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菁华学校高二数学导数导学活动单DS10 主备： 审核：
　 1．3.2　极大值与极小值
学习目标：
1.了解函数极值的概念，会从图象上直观理解函数的极值与导数的关系．　
2.掌握函数极值的判定及求法．　
3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
学习重点：会求函数的极大值与极小值．
学习难点：掌握函数极大(小)值与导数的关系．
明标自学
问题引入:已知y＝f(x)的图象(如图)．
问题1：当x＝a时，函数值f(a)有何特点？当x＝b时，函数值f(b)有何特点？
问题2：当x＝a时，函数值有何特点？当x＝b时，函数值有何特点？
问题3：试分析在x＝a的附近左右两侧导数的符号有什么变化？
问题4：试分析在x＝b的附近左右两侧导数的符号有什么变化？
建构数学
1．函数极值的概念
(1)极大值与极小值的直观解释
如图函数图象在点P处从左侧到右侧由 变为 (函数由单调递增变为单调递减)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要 ．我们称f(x1)为函数f(x)的一个 ．类似地，图中f(x2)为函数f(x)的一个 ．函数的极大值、极小值统称为函数的 ．
(2)极大（小）值与极大（小）值点
定义：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x) f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极 值；点x0叫做函数f(x)的 　 ；都有f(x) f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极 值；点x0叫做函数f(x)的 　　 ．
注意：①极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻域而言的．
②极值点总是f(x)定义域这个区间内部的点，因而端点绝对不是函数的极值点．
③连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有，函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，函数的极小值也不一定比极大值小．
④若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
2．函数的极值与函数的导数之间的关系
(1)极大值与导数之间的关系
x x1左侧 x1 x1右侧
f′(x) f′(x) 0 f′(x)＝0 f′(x) 0
f(x)


(2)极小值与导数之间的关系
x x2左侧 x2 x2右侧
f′(x) f′(x) 0 f′(x)＝0 f′(x) 0
f(x)

?
求函数f(x)极值的方法与步骤：
自主检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)导数为零的点一定是函数的极值点．(　　)
(2)f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值．　(　　)
(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数．(　　)
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)
A．1个　　　　 　B．2个 C．3个 D．4个
3．函数y＝x3＋1的极大值是(　　)
A．1 B．0
C．2 D．不存在
4．已知函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
典型例题
例1.求下列函数的极值．
(1)f(x)＝2x3＋6x2－18x＋3；　　　　　　(2)f(x)＝＋3ln x；
(3)f(x)＝ex(x2－7x＋13)；　　　　　　　(4)f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)内的极值(a>0)．
变式：求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－4x＋4； (2)f(x)＝x2ex； (3)y＝；　　　(４)f(x)＝|x|.
例2.已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．
变式.已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f(x)的极值
例3.已知函数f(x)＝(k∈R)．
(1)k为何值时，函数f(x)无极值；
(2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0.
变式.已知函数f(x)＝x3－4x＋m在区间(－∞，＋∞)上有极大值.
(1)求实数m的值；
(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上的极小值．
例4.已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.
(1)若f(x)在x＝1时有极值－1，求b，c的值．
(2)在(1)的条件下，若函数y＝f(x)的图象与函数y＝k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
变式：已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与
y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
当堂检测
1．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，则(　　)
A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点
B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点
C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点
D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点
２．函数f(x)＝x2－ln x的极值点为(　　)
A．0，1，－1　　 B． C．－ D．，－
３．函数f(x)＝－的极值点为(　　)
A．0　　　　　　B．－1　　　　　　C．0或1　　　　　　D．1
４．函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________．
５．已知函数y＝f(x)＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数的极小值．
课堂小结
课后作业　已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，
(1)若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围;
(2)若方程f(x)＝0恰有两个根，求实数a的值;
(3)若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围．

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