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中考数学试题中规律探究性问题的研究
湖北省潜江市老新镇徐李中学 伍玉平
规律探究性问题的特点是问题的结论不是直接给出,而是通过对问题的观察、分析、归纳、概况、演算、判断等一系列的探究活动,才能得到问题的结论。这类问题,因其独特的规律性和探究性,在考查学生分析问题、解决问题能力方面,具有很好的甄别功能,因此备受出题教师青睐。在近几年全国各地的中考试题中,不仅频频出现,而且"花样百出"。常见的类型有：（1）新定义型（2）数列规律型;（3）数式规律型；（4）图形变化规律型;（5）点坐标变化规律型;（6）数形结合规律型;（7）阅读理解型等等。下面笔者筛选了2011年中考试题，对这类问题中的七种类型进行探讨。
一．新定义型
例1（2011福建莆田）已知函数，其中f(a)表示x=a时对应的函数值，如,，，，
则_ ．
分析：根据函数得，f（1）= ，f（2）= ，f（3）= …f（99）= ，f（100）=；容易得出答案为5151．
点评：本题考查了函数知识，能够根据所给的函数式正确表示出对应的函数值，找到题目的规律是解答的关键．
a1，1 a1，2 a1，3 a1，4 a1，5
a2，1 a2，2 a2，3 a2，4 a2，5
a3，1 a3，2 a3，3 a3，4 a3，5
a4，1 a4，2 a4，3 a4，4 a4，5
a5，1 a5，2 a5，3 a5，4 a5，5
例2 （2011北京）在右表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数ai，j，规定如下：当i≥j时，ai，j=1；当i＜j时，ai，j=0．例如：当i=2，j=1时，ai，j=a2，1=1．按此规定，a1，3=　　；表中的25个数中，共有　　个1；计算a1，1 ai，1+
a1，2 ai，2+a1，3 ai，3+a1，4 ai，4+a1，5 ai，5的值为　　．
分析：由题意当i＜j时，ai，j=0．当i≥j时，ai，j=1；由图表中可以很容易知道等于1的数有15个．
点评：本题考查了数字的变化，由题意当i＜j时，ai，j=0．当i≥j时，ai，j=1；仔细分析很简单的问题．
归纳总结：新定义型问题是指在试题中给出一个同学从未接触过的新概念，要求现学现用，主要考查学生的阅读理解能力，应变能力和创新能力。解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握教学中的基本概念和基本的性质。
二．数列规律型
例3 （2011云南保山）下面是按一定规律排列的一列数：那么第n个数是___________．
分析：根据题意，首先从各个数开始分析，n=1时，分子：2=（﹣1）2 21，分母：3=2×1+1；n=2时，分子：﹣4=（﹣1）3 22，分母：5=2×2+1；…，即可推出第n个数为
点评：本题主要考查通过分析数的变化总结归纳规律，解题的关键在于求出分子、分母与n的关系．
例4. （2011盐城）将1、、、按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是　 ．
分析：根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m－1排有（m－1）个数，从第一排到（m－1）排共有：1+2+3+4+…+（m－1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
点评：此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化规律是关键．
归纳总结：数列规律型问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题，主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式为主要内容。
三．数式规律型
例5（2011湖南益阳）观察下列算式：
①1×3﹣22=3﹣4=﹣1
②2×4﹣32=8﹣9=﹣1
③3×5﹣42=15﹣16=﹣1
④　 　
…
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
分析：（1）根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式；（2）将（1）中，发现的规律，由特殊到一般，得出结论；（3）一定成立．利用整式的混合运算方法加以证明。
点评：本题考查了整式的混合运算的运用．关键是由特殊到一般，得出一般规律，运用整式的运算进行检验．
例6（2011广东湛江）若：A32=3×2=6，A53=5×4×3=60，A54=5×4×3×2=120，A64=6×5×4×3=360，…，观察前面计算过程，寻找计算规律计算A73= ___________,（直接写出计算结果），并比较A103________A104（填“＞”或“＜”或“=”）
分析：对于Aab（b＜a）来讲，等于一个乘法算式，其中最大因数是a，依次少1，最小因数是a-b．依此计算即可．答案为：210；＜
点评：本题注意找到Aab（b＜a）中的最大因数，最小因数．
归纳总结：通常给定一些代数式，等式或者不等式，猜想其中蕴含的规律，一般解法是先写出代数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中的不同数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系），找出各部分的特征，写出符合条件的格式。
四．图形变化规律型
例7（2011 德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是（　　）
A、2n B、4n C、2n+1 D、2n+2
分析：从图1到图3，周长分别为4，8，16，由此即可得到通式，利用通式即可求解。答案为：C
点评：本题考查了图形的变化规律，属于中等题目，在解答本题时，需要先进行归纳推理，由特殊到一般的推理，然后得出一般性的结论即可．
例8（2011广东肇庆）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 　．
分析：第1个图形是2×3﹣3，第2个图形是3×4﹣4，第3个图形是4×5﹣5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n2+2n．
点评：首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去．
归纳总结：图形变化型问题主要是观察图形变化过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律。这需要有敏锐的观察能力和计算能力。
五．点坐标变化规律型
例9（2011江苏镇江常州）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1）．B（1，﹣1）．C（﹣1，﹣1）．D（﹣1，1），y轴上有一点P（0，2）．作点P关于点A的对称点P1，作P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称点P3，作P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A的对称点P5，作P5关于点B的对称点P6┅，按如此操作下去，则点P2011的坐标为（　　）
A．（0，2） B．（2，0）
C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）
分析：根据正方形的性质以及坐标变化得出对应点的坐标，再利用变化规律得出点P2011的坐标与P3坐标相同，即可得出答案D．
点评：此题主要考查了坐标与图形的变化以及正方形的性质，根据图形的变化得出点P2011的坐标与P3坐标相同是解决问题的关键．
例10（2011 贺州）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是　 　．
分析：根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．答案为：（2011,2）
点评：解决此题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律。
归纳总结：此类题型主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．
六．数形结合规律型
例11 （2011四川广安）如图所示，直线OP经过点
P(4, )，过x轴上的点l、3、5、7、9、11……分别
作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形其阴影部
分梯形的面积从左至右依次记为S1、S2、S3……Sn，则
Sn关于n的函数关系式是______．
分析：先求出直线op解析式为：y=经观察可知每个小梯形的高一定为2，面积为Sn的梯形上底所在直线为x=4n-3，上底长为，下底所在直线为x=4n-1，上底长为，故梯形的面积Sn=(8n－4)
点评：运用待定系数法可以确定一次函数的解析式，根据函数解析式，已知自变量的值可求得函数的值，从而可以确定每个梯形的上底与下底的长，根据梯形的面积公式可计算出每个梯形的面积，由此发现规律，根据规律可得Sn关于n的函数关系式．
例12 （2011 恩施州）2002年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”．若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B1、B2、B3、…、Bn和C1、C2、C3、…、Cn分别在直线y=-x++1和x轴上，则第n个阴影正方形的面积为　 ．
分析：根据阴影正方形的边长与大正方形边长有个对应关系，因为B1在直线上，所以可以求出t，这个t是正方形边长，如果B1N1=a，那么大正方形边长为2a，阴影正方形边长为（﹣1）a，可以得出是一系列的相似多边形，相似比为2：3，即可得出第n个阴影正方形的面积．答案为：2×（）n
点评：此题主要考查了勾股定理以及正方形的性质和一次函数的综合应用，得出相似多边形，相似比为2：3，进而得出正方形面积是解决问题的关键．
归纳总结：直角坐标系中的规律探究问题，体现了“数”与“形”的完美结合，展示了数学“美”， 这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力，解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”，还要有很强的“图形”意识。
七．阅读理解型
例13我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如
图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两
数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序
排列）的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应
展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应
着 EMBED Equation.DSMT4 展开式中的系数等等.
（1）根据上面的规律，写出的展开式.
（2）利用上面的规律计算：
分析：（1）由（a＋b）＝a＋b，（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，
（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3可得 的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a＋b）n－1的相邻两个系数的和，由此可得（a＋b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1；因此（a＋b）5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1．
（2）将25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1写成“杨辉三角”的展开式形式，逆推可得结果为1．
点评：本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题
意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
例14（2011广西）相传古印度一座梵塔圣殿中，铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了三米高的宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64枚大小两两相异的一寸厚的金盘，小盘压着较大的盘子，如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移到3柱上去，移动过程不许以大盘压小盘，不得把盘子放到柱子之外．移动之日，喜马拉雅山将变成一座金山．设h（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数
n=1时，h（1）=1；
n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成．即h（2）=3；
n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱．[即用h（2）种方法把中．小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h（2）种方法把中．小两盘从2柱3柱，完成；
我们没有时间去移64个盘子，但你可由以上移动过程的规律，计算n=6时，
h（6）=（　　）
A．11 B．31 C．63 D．127
分析：根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可。答案：选C
点评：本题考查了图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数，利用盘子少一个时的移动次数移动到2柱，把最大的盘子移动到3柱，然后再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成移动过程是解题的关键，本题对阅读并理解题目信息的能力要求比较高．
归纳总结：这类题型主要考查学生自学能力和阅读能力、知识迁移能力、加工和利用信息的能力。要求学生运用范例形成科学的思维方式和思维策略或归纳与类比作出合理的判断和推理，找出规律，进而解决问题。
规律探究性试题是考查学生综合分析能力，归纳总结能力，发散性思维和创造性思维能力的中考热点新题型。虽然分值不多，但涉及的知识面和思想方法却很广，学生遇到这类题目常感到眼花缭乱，无从下手，易产生畏惧心理。所以我们在进行专题复习时要加强这方面的力度。
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
…………………………（a+b）1
…………………………（a+b）2
…………………………（a+b）3
……………………

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