
在Rt△ACE中，AC＝＝＝2，
∴阴影部分面积＝＝π．
故选：A．
7．解：延长CD，DA交⊙O于E，F，
由对称性可知，图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（9π﹣4）＝π﹣1，
故选：B．
8．解：根据题意，这个圆锥的全面积＝×2π×6×10+π×62＝60π+36π＝96π（cm2）．
故选：B．
9．解：设扇形的圆心角为n，圆锥的顶点为B，
∵r＝20cm，h＝20cm，
∴由勾股定理可得母线l＝＝80（cm），
而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π＝，
∴n＝90°，
即△BAA′是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AA'＝＝80（cm）．
∴蚂蚁爬行的最短距离为80cm．
故选：D．
10．解：连接OB，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BEC＝90°÷2＝45°．
当点E′在劣弧BC上时，∠BE′C＝180°﹣∠BAEC＝135°
故答案为：45°或135°．
11．解：如图：连接OA，OB，OG，OH．
∵△AOB为等边三角形，
∴T1的半径为R，
在Rt△OAG和Rt△OBG中，
，
Rt△OGB≌Rt△OGA（HL），
∴∠OGB＝∠OGA＝60°，
∴BG＝OG，
设BG为x，由勾股定理有：x2+R2＝（2x）2，
解得：x＝R，
外切正六边形的边长为R，
∵阴影部分的面积＝外切正六边形的面积﹣内接正六边形的面积，
又∵内接正六边形的面积为S△AOB的六倍，S△AOB＝R2，
∴内接正六边形的面积为：S内＝6×R2＝R2，
∵外切正六边形的面积为S△OGH的六倍，S△OHG＝?（R）2＝R2，
∴外切正六边形的面积为：S外＝6×R2＝2R2，
∴S阴＝S外′﹣S内＝2R2﹣R2＝R2．
12．解：∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴的长＝＝（cm），
则弧三角形的周长＝×3＝2π（cm），
故答案为：2π．
13．解：A（1，1），
由题意得，A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），
A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，
∴A4n（1，4n+1），A4n+1（4n+2，0），A4n+2（0，﹣（4n+2）），A4n+3（﹣（4n+3），1）．
∵2021＝505×4+1，
∴A2021的坐标为（2022，0）．
故答案为：（2022，0）．
14．解：作B′D⊥AB于D，
∵△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△AB'C'，AB＝2，
∴△AB′C′的面积＝△ABC的面积，∠BAB′＝45°，AB＝AB′＝2，
∴B′D＝AB′＝，
∴S△ABB′＝＝＝，
∵图中阴影部分的面积＝△AB′C′的面积+△AB′B的面积﹣△ABC的面积＝△AB′B′的面积，
∴S阴影＝，
故答案为：．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝60°，
∵∠B＝90°，AE＝AD＝1，
∴AB＝AE?sin60°＝，
∴S阴＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE＝﹣＝﹣，
故答案为﹣．
16．解：∵等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，
∴OB＝OC，
∵B（﹣5，0），C（5，0），
∴OB＝OC＝5，AB＝AC＝BC＝10，
∴OA＝＝5，
∵D（11，0），
∴OD＝11，
∴AD2＝AO2+OD2＝75+121＝196，
∵△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD＝＝14；
∴的长度为＝π；
∴图中阴影部分面积
＝S扇形DAE﹣S扇形BAC＝π×AD2﹣π×AC2＝π（196﹣100）＝16π．
故答案为：π；14；16π．
17．解：如图，连接AC，CD，DE，OE，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DJ⊥CE于J．
∵∠ABC＝∠DBC＝∠DBE，
∴＝＝，
∴AC＝CD＝DE，
∵CH⊥AD，DJ⊥CE，
∴AH＝HD，CJ＝JE，
∵E是的中点，
∴＝，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD，
设∠EDB＝∠EBD＝x，则∠DEC＝∠DCE＝∠EDB+∠EBD＝2x，
∴∠A＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3x，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴3x+x＝90°，
∴x＝22.5°，
∴∠A＝∠CDA＝67.5°，
∵CA＝CD，CH⊥AD，
∴∠ACH＝∥DCH＝22.5°，
在CH上取一点T，使得CT＝DT，连接DT，
∴∠TCD＝∠TDC＝22.5°，
∴∠HTD＝∠TCD+∠TDC＝45°，
∵∠THD＝90°，
∴∠HTD＝∠HDT＝45°，
∴HT＝DH＝1，DT＝TC＝，
∴CH＝1+，
∴CD2＝CH2+DH2＝（1+）2+12＝4+2，
∵∠DCE＝2x＝45°，
∴∠DCE＝∠DEC＝45°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∵弓形AmC的面积＝弓形DmE的面积，
∴S阴＝S四边形ACED＝S△ACD+S△CDE＝?AD?CH+CD2＝×2×（1+）+×（4+2）＝3+2，
故答案为：3+2．
18．解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π（cm），
设圆心角的度数是n度，
则＝2π，
解得：n＝120．
故答案为：120°．
19．解：根据题意可得，
这个圆锥的母线长＝＝5（cm），
这个圆锥的侧面积＝?2π?3?5＝15π（cm2）．
故答案为：5，15π．
20．解：（1）∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠DEB＝∠BOD＝∠AOD＝×50°＝25°．
（2）①∵OC＝3，OA＝5，
∴AC＝4，
∵OD⊥AB，
∴＝＝，
∴AC＝BC＝AB＝4，
∴AB＝8；
②∵∠AOD的正弦值是＝＝0.8，
∴∠AOD＝53°，
∴∠AOB＝106°，
∵OA＝5，
∴的长＝＝＝．
21．解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A，
∵∠EDF＝∠A+∠F＝∠A+50°，
而∠EDF+∠DCE+∠E＝180°，
∴∠A+50°+∠A+40°＝180°，
∴∠A＝45°；
（2）连接OB、OD，如图，
∵∠BOD＝2∠A＝90°，
∴的长＝＝π．
22．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE＝ED，
（2）解：连接CD，OD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，
∵OC⊥AD，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴OE＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝3π﹣．
23．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，
∵OH⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∵∠OAH＝30°，
∴∠AOH＝60°，OH＝OA＝2，AH＝OH＝2，
∴S阴＝S△AOH﹣S扇形OMH＝×2×2﹣＝2﹣π．
（2）作点M关于B的对称点M′，连接HM′交BD于P，连接PM，连接PM，此时PH+PM的值最小．
∵OH＝OM′，
∴∠OHM′＝∠OM′H，
∵∠AOH＝∠OHM′+∠OM′H＝60°，
∴OP＝OM′?tan30°＝，
∵OD＝OA?tan30°＝，
∴PD＝OD+OP＝+＝2．
24．解：（1）作出所对的圆周角∠APB，
∵∠APB+∠ACB＝180°，∠BCD+∠ACB＝180°，
∴∠APB＝∠BCD＝75°，
∴∠AOB＝2∠APB＝150°；
（2）设该圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝5，
∴该圆锥的底面半径为5．
25．解：（1）如图，连接BD，
∵正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，
∴∠DBC＝45°，
∵∠CPD＝∠DBC，
∴∠CPD＝45°．
故答案为：45；
（2）如图，作CH⊥DP于H，
∵CP＝2，∠CPD＝45°，
∴CH＝PH＝2，
∵DC＝4，
∴DH＝＝＝2，
∴DP＝PH+DH＝2+2．2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练3：整式（含答案）
一、知识要点：
(1)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
(2)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
单项式与多项式统称整式。
(3)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
(4)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
2、整式的运算
(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。
去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
(2)整式的乘除运算
①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。
(3)添括号法则
同号得正，异号得负。即括号前的符号决定了括号内各项的符号是否改变：
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
二、课标要求：
1、了解整数指数幂的意义和基本性质。
2、理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)。
3、能推导乘法公式：(a+b)(
a-
b)
=
a2-
b2；(a±b)2
=
a
2±2ab
+
b
2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。
三、常见考点：
1、考查学生对基本概念的认识及运用，如列代数式、求系数和次数、同类项等。
2、基本公式(同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方)的应用。
3、运用整式乘除法公式、整式加减运算法则、整式乘法运算特殊公式进行计算。
4、相关知识的综合应用，如找规律，定义新运算等。
四、专题训练：
1．若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a、b为整数，则a+b之值为何？（　　）
A．﹣4
B．﹣2
C．0
D．4
2．下列计算正确的是（　　）
A．a2?a3＝a6
B．（x+y）2＝x2+y2
C．（a5÷a2）2＝a6
D．（﹣3xy）2＝9xy2
3．某商场四月份售出某品牌衬衣b件，每件c元，营业额a元．五月份采取促销活动，售出该品牌衬衣3b件，每件打八折，则五月份该品牌衬衣的营业额比四月份增加（　　）
A．1.4a元
B．2.4a元
C．3.4a元
D．4.4a元
4．已知a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
5．若与﹣3ab3﹣n的和为单项式，则m+n＝　
　．
6．某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：
第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；
第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为　
　．
7．若mn＝m+3，则2mn+3m﹣5mn+10＝　
　．
8．若23n+1?22n﹣1＝，则n＝　
　．
9．计算（﹣2）2017×（﹣）2018＝　
　．
10．已知am＝3，an＝2，则a2m﹣n的值为　
　．
11．若（am+1bn+2）?（a2n﹣1b2n）＝a5b3，则m+n的值为　
　．
12．已知ab＝a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）＝　
　．
13．先化简再求值：3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]，其中．
14．已知：a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝8，求﹣ab的值．
15．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
…
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）4展开式共有　
　项，系数分别为　
　；
（2）（a+b）n展开式共有　
　项，系数和为　
　．
16．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
17．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积＝（上底+下底）×高）．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
参考答案
1．解：∵2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，
∴2x3﹣ax2﹣5x+5＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b+3，
∴﹣a＝a﹣2b，ab+1＝5，b+3＝5，
解得b＝2，a＝2，
∴a+b＝2+2＝4．
故选：D．
2．解：A、a2?a3＝a5，故选项错误；
B、（x+y）2＝x2+y2+2xy，故选项错误；
C、（a5÷a2）2＝a6，故选项正确；
D、（﹣3xy）2＝9x2y2，故选项错误；
故选：C．
3．解：5月份营业额为3b×c＝，
4月份营业额为bc＝a，
∴a﹣a＝1.4a．
故选：A．
4．解：法一：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，
＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a），
又由a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，
得（a﹣b）＝x+20﹣x﹣19＝1，
同理得：（b﹣c）＝﹣2，（c﹣a）＝1，
所以原式＝a﹣2b+c＝x+20﹣2（x+19）+x+21＝3．
故选B．
5．解：∵与﹣3ab3﹣n的和为单项式，
∴2m﹣5＝1，n+1＝3﹣n，
解得：m＝3，n＝1．
故m+n＝4．
故答案为：4．
6．解：设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后，
则B同学有（x+2+3）张牌，
A同学有（x﹣2）张牌，
那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3﹣（x﹣2）＝x+5﹣x+2＝7．
故答案为：7．
7．解：原式＝﹣3mn+3m+10，
把mn＝m+3代入得：原式＝﹣3m﹣9+3m+10＝1，
故答案为：1
8．解：23n+1?22n﹣1＝，
25n＝2﹣5，
则5n＝﹣5，
故n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
9．解：原式＝（﹣）2017×（﹣）2017×（﹣）
＝[（﹣）×（﹣）]2017×（﹣）
＝12017×（﹣）
＝1×（﹣）
＝﹣，
故答案为：﹣．
10．解：∵am＝3，
∴a2m＝32＝9，
∴a2m﹣n＝＝＝4.5．
故答案为：4.5．
11．解：已知等式整理得：am+2nb3n+2＝a5b3，
可得，
解得：m＝，n＝，
则m+n＝，
故答案为：
12．解：当ab＝a+b+1时，
原式＝ab﹣a﹣b+1
＝a+b+1﹣a﹣b+1
＝2，
故答案为：2．
13．解：原式＝3x2﹣6xy﹣[3x2﹣2y+2xy+2y]
＝3x2﹣6xy﹣（3x2+2xy）
＝3x2﹣6xy﹣3x2﹣2xy
＝﹣8xy
当时
原式＝﹣8×（﹣）×（﹣3）＝﹣12．
14．解：∵a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝8，
∴a2﹣a﹣a2+b＝8，
∴b﹣a＝8，
∴﹣ab＝＝＝32．
15．解：（1）根据题意知，（a+b）4的展开后，共有5项，
各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；
（2）当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n．
故答案为：（1）5，1，4，6，4，1；（2）n+1，2n．
16．解：由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，
方案三：a2+＝＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．
17．解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∴S1＝a2﹣b2．
S2＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；
（2）根据题意得：
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练17：命题、定理与证明（含答案）
一、知识要点：
1、命题与定理
定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
定义2：如果题设成立，那么结论一定成立，
这样的命题叫做真命题。
定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。
定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。
如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。
2、证明:一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
二、课标要求：
1、通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
2、结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
3、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。
4、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
三、常见考点：
1、命题及命题真伪的判断。2、命题的条件和结论的区分。3、写出命题的逆命题。
四、专题训练：
1．下列说法正确的是（　　）
A．一组数据6，5，8，8，9的众数是8
B．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则甲组学生的身高较整齐
C．命题“若|a|＝1，则a＝1”是真命题
D．三角形的外角大于任何一个内角
2．下列命题正确的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的三条高都在三角形内部
C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等
D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等
3．下列四个命题：①5是25的算术平方根；②（﹣4）2的平方根是﹣4；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补．其中真命题的个数是（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
4．下列说法中，不正确的个数是（　　）
①若a+b＝0，则有a，b互为相反数，且＝﹣1；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；③三个五次多项式的和也是五次多项式；④a+b+c＜0，abc＞0，则﹣+﹣的结果有三个；⑤方程ax+b＝0（a，b为常数）是关于x的一元一次方程．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．下列命题：
①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；
③一个正数或负数的立方根与这个数同号；
④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；
⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
7．写出“对顶角相等”的逆命题　
　．
8．四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他们每人都只猜对了一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为　
　．（按一、二、三、四的名次排序）
9．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第二象限图象上一动点，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，在点P的运动过程中，线段MN长度的最小值是　
　．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C'D'，点C的运动路径为．当点B'落在CD上时，图中阴影部分的面积为　
　．
11．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为　
　．
12．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为　
　．
13．如图，?ABCD中，E为AD上一点，F为BC上一点，EF与对角线BD交于点O，以下三个条件：①BO＝DO；②EO＝FO；
③AE＝CF，以其中两个作为题设，余下的一个作为结论组成命题，其中真命题的个数为　
　．
14．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，则点D在运动过程中ME的最小值为　
　．
15．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．
①弦AB的长度为　
　；
②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为　
　．
16．如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其短边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其短边恰好落在水平桌面上，则长方形木板顶点A在滚动过程中所经过的路径长为　
　．
17．桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“+1”、“﹣1”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从﹣7变化为+7．
（1）当n＝1时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或﹣2，则最少　
　次操作后所有纸牌全部正面向上；
（2）当n＝2时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是　
　，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由；
（3）若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值．
18．阅读下面内容，并解答问题．
在学行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．求证：　
　．
（1）请补充要求证的结论，并写出证明过程；
（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择　
　题．
A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为　
　．
B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为　
　．
19．点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．
（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；
（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．
20．概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．
理解应用
（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．
①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；　
　；
②任意的三角形都存在等角点；　
　；
（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．
解决问题
如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．
参考答案
1．解：A、一组数据6，5，8，8，9的众数是8，是真命题；
B、甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则乙组学生的身高较整齐，原命题是假命题；
C、命题“若|a|＝1，则a＝1”是假命题，原命题是假命题；
D、三角形的外角大于任何一个不与它相邻的内角，原命题是假命题；
故选：A．
2．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；
B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；
C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；
D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；
故选：C．
3．解：①5是25的算术平方根，本小题说法是真命题；
②∵（﹣4）2的平方根是±4，
∴本小题说法是假命题；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，本小题说法是真命题；
④∵两直线平行，同旁内角互补，
∴本小题说法是假命题；
故选：C．
4．解：①若a+b＝0，则有a，b互为相反数，当a＝b＝0时，无意义，本小题说法不正确；②∵|a|＞|b|，
∴a2＞b2，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＞0，是正数，本小题说法正确；
③（2a5+a﹣3）+（﹣a5+2a﹣3）+（﹣a5+a2﹣30）＝a2+3a﹣36，
则三个五次多项式的和不一定是五次多项式，本小题说法不正确；
④当a+b+c＜0，abc＞0时，a、b、c两个正数、一个负数或一个正数、两个负数，
则﹣+﹣的结果有两个，本小题说法不正确；
⑤方程ax+b＝0（a，b为常数），当a＝0时，不是关于x的一元一次方程，本小题说法不正确；
故选：D．
5．解：连接AC'，
在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB＝，BC＝1，
∴tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝30°，
∵旋转角为30°，
∴A、B′、C共线．
∴AC＝＝＝2，
∵S阴＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′，
∴S阴＝﹣＝﹣，
故选：B．
6．解：①负数有立方根，原命题是假命题；
②一个实数的算术平方根一定是非负数，原命题是假命题；
③一个正数或负数的立方根与这个数同号，原命题是真命题；
④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0，原命题是真命题；
⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1、﹣1或0，原命题是假命题；
故选：B．
7．解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；
∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．
8．解：因为他们每人只猜对一半，
可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：
明明：甲得第一→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二→乙得第三，成立；
若假设明明说“乙得第二”是正确的，由此进行推导：
明明：乙得第二→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二，矛盾．
所以甲、乙、丙、丁的名次顺序为甲、丙、乙、丁．
故答案为：甲、丙、乙、丁．
9．解：连接OP．
∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣2，0），B（02），
∴OA＝2，OB＝2，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝30°，
∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∴MN＝OP，
∴当OP⊥AB时，MN＝OP的值最小，最小值＝OA?sin30°＝，
故答案为．
10．解：如图，连接AC，AC′．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠DAB＝90°，
∵AB＝2，BC＝，
∴AC＝＝＝，
∵cos∠DAB′＝，
∴∠DAB′＝30°，DB′＝AB′＝1，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝60°，CB′＝CD﹣DB′＝2﹣1＝1，
∴S阴＝S扇形CAC′﹣S△AC′B′﹣S△ACB′＝﹣×2×﹣×1×＝﹣．
故答案为﹣．
11．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∴在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠AFE＝∠BAD+∠FBA＝∠CBE+∠FBA＝∠ABC＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，
如图，
此时∠AOB＝120°，OA＝＝，
所以弧AB的长为：＝．
则点F的运动路径的长度为．
故答案为：．
12．解：如图所示：取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，在
Rt△A1OB1中，∵A1B1＝AB＝8，点OE为斜边中线，
∴OE＝B1E＝A1B1＝4，
又∵B1C1＝BC＝4，
∴C1E＝＝4，
∴点C到原点的最大距离为：OE+C1E＝4+4．
故答案为：4+4．
13．解：已知②EO＝OF；①BO＝DO，结论：③AE＝CF．
理由：在△DOE和△BOF中
，
∴△DOE≌△BOF（SAS），
∴DE＝BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴AE＝FC，
同理可得：已知②EO＝FO，③AE＝CF，结论：①BO＝DO，是真命题；
已知：①BO＝DO，③AE＝CF，结论：②EO＝FO，是真命题，
故答案为：3．
14．解：如图，
连接BE，过点M作MG⊥BE的延长线于点G，
过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，
∵等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴∠K＝45°，
∴△AKB是等腰直角三角形．
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠KAD+∠DAB＝∠BAE+∠DAB＝90°，
∴∠KAD＝∠BAE，
在△ADK和△AEB中，
∴△ADK≌△AEB（SAS），
∴∠ABE＝∠K＝45°，
∴△BMG是等腰直角三角形，
∵AC＝BC＝4，
∴AB＝4，
∵M为AB中点，
∴BM＝2，
∴MG＝BG＝2，∠G＝90°，
∴BM＞MG，
∴当ME＝MG时，ME的值最小，
∴ME＝BE＝2．
故答案为2．
15．解：①如图，连接OA．
∵OA＝OC＝2，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，
∴AE＝OA?sin60°＝，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝，
∴AB＝2AE＝2，
故答案为2．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，
∵OA＝OC，AH＝HC，
∴OH⊥AC，
∴∠AHO＝90°，
∵∠COH＝30°，
∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，
∵CF⊥AP，
∴∠AFC＝90°，
∴HF＝AC＝，
∴OF≥FH﹣OH，即OF≤﹣1，
∴OF的最小值为﹣1．
故答案为﹣1．
16．解：第一次转动是以点M为圆心，AM为半径，圆心角是60度
所以弧AA1的长＝＝π，
第二次转动是以点N为圆心，A′N为半径圆心角为90度，
所以弧A′A″的长＝＝π，
所以总长为π．
故答案为π．
17．解：（1）总变化量：7﹣（﹣7）＝14，
次数（至少）：14÷2＝7，
故答案为：7；
（2）①两张由反到正，变化：2×[1﹣（﹣1）]＝4，
②两张由正到反，变化：2×（﹣1﹣1）＝﹣4，
③一正一反变一反一正，变化﹣1﹣1+1﹣（﹣1）＝0，
不能全正，
总变化量仍为14，无法由4，﹣4，0组成，
故不能所有纸牌全正；
故答案为：14；
（3）由题可知：0＜n≤7．
①当n＝1时，由（1）可知能够做到，
②当n＝2时，由（2）可知无法做到，
③当n＝3时，总和变化量为6，﹣6，2，﹣2，
14＝6+6+2，
故n＝3可以，
④当n＝4时，总和变化量为8，﹣8，4，﹣4，0，
14无法由8，﹣8，4，﹣4，0组成，
故＝4不可以，
⑤当n＝5时，总和变化量为10，﹣10，6，﹣6，2，﹣2，
14＝10+2+2，
故n＝5可以，
⑥当n＝6时，总和变化量为12，﹣12，8，﹣8，4，﹣4，0，
无法组合，
故n＝6不可以，
⑦当n＝7时，一次全翻完，可以，
故n＝1，3，5，7时，可以．
18．解：（1）结论：EG⊥FG；
理由：如图1中，∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴，，
∴．
在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，
∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，
∴EG⊥FG．
故答案为EG⊥GF．
（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，
∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，
∴∠BEM+∠MFD＝（∠BEG+∠DFG）＝45°，
∴∠M＝∠BEM+∠MFD＝45°，
B．如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，
∴∠EOF＝2∠EPF，
故答案为A或B，45°，∠EOF＝2∠EPF．
19．解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACE＝∠ACF，
在△ACE与△ACF中
，
∴△ACE≌△ACF（SAS），
∴AE＝AF，
（2）当AE＝AF＝AF'时，CE≠CF'，如备用图，
所以命题“若AE＝AF，则CE＝CF”是假命题．
20．解：理解应用
（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题；
②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；
故答案为：真命题，假命题；
（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC＝∠PBC，
∴∠BPC＝∠ABP+∠PBC+∠ACP＝∠ABC+∠ACP；
解决问题
如图②，连接PB，PC
∵P为△ABC的角平分线的交点，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∵P为△ABC的等角点，
∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠A，
又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，
∴∠A＝，
∴该三角形三个内角的度数分别为，，2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练21：三角形（含答案）
一、知识要点：
1、三角形的基本概念
(1)三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
(2)三角形的分类
①按边之间的关系分：
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；
有两边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都相等的三角形叫做等边三角形。
②按角分类：
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
(3)三角形的三边之间的关系
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
(4)三角形的高、中线、角平分线
(5)三角形的稳定性
(6)三角形的角
①三角形的内角和等于180°。
推论：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。
②三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的外角和等于360°。
2、特殊三角形
(1)等腰三角形
①等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)；
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)。
②等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)。
(2)等边三角形
①等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。
②等边三角形的判定
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
(3)直角三角形
①在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
②勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
③勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
课标要求：
1、理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。
2、探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。
3、了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
4、探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形。
5、了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。6、探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
三、常见考点：
1、三角形的概念、三边关系、内角和、外角与内角的关系、稳定性。
2、三角形的高、中线、角平分线及对应的性质。
3、等腰三角形的性质及判定，等边三角形的性质及判定。
4、直角三角形的概念、性质，勾股定理及其逆定理。
5、三角形相关性质的综合应用。
四、专题训练：
1．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积为16，则△BEF的面积是（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
2．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AD⊥BE，若AO：OD＝2：1，BO：OE＝2：1，那么AB的长为（　　）
A．
B．5
C．
D．
3．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
4．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠ACD的度数为（　　）
A．55°
B．60°
C．65°
D．75°
5．将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是（　　）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
6．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：其中正确的结论有（　　）
①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN；⑤△AFN≌△AEM．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
7．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（　　）
A．3
B．5
C．6
D．7
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
9．在△ABC中，点M，N分别是边AC和BC的中点，△CMN的面积等于1，则四边形MNBA的面积是　
　．
10．如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝　
　．
11．在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是　
　．
12．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为　
　度．
13．如图，在?ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F；点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为　
　．
14．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝9厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为　
　．
15．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝　
　°．
16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长度为　
　．
17．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．
（1）△ABC的面积为：
（2）若△DEF三边的长分别为、2、，请在图①的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积．
（3）利用第（2）小题解题方法完成下题：如图②，一个六边形绿化区ABCDEF被分割成7个部分，其中正方形ABQP，CDRQ，EFPR的面积分别为13，20，29，且△PQR、△BCQ、△DER、△APF的面积相等，求六边形绿化区ABCDEF的面积．
18．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2
如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝
证明：连结ED．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
结论应用：在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．
（1）如图②，若?ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为　
　．
（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则?ABCD的面积为　
　．
19．（1）如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝68°，则∠A＝　
　．
（2）方程2x﹣1＝7的根是　
　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
21．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，高相等；
∴S△BEF＝S△BEC，
同理得，S△DEC＝S△ADC，S△DEB＝S△ADB，
∴S△EBC＝S△ABC，
∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝16，
∴S△BEF＝4，
即阴影部分的面积为4．
故选：B．
2．解：∵AO：OD＝2：1，BO：OE＝2：1，
根据三角形的重心可知：
点O是△ABC的重心，
∴点D、E是BC、AC的中点，
∴AE＝AC＝
BD＝BC＝2
设OD＝x，则AO＝2x，
设OE＝y，则BO＝2y，
∵AD⊥BE，
∴在Rt△AOE和Rt△BOD中，根据勾股定理，得
AO2+OE2＝AE2，BO2+OD2＝BD2
即4x2+y2＝①
4y2+x2＝4②
①+②得x2+y2＝
在Rt△AOB中，
AB＝＝＝2＝
答：AB的长为．
故选：A．
3．解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B．
4．解：∵DE∥BC，
∴∠E＝∠ECB＝30°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，
∵∠ECD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣15°＝75°，
故选：D．
5．解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，
∴∠ACB＝45°．
∵∠EDF＝90°，∠F＝60°，
∴∠DEF＝30°．
∵EF∥BC，
∴∠EDC＝∠DEF＝30°，
∴∠CED＝∠ACB﹣∠EDC＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
6．解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴BE＝CF，AF＝AE，故②正确，
∠BAE＝∠CAF，
∠BAE﹣∠BAC＝∠CAF﹣∠BAC，
∴∠1＝∠2，故①正确，
∵△ABE≌△ACF，
∴AB＝AC，
又∠BAC＝∠CAB，∠B＝∠C
△ACN≌△ABM（ASA），故③正确，
CD＝DN不能证明成立，故④错误
∵∠1＝∠2，∠F＝∠E，AF＝AE，
∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正确，
故选：C．
7．解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝4，BF＝DE＝3，
∵EF＝2，
∴AD＝AF+DF＝4+（3﹣2）＝5，
故选：B．
8．解：当DP⊥BC时，DP的长最小，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∵∠A＝90°，∠ADB＝∠C，∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠BDC+∠C+∠CBD＝180°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠A＝90°，
∴当DP⊥BC时，DP＝AD，
∵AD＝4，
∴DP的最小值是4，
故选：A．
9．解：∵M，N分别为AC，BC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN∥AB，且AB＝2MN，
∴△CMN∽△CAB，
∴＝（）2＝4，
∴S△CAB＝4S△CMN＝4，
∴S四边形ABNM＝S△CAB﹣S△CMN＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
10．解：∵点F是△ABC的重心，
∴BF＝2EF，
∴BE＝3EF，
∵FG∥BC，
∴△EFG∽△EBC，
∴＝，＝（）2＝，
∴S1：S2＝；
故答案为：．
11．解：作△ABC的外接圆，如图所示：
∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，
当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，
∵∠C＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，
∴AC＝，
∴BC＝；
当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，
∵∠BAC＞∠ABC，
∴BC长的取值范围是4＜BC≤；
故答案为：4＜BC≤．
12．解：分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝30°，
∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，
∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，
综上，则∠BCD的度数为60°或10°；
故答案为：60或10；
13．解：①当BM＝AB时，设AB＝AC＝m，则BM＝m，
∵O是两条对角线的交点，
∴OA＝OC＝AC＝m，
∵∠B＝30°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝30°，
∵EF⊥AC，
∴cos∠ACB＝，即cos30°＝，
∴FC＝m，
∵AE∥FC，
∴∠EAC＝∠FCA，
又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE＝FC＝m，
∴OE＝AE＝m，
∴S△AOE＝OA?OE＝××m＝m2，
作AN⊥BC于N，
∵AB＝AC，
∴BN＝CN＝BC，
∵BN＝AB＝m，
∴BC＝m，
∴BF＝BC﹣FC＝m﹣m＝m，
作MH⊥BC于H，
∵∠B＝30°，
∴MH＝BM＝m，
∴S△BMF＝BF?MH＝×m×m＝m2，
∴＝＝．
②当BM＝AB时，同法可得＝
故答案为或．
14．解：∵△ABC中，AB＝AC＝12厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝6厘米，
若△BPD≌△CPQ，则需BD＝CQ＝6厘米，BP＝CP＝BC＝×9＝4.5（厘米），
∵点Q的运动速度为3厘米/秒，
∴点Q的运动时间为：6÷3＝2（s），
∴v＝4.5÷2＝2.25（厘米/秒）；
若△BPD≌△CQP，则需CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，
∴，
解得：v＝3；
∴v的值为：2.25或3，
故答案为：2.25或3
15．解：在Rt△AEC和Rt△DAB中
∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠EAC+∠ABD＝90°，
∴∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，
∴∠ACD+∠BDC＝90°，
故答案为90．
16．解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC＝∠BDF＝∠AEB＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠C+∠DBF＝90°，
∴∠DAC＝∠DBF，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴CD＝FD＝3，AD＝BD＝8，
∵CD＝3，BD＝8，
∴AD＝8，DF＝3，
∴AF＝AD﹣FD＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
17．解：（1）S△ABC＝3×3﹣×3×1﹣×2×1﹣×3×2＝3.5；
（2）S△DEF＝4×5﹣×2×3﹣×2×4﹣×2×5＝8；
（3）由（2）可知S△PQR＝8，
∴六边形花坛ABCDEF的面积为：
S正方形ABQP+S正方形RQDC+S正方形EFPR+4S△PQR＝13+20+29+8×4＝94．
18．教材呈现：
证明：如图①，连结ED．
∵在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴＝＝＝2，
∴＝＝3，
∴＝＝；
结论应用：
（1）解：如图②．
∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，
∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，
∴△BEF∽△DAF，
∴＝＝，
∴BF＝DF，
∴BF＝BD，
∵BO＝BD，
∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，
∵正方形ABCD中，AB＝6，
∴BD＝6，
∴OF＝．
故答案为；
（2）解：如图③，连接OE．
由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，
∴＝2．
∵△BEF与△OEF的高相同，
∴△BEF与△OEF的面积比＝＝2，
同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，
∴△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，
∴△BOC的面积＝，
∴?ABCD的面积＝4×＝6．
故答案为6．
19．解：（1）∵∠B＝32°，∠C＝68°，
∴∠A＝180°﹣32°﹣68°＝80°，
故答案为：80°；
（2）2x﹣1＝7，
移项得：2x＝7+1，
合并同类项得：2x＝8，
把x的系数化为1得：x＝4，
故答案为：4．
20．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°．
21．解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
又∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
，
解得；
综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练30：数据的收集与整理（含答案）
一、知识要点：
1、全面调查与抽样调查
全面调查：考察全体对象的调查叫做全面调查。
抽样调查：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种调查方法叫做抽样调查。
2、总体、个体及样本
总体是要考察的全体对象。其中每一个考察对象叫做个体。
当总体中个体数目较多时，一般从总体中抽取一部分个体，这部分个体叫做总体的样本。样本中个体的数目叫做样本容量。
3、常见统计图表
直方图、扇形图、条形图、折线图。
二、课标要求：
1、经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据。
2、体会抽样的必要性，通过实例了解简单随机抽样。
3、会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据。
4、通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息。
5、体会样本与总体的关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。
6、能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流。
7、通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势。
三、常见考点：
1、全面调查与抽样调查，样本与样本容量，频数和频数分布。
2、常见统计图及相应的计算，会画统计图。3、用样本估计总体。
四、专题训练：
1．为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下抽样调查最合适的是（　　）
A．企业男员工
B．企业新进员工
C．企业50岁以下的员工
D．用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工
2．布袋里有几百个乒乓球，想要估计球的数量，可以先从口袋中拿出一百个球，做上标记后放回布袋中混合均匀，若再从中任意摸出30个球，统计发现有标记的球有10个，则布袋中乒乓球数可能有（　　）
A．200个
B．300个
C．400个
D．500个
3．某校九年级随机抽查一部分学生进行了1分钟仰卧起坐次数的测试，并将其绘制成如图所示的频数直方图．那么仰卧起坐次数在25～30次的人数占抽查总人数的百分比是（　　）
A．40%
B．30%
C．20%
D．10%
4．某校八（1）班全体同学喜欢的球类运动如图所示．则从图中可以直接看出（　　）
A．喜欢各种球类的具体人数
B．全班同学一学期来喜欢各种球类的变化情况
C．全班的总人数
D．全班同学现在喜欢各种球类人数的百分比
5．2020年10月16日是第40个世界粮食日，某校学生会开展了“光盘行动，从我做起”的活动，对随机抽取的100名学生的在校午餐剩余量进行调查，结果有86名学生做到“光盘”，那么下列说法不合理的是（　　）
A．个体是每名学生是否做到光盘
B．样本容量是100
C．全校只有14名学生没有做到“光盘”
D．全校约有86%的学生做到“光盘”
6．某校去年有2500人参加中考．为了解他们的体育成绩，随机从中抽取200名考生，其中有80名考生的体育成绩达到优秀，那么该校去年中考考生的体育成绩达到优秀的人数约有（　　）
A．2000人
B．1000人
C．200人
D．80人
7．一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，16，20，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为（　　）
A．20
B．22
C．24
D．30
8．某校为丰富学生的课余生活成立了兴趣小组，学生会对全校400名学生各自最喜欢的兴趣小组进行问卷调查后（每人选一种），绘制成如图所示的扇形统计图，选择球类的人数为（　　）
A．40人
B．60人
C．80人
D．100人
9．某校为了举办“庆祝建军90周年”活动，调查了本校所有学生，调查的结果如图，根据图中给出的信息，这所学校赞成举办演讲比赛的学生有　
　人．
10．某人为了估计自己鱼塘中的鱼的数量，从鱼塘中随机捕获100条鱼，在每条鱼的身上做好记号后又把这些鱼放归鱼塘．过一段时间后，他再从鱼塘中随机打捞100条鱼，发现其中25条鱼有记号，则鱼塘中鱼的总数大约为　
　．
11．某校对600名男生的身高进行了测量，身高在1.68米～1.73米，这一小组的频率为0.2，则该组共有　
　人．
12．某校为了举办“迎国庆”的活动，调查了本校所有学生，调查的结果被整理成如图所示的扇形统计图．如果全校学生人数是1200人，根据图中给出的信息，这所学校赞成举办演讲比赛的学生有　
　人．
13．如图，反映的是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的频数（人数）分布直方图（部分）和扇形分布图，那么扇形图中步行的学生人数所占的圆心角是　
　．
14．某校为了考察该校九年级学生的视力情况，从九年级的10个班级共450名学生中，每班抽取了5名进行分析．在这个问题中，样本是　
　．
15．为丰富体育课堂，学校决定开设“A：踢毽子，B：篮球，C：跳绳，D：乒乓球”（如图）四项运动项目（每位同学必须选择一项），为了解学生最喜欢哪一项运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图的统计图，则参加调查的学生中最喜欢眺绳运动项目的学生人数为　
　．
16．某校九年级共有630名学生，为了解他们上周六居家进行体育活动的时间，从中随机抽取部分学生参与问卷调查．问卷调查的数据如下表（单位：h），并绘制了不完整的扇形统计图．
活动时间
0.8
1.0
1.2
1.5
2.0
人数
5
a
b
18
c
请根据图表信息，解决问题：
（1）参与本次问卷调查的学生人数为　
　，扇形统计图中m的值为　
　；
（2）已知这组数据的中位数是1.35，估计该校九年级学生上周六居家进行体育活动的平均时间．
17．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．该小组随机对某超市一周内某些时段购买者的支付方式进行调查统计，得到两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了　
　名购买者；
（2）在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为　
　度；
（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
18．某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数（含驾驶员）进行了随机调查，根据每车乘坐人数，把乘坐1人、2人、3人、4人、5人的车分别记为A，B，C，D，E五类，由调查所得数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的小型汽车共　
　辆，扇形统计图中A类对应的圆心角度数为　
　，E类对应的圆心角度数为　
　．
（2）补全条形统计图；
（3）若某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆，请你估计其中只乘坐1人的小型汽车数量．
19．某校初二年段进行了中考体育项目长跑的模拟测试，从中抽取部分学生的成绩等级进行统计，根据成绩等级绘制成如图所示的两个统计图（不完整）．
请结合统计图完成下列各题：
（1）此次共抽取了多少名学生的成绩？
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）求在扇形统计图中，成绩“合格”类所对应的圆心角度数．
20．在新冠肺炎疫情期间，某市防控指挥部想了解各学校教职工参与志愿服务的情况．在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题：
志愿服务时间（小时）
频数
A
0＜x≤30
a
B
30＜x≤60
10
C
60＜x≤90
16
D
90＜x≤120
20
（1）本次被抽取的教职工共有　
　名；
（2）表中a＝　
　，扇形统计图中“C”部分所占百分比为　
　%；
（3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为　
　°；
（4）若该市共有30000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工大约有多少人？
21．某年级组织部分学生参加语文、数学、英语课外活动兴趣小组，如图两辐统计图反映了学生自愿报名（每人限报一科）的情况，请你根据图中信息回答下列问题：
（1）该年级报名参加英语课外活动兴趣小组的人数占全年级人数的百分数是　
　，请补全条形统计图；
（2）根据实际情况，需从英语课外活动小组抽调部分同学到数学课外活动小组，使数学课外活动小组的人数是英语课外活动小组人数的3倍，则应从中抽调多少名学生？
22．某校学生会向全校3000名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图：
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生人数为　
　；
（2）图1中m的值是　
　，并补全条形统计图；
（3）本次调查获取的样本数据的众数是　
　，中位数是　
　；
（4）根据样本数据，估计该校本次活动一共捐款多少元？
23．初中学生对待学习的态度一直是教育工作者极为关注的一个问题．为此县教育局对我县部分学校的七年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：喜欢；B级：不太喜欢；C级：不喜欢），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了　
　名学生；
（2）将图①补充完整，并求出图②中C级所占的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，请你估计我县近18000名七年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？
24．疫情期间，某学校根据同学学习情况，计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并通过计算补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生4800人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
参考答案
1．解：为调查某大型企业员工对企业的满意程度，样本最具代表性的是：用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工．
故选：D．
2．解：设布袋中乒乓球数可能有x个，根据题意得
＝，
解得x＝300．
答：布袋中乒乓球数可能有300个．
故选：B．
3．解：仰卧起坐次数在25～30次的人数占抽查总人数的百分比是×100%＝40%，
故选：A．
4．解：因为扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，不能反映具体数量的多少和变化情况，
所以A、B、C都错误，
故选：D．
5．解：A、个体是每一名学生是否做到做到“光盘”情况，故A不合题意；
B、样本容量是100，故B不合题意；
C、样本中有14名学生没有做到“光盘”，故C符合题意；
D、全校约有86%的学生做到“光盘”，故D不合题意；
故选：C．
6．解：∵抽取200名考生的体育成绩，其中有80名考生的体育成绩达到优秀，
∴该校考生的优秀率是：×100%＝40%，
∴该校去年中考考生的体育成绩达到优秀的人数约有：2500×40%＝1000（名）．
故选：B．
7．解：∵一组数据共100个，第5组的频率为0.20，
∴第5组的频数是：100×0.20＝20，
∵一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，16，20，
∴第6组的频数为：100﹣20﹣10﹣14﹣16﹣20＝20．
故选：A．
8．解：选择球类的人数为400×25%＝100（人），
故选：D．
9．解：由题意可得，
本次调查的人数为：160÷40%＝400，
则这所学校赞成举办演讲比赛的学生有：400×（1﹣40%﹣37.5%）＝400×22.5%＝90（人），
故答案为：90．
10．解：∵池塘中有记号的鱼所占的百分比为：×100%＝25%，
∴池塘中共有鱼100÷25%＝400（条）．
故答案为：400条．
11．解：根据题意知该组的人数为：600×0.2＝120（人），
故答案为：120．
12．解：由统计图可得，
这所学校赞成举办演讲比赛的学生有：1200×（1﹣40%﹣35%）＝1200×25%＝300（人），
故答案为：300．
13．解：根据题意可知：
20÷50%＝40（人），
12÷40＝0.3，
∴y＝30，
∴x＝20，
∴0.2×360°＝72°．
所以扇形图中步行的学生人数所占的圆心角是72°．
故答案为：72°
14．解：某校为了考察该校九年级学生的视力情况，从九年级的10个班级共450名学生中，每班抽取了5名进行分析．在这个问题中，样本是从中抽取50名学生的视力情况．
故答案为：从中抽取50名学生的视力情况．
15．解：抽取的总人数是：80÷40%＝200（人），
参加调查的学生中最喜欢眺绳运动项目的学生人数为：200﹣80﹣30﹣50＝40（人）；
故答案为：40人．
16．解：（1）参与本次问卷调查的学生人数为5÷10%＝50（人），
∵×100%＝36%，
∴扇形统计图中m的值为36，
故答案为：50人，36；
（2）∵a＝50×20%＝10，中位数是1.35，
∴b＝25﹣5﹣10＝10，
则c＝50﹣（5+10+10+18）＝7，
估计该校九年级学生上周六居家进行体育活动的平均时间为＝1.42（h）．
17．解：（1）本次调查购买者人数为：56÷28%＝200（人），
故答案为：200；
（2）D方式支付的有：200×20%＝40（人），
A方式支付的有：200﹣56﹣44﹣40＝60（人），
所以在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）1600×＝928（名），
答：使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．
18．解：（1）由图象可得，
本次调查的小型汽车共32÷20%＝160（辆），
扇形统计图中A类对应的圆心角度数为：360°×＝108°，
E类对应的圆心角度数为360°×＝18°，
故答案为：160，108°，18°；
（2）B类有：160×35%＝56（辆），D类有：160﹣48﹣56﹣32﹣8＝16（辆），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）5000×＝1500（辆），
答：估计其中只乘坐1人的小型汽车的有1500辆．
19．解：（1）42÷35%＝120（名），
即此次共抽取了120名学生的成绩；
（2）成绩为优秀的学生有：120﹣42﹣48﹣6＝24（人），
补全完整的条形统计图如右图所示；
（3）360°×＝144°，
即在扇形统计图中，成绩“合格”类所对应的圆心角度数是144°．
20．解：（1）本次被抽取的教职工共有10÷20%＝50（名），
故答案为：50；
（2）a＝50﹣（10+16+20）＝4，
扇形统计图中“C”部分所占百分比为×100%＝32%，
故答案为：4，32；
（3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝144°，
故答案为：144；
（4）志愿服务时间多于60小时的教职工大约有30000×＝21600（人）．
21．解：（1）∵参加数学的学生有25人，占总体的50%，
∴总人数为：25÷50%＝50（人），
∴参加英语课外活动兴趣小组的人数占全年级人数的百分数是×100%＝30%，
参加语文课外活动兴趣小组的人数有：50﹣15﹣25＝10（人），补全统计图如下：
（2）设需从英语组抽调x名同学到数学组，根据题意得：
3（15﹣x）＝25+x，
解得：x＝5．
答：应从中抽调5名学生．
22．解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为：4÷8%＝50（人）．
故答案为：50；
（2）50﹣4﹣12﹣10﹣8＝16（人），
m%＝×100%＝32%，即m＝32，
补全统计图如下：
故答案为：32；
（3）∵10元出现了16次，出现的次数最多，
∴本次调查获取的样本数据的众数是：10元，
把这些数从小到大进行排列，因为共有50人，中位数是第25、26个数的平均数，
则本次调查获取的样本数据的中位数是：＝15（元）．
故答案为：10元，15元；
（4）×（4×5+16×10+12×15+10×20+8×30）×3000＝48000（元），
答：估计该校本次活动一共捐款48000元．
23．解：（1）50÷25%＝200（名），
答：共调查了200名学生．
故答案为：200；
（2）C级的人数有：200﹣50﹣120＝30（名），补全统计图如下：
．
图②中C级所占的圆心角的度数是：360×（1﹣25%﹣60%）＝54°．
（3）18000×（25%+60%）＝15300（名），
答：估计我县近18000名七年级学生中大约有15300名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）．
24．解：（1）18÷20%＝90（人），
故答案为：90；
（2）90﹣18﹣12﹣24＝36（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）4800×＝1280（人），
答：该校4800名学生中对在线阅读最感兴趣的学生人数大约有1280人2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练13：一次函数（含答案）
一、知识要点：
1、定义
定义1：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
定义2：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
2、一次函数的图象及其性质
正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。
y=kx
经过象限
升降趋势
增减性
k＞0
三、一
从左向右上升
y随着x的增大而增大
k＜0
二、四
从左向右下降
y随着x的增大而减小
一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。
y=kx+b
经过象限
升降趋势
增减性
k＞0，b＞0
三、二、一
从左向右上升
y随着x的增大而增大
k＞0，b＜0
三、四、一
k＜0，b＞0
二、一、四
从左向右下降
y随着x的增大而减小
k＜0，b＜0
二、三、四
3、待定系数法
定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
4、一次函数与方程(组)及不等式(组)
方程(组)的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程(组)的解，反之一样。对于不等式(组)的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。
5、一次函数与实际问题
在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审、二设、三列、四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变量。根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
二、课标要求：
1、结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式。
2、会利用待定系数法确定一次函数的表达式。
3、能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式
y
=
kx
+
b
(k≠0)探索并理解k
>
0和k<0时，图象的变化情况。
4、理解正比例函数。
5、体会一次函数与二元一次方程的关系。
6、能用一次函数解决简单实际问题。
三、常见考点：
1、结合已知条件确定一次函数的表达式，利用待定系数法求一次函数的解析式。
2、一次函数的图象及性质，一次函数与一次方程(组)、不等式(组)的关系。
3、一次函数与实际问题，一次函数与综合问题。
四、专题训练：
1．点M（﹣1，a）和点N（﹣3，b）是一次函数y＝﹣2x+m图象上的两点，则（　　）
A．a＞b
B．a＝b
C．a＜b
D．无法确定
2．已知一次函数的图象与直线y＝﹣2x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（　　）
A．y＝2x﹣14
B．y﹣＝﹣2x+18
C．y＝4x
D．y＝﹣2x+12
3．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式k（x+1）+b＜2的解集为（　　）
A．x＞﹣4
B．x＜﹣4
C．x＞﹣3
D．x＜0
4．一次函数y＝2x﹣1与y＝x+1的图象交点坐标为（　　）
A．（﹣2，3）
B．（2，﹣3）
C．（2，3）
D．（﹣2，﹣3）
5．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则（　　）
A．k＞0，b＞0
B．k＞0，b＜0
C．k＜0，b＜0
D．k＜0，b＞0
6．如图，一次函数y＝x﹣4的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，过点A作直线l将△ABO分成周长相等的两部分，则直线l的函数表达式为（　　）
A．y＝2x﹣6
B．y＝2x﹣3
C．
D．y＝x﹣3
7．如图，若弹簧的总长度y（cm）是关于所挂重物x（kg）的一次函数y＝kx+b，则不挂重物时，弹簧的长度是（　　）
A．5cm
B．8cm
C．9cm
D．10cm
8．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，若a+b＝4，W＝3a﹣2b，则W的最小值为（　　）
A．2
B．1
C．﹣3
D．﹣5
9．若函数y＝4x﹣1与y＝﹣x+a的图象交于x轴上一点，则a的值为（　　）
A．4
B．﹣4
C．
D．±4
10．已知正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣2，5），点M在正比例函数y＝kx的图象上，点B（3，0），且S△ABM＝10，则点M的坐标为　
　．
11．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为　
　．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0），点B（0，2），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为　
　．
13．在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y＝x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为　
　．
14．点（m，n）在直线y＝3x﹣2上，则代数式2n﹣6m+1的值是　
　．
15．正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按如图所示的方式放置，点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B2021的坐标是　
　．（答案不需要化简）
16．如图，直线y＝2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是第二象限内一点，△ABC为等腰直角三角形且∠C＝90°，则直线BC的解析式为　
　．
17．直线ax+y﹣2a+1＝0与直线（a+2）x﹣ay+3＝0垂直，则a的值为　
　．
18．在平面直角坐标系xOy中，将函数y＝3x+3图象向右平移5个单位长度，则平移后的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，则△AOB的面积为　
　．
19．某工厂计划每天生产甲、乙两种型号的口罩共8000个，每生产一个甲种型号的口罩可获得利润0.5元，每生产一个乙种型号的口罩可获得利润0.3元．设该工厂每天生产甲种型号的口罩x个，生产甲、乙两种型号的口罩每天获得的总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若每生产1个甲种型号的口罩需要A原料2g，每生产1个乙种型号的口罩需要A原料1g，受市场影响，该厂每天能购进的A原料至多为10000g，其他原料充足．问：该工厂每天生产甲、乙两种型号的口罩各多少个时，能获得最大利润？
20．八年级数学兴趣小组的同学在一起研究数学问题：已知直线y＝2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC，请你参与解决以下问题：
（1）如图1，请求出点C的坐标；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，设△ABC的面积为S1，△ADE的面积为S2，请判断S1与S2的大小关系，并说明理由；
（3）如图3，设直线AC交x轴于M，P（﹣2.5，k）是线段BC上一点，在线段BM是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）．
（1）求点D和点C的坐标；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解．
23．如图，直线l1：y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于点D，点A，直线l2：y＝x+1与x轴交于点C，两直线l1，l2相交于点B，连AC．
（1）求点B的坐标和直线AC的解析式；
（2）求△ABC的面积．
24．如图，直线y＝2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y＝﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y＝2x+m（m＞0）相交于点D，若AB＝4．
（1）求点D的坐标；
（2）求出四边形AOCD的面积；
（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．
参考答案
1．点M（﹣1，a）和点N（﹣3，b）是一次函数y＝﹣2x+m图象上的两点，则（　　）
A．a＞b
B．a＝b
C．a＜b
D．无法确定
分析直接利用一次函数增减性分析得出答案．
解：y＝﹣2x+m，k＝﹣2＜0，
故y随x的增大而减小，
∵﹣1＞﹣3，
∴a＜b，
故选：C．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，正确掌握一次函数增减性是解题关键．
2．已知一次函数的图象与直线y＝﹣2x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（　　）
A．y＝2x﹣14
B．y﹣＝﹣2x+18
C．y＝4x
D．y＝﹣2x+12
分析由设所求一次函数的解析式为
y＝kx+b，函数的图象与直线y＝﹣2x+1平行，可得k＝﹣2，将点（8，2）代入即可人求解．
解：设所求一次函数的解析式为
y＝kx+b，
∵函数的图象与直线y＝﹣2x+1平行，
∴k＝﹣2，
又过点（8，2），有2＝﹣2×8+b，
解得b＝18，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+18，
故选：B．
本题考查了两条直线相交或平行问题，属于基础题，关键掌握当k相同，且b不相等，图象平行．
3．如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式k（x+1）+b＜2的解集为（　　）
A．x＞﹣4
B．x＜﹣4
C．x＞﹣3
D．x＜0
分析一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝k（x+1）+b的值小于2的自变量x的取值范围．
解：∵函数y＝kx+b图像向左平移1个单位得到平移后的解析式为y＝k（x+1）+b，
∴A（﹣3，2）向左平移1个单位得到对应点为（﹣4，2），
关于x的不等式k（x+1）+b＜2的解集为x＞﹣4，
故选：A．
本题考查一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
4．一次函数y＝2x﹣1与y＝x+1的图象交点坐标为（　　）
A．（﹣2，3）
B．（2，﹣3）
C．（2，3）
D．（﹣2，﹣3）
分析联立两函数解析式，解方程组即可．
解：联立解得：，
∴函数y＝2x﹣1与y＝x+1的图象的交点坐标为（2，3）．
故选：C．
本题考查了两直线的交点的求解，联立两直线解析式解方程组即可，比较简单．
5．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则（　　）
A．k＞0，b＞0
B．k＞0，b＜0
C．k＜0，b＜0
D．k＜0，b＞0
分析根据一次函数的性质和一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，可以得到k、b的正负情况，从而可以解答本题．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故选：D．
本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
6．如图，一次函数y＝x﹣4的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，过点A作直线l将△ABO分成周长相等的两部分，则直线l的函数表达式为（　　）
A．y＝2x﹣6
B．y＝2x﹣3
C．
D．y＝x﹣3
分析如图，直线AC把△ABO分成周长相等的两部分，则AO+OC＝AB+BC，利用直线AB的解析式求出B（0，﹣4），A（3，0），则AB＝5，则利用AO+OC＝AB+BC可求出OC＝3，所以C（0，﹣3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式即可．
解：如图，直线AC把△ABO分成周长相等的两部分，则AO+OC＝AB+BC，
当x＝0时，y＝x﹣4＝﹣4，则B（0，﹣4），
∴OB＝4，
当y＝0时，x﹣4＝0，解得x＝3，则A（3，0），
∴OA＝3，
∴AB＝＝5，
∵AO+OC＝AB+BC，
∴3+OC＝5+4﹣OC，解得OC＝3，
∴C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），C（0，﹣3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣3．
故选：D．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
7．如图，若弹簧的总长度y（cm）是关于所挂重物x（kg）的一次函数y＝kx+b，则不挂重物时，弹簧的长度是（　　）
A．5cm
B．8cm
C．9cm
D．10cm
分析利用待定系数法求解一次函数的关系，再令x＝0计算即可求解不挂重物时弹簧的长度．
解：将（4，10），（20，18）代入y＝kx+b，得
，
解得，
∴，
当x＝0时，y＝8，
∴不挂重物时，弹簧的长度是8cm．
故选：B．
本题主要考查一次函数的应用，运用待定系数法求解一次函数关系式是解题的关键．
8．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，若a+b＝4，W＝3a﹣2b，则W的最小值为（　　）
A．2
B．1
C．﹣3
D．﹣5
分析根据关于x，y的方程组的解都为非负数，可以求得a的取值范围，再根据a+b＝4，W＝3a﹣2b和一次函数的性质，可以得到W的最小值．
解：由方程组可得，，
∵关于x，y的方程组的解都为非负数，
∴，
解得，1≤a≤3，
∵a+b＝4，W＝3a﹣2b，
∴b＝4﹣a，
∴W＝3a﹣2（4﹣a）＝5a﹣8，
∴W随a的增大而增大，
∴当a＝1时，W取得最小值，此时W＝﹣3，
故选：C．
本题考查一次函数的性质、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
9．若函数y＝4x﹣1与y＝﹣x+a的图象交于x轴上一点，则a的值为（　　）
A．4
B．﹣4
C．
D．±4
分析因为两函数相交于x轴上一点，所以令两方程中y＝0，分别解得x，令其相等即可．
解：∵函数y＝4x﹣1与y＝﹣x+a的图象交于x轴上一点，
∴令两方程中y＝0，即4x﹣1＝0，
解得：x＝，
把（，0）代入y＝﹣x+a，
解得：a＝，
故选：C．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，是基础题型，关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征．
10．已知正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣2，5），点M在正比例函数y＝kx的图象上，点B（3，0），且S△ABM＝10，则点M的坐标为　、　．
分析求出正比例函数的解析式，设M（m，﹣m），分点M在x轴的下方或上方，两种情形分别构建方程求解即可．
解：∵y＝kx经过点A（﹣2，5），
∴k＝﹣，
∴y＝﹣x，
如图，设M（m，﹣m），
由题意：×3×5+×3×m＝10或×3×（﹣m）﹣×3×5＝10，
解得m＝或﹣，
∴M（，﹣）或（﹣，）．
故答案为：M（，﹣）或（﹣，）．
本题考查一次函数图像上的点的特征，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
11．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为　（﹣6，0）或（，0）　．
分析根据勾股定理得到AB＝5，如图1，当点A落在y轴的正半轴上时，如图2，当点A落在y轴的负半轴上时，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
如图1，当点A落在y轴的正半轴上时，
设点C的坐标为（m，0），
∵将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，
∴A′O＝3+5＝8，A′C＝AC＝4﹣m，
∵A′C2＝OC2+A′O2，
∴（4﹣m）2＝m2+82，
∴m＝﹣6；
如图2，当点A落在y轴的负半轴上时，
设点C的坐标为（m，0），
∵将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，
∴A′O＝5﹣3＝2，A′C＝AC＝4﹣m，
∵A′C2＝OC2+A′O2，
∴（4﹣m）2＝m2+22，
∴m＝；
综上所述，当点A落在y轴上时，点C的坐标为（﹣6，0）或（，0），
故答案为：（﹣6，0）或（，0）．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0），点B（0，2），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为　（3，﹣4）　．
分析将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，求出D的坐标，取AD的中点K，求出K的坐标，求出直线BK的解析式，直线BK与直线y＝﹣x﹣1的交点即为点P．求出直线BK的解析式，利用方程组确定交点P坐标即可．
解：将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∵则D（﹣2，﹣4），
取AD的中点K（2，﹣2），
直线BK与直线y＝﹣x﹣1的交点即为点P．
设直线BK的解析式为y＝kx+b，
把B和K的坐标代入得：，
解得：k＝﹣2，b＝2，
则直线BK的解析式是y＝﹣2x+2，
由，解得，
∴点P坐标为（3，﹣4），
故答案为：（3，﹣4）．
本题考查一次函数图象上的点的特征，等腰直角三角形的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
13．在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y＝x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为　　．
分析作A点关于直线y＝x的对称点A′，连接A′B，交直线y＝x于点P，此时PA+PB最小，利用一次函数图象上点的坐标性质得出OA′＝1，进而利用勾股定理得出即可．
解：如图所示：作A点关于直线y＝x的对称点A′，连接A′B，交直线y＝x于点P，
此时PA+PB最小，
由题意可得出：OA′＝1，BO＝2，PA′＝PA，
∴PA+PB＝A′B＝＝．
故答案为：．
本题主要考查了利用轴对称求最短路线以及一次函数图象上点的特征等知识，得出P点位置是解题关键．
14．点（m，n）在直线y＝3x﹣2上，则代数式2n﹣6m+1的值是　﹣3　．
分析直接把点（m，n）代入函数y＝3x﹣2，得到n＝3m﹣2，再代入解析式即可得出结论．
解：∵点（m，n）在函数y＝3x﹣2的图象上，
∴n＝3m﹣2，
∴2n﹣6m+1＝2（3m﹣2）﹣6m+1＝﹣3，
故答案为：﹣3．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
15．正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按如图所示的方式放置，点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B2021的坐标是　（22021﹣1，22020）　．（答案不需要化简）
分析根据直线y＝x+1可求与x轴、y轴的交点坐标，得出第一个正方形的边长，得出点B1的横坐标，根据第二个正方形与第一个正方形的关系，可求出第二个正方形的边长，进而确定B2的横坐标，依此类推，可得出B2021的横坐标．
解：当x＝0时，y＝x+1＝1，
∴点A1的坐标为（0，1）．
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴点B1的坐标为（1，1），点C1的坐标为（1，0）．
当x＝1时，y＝x+1＝2，
∴点A1的坐标为（1，2）．
∵A2B2C2C1为正方形，
∴点B2的坐标为（3，2），点C2的坐标为（3，0）．
同理，可知：点B3的坐标为（7，4），点B4的坐标为（15，8），点B5的坐标为（31，16），…，
∴点Bn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数），
∴点B2021的坐标为（22021﹣1，22020）．
故答案为：（22021﹣1，22020）．
此题主要考查了一次函数图形上的点与坐标特征，规律型问题常用的方法是，分别求出前几个数据，然后依据变化规律，得出一般的结论．本题就是先求出B1的横坐标为21﹣1，B2的横坐标为22﹣1，B3的横坐标为23﹣1，B4的横坐标为24﹣1，……进而得到Bn的横坐标为2n﹣1．
16．如图，直线y＝2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是第二象限内一点，△ABC为等腰直角三角形且∠C＝90°，则直线BC的解析式为　y＝x+2　．
分析先分别令x＝0和y＝0确定A和B的坐标，作辅助线，利用全等三角形的判定和性质，可得B、C的坐标，最后利用待定系数法可得结论．
解：
当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，2x+2＝0，
∴x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
过点C作CE⊥x轴于E，过B作BD⊥y轴，交CE于点D，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCD+∠ACE＝90°，
∵∠DBC+∠BCD＝90°，
∴∠DBC＝∠ACE，
在△DBC与△ECA中，
，
∴△DBC≌△ECA（AAS），
∴DC＝AE，DB＝CE，
设EA＝x，EO＝x+1＝DB，
∴CE＝DE﹣DC＝2﹣x，
∴2﹣x＝x+1，
解得：x＝0.5，
∴C（﹣1.5，1.5），B（0，2），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
则直线BC的解析式为：y＝x+2；
故答案为：y＝x+2．
此题属于一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，利用了方程的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
17．直线ax+y﹣2a+1＝0与直线（a+2）x﹣ay+3＝0垂直，则a的值为　0或﹣1　．
分析根据直线ax+y﹣2a+1＝0与直线（a+2）x﹣ay+3＝0垂直，分两种情况，当a＝0时，看一下两直线是否垂直，当a≠0时，可知两个一次函数的k的乘积为﹣1，从而可以得到a的值，本题得以解决．
解：当a＝0时，直线ax+y﹣2a+1＝0可以写成直线y＝﹣1，直线（a+2）x﹣ay+3＝0可以写成x＝﹣，此时直线ax+y﹣2a+1＝0与直线（a+2）x﹣ay+3＝0垂直；
当a≠0时，直线ax+y﹣2a+1＝0可以写成直线y＝﹣ax+2a﹣1，直线（a+2）x﹣ay+3＝0可以写成直线y＝x+，
∵直线ax+y﹣2a+1＝0与直线（a+2）x﹣ay+3＝0垂直，
∴﹣a＝﹣1，
解得a＝﹣1；
故答案为：0或﹣1．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．
18．在平面直角坐标系xOy中，将函数y＝3x+3图象向右平移5个单位长度，则平移后的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，则△AOB的面积为　24　．
分析根据平移规律得到新直线方程是y＝3（x﹣5）+3，由此求得点A、B的坐标，结合三角形面积公式解答．
解：根据题意知，平移后直线方程为y＝3（x﹣5）+3＝3x﹣12．
所以A（4，0），B（0，﹣12）．
故OA＝4，OB＝12．
所以S△AOB＝OA?OB＝＝24．
故答案是：24．
本题主要考查了一次函数图象与几何变换，函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”．
19．某工厂计划每天生产甲、乙两种型号的口罩共8000个，每生产一个甲种型号的口罩可获得利润0.5元，每生产一个乙种型号的口罩可获得利润0.3元．设该工厂每天生产甲种型号的口罩x个，生产甲、乙两种型号的口罩每天获得的总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若每生产1个甲种型号的口罩需要A原料2g，每生产1个乙种型号的口罩需要A原料1g，受市场影响，该厂每天能购进的A原料至多为10000g，其他原料充足．问：该工厂每天生产甲、乙两种型号的口罩各多少个时，能获得最大利润？
分析（1）根据题意可以写出y与x的函数关系式；
（2）根据该厂每天能购进的A原料至多为10000g，可以求得x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得该工厂每天生产甲、乙两种型号的口罩各多少个时，能获得最大利润．
解：（1）由题意可得，
y＝0.5x+0.3（8000﹣x）＝0.2x+2400，
即y与x的函数关系式为y＝0.2x+2400；
（2）由题意可得，
2x+（8000﹣x）≤10000，
解得x≤2000，
∵y＝0.2x+2400，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝2000时，y取得最大值，此时y＝2800，8000﹣x＝6000，
答：该工厂每天生产甲、乙两种型号的口罩分别为2000个、6000个时，能获得最大利润．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
20．八年级数学兴趣小组的同学在一起研究数学问题：已知直线y＝2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC，请你参与解决以下问题：
（1）如图1，请求出点C的坐标；
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，设△ABC的面积为S1，△ADE的面积为S2，请判断S1与S2的大小关系，并说明理由；
（3）如图3，设直线AC交x轴于M，P（﹣2.5，k）是线段BC上一点，在线段BM是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
分析（1）证明△CHB≌△BOA（AAS），则BH＝OA＝2，CH＝OB，故点C（﹣3，1）；
（2）求出点B、E、D的坐标，得到点E是BD的中点，即可求解；
（3）S△BMC＝MB×yC＝×5×1＝，S△BPN＝S△BCM＝＝NB×k＝NB，即可求解．
解：（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣1，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（﹣1，0），
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BCH，
∵∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，
∴△CHB≌△BOA（AAS），
∴BH＝OA＝2，CH＝OB，
则点C（﹣3，1）；
（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+b得：，
解得，
故直线AC的表达式为：y＝x+2；
∵AD＝AC，AB⊥BC，则BC＝BD，故S△ABC＝S△ABD，
由C、D的坐标，同理可得直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣…①，则点E（0，﹣），
直线AD的表达式为：y＝﹣3x+2…②，
联立①②并解得：x＝1，即点D（1，﹣1），
点B、E、D的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣）、（1，﹣1），
故点E是BD的中点，
∴S2＝S△ABD＝S△ABC＝S1，
故S1＝2S2；
（3）将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣，
将点P坐标代入直线BC的表达式得：k＝，
直线AC的表达式为：y＝x+2，则点M（﹣6，0），
S△BMC＝MB×yC＝×5×1＝，
S△BPN＝S△BCM＝＝NB×k＝NB，
解得：NB＝，则ON＝，
∵BN＜BM，故点N在线段MB上，
故点N（﹣，0）．
本题为二次函数综合题，主要考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、函数表达式得求解、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
21．如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析（1）由点C和点A的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）利用三角形的面积公式即可求解；
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．
解：（1）设直线AC的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：．
则直线AC的解析式是：y＝﹣x+6；
（2）∵C（0，6），A（4，2），
∴OC＝6，
∴S△OAC＝×6×4＝12；
（3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，
解得：m＝．
则直线的解析式是：y＝x，
∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时，
∴M到y轴的距离是×4＝1，
∴点M的横坐标为1或﹣1；
当M的横坐标是：1，
在y＝x中，当x＝1时，y＝，则M的坐标是（1，）；
在y＝﹣x+6中，x＝1则y＝5，则M的坐标是（1，5）．
则M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）．
当M的横坐标是：﹣1，
在y＝﹣x+6中，当x＝﹣1时，y＝7，则M的坐标是（﹣1，7）．
综上所述：M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）或M3（﹣1，7）．
本题主要考查了一次函数综合题，用待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法等知识，熟练掌握坐标与图形的性质是解题关键．
22．如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）．
（1）求点D和点C的坐标；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解．
分析（1）求函数值为0时一次函数y＝3x﹣2所对应的自变量的值即可得到D点坐标，把C（m，3）代入y＝3x﹣2求出m得到C点坐标；
（2）利用待定系数法求直线l2的解析式；
（3）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
解：（1）在y＝3x﹣2中
令y＝0，即3x﹣2＝0
解得x＝，
∴D（，0），
∵点C（m，3）在直线y＝3x﹣2上，
∴3m﹣2＝3，
∴m＝，
∴C（，3）；
（2）设直线l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
由题意得：，
解得：，
∴y＝﹣x+；
（3）由图可知，二元一次方程组的解为．
一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数的性质．
23．如图，直线l1：y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于点D，点A，直线l2：y＝x+1与x轴交于点C，两直线l1，l2相交于点B，连AC．
（1）求点B的坐标和直线AC的解析式；
（2）求△ABC的面积．
分析（1）根据题意可知点B是直线l1和直线l2的交点，然后根据题意可以求得点A和点C的坐标，从而可以求得直线AC的解析式；
（2）根据题意可以求得点C和点D的坐标，从而可以求得△ABC的面积．
解：（1），
解得，，
∴点B的坐标为（2，2），
将y＝0代入y＝x+1，得x＝﹣2，即点C的坐标为（﹣2，0），
将x＝0代入y＝﹣x+4，得y＝4，即点A的坐标为（0，4），
设过点A和点C的直线的解析式为y＝kx+b，
，得，
即直线AC的解析式为y＝2x+4；
（2）将y＝0代入y＝﹣x+4得，x＝4，即点D的坐标为（4，0），
∵A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，2），点C的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（4，0），
∴S△ABC＝S△ACD﹣S△CBD＝＝6，
即△ABC的面积的是6．
本题考查两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
24．如图，直线y＝2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y＝﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y＝2x+m（m＞0）相交于点D，若AB＝4．
（1）求点D的坐标；
（2）求出四边形AOCD的面积；
（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．
分析（1）先把A点坐标代入y＝2x+m得到m＝4，则y＝﹣2x+4，再利用AB＝4可得到B点坐标为（2，0），则把B点坐标代入y＝﹣x+n可得到n＝2，则y＝﹣x+2，然后根据两直线相交的问题，通过解方程组得到D点坐标；
（2）先确定C点坐标为（0，2），然后利用四边形AOCD的面积＝S△DAB﹣S△COB进行计算即可；
（3）先利用A、C两点的坐标特征得到△ACO为等腰直角三角形，AC＝2，然后分类讨论：当AE＝AC＝2时，以A点为圆心，2画弧交x轴于E1点和E2点，再写出它们的坐标；当CE＝CA时，E3点与点A关于y轴对称，即可得到它的坐标；当EA＝EC时，E4点为坐标原点．
解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝2x+m得﹣4+m＝0，解得m＝4，
∴y＝﹣2x+4，
∵AB＝4，A（﹣2，0），
∴B点坐标为（2，0），
把B（2，0）代入y＝﹣x+n得﹣2+n＝0，解得n＝2，
∴y＝﹣x+2，
解方程组得，
∴D点坐标为（﹣，）；
（2）当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，
∴C点坐标为（0，2），
∴四边形AOCD的面积＝S△DAB﹣S△COB
＝×4×﹣×2×2
＝；
（3）∵A（﹣2，0），C（0，2），
∴AC＝2，
当AE＝AC＝2时，E1点的坐标为（2﹣2，0），E2点的坐标为（﹣2﹣2，0）；
当CE＝CA时，E3点的坐标为（2，0），
当EA＝EC时，E4点的坐标为（0，0），
综上所述，点E的坐标为（2﹣2，0）、（﹣2﹣2，0）、（2，0）、（0，0）．

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