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2021年江苏省苏州市常熟市中考数学调研试卷（3月份）
一、选择题（共10小题）.
1．下列实数中是无理数的是（　　）
A．0.385 B． C．﹣ D．π
2．一组数据：5、8、6、3、4的中位数是（　　）
A．5 B．6 C．4 D．8
3．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000 000 007毫米，将数据0.000 000 007用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣8 B．7×10﹣9 C．0.7×10﹣8 D．0.7×10﹣9
4．下列计算正确的是（　　）
A．（x3）2＝x6 B．y3÷y3＝y C．3m+3n＝6mn D．a2?a3＝a6
5．已知直线l1∥l2，将一块直角三角板ABC（其中∠A是30°，∠C是60°）按如图所示方式放置，若∠1＝84°，则∠2等于（　　）
A．56° B．64° C．66° D．76°
6．关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有实数根，则c应满足的条件是（　　）
A．c≤4 B．c≥4 C．c＜4 D．c＞4
7．反比例函数y＝的图象经过下列哪个点（　　）
A．（﹣2，﹣2） B．（1，﹣4） C．（2，﹣2） D．（4，﹣1）
8．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上．则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D在上（不与点A，C重合），连接AD，CD．若∠D＝110°，则∠AEC的度数为（　　）
A．55° B．50° C．45° D．40°
10．如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　）
A．5 B． C． D．
二、填空题（共8小题）.
11．若有意义，那么x满足的条件是　 　．
12．若甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是96分，它们的方差分别是S甲2＝3.6，S乙2＝4.6，S丙2＝6.3，S丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是　 　．
13．直接写出因式分解的结果：x3﹣xy2＝　 　．
14．已知a2+3a+1＝0，求6﹣3a2﹣9a的值为　 　．
15．一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为　 　cm．
16．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，AD的延长线交BC于点E，F是AC中点，连接DF，若AB＝10，BC＝24，则DF的长为　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第一象限，AB交y轴于点C，且AC＝BC，反比例函数的图象经过点B，若△AOB的面积为3，则k的值为　 　．
18．如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，且BD⊥BC，垂足为B．若∠ABC＝30°，BC＝2，BD＝4，则AB＝　 　．
三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.
19．计算：．
20．解不等式组：．
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BF＝CE．求证：AE∥DF．
23．某班主任对班里学生错题整理情况进行调查，反馈结果分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“经常整理”，B类表示“有时整理”，C类表示“很少整理”，D类表示“从不整理”，并把调查结果制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图，请你根据图表提供的信息解答下列问题：
（1）参加这次调查的学生总人数为　 　人，类别C的学生人数为　 　人，请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为　 　°；
（3）类别D的4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率．
24．小明通过某网络平台直播售卖A、B两种型号的服装，已知每件A型号服装比每件B型号服装售价贵50元．在一次直播过程中，A、B两种型号服装的销售额分别为3000元和2000元，并且A、B两种型号服装销售数量相同．求A、B两种型号服装每件的售价．
25．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，2），连接AC，BC．
（1）求这个二次函数的表达式及点A坐标；
（2）点P是AC上方抛物线上的动点，当四边形ABCP的面积最大时，求点P的坐标．
26．如图，AB为⊙O直径，AE为切线，C为圆上一点，连接EC交AB于点D，交⊙O于点F，连接AF、BC，且BC＝CD．
（1）若∠E＝20°，求∠B的度数；
（2）连接AC，求证：AC2＝CD?EC；
（3）若ED＝3BC，求cos∠FAB．
27．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，AB＝8，∠DAB＝60°，AB绕A逆时针旋转，点B的对应点为E，连接BE，CE，设旋转角度为α（0°＜α＜180°）．
（1）如图①当α＝30°时，AE与CD相交于点F，此时，DF的长为　 　；
（2）在AB旋转过程中，求线段CE的最小值；
（3）当△CBE是以BE为直角边的直角三角形时，求CE的长．
28．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点D，E分别在线段OB和线段AB上，连接DE，点B关于DE的对称点F落在线段OA上，连接DF，EF，点C是线段AB中点．
（1）如图①，当点D与原点重合时，点E的坐标是　 　；
（2）如图②，当EF∥OB时，
①求证：四边形BEFD是菱形；
②连接OC，交EF于点G，连接DG，求证：DG⊥EF．
（3）如图③，当EF与OB不平行时，是否还有DG⊥EF？请作出判断并说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．下列实数中是无理数的是（　　）
A．0.385 B． C．﹣ D．π
解：0.385，＝3，﹣是有理数，
π是无理数，
故选：D．
2．一组数据：5、8、6、3、4的中位数是（　　）
A．5 B．6 C．4 D．8
解：从小到大排列此数据为：3、4、5、6、8，最中间的数是5，
故中位数是5．
故选：A．
3．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000 000 007毫米，将数据0.000 000 007用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣8 B．7×10﹣9 C．0.7×10﹣8 D．0.7×10﹣9
解：0.000 000 007＝7×10﹣9．
故选：B．
4．下列计算正确的是（　　）
A．（x3）2＝x6 B．y3÷y3＝y C．3m+3n＝6mn D．a2?a3＝a6
解：A、（x3）2＝x6，故此选项正确；
B、y3÷y3＝1，故此选项错误；
C、3m+3n无法合并，故此选项错误；
D、a2?a3＝a5，故此选项错误；
故选：A．
5．已知直线l1∥l2，将一块直角三角板ABC（其中∠A是30°，∠C是60°）按如图所示方式放置，若∠1＝84°，则∠2等于（　　）
A．56° B．64° C．66° D．76°
解：∵∠3+∠4+∠A＝180°，∠A＝30°，∠4＝∠1＝84°，
∴∠3＝180°﹣∠A﹣∠4＝180°﹣30°﹣84°＝66°．
又∵直线l1∥l2，
∴∠2＝∠3＝66°．
故选：C．
6．关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有实数根，则c应满足的条件是（　　）
A．c≤4 B．c≥4 C．c＜4 D．c＞4
解：根据题意△＝42﹣4c≥0，
解得c≤4．
故选：A．
7．反比例函数y＝的图象经过下列哪个点（　　）
A．（﹣2，﹣2） B．（1，﹣4） C．（2，﹣2） D．（4，﹣1）
解：∵反比例函数y＝，
∴xy＝4，
A、﹣2×（﹣2）＝4，故此选项正确；
B、1×（﹣4）＝﹣4，故此选项错误；
C、2×（﹣2）＝﹣4，故此选项错误；
D、4×（﹣1）＝﹣4，故此选项错误；
故选：A．
8．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上．则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
解：∠B是Rt△ABD的一个锐角，
∴sinB＝，
而BD＝AD＝3，AB＝＝3，
∴sinB＝＝，
故选：B．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D在上（不与点A，C重合），连接AD，CD．若∠D＝110°，则∠AEC的度数为（　　）
A．55° B．50° C．45° D．40°
解：如图，连接OC，BC，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠D+∠ABC＝180°，
∵∠D＝110°，
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝180°﹣110°＝70°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，即∠OCE＝90°，
∴∠AEC＝90°﹣∠BOC＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．
10．如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　）
A．5 B． C． D．
解：过点D作DE⊥BC，
∵菱形ABCD中，AD∥BC，
∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD＝a，即菱形的边长是a，
∴，即DE＝4．
当点P在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB＝5，
∴BE＝＝＝3．
在Rt△DCE中，DC＝a，CE＝a﹣3，DE＝4，
∴a2＝42+（a﹣3）2，解得a＝．
故选：C．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卷相应位置上.
11．若有意义，那么x满足的条件是　x≤1　．
解：要使有意义，则1﹣x≥0，
解得，x≤1，
故答案为：x≤1．
12．若甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是96分，它们的方差分别是S甲2＝3.6，S乙2＝4.6，S丙2＝6.3，S丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是　甲　．
解：∵S甲2＝3.6，S乙2＝4.6，S丙2＝6.3，S丁2＝7.3，
∴S甲2＜S乙2＜S丙2＜S丁2，
∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，
故答案为：甲．
13．直接写出因式分解的结果：x3﹣xy2＝　x（x+y）（x﹣y）　．
解：原式＝x（x2﹣y2）
＝x（x+y）（x﹣y）．
故答案为：x（x+y）（x﹣y）．
14．已知a2+3a+1＝0，求6﹣3a2﹣9a的值为　9　．
解：当a2+3a+1＝0时，
原式＝6﹣3（a2+3a）
＝6﹣3×（﹣1）
＝9
故答案为：9
15．一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为　3　cm．
解：设该圆锥底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝3，
即该圆锥底面圆的半径为3．
故答案为：3．
16．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，AD的延长线交BC于点E，F是AC中点，连接DF，若AB＝10，BC＝24，则DF的长为　7　．
解：在△ADB和△EDB中，
，
∴△ADB≌△EDB（ASA），
∴EB＝AB＝10，AD＝DE，
∵BC＝24，
∴CE＝BC﹣BE＝14，
∵AF＝FC，AD＝DE，
∴DF＝CE＝7，
故答案为：7．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第一象限，AB交y轴于点C，且AC＝BC，反比例函数的图象经过点B，若△AOB的面积为3，则k的值为　6　．
解：过B作BD⊥x轴于D，如图：
∵BD⊥x轴，CO⊥x轴，
∴BD∥OC．
∵AC＝BC，
∴OC是△ABD的中位线．
∴AO＝OD．
∴S△AOB＝S△BOD．
∵△AOB的面积为3，
∴S△BOD＝3．
设点B的坐标为（a，b），
∵点B在第一象限，
∴a＞0，b＞0．
∴OD＝a，BD＝b．
∴S△BOD＝3＝ab．
∴ab＝6．
∵反比例函数的图象经过点B，
∴k＝ab＝6．
故答案为：6．
18．如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，且BD⊥BC，垂足为B．若∠ABC＝30°，BC＝2，BD＝4，则AB＝　2+　．
解：连接CD，过点C作CE⊥AB于E，
在Rt△CBE中，∠ABC＝30°，
∴CE＝BC＝1，BE＝BC＝，
由圆周角定理得，∠CAB＝∠CDB，
∵tan∠CDB＝＝，
∴tan∠CAB＝，即＝，
∴AE＝2，
∴AB＝AE+BE＝2+，
故答案为：2+．
三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.
19．计算：．
解：原式＝4+3﹣﹣1
＝6﹣．
20．解不等式组：．
解：，
由①得x≥，
由②得x＜2，
所以，原不等式组得解集为≤x＜2．
21．先化简，再求值：，其中．
解：
＝
＝
＝
＝，
当a＝﹣1时，原式＝＝．
22．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BF＝CE．求证：AE∥DF．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+EF＝CE+EF，
即BE＝CF，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠DFC，
∴AE∥DF．
23．某班主任对班里学生错题整理情况进行调查，反馈结果分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“经常整理”，B类表示“有时整理”，C类表示“很少整理”，D类表示“从不整理”，并把调查结果制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图，请你根据图表提供的信息解答下列问题：
（1）参加这次调查的学生总人数为　40　人，类别C的学生人数为　6　人，请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为　54　°；
（3）类别D的4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率．
解：（1）参加这次调查的学生总人数为20÷50%＝40（人），
类别C的学生人数为40﹣20﹣10﹣4＝6（人），补全统计图如下：
故答案为：40、6；
（2）类别C所对应扇形的圆心角度数为：360°×＝54°．
故答案为：54；
（3）根据题意列表得：
男1 男2 男3 女
男1 ﹣﹣ 男2男1 男3男1 女男1
男2 男1男2 ﹣﹣ 男3男2 女男2
男3 男1男3 男2男3 ﹣﹣ 女男3
女 男1女 男2女 男3女 ﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中都是男生的有6种可能．
所以所选取的2名学生恰好都是男生的概率为＝．
24．小明通过某网络平台直播售卖A、B两种型号的服装，已知每件A型号服装比每件B型号服装售价贵50元．在一次直播过程中，A、B两种型号服装的销售额分别为3000元和2000元，并且A、B两种型号服装销售数量相同．求A、B两种型号服装每件的售价．
解：设每件B型号服装的售价为x元，则每件A型号服装的售价为（x+50）元，
依题意得：＝，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴x+50＝150．
答：每件A型号服装的售价为150元，每件B型号服装的售价为100元．
25．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，2），连接AC，BC．
（1）求这个二次函数的表达式及点A坐标；
（2）点P是AC上方抛物线上的动点，当四边形ABCP的面积最大时，求点P的坐标．
解：（1）二次函数y＝﹣+bx+c的图象与x轴交于B（1，0），与y轴交于点C（0，2），
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x+2，
当y＝0时，x＝1或﹣4，
∴A（﹣4，0）；
（2）∵点A（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，2），
∴△ABC的面积是×（1+4）×2＝5，
∵四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACP的面积，
∴当四边形ABCP的面积最大时，即△ACP的面积最大即可，
过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q，
设点P的坐标为（p，﹣p2﹣p+2），
设过点A（﹣4，0），点C（0，2）的直线解析式为y＝dx+e，
，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
当x＝p时，y＝p+2，
∴Q（p，），
∴△ACP的面积是×PQ×OA＝×（﹣p﹣2）×4＝﹣（p+2）2+4，
∴当p＝﹣2时，△ACP的面积最大，
∴点P（﹣2，3）．
26．如图，AB为⊙O直径，AE为切线，C为圆上一点，连接EC交AB于点D，交⊙O于点F，连接AF、BC，且BC＝CD．
（1）若∠E＝20°，求∠B的度数；
（2）连接AC，求证：AC2＝CD?EC；
（3）若ED＝3BC，求cos∠FAB．
解：（1）∵AE是⊙O的切线，
∴∠EAD＝90°，
∵∠E＝20°，
∴∠EDA＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BDC＝∠EDA＝70°，
又∵BC＝CD
∴∠B＝∠BDC＝70°；
（2）连接AC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠B＝70°，
∴∠CAD＝20°，
∴∠CAD＝∠E，
又∵∠ACD＝∠ECA，
∴△ACD∽△ECA，
∴，
∴AC2＝EC?CD．
（3）连接BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴cos∠FAB＝，
设BC＝CD＝a，
则ED＝3BC＝3a，
EC＝ED+CD＝4a，
∵CD＝BC，
∴∠ABC＝∠CDB＝∠ADF＝∠AFD，
设AD＝AF＝b，
由（2）知AC2＝EC?CD＝4a?a＝4a2，
∴AC＝2a，
AB＝，
∵CAB＝∠E，∠ACB＝∠EAD＝90°
∴Rt△ACB∽R△EAD，
∴，
即，
∴EA＝2b，
在Rt△EAD中，EA2+AD2＝ED2，
∴ED＝，
又∵ED＝3a，
∴，
∴，
∴cos∠FAB＝＝．
27．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，AB＝8，∠DAB＝60°，AB绕A逆时针旋转，点B的对应点为E，连接BE，CE，设旋转角度为α（0°＜α＜180°）．
（1）如图①当α＝30°时，AE与CD相交于点F，此时，DF的长为　4　；
（2）在AB旋转过程中，求线段CE的最小值；
（3）当△CBE是以BE为直角边的直角三角形时，求CE的长．
解：（1）当∠α＝30°时，
∵∠DAB＝60°，
∴∠DAF＝30°，
在四边形ABCD中，DC∥AB，即∠FAB＝∠DFA＝30°，
∴∠DAF＝∠DFA＝30°，
∴DA＝DF＝4，
故答案为：4．
（2）如图1中，连接AC，过点A作AH⊥CH于H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，AD∥BC，
∴∠DAB＝∠ABH＝60°，
∵∠H＝90°，
∴BH＝AB?cos60°＝4，AH＝AB?sin60°＝4，
∴CH＝BC+BH＝8，
在Rt△ACF中，AC＝＝＝4，
∵AE＝AB＝8，CE≥AC﹣AE，
∴CE≥4﹣8，
∴CE的最小值为4﹣8．
（3）由题意，只有∠CEB＝90°．如图2中，取BC的中点J，连接AJ交BE于K，连接EJ，过点J作JT⊥AB交AB的延长线于T．
在Rt△BJT中，BJ＝2，∠T＝90°，∠JBT＝60°，
∴BT＝JB?cos60°＝1，TJ＝BT＝，
∴AT＝AB+BT＝9，
∴AJ＝＝＝4，
∵∠CEB＝90°，CJ＝JB，
∴JE＝JB＝JC，
∵AE＝AB，
∴AJ垂直平分线段BE，
∴EK＝KB，
∵CJ＝JB，
∴EC＝2KJ，
∵∠KAB＝∠TAJ，∠AKB＝∠T＝90°，
∴△AKB∽△ATJ，
∴＝，
∴AK＝，
∴KJ＝AJ﹣AK＝，
∴EC＝2EJ＝．
28．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点D，E分别在线段OB和线段AB上，连接DE，点B关于DE的对称点F落在线段OA上，连接DF，EF，点C是线段AB中点．
（1）如图①，当点D与原点重合时，点E的坐标是　（，）　；
（2）如图②，当EF∥OB时，
①求证：四边形BEFD是菱形；
②连接OC，交EF于点G，连接DG，求证：DG⊥EF．
（3）如图③，当EF与OB不平行时，是否还有DG⊥EF？请作出判断并说明理由．
【解答】（1）解：如图①，过点E作EM⊥x轴于点M，设点E的横坐标为a，
∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，3），
∵点B，点F关于DE对称，
∴∠BDE＝∠FDE＝45°，
∵EM⊥x轴，
∴EM＝OM＝a，
∴点E的坐标为（a，a），
代入y＝x+3，得a＝a+3，
解得：a＝，
∴点E的坐标是（，），
故答案为：（，）；
（2）证明：①如图②，
∵点B，点F关于DE对称，
∴∠BDE＝∠FDE，BD＝DF，BE＝EF，
∵EF∥OB，
∴∠BDE＝∠DEF，
∴∠FDE＝∠DEF，
∴DF＝EF，
∴BD＝DF＝BE＝EF，
∴四边形BEFD是菱形；
②如图④，
∵四边形BEFD是菱形，
∴∠OBA＝∠2，
∵点C是线段AB中点，
∴OC＝BC，
∴∠OBA＝∠1，
∴∠1＝∠2，
∴D、O、F、G四点共圆，
∴∠DGF+∠DOF＝180°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠DGF＝90°，即：DG⊥EF；
（3）解：当EF与OB不平行时，有DG⊥EF，如图③，
理由：∵点B，点F关于DE对称，
∴∠OBA＝∠2，
∵点C是线段AB中点，
∴OC＝BC，
∴∠OBA＝∠1，
∴∠1＝∠2，
∴D、O、F、G四点共圆，
∴∠DGF+∠DOF＝180°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠DGF＝90°，即：DG⊥EF．

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