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2020级高一数学导学案 为你提高数学成绩，赵老师全力以赴
§3 从速度的倍数到向量的数乘
§3.1 向量的数乘运算
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、理解向量数乘的概念及其几何意义。 2、了解向量数乘的运算律并能应用。
3、理解向量的线性运算（线性组合）的概念。 重点：1、向量的数乘及其几何意义。
2、向量数乘的运算律及其应用。
难点：向量的线性运算。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材P87—P88“向量的数乘运算”部分
情景一：在大气中，光的传播速度大约为米/秒，声音的传播速度大约为340米/秒，又称1马赫（音速单位：1马赫=1200千米/时），光速约为声速的倍。所以，当我们看到闪电后，通过读秒直至听到雷声就能判断雷电距离我们大致多远。
情景二：2021年4月1日是“中美南海撞击事件”20周年。2001年4月1日，美国一架EP—3电子侦察机侵犯我南海领空，我军派出两架歼—8Ⅱ战斗机跟踪拦截，美军飞机突然撞向我战机，致使我战机坠毁，飞行员王伟牺牲。EP—3电子侦察机最大时速为800km/h(0.7马赫)，歼—8Ⅱ战斗机最大时速为2500km/h(2.2马赫)。歼—8Ⅱ战斗机最大时速约是EP—3电子侦察机的3倍。
以上实例说明存在这样的两个向量，它们是共线的，且大小具有倍数关系。因此，有必要定义实数与向量的乘积运算。
【抽象概括】
1、数乘向量的定义
实数与向量的乘积是一个向量，记作，其方向与长度满足：
（1）当时，与同向；当时，与反向；当时，。
（2）。
这种运算称为向量的数乘，或数乘向量。
2、数乘向量的几何意义
当时，的长度是的长度在原方向伸长或缩短倍；
当时，的长度是的长度在反方向伸长或缩短倍。
3、向量的单位化
非零向量方向上的单位向量是，即非零向量除以它的模（乘它的模的倒数）是一个与同向的单位向量，这个过程称为向量的单位化。
思考：与非零向量共线的单位向量如何表示？
4、数乘向量的运算律
（1）结合律：；
（2）分配律：；。
5、向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算，称为向量的线性运算，又称线性组合，即称为，的线性运算或线性组合，若，则称向量可由，线性表示。
例1 判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）若，则或；
（2）任意向量都可以单位化；
（3）与非零向量共线的单位向量有两个，分别为；
（4）向量的线性运算的结果还是一个向量。
例2化简下列各式：
（1）； （2）；
（3）。
例3 设是未知向量，解方程
。
例4如图，已知是所在平面内一点，点为边的中点，且，说明向量与的关系。
1、已知向量，说出下列向量与的关系。
（1）； （2）； （3）。
2、化简下列各式。
（1）；
（2）.
3、求下列未知向量。
（1）；
（2）。
4、在中，点为边的中点，点为边的中点，求证：
。
5、已知非零向量，，，，画图并说明是的平分线。
6、点在所在平面内，满足。
证明：是重心。
第1页（共3页）——第二章 平面向量及其应用

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