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第六章圆周运动
第2节向心力
【素养目标】
通过牛顿第二定律推导向心力的表达式，理解向心力的特点是指向圆心
2.通过圆锥摆验证向心力的表达式，进一步理解向心力的特点
3.通过实例分析，熟悉常见模型中向心力的来源，通过数理表达式求解水平面内圆周运动的临界与极值问题
【必备知识】
知识点1向心力
1.向心力概念
做匀速圆周运动的物体具有向心加速度。根据牛顿第二定律，,产生向心加速度的原因一定是物体受到了指向圆心的合合力，这个合力就叫向心力。
特别说明
(1)向心力垂直于线速度，所以它只改变线线速度的方向，，不改变线速度的大小。
(2)向心力总是指向圆心,但不同时刻从圆周上不同点指向圆心，所以其方向时刻改变，向心力是变力。
(3)向心力是产生向心加速度的原因，且向心力与向心加速度的方向、大小有瞬时对应关系。
2.向心力的大小
3.向心力的特点
(1)向心力是按力的作用效果来命名的,它不是具有确定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力。例如，小铁块在匀速转动的圆盘内保持相对静止时，小铁块受到的静摩擦力充当其向心力;若圆盘是光滑的，就必须用细线拴住小铁块，才能保证小铁块同圆盘一起匀速转动，这时向心力由细线的拉力提供。
(2)向心力的作用效果是改变线速度的方向，做匀速圆周运动的物体所受到的合外力即向心力，其方向一定指向圆心，是变力(线速度大小变化的非匀速圆周运动中，物体所受合外力不指向圆心，它既改变线速度的方向，也改变线速度的大小)。
(3)向心力可以是某几个力的合力，也可以是某个力的分力。例如，用细绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动，运动到最低点时,其向心力由绳的拉力和物体的重力()的合力充当,因此,在受力分析时绝不能沿指向圆心的方向多加一个向心力。
知识点2向心力来源分析向心力
1.重力提供向心力
如图所示，
用细绳栓住小球在梦直平面内转动，当它经过最高点时，若绳的拉力恰好为零，
则此时向心力由重力提供
2.弹力提供向心力
木块随圆桶绕轴线做圆周运动，图桶侧壁对木块的弹力提供向心力，
3.静摩擦力提供向心力
如图所示,木块随圆盘一起匀速转动，即做匀速圆周运动,其向心力由静摩擦力提供。木块
相对于圆盘的运动趋势方向是沿半径背离圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势方向相
反，即静摩擦力沿半径指向圆心提供向心力。
说明:木块相对于地面的运动方向为切线方向，而相对于圆盘的运动趋势方向为沿半径向外的方向。汽车在十字路口拐弯时所需的向心力就是由汽车与路面间的静摩擦力提供的
4.某力提供向心力
如图所示,在光滑水平面上的O点系上绳子的一端,绳子另一端系一小球，使小球在桌面上做匀速圆周运动,则小球做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力(弹力)提供
5.合力提供向心力
物体做匀速圆周运动时,其合力必然等于其所需的向心力,有时候合力不是那么简单，
必须应用平行四边形定则才能求得。如图所示,汽车过拱形桥时，经最高点时其向心力由重力和支持力的合力提供
6.分力提供向心力
如图所示,小球在细线作用下，在水平面内做圆锥摆运动时，向心力由细线的拉力在水平面内的分力提供
7.万有引力提供向心力
物体与物体之间存在种吸引力，称之为万有引力，
例如，地球做圆周运动的向心力由太阳和地球之间的万有引力提供,这将在下章学习
知识点3变速圆周运动和一般曲线运动
1.匀速圆周运动和变速圆周运动
项目
匀速圆周运动
变速圆周运动
特点
大小不变，方向时刻变化,、T、n不变
大小、方向均变化,大小变化,T、n大小变化
向心力来源
合力提供向心力
合力沿半径方向的分力提供向心力
周期性
有
不一定有
条件
合外力的大小不变，方向始终与线速度方向垂直
合外力大小变化，方向与线速度方向一般不垂直
运动性质
变加速曲线运动
变加速曲线运动
2.一般的曲线运动
运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动。车辆的运动通常是一个比较复杂的曲线运动，在这个复杂的曲线运动中取一小段研究，每一小段都可以看成是某个圆周的一部分，如图6-2-1所示,汽车在高低不平的路面上行驶时，不同位置上所对应的“圆周运动"的“圆心”和“半径”是不同的。
曲线运动中，质点在某一点的速度方向是曲线上这一点的切线方向。此点的曲率半径表示了曲线在此处的弯曲程度
【课堂检测】
1．如图所示：一轴竖直的锥形漏斗，内壁光滑，内壁上有两个质量不相同的小球A、B各自在不同的水平面内做匀速圆周运动，已知，则下列关系正确的有（　　
）
A．线速度vAB．角速度
C．向心加速度
D．小球对漏斗的压力
【答案】C
【详解】
A．设漏斗内壁母线与水平方向的夹角为θ。以任意一个小球为研究对象，分析受力情况：重力mg和漏斗内壁的支持力N，它们的合力提供向心力，如图，
则根据牛顿第二定律得mgtanθ=m
得到
θ一定，则v与成正比，A球的圆周运动半径大于B球的圆周运动，所以vA＞vB
故A错误；
B．角速度
则角速度ω与成反比，A球的圆周运动半径大于B球的圆周运动，所以角速度ωA＜ωB，故B错误；
C．向心加速度
与半径r无关，故aA=aB
故C正确；
D．由图可得漏斗内壁的支持力
θ相同，则mA＜mB，则NA＜NB
故D错误；
故选C。
2．如图所示，轻质且不可伸长的细绳一端系一质量为m的小球，另一端固定
在天花板上的O点．则小球在竖起平面内摆动的过程中，以下说法正确的是（
）
A．小球在摆动过程中受到的外力的合力即为向心力
B．在最高点A、B，因小球的速度为零，所以小球受到的合外力为零
C．小球在最低点C所受的合外力，即为向心力
D．小球在摆动过程中使其速率发生变化的力为绳子的拉力
【答案】C
【详解】
A、小球摆动过程中,靠沿绳子方向的合力提供向心力,不是靠合力提供向心力,故A错误；
B、在最高点A和B,小球的速度为零,向心力为零,但是小球所受的合力不为零,故B错误；
C、小球在最低点,受重力和拉力,两个力的合力竖直向上,合力等于向心力，故C正确；
D、小球在摆动的过程中,因为绳子的拉力与速度方向垂直,则拉力不做功,拉力不会致使小球速率的变化,故D错误.
综上所述本题答案是：C
【素养作业】
1．关于物体做曲线运动的条件，以下说法中正确的是（　　）
A．物体在恒力作用下，不可能做曲线运动
B．物体在变力作用下，不可能做匀速圆周运动
C．物体在变力作用下，一定做曲线运动
D．物体在受到与速度不在同一直线上合外力的作用下，一定做曲线运动
【答案】D
【解析】A．物体在受到与速度方向不在一条直线上的恒力作用下，做匀变速曲线运动，故A项错误；
B．物体做匀速圆周运动时，受到方向始终指向圆心的变力作用，故B项错误；
C．物体在大小改变、方向始终与速度共线的力作用下，一定做直线运动，故C项错误；
D．物体在受到与速度不在同一直线上合外力的作用下，一定做曲线运动，故D项正确。
故选D。
2．关于向心力，下列说法正确的是（　　）
A．做圆周运动的物体所受的合力一定是向心力
B．向心力只改变线速度的方向，不改变速度的大小
C．物体除受其他的力外还要受到一个向心力的作用
D．做匀速圆周运动的物体所受向心力不变
【答案】B
【解析】A．非匀速圆周运动，合外力指向圆心的分量提供向心力，故A错误；
B．圆周运动的向心力的方向始终指向圆心，与速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度的大小，故B正确；
C．向心力是做圆周运动需要的力，是效果力，受力分析时，不能说物体受到向心力作用，故C错误；
D．做匀速圆周运动物体，向心力大小不变，方向时刻改变，故D错误。
故选B。
3．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是（　　）
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小
C．物体所受弹力减小，摩擦力减小
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
【答案】D
【解析】物体做匀速圆周运动，合力指向圆心，对物体受力分析，受重力、向上的静摩擦力、指向圆心的支持力，如图，开始时重力G与静摩擦力f平衡，支持力N提供向心力，当圆筒的角速度ω增大以后，向心力变大，物体所受弹力N增大，最大静摩擦增大，物体仍静止，即重力G与静摩擦力f平衡，故ABC错误，D正确。
故选D。
4．飞机由俯冲到拉起时，飞行员处于超重状态，此时座椅对飞行员的支持力大于飞行员所受的重力，严重时会造成飞行员四肢沉重，大脑缺血，暂时失明，甚至昏厥。受过专门训练的空军飞行员最多可承受9倍重力的影响。当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲、拉起的速度为100m/s时，圆弧轨道的最小半径为（取）（
）
A．100m
B．111m
C．125m
D．250m
【答案】C
【解析】在飞机经过最低点时，对飞行员受力分析，受重力和支持力，两者的合力提供向心力，由题意知，当时，圆弧轨道半径最小，为，由牛顿第二定律得
解得
故C正确。
故选C。
5．质量为的飞机以速率在水平面内做半径为的匀速圆周运动，如图所示，则空气对飞机的作用力大小为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】飞机受到竖直向下的重力和空气给的作用力，两力之和充当向心力，如图所示
故有
故选B。
6．狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速行驶，下列给出的四个关于雪橇受到的牵引力及摩擦力的示意图（图中为圆心）正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】滑动摩擦力的方向是与相对运动方向相反且与接触面相切的，雪橇做匀速圆周运动，合力应该指向圆心，可知C正确，ABD错误。
故选C。
7．如图所示，小物块A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动。下列关于A的受力情况说法正确的是（
）
A．受重力、支持力
B．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C．受重力、支持力、与运动方向相反的摩擦力和向心力
D．受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力
【答案】B
【解析】物块A随圆盘一起做匀速圆周运动，受重力、支持力和指向圆心的静摩擦力，重力和支持力平衡，靠静摩擦力提供向心力，故B正确。
故选B。
8．一种玩具的结构如图所示，竖直放置的光滑铁环的半径为R=20cm，环上有一穿孔的小球m，仅能沿环做无摩擦的滑动，如果圆环绕着过环心的竖直轴以10rad/s的角速度旋转（取g=10m/s2），则相对环静止时小球与环心O的连线与O1O2的夹角θ是（　　）
A．60°
B．45°
C．30°
D．75°
【答案】A
【解析】小球转动的半径为Rsinθ，小球所受的合力垂直指向转轴，根据平行四边形定则和牛顿第二定律：F合＝mgtanθ＝mRsinθω2，解得：θ=60°，故C正确，ABD错误．

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