资源简介

1.1.2瞬时变化率——导数（3）
------导数的概念
学习目标：
1．通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵；
2．会求简单函数的导数，通过函数图象直观地了解导数的几何意义；
3．体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法．
学习重点：理解导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵，导数的几何意义．
学习难点：对导数的几何意义理解．
【明标自学】 预习课本P13-14页内容，回答以下问题
复习回顾
1.设函数y＝f（x）在区间（a，b）上有定义，x0∈(a，b)，如果自变量x在x0处有增量△x，那么函数y相应地有增量△y＝f(x0＋△x)－f (x0)；比值就叫函数y＝f（x）在x0到（x0＋△x）之间的 ，即 ．
2.曲线在某一点切线的斜率：
建构数学
1．导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值
无限趋近于 ，则称f(x)在点x＝x0处 ，并称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的 ，记作 。
符号语言：当时，，则称函数f（x）在点x0处可导，并把A叫做函数
f（x）在点x0处的导数，记作 。也记为，
即
2．函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是 ．
3．导函数
若函数y＝f(x)对于区间(a，b)内任一点 ，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而 ，因而也是自变量x的 ，该函数称为f(x)的导函数，记作 ．
即
【基础自测】
1．判断正误：
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　)
(2)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　)
(3)在导数的定义中，＞0.(　　)
2．函数f(x)＝x2在点(1,1)处切线的斜率是________．
3．一辆汽车运动的速度为v(t)＝t2－2，则汽车在t＝3秒时加速度为 .
【典型例题】
例1　已知＝x2＋2
(1)求在点x＝1处的导数. （2）求在点x＝a处的导数.
变式: (1).求函数y＝x＋在x＝1处的导数.
(2)求y＝x2＋＋5在点P处的导数．
小结：　求函数y＝f(x)在某一点处的导数的一般步骤：
例2　已知＝，求f (x)，并求出函数在x＝2处的切线方程．
变式：1.函数 f x x 12 , 求f (x)和f (2) .
2.已知直线y＝3x＋a和曲线y＝x3相切，求实数a的值．
小结：求函数y＝f(x)的导函数步骤：
【当堂检测】
1.设f(x)是可导函数 ＝2，则f′(x0)＝(　　)
A．2 B． C．－2 D．－
2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2 (a，b为常数)，则f′(x0)＝________.
3.设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.
4.如图3?1?3所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝x＋5，
则f (3)－＝__________.
5.已知曲线y＝x3＋，则以点P(2,4)为切点的切线方程是________.



【课后作业】
1.已知曲线y＝x2－2上一点P(1，－)，则过点P的切线的倾斜角为(　　)
A．30°　　　　B．45° C．135° D．165°
2．函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝(　　)
A． B．1 C．2 D．0
3．曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则此切线的方程为(　　)
A．y＝9x B．y＝9x－26 C．y＝9x＋26 D．y＝9x＋6或y＝9x－26
4．若＝1，则当k→0时，趋于常数________．
5．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线x－y＋2＝0平行，则等于________.
6．函数y＝3x＋2在x＝－1处的导数为________．
7．函数y＝在x＝x0处的导数为________．
8．一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动(s，单位：m，t，单位：s)，则这辆车在t＝3 s时的瞬时速度为________.
9．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
10．设曲线y＝x2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为________.
11．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为________．
12.函数f(x)的图象如图所示，试根据函数图象判断0，，，的大小关系为________．
13．已知函数f(x)＝ax2＋2x在x＝1处的导数为6，求a的值.

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