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2021年上海市崇明区中考数学二模试卷
一、选择题（共6小题）.
1．﹣8的立方根是（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．
2．下列方程中，没有实数根的是（　　）
A．x+1＝0 B．x2﹣1＝0 C．+1＝0 D．＝0
3．一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．将一组数据中的每一个数据都加上3，那么所得的新数据组与原数据组相比，没有改变大小的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．在等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中任选两个不同的图形，那么下列事件中为不可能事件的是（　　）
A．这两个图形都是轴对称图形
B．这两个图形都不是轴对称图形
C．这两个图形都是中心对称图形
D．这两个图形都不是中心对称图形
6．已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
二、填空题（共12小题）.
7．计算：4a3÷2a＝　 　．
8．化简：＝　 　．
9．不等式组的解集是　 　．
10．如果x＝1是关于x的方程＝x的一个实数根，那么k＝　 　．
11．如果一个反比例函数的图象经过点（2，3），那么它在各自的象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐　 　．
12．某件商品进价为100元，实际售价为110元，那么该件商品的利润率为　 　．
13．在一所有1500名学生的中学里，调查人员随机调查了50名学生，其中有40人每天都喝牛奶，那么在这所学校里，随便询问1人，每天都喝牛奶的概率是　 　．
14．正五边形的中心角的度数是　 　．
15．如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为　 　厘米．
16．在△ABC中，点G为重心，点D为边BC的中点，设，那么用表示为　 　．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝　 　．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝　 　．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．计算：．
20．解方程组：．
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝5，BC＝8，sinB＝．
（1）求边AC的长；
（2）求⊙O的半径长．
22．为配合崇明“花博会”，花农黄老伯培育了甲、乙两种花木各若干株．如果培育甲、乙两种花木各一株，那么共需成本500元；如果培育甲种花木3株和乙种花木2株，那么共需成本1200元．
（1）求甲、乙两种花木每株的培育成本分别为多少元？
（2）市场调查显示，甲种花木的市场售价为每株300元，乙种花木的市场售价为每株500元．黄老伯决定在将成本控制在不超过30000元的前提下培育两种花木，并使总利润不少于18000元．若黄老伯培育的乙种花木的数量比甲种花木的数量的3倍少10株，请问黄老伯应该培育甲、乙两种花木各多少株？
23．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B．
（1）求证：CE?AD＝DE2；
（2）求证：．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B，且其顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求∠BAD的正切值；
（3）设点C为抛物线与x轴的另一个交点，点E为抛物线的对称轴与直线y＝x﹣3的交点，点P是直线y＝x﹣3上的动点，如果△PAC与△AED是相似三角形，求点P的坐标．
25．如图1，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，点F在边AD上，EF⊥BD，垂足为G．
（1）如图2，当矩形ABCD为正方形时，求的值；
（2）如果＝，AF＝x，AB＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）如果AB＝4cm，以点A为圆心，3cm长为半径的⊙A与以点B为圆心的⊙B外切．以点F为圆心的⊙F与⊙A、⊙B都内切．求的值．
参考答案
一、选择题（共6小题）.
1．﹣8的立方根是（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．
解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故选：B．
2．下列方程中，没有实数根的是（　　）
A．x+1＝0 B．x2﹣1＝0 C．+1＝0 D．＝0
解：方程x+1＝0的解是x＝﹣1，故选项A有实数根；
方程x2﹣1＝0的解是x＝±1，故选项B有实数根；
方程+1＝0移项后得＝﹣1，因为算术平方根不能为负，故选项C没有实数根；
方程＝0的解为x＝﹣1，故选项D有实数根．
故选：C．
3．一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：对于一次函数y＝﹣2x﹣1，
∵k＝﹣2＜0，
∴图象经过第二、四象限；
又∵b＝﹣1＜0，
∴一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，即函数图象还经过第三象限，
∴一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过第一象限．
故选：A．
4．将一组数据中的每一个数据都加上3，那么所得的新数据组与原数据组相比，没有改变大小的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
解：将一组数据中的每一个数据都加上3，那么所得的新数据组与原数据组相比波动幅度一致，即两组数据的方差相等，
故选：D．
5．在等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中任选两个不同的图形，那么下列事件中为不可能事件的是（　　）
A．这两个图形都是轴对称图形
B．这两个图形都不是轴对称图形
C．这两个图形都是中心对称图形
D．这两个图形都不是中心对称图形
解：A．等腰三角形和等腰梯形都是轴对称图形，是可能的，因此选项A不符合题意；
B．等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中有3个图形是轴对称图形，故这两个图形都不是轴对称图形是不可能事件，因此选项B符合题意；
C．平行四边形和矩形都是中心对称图形，是可能的，因此选项C不符合题意；
D．等腰三角形和等腰梯形都不是中心对称图形，是可能的，因此选项D不符合题意；
故选：B．
6．已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
解：∵⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
二、填空题（共12小题）.
7．计算：4a3÷2a＝　2a2　．
解：4a3÷2a＝2a2．
故答案为：2a2．
8．化简：＝　　．
解：原式＝＝．
故答案为：．
9．不等式组的解集是　2＜x＜3　．
解：解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，
解不等式x﹣3＜0，得：x＜3，
则不等式组的解集为2＜x＜3，
故答案为：2＜x＜3．
10．如果x＝1是关于x的方程＝x的一个实数根，那么k＝　0　．
解：把x＝1代入方程，得＝1，
两边平方，得1+k＝1，
解得k＝0．
经检验，k＝0符合题意．
故答案为：0．
11．如果一个反比例函数的图象经过点（2，3），那么它在各自的象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐　减小　．
解：设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），
∵反比例函数图象过点（2，3），
∴k＝2×3＝6＞0，
∴反比例函数的图象在一、三象限，
根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
12．某件商品进价为100元，实际售价为110元，那么该件商品的利润率为　10%　．
解：根据题意得：（110﹣100）÷100
＝10÷100
＝10%，
则该件商品的利润率为10%．
故答案为：10%．
13．在一所有1500名学生的中学里，调查人员随机调查了50名学生，其中有40人每天都喝牛奶，那么在这所学校里，随便询问1人，每天都喝牛奶的概率是　　．
解：在这所学校里，随便询问1人，每天都喝牛奶的概率是＝，
故答案为：．
14．正五边形的中心角的度数是　72°　．
解：正五边形的中心角为：＝72°．
故答案为：72°．
15．如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为　13　厘米．
解：∵等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，
∴两底的和＝50﹣12×2＝26（厘米），
∴这个梯形的中位线长为×26＝13（厘米），
故答案为：13．
16．在△ABC中，点G为重心，点D为边BC的中点，设，那么用表示为　+　．
解：如图，
∵D是BC的中点，
∴＝＝，
∴＝+＝+，
∵G是重心，
∴GD＝AD，
∴＝+，
故答案为：+．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝　　．
解：如图，
∵BP＝5，BC＝4，
∴CP＝1，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ＝90°＝∠ABC，
∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，
∴∠BAP＝∠BPQ，
又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴，
∴CQ＝，
故答案为：．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝　　．
解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，
∴A（4，0），B（2，﹣2），
抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，
∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点，
∴，
解得，
∴a+b+c＝﹣2+4＝，
故答案为．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．计算：．
解：原式＝2+2﹣﹣（2﹣）﹣1
＝2+2﹣﹣2+﹣1
＝1．
20．解方程组：．
解：由②，得（x+3y）（x﹣y）＝0，
所以x+3y＝0③或x﹣y＝0④．
由①③、①④可组成新的方程组：
，．
解这两个方程组，得，．
所以原方程组的解为：，．
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝5，BC＝8，sinB＝．
（1）求边AC的长；
（2）求⊙O的半径长．
解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵sinB＝＝，AB＝5，
∴AH＝3，
∴BH＝＝＝4，
∵CH＝BC﹣BH，
∴CH＝4，
∴AC＝＝＝5；
（2）如图2，连接OB，OC，AO，AO交BC于点E，
∵AB＝AC＝5，OC＝OB，
∴AO是BC的垂直平分线，
∴BE＝EC＝4，
∴AE＝＝＝3，
∵BO2＝BE2+OE2，
∴BO2＝16+（OB﹣3）2，
∴BO＝．
22．为配合崇明“花博会”，花农黄老伯培育了甲、乙两种花木各若干株．如果培育甲、乙两种花木各一株，那么共需成本500元；如果培育甲种花木3株和乙种花木2株，那么共需成本1200元．
（1）求甲、乙两种花木每株的培育成本分别为多少元？
（2）市场调查显示，甲种花木的市场售价为每株300元，乙种花木的市场售价为每株500元．黄老伯决定在将成本控制在不超过30000元的前提下培育两种花木，并使总利润不少于18000元．若黄老伯培育的乙种花木的数量比甲种花木的数量的3倍少10株，请问黄老伯应该培育甲、乙两种花木各多少株？
解：（1）设甲种花木每株的培育成本为x元，乙种花木每株的培育成本为y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种花木每株的培育成本为200元，乙种花木每株的培育成本为300元．
（2）设黄老伯应该培育甲种花木m株，则应该培育乙种花木（3m﹣10）株，
依题意得：，
解得：≤m≤30，
由∵m为整数，
∴m＝29或30，
∴3m﹣10＝77或80．
答：黄老伯应该培育甲种花木29株、乙种花木77株或甲种花木30株、乙种花木80株．
23．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B．
（1）求证：CE?AD＝DE2；
（2）求证：．
【解答】证明：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，
∴∠B＝∠C，AB＝DC，∠ADE＝∠DEC，
∵∠AED＝∠B，
∴∠C＝∠AED，
∴△ADE∽△DEC，
∴，
∴CE?AD＝DE2；
（2）∵△ADE∽△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B，且其顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求∠BAD的正切值；
（3）设点C为抛物线与x轴的另一个交点，点E为抛物线的对称轴与直线y＝x﹣3的交点，点P是直线y＝x﹣3上的动点，如果△PAC与△AED是相似三角形，求点P的坐标．
解：（1）在y＝x﹣3中，
x＝0时，y＝﹣3，
y＝0时，x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣3），
把A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
又∵A（3，0），B（0，﹣3），
∴AD＝，
BD＝，
AB＝，
∵，
，
∴AB2+BD2＝AD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴tan∠BAD＝；
（3）∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，
∴∠1＝∠2＝45°，
又∵DE∥OB，
∴∠3＝∠2＝45°，
∴∠AED＝135°，
又∵△PAC与△AED相似，∠1＝45°，
∴点P在x轴上方，
且或，
在y＝x﹣3中，x＝1时，y＝﹣2，
在y＝x2﹣2x﹣3中，y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴E（1，﹣2），C（﹣1，0），
∴AC＝3﹣（﹣1）＝4，
DE＝（﹣2）﹣（﹣4）＝2，
AE＝，
∴或，
解得：AP＝2或，
过点P作PQ⊥x轴于点Q，
又∵∠4＝∠1＝45°，
∴△PAQ是等腰直角三角形，
当AP＝2时，AQ＝2，此时P（5，2），
当AP＝4时，AQ＝4，此时P（7，4），
综上所述，P点坐标为（5，2）或（7，4）．
25．如图1，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，点F在边AD上，EF⊥BD，垂足为G．
（1）如图2，当矩形ABCD为正方形时，求的值；
（2）如果＝，AF＝x，AB＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）如果AB＝4cm，以点A为圆心，3cm长为半径的⊙A与以点B为圆心的⊙B外切．以点F为圆心的⊙F与⊙A、⊙B都内切．求的值．
解：（1）如图，延长FE交BC的延长线于点M，
设正方形ABCD的边长为k，
则AB＝BC＝CD＝AD＝k，
∵E为CD中点，
∴DE＝CE＝，
∵正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∠BDC＝∠ADC，
∴∠BDC＝45°，
∵EF⊥BD，
∴∠DEF＝45°，
∴∠DFE＝45°，
∴DF＝DE＝k，
∵正方形ABCD中，AD∥BC，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴；
（2）如图，延长FE交BC的延长线于M，
设DF＝a，则CM＝a，
∵，，
∴BM＝5a，BC＝4a，
∴AF＝x＝3a，
∴a＝，
∴DF＝，
∵AB＝y，
∴DE＝，
∵∠ADC＝90°，EF⊥BD，
∴∠ADB＝∠DEF，
∴tan∠ADB＝tan∠DEF，
∴，
∴，
∴，
∵x＞0，y＞0，
∴y与x的函数关系式为，
函数定义域为：x＞0；
（3）设⊙F的半径为rcm，则根据题意得：
⊙B的半径为1cm，
AF＝cm，BF＝cm，
∵矩形ABCD中，∠A＝90°，
∴AF2+AB2＝BF2，
∴（r﹣3）2+42＝（r﹣1）2，
∴r＝6，
即⊙F的半径为6cm，
∴AF＝3cm，
∵tan∠ADB＝tan∠DEF，
∴，
∴AD2﹣3AD﹣8＝0，
∴或（舍去），
∴＝．

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