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等比数列性质
一、基础知识
1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比
注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列
2、等比数列通项公式：，也可以为：
3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项
（1）若为的等比中项，则有
（2）若为等比数列，则，均为的等比中项
（3）若为等比数列，则有
4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为
当时，则为常数列，所以
当时，则
可变形为：，设，可得：
5、由等比数列生成的新等比数列
（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列
（2）已知等比数列，则有
①
数列（为常数）为等比数列
②
数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列
③
数列为等比数列
④
数列为等比数列
6、相邻项和的比值与公比相关：
设，则有：
特别的：若
，则成等比数列
7、等比数列的判定：（假设不是常数列）
（1）定义法（递推公式）：
（2）通项公式：（指数类函数）
（3）前项和公式：
注：若，则是从第二项开始成等比关系
（4）等比中项：对于，均有
8、非常数等比数列的前项和
与前项和的关系
，因为是首项为，公比为的等比数列，所以有
例1：已知等比数列的公比为正数，且，则________
思路：因为，代入条件可得：，因为，所以，
所以
答案：
例2：已知为等比数列，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路一：由可求出公比：，可得，所以
思路二：可联想到等比中项性质，可得，则，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以
答案：D
小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
例3：已知等比数列的前项和为，则实数的值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前项和为的形式，所以，即
答案：A
例4：设等比数列的前项和记为，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由可得：，可发现只有分子中的指数幂不同，所以作商消去后即可解出，进而可计算出的值
解：
，解得：
所以
答案：A
例5：已知数列为等比数列，若，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路：与条件联系，可将所求表达式向靠拢，从而，即所求表达式的值为
答案：C
例6：已知等比数列中，则其前5项的和的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
思路：条件中仅有，所以考虑其他项向靠拢，所以有，再求出其值域即可
解：
，设，所以
答案：A
例7：已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（
）
A.
充要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分不必要条件
D.
既不充分也不必要条件
思路：在等比数列中，数列的增减受到的符号，与的影响。所以在考虑反例时可从这两点入手。将条件转为命题：“若，则数列是递增数列”，如果，则是递减数列，所以命题不成立；再看“若数列是递增数列，则”，同理，如果，则要求，所以命题也不成立。综上，“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件
答案：D
例8：在等比数列中，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
解：条件与结论分别是的前项和与倒数和，所以考虑设，则
所以
答案：B
例9：已知等比数列中，各项都是正数，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
思路：所求分式中的分子和分母为相邻4项和，则两式的比值与相关，所以需要求出。由条件，将等式中的项均用即可求出。从而解得表达式的值
解：成等差数列
将代入等式可得：
，而为正项数列，所以不符题意，舍去
答案：C
例10：在正项等比数列中，，则满足的最大正整数的值为____________
思路：从已知条件入手可求得通项公式：，从而所满足的不等式可变形为关于的不等式：，由
的指数幂特点可得：
，所以只需，从而解出的最大值
解：设的公比为，则有
解得：（舍）或
所以所解不等式为：
可解得：
的最大值为
答案：

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