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菁华学校高二数学导数导学活动单DS09
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1.3.1导数在研究函数单调性中的应用(2)
学习目标：
1.利用导数研究函数的单调性．
2．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解．
3．由单调性求参数的取值范围．
学习重点：利用导数研究函数的单调性．]
学习难点：1．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解．
2．由单调性求参数的取值范围．
明标自学
复习回顾
1.函数的导数与函数的单调性的关系：
2．用导数求函数单调区间的步骤：
导数与函数图象间的关系：
问题探究：
问题1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
问题2．若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？
建构数学
1．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)
在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.
2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法：
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立来处理
若f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在(a，b)内恒成立；
若f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
3.两个非常重要的转化：
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
自学检测：
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)>0.(　　)
(2)函数f(x)＝在其定义域上是单调减函数．(　　)
(3)函数f(x)＝x3－2x在(1，＋∞)上单调递增．(　　)
(4)若存在x∈(a，b)有f′(x)＝0成立，则函数f(x)为常数函数．(　　)
2.
若函数f(x)＝kx－ln
x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2]
B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
3．设函数f(x)＝x2－9ln
x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
4.若在内是减函数,则的取值范围为
.[来
5.已知是上偶函数，若在区间上，且有
，则实数
的取值范围为
.
典型例题
例1：已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．
[思路总结]　―→―→
变式1．若函数f(x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1,1)，求a的取值范围．
变式2．若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上单调递减，求a的取值范围．
变式3．若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
例2：已知函数，试讨论的单调性.
变式1.设函数f(x)＝ax－2－ln
x(a∈R)．
(1)若f(x)在点(e，f(e))处的切线为x－ey－2e＝0，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间．
变式2．设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间．
例3：（1）已知函数的定义域为，
，若对任意
，求不等式的解集.
（2）已知定义在上的函数满足其中是函数的导函数，若，求实数的取值范围.
变式1．函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2022，对任意x∈R，都有f
′(x)<2x成立，则不等式f(x)>x2＋2018的解集为(　　)
A．(－2,2)
B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－∞，＋∞)
变式2：已知函数的定义域为，且满足，则不等式的解集为
.
变式3：当x>0时，证明：不等式ln(x＋1)>x－x2．
当堂检测
1．若函数f(x)＝x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为(　　)
A．－1≤a≤2
B．－2≤a≤1
C．a＞2或a＜－1
D．a＞1或a＜－2
2.定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f
′(x)<，则不等式f(x2)>的解集为(　　)
A．(1,2)　
B．(0,1)　
　　
C．(1，＋∞)　　　
D．(－1,1)
3．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln
x在(1，2)上为增函数，则a＝(　　)
A．1
B．2
C．0
D．
4．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a①f(x)g(b)>f(b)g(x)；②f(x)g(a)>f(a)g(x)；③f(x)g(x)>f(b)g(b)；④f(x)g(x)>f(a)g(a)．
5.已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围．
课堂小结：
1．求函数单调区间应遵循“定义域优先”原则．
2．由函数单调性求参数范围时，函数单调递增?f′(x)≥0，函数单调递减?f′(x)≤0，不要忽略“等号”.
3.研究含参函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论。
课后作业：
1.已知函数y＝f(x)在定义域(－，3)上可导，y＝f(x)的图像如图，记y＝f(x)的导函数y＝f
′(x)，则不等式xf
′(x)≤0的解集是
.[]
2.设f(x)＝－x3＋x2＋2ax，若f(x)在上存在单调增区间，则a的取值范围是________．
3．已知函数f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)．则不等式x2f－f(x)<0的解集为________．
4．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x在区间(1,4)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，试求实数a的取值范围．

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