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21.1 一次函数
第二十一章 一次函数
第2课时 一次函数
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讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
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教学目标
教学重点
学习重点
学习难点
理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系
能利用一次函数解决简单的实际问题
能利用一次函数解决简单的实际问题
学习目标
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问题引入
某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃.
y=5-6x
(1)试用函数表达式表示y与x的关系；
(2)它是正比例函数吗？为什么？
y=5-6x不是正比例函数，正比例函数没有常数项.
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典例精讲
归纳总结
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一次函数的概念
　　问题1 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数表达式.
（1）有人发现，在20 ℃～25 ℃时蟋蟀每分鸣叫次数c 与温度 t（单位：℃）有关，且 c 的值约是 t 的7 倍与35的差；
（2）一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法是，以cm为单位量出身高值 h ，再减常数105，所得差是G 的值；
（20≤t≤25）
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　 （3）某城市的市内电话的月收费额 y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话 x min 的计时费（按0.1元/min收取）；
（4）把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形面积 y（单位：cm2）随x的值而变化．
（0≤x≤10）
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　问题2 观察以上出现的四个函数表达式，很显然它们不是正比例函数，那么它们有什么共同特征呢？
y
k(常数)
x
=
b(常数）
+
（1） c = 7 t - 35
（2） G = h -105
（3） y = 0.1 x + 22
（4） y = -5 x + 50
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知识要点
一般地，形如y=kx+b （k， b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
一次函数的特点如下：
（1）表达式中自变量x的次数是 次;
（2）比例系数 ；
（3）常数项：通常不为0，但也可以等于0.
1
k≠0
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思考：一次函数与正比例函数有什么关系？
（2）正比例函数是一种特殊的一次函数.
（1）当b=0时，y=kx+b 即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.
说一说
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下列函数中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－2x2；　(2)y＝ ；
(3)y＝3x2－x(3x－2)；
(4)x2＋y＝1；　(5)y＝－ .
导引：先看函数表达式是否为整式，再通过恒等变形进行化简，然后根据一次函数和正比例函数的定义进行判断．
例题
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解：(1)因为x的次数是2，所以y＝－2x2不是一次函数.
(2)因为y＝ ＝ x＋ ，k＝ ≠0，b＝ ，所以
y＝ 是一次函数，但不是正比例函数．
(3)因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，所以它
是一次函数，也是正比例函数．
(4)x2＋y＝1，即y＝1－x2.因为x的次数是2，所以x2＋y
＝1不是一次函数．
(5)因为y＝－ 中 不是整式，不符合y＝kx＋b的形
式，所以它不是一次函数.
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（7） ；
下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（8） .
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提示：一次函数右边必须是整式，然后紧扣一次函数的概念进行判断.
解：（1）（4）（5）（7）（8）是一次函数，
（1）是正比例函数.
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总 结
判断函数是否为一次函数的方法：先看函数表达式是否是整式，再将函数表达式进行恒等变形，然后看它是否符合一次函数表达式y＝kx＋b的特征：(1)k≠0；(2)自变量x的次数为1；(3)常数项b可以为任意实数.
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例题
在下列函数中，哪些是一次函数？请指出一次函数中的k和b的值.
(1) y=2-x; (2) (3) s=8+0.03t;
(4) (5) (6)
解：(1)(3)(4)(5)是一次函数．(1)中k＝－1，b＝2；(3)中的k＝0.03，b＝8；(4)中的k＝ ，b＝0；
(5)中的k＝ ，b＝－3.
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练一练
在下列函数中，哪些是一次函数？请指出一次函数中的k和b的值.
解：(1)(2)(4)是一次函数．(1)中的k＝－1，b＝ ；
(2)中的k＝2π，b＝0；(4)中的k＝0.5，b＝ .
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例题
已知函数y=(m-1)x+1-m2
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?
解：由题意可得
m-1≠0，解得m≠1.
即m≠1时，这个函数是一次函数.
注意：利用定义求一次函数 解析式时，必须保证：
（1）k ≠ 0；（2）自变量x的指数是“1”
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（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?
解：由题意可得
m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1.
即m=-1时，这个函数是正比例函数.
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变式训练
已知关于x的函数y＝(2m－1)x＋1－3m，当m满足什么条件时，
(1)这个函数是正比例函数？
(2)这个函数为一次函数？
解：(1)∵函数y＝(2m－1)x＋1－3m是正比例函数，∴1－3m＝0，2m－1≠0，∴m＝ .∴当m＝ 时，这个函数是正比例函数．
(2)∵函数y＝(2m－1)x＋1－3m是一次函数，∴2m－1≠0，解得m≠ .∴当m≠ 时，这个函数为一次函数.
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总 结
一次函数y＝kx＋b中k、b为常数，k≠0，自变量
的次数为1.当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就化为正比
例函数y＝kx.
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例题
已知一次函数y=-2x +3.
(1) 当x为何值时，y=0？
(2) 当y为何值时，x=0？
解： (1)对于一次函数y＝－2x＋3，令y＝0，即－2x＋3＝0，解得x＝ .所以当x＝ 时，y＝0.
(2)将x＝0代入y＝－2x＋3中，得y＝－2×0＋3＝3.所以当y＝3时，x＝0.
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根据实际问题列一次函数的表达式
当“条件”中明确是一次函数关系时，可利用关
系式y=kx+b求解，依据已知求得k、b的值就可以了；
当“条件”中未明确是一次函数关系时(一般情况是
实际应用题)，我们应依据已知中的基本数量列出等
量关系(类似列方程解应用题)，再整理成y=kx+b(k，b
为常数，k≠0)的形式.
注意：在列出有关实际问题的一次函数关系式时，应
标注自变量的取值范围．
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例题
如图，△ABC是边长为x的等边三角形.
（1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值.
解: (1)∵BC边上的高AD也是BC边上的中线，∴BD=
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
即
∴h是x的一次函数，且
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（2）当h= 时，求x的值.
（3）求△ABC的面积S与x的函数解析式.S是x的一次函数吗？
解:
（2）当h= 时，有 .
解得x=2.
（3）∵
即 ∴S不是x的一次函数.
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汽车油箱中原有油50升，如果汽车每行驶50千米耗油9升, 求油箱的油量y（单位：升）随行驶路程x（单位：千米）变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围，y 是 x 的一次函数吗？
y =50－ x
解：油量y与行驶时间x的函数关系式为：
y =50－ x
函数
，是x的一次函数.
自变量x的取值范围是0≤x≤ .
例题
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我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）×3%=10.8元.
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的函数解析式.
解:y=0.03×(x-3500) (3500练一练
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(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
解:当x=4160时，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）.
解:设此人本月工资是x元，则
19.2=0.03×(x-3500),
x=4140.
答:此人本月工资是4140元.
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
当堂练习
当堂反馈
即学即用
当堂练习
1.下列说法正确的是（ ）
A.一次函数是正比例函数
B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.正比例函数是一次函数
D
当堂练习
2.在函数①y=2-x;②y=8+0.03t;③y=1+x+ ;
④y= 中，是一次函数的有_________.
①②
3. 要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足 , .
m≠2
n=2
当堂练习
4.如果长方形的周长是30cm，长是xcm，宽是ycm.
(1)写出y与x之间的函数表达式，它是一次函数吗？
(2)若长是宽的2倍，求长方形的面积.
解：(1)y=15-x，是一次函数.
(2)由题意可得x=2（15-x）.
解得x=10，所以y=15-x=5.
∴长方形的面积为10×5=50(cm2).
当堂练习
　5.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其
速度每秒增加2 m/s．
（1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：
s）的函数表达式;
解：小球速度v关于时间t的函数解析式为v=2t.
当堂练习
（2）求第2.5 s 时小球的速度；
（3）时间每增加1 s，速度增加多少，速度增加量是否随着时间的变化而变化？
解：
(2)当t=2.5时，v=2×2.5=5(m/s).
(3)时间每增加1 s，速度增加2 m/s，速度增加量不随着时间的变化而变化.
课堂小结
归纳总结
构建脉络
课堂小结
正比例函数与一次函数的关系
正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比
例函数，用图形表示它们之
间的关系如图所示：
一次函数y=kx+b (k≠0) ，当b=0时是特殊的一次函数
(即正比例函数)，当b ≠ 0时是一般的一次函数.
一次函数
正比例函数
THANKS
侵权必究

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