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《7.3
万有引力理论的成就
》学案
【学习目标】
1、了解万有引力定律在天文学上的应用.
2、会用万有引力定律计算天体的质量和密度.
3、掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法．
【课堂合作探究】
问题：你知道以下数据科学家是如何得出来的吗？
是什么力支配着行星绕着太阳做如此和谐而有规律的运动呢？
通过各种各样的秤，我们能称量出生活中各种各样的物体的质量，那你能秤出地球的质量吗？
“称量”地球的质量
思考：地球的质量到底有多大?已知:地球表面g=9.8m/s2，地球半径R=6400km，引力常量G=6.67×10-11Nm2/kg2。你能根据这些数据计算地球的质量。
物体m在纬度为θ的位置，万有引力指向地心，分解为两个分力：m随地球自转围绕地轴运动的向心力和重力。重力是万有引力的一个分力，当忽略了地球的自转时,可认为重力在数值上就等于万有引力大小。即：
你有何感想？
理论分析：若不考虑地球自转的影响，地面上物体的重力等于地球对它的引力。
数据验证：
推而广之：
“称量”太阳的质量
问题：前面测量地球质量，但是如果要测太阳的质量，我们又无法在太阳表面做落体运动，还有没有其他办法呀？
八大行星围绕太阳运动，太阳为中心天体。思考：行星做圆周运动的向心力是什么？
问题：地球作圆周运动的向心力是由什么力提供的？
验证：把地球绕太阳的公转看作是匀速圆周运动，已知轨道半径约为1.5×1011
m，引力常量G=6.67×10－11
N·m2/kg2，估算太阳的质量。
验证：已知月球绕地球周期T=27.3天，月地平均距r=3.84×108m，引力常量G=6.67×10-11
N·m2/kg2，试估算地球的质量。
推而广之：
你还有其他计算中心天体质量的方法吗？
计算天体的密度
如何计算天体的密度？
发现未知天体
到了
18
世纪，人们已经知道太阳系有
7
颗行星，其中1781
年发现的第七颗行星
——
天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。
1、是天文观测数据不准确？
2、是万有引力定律的准确性有问题？
3、是天王星轨道外面还有一颗未发现的行星？
海王星的实际轨道由英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶根据天王星的观测资料各自独立地利用万有引力定律计算出来的。
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846
年
9
月
23
日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”——海王星。
海王星的实际轨道由英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶根据天王星的观测资料各自独立地利用万有引力定律计算出来的.
预言哈雷彗星回归
哈雷依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现
1531
年、1607
年和
1682
年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（图
7.3-3），周期约为
76
年，并预言它将于
1758
年底或
1759
年初再次回归。1759
年
3
月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是
1986
年，它的下次回归将在2061
年左右。
【课堂检测】
1、地球半径为R，地面上的重力加速度为g，那么在离地面高度为h处的人造地球卫星运动速率为
2、三颗人造卫星A、B、C在大气层外层空间沿圆形轨道运动，已知mA＝mB＜mC，B、C轨道半径相同，A轨道半径较小，如图所示，则三颗卫星的
A
．线速度的大小vA＝vB＜vC?????????
B．周期的大小关系TA＜TB＝TC
C
．向心加速度的大小关系为aA＞aB＝aC????????
D．B的向心力最小
3、
(多选)2020年7月23日12时41分，长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场点火起飞，成功将天问一号火星探测器送入预定轨道。假设天问一号在着陆之前绕火星表面做近地圆周运动的半径为r1、周期为T1；火星绕太阳做圆周运动的半径为r2、周期为T2，引力常量为G。根据以上条件能得出（
）
A．火星的密度
B．太阳对火星的引力大小
C．天问一号的质量
D．关系式
4、火星探测器在距火星表面高度为h的轨道绕其飞行，该运动可看作匀速圆周运动。已知探测器飞行一周的时间为T，火星视为半径为R的均匀球体，引力常量为G，求：
（1）火星的质量M；（2）火星表面的重力加速度g.
【达标训练】
一、单选题
地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量计算出来的地球平均密度是
A.
B.
C.
D.
假如人类发现了某星球，人类登上该星球后，进行了如下实验：在固定的竖直光滑圆轨道内部，一小球恰好能做完整的圆周运动，小球在最高点时的速度为v，轨道半径为若已测得该星球的半径为R，引力常量为G，则该星球的质量为
A.
B.
C.
D.
美国的“卡西尼号”探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道若“卡西尼号”探测器在半径为R的土星上空离土星表面高为h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列给出的土星质量M和平均密度的表达式正确的是
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
假设地球可视为质量分布均匀的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为g，已知地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的质量为???
A.
B.
C.
D.
已知引力常量G和下列四组中的哪一组数据，就能计算出地球的质量
A.
地球绕太阳公转的周期及地球与太阳中心的距离
B.
人造卫星距离地面的高度及卫星运行的周期
C.
月球绕地球公转的周期及月球与地球中心的距离
D.
地球自转周期和月球与地球中心的距离
在某球形星球表面做物体自由下落的实验时，测量得到物体下落高度h所用时间为t，已知该星球的半径为R，引力常量为G，则该星球的平均密度为
A.
B.
C.
D.
人类历史上第一张黑洞照片已经问世，让众人感叹：“黑洞”，我终于“看见”你了事实上人类对外太空的探索从未停止，至今已在多方面取得了不少进展．假如人类发现了某X星球，登上该星球后，进行了如下实验：在固定的竖直光滑圆轨道内部，一小球恰好能做完整的圆周运动，已知小球在最高点的速度为，轨道半径为若已测得X星球的半径为R，引力常量为G，则X星球的质量为???
A.
B.
C.
D.
二、多选题
英国物理学家卡文迪许测出了引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为地球自转周期，一年的时间为地球公转的周期，地球中心到月球中心的距离为，地球中心到太阳中心的距离为，可估算出????
A.
地球的质量
B.
太阳的质量
C.
月球的质量
D.
月球、地球及太阳的密度
三、计算题（本大题共3小题，共30.0分）
我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：
该星球表面的重力加速度；??????
?该星球的平均密度。
若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为求：不考虑月球自转的影响
月球表面的自由落体加速度大小；
月球的质量M；
月球的平均密度．
现代观测表明，由于引力的作用，恒星有“聚焦”的特点，众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星．它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，这样就不至于由于万有引力的作用而吸引在一起．如图所示，设某双星系统中的两星、的质量分别为m和2m，两星间距为L，在相互间万有引力的作用下，绕它们连线上的某点O转动．已知引力常量G，求：
、两星之间的万有引力大小；???
星到O点的距离；??
它们运动的周期．
参考答案
【课堂检测】
D
BCD
AB
【达标训练】
1.A【解析】根据在地球表面万有引力等于重力有：
解得：
所以。故A正确，BCD错误。
故选A。
2.D【解析】设小球的质量为m，星球的质量为M，因小球恰好能做完整的圆周运动，对小球在最高点由牛顿第二定律得：
得星球表面的重力加速度大小为：
对于星球表面的物体，万有引力等于其重力，即：
联立得星球质量为：，故
ABC错误，D正确。
故选D。
3.D【解析】
由
??
又
得：
由??，
?得：
故D正确、ABC错误．
故选D．
4.B【解析】
在两极，引力等于重力，则有：
由此可得地球质量
在赤道处，引力与支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律，则有：
由解得：地球的质量为，故B正确，ACD错误。
故选B。
5.C【解析】A.根据得，太阳的质量，无法计算地球的质量，故A错误；
B.根据得，地球的质量，不知道地球的半径，故无法求出地球的质量，故B错误；
根据得，地球的质量，可知已知月球绕地球公转的周期和月球的轨道半径可以求出地球的质量，故C正确，D错误。
故选C。?
6.B【解析】星球密度，，在星球表面有，据题意可得，解得，故B正确。
故选B
7.D【解析】设小球的质量为m，X星球的质量为M，X星球表面的重力加速度为g，因小球在最高点恰好能做完整的圆周运动，设最高点时小球速度为v，由牛顿第二定律得：
得：
对于任一X星球表面的物体，万有引力等于其重力，即为：
由得：??
故ABC错误，D正确。
故选：D。
8.AB【解析】
A.根据万有引力等于重力，有：，则，故A正确；
B.根据万有引力提供向心力有：，解得，故B正确；
C.根据题设条件，无法求出月球的质量，故C错误；
D.月球的质量无法求出，则无法求出月球的密度，故D错误。
故选AB。
9.【答案】解：小球平抛运动的水平位移．
则平抛运动的时间，
根据得，星球表面的重力加速度；
根据得，
星球的质量
则星球的密度。
10.【答案】解：球表面附近的物体做自由落体运动??
月球表面的自由落体加速度大小??
若不考虑球自转的影响??
解得月球的质量??
月球的密度?
答：月球表面的自由落体加速度大小为；?月球的质量M为；?月球的密度。
11.【答案】解：根据万有引力定律可知
两星之间的万有引力大小；；
设O点距星的距离为x，双星运动的周期为T，由万有引力提供向心力；
对于B星：?
对于A星：?
解得：??；
由
将代入可得
所以它们运动的周期。
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