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菁华学校高二数学导数导学活动单DS08
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1.3.1导数在研究函数单调性中的应用(1)
学习目标：
正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
掌握利用导数判断函数单调性的方法.
学习重点：利用导数判断函数单调性.[]
学习难点：利用导数判断函数单调性.
明标自学
复习回顾
1.常见函数的导数公式：
2.函数的和，差，积，商的导数求导法则：
3.函数单调性的定义：
用定义法证明函数的单调性的一般步骤：
问题引入：已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝.
问题1：试作出上述三个函数的图象．
问题2：试根据上述图象说明函数的单调性．
问题3：判断它们导函数的正负．
问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．
问题探究：函数的导数与函数的单调性的关系：
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图象可以看到：
y=f(x)=x2－4x+3
切线的斜率
f′(x)
(2，+∞)
增函数
(－∞，2)
减函数
思考：如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在这个区间上是什么情况？
建构数学
1.函数的导数与函数的单调性的关系：
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间：[]
如果
，则f(x)为该区间上的增函数；[中#国
教育%出&版网@]
如果
，则f(x)为该区间上的减函数；
如果恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)在这个区间内是
．
2．用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数的定义域；
②求函数f(x)的导数；
③令
解不等式，得的范围就是递增区间；令
解不等式，得的范围就是递减区间；
④结合定义域写出单调区间.
3.导数与函数图象间的关系：
(1)导函数图象在轴上方的区间为原函数的单调
区间，
导函数图象在轴下方的区间为原函数的单调
区间．
(2)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较
；反之，函数的图象就
一些．
自学检测：
1．函数f(x)＝2x2－x的单调递增区间是(　　)
A．　
B．
C．
D．
2．函数f(x)＝ln
x－ax(a>0)的单调增区间为________；单调减区间为________．
3．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是________．(填图象对应的序号)
典型例题
例1
确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.[来
例2
确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数，并试着作出的草图.
例3
确定函数的单调减区间.
变式1.求下列函数的单调区间：
（1）f(x)＝xln
x.
（2）f(x)＝3x2－2ln
x
变式2：证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．
变式3：判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性.
当堂检测
1．函数的单调递增区间是__________．
2．如下图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是__________(填序号)．
①在(－3,1)上单调递增；
②在(1,3)上单调递减；
③在(2,4)上单调递减
；
④在(3，＋∞)上单调递增
3．若函数的单调递减区间是(－2,2)，则实数的值为________．
4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是______．
①y＝sin
x；②y＝xe2；③y＝x3－x；④y＝ln
x－x.
5．已知函数f(x)＝＋ln
x，则f(2)、f(e)、f(3)的大小关系为________．[中国教育&
@出版%~网]
6．函数y＝x－2sin
x在(0,2π)内的单调递增区间为______．
7．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是________．(填序号)
&
om]
8．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．
课堂小结：1.函数的导数与函数的单调性的关系：
2．用导数求函数单调区间的步骤：
课后作业：课本第29页第1--4题．

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