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2020级高一数学导学案 为你提高数学成绩，赵老师全力以赴
§4 平面向量基本定理及坐标表示
§4.1 平面向量基本定理
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、理解平面向量基本定理及基底的概念。 2、会用基底表示其它向量。
3、会应用平面向量基本定理解决有关的综合问题 。 重点：1、平面向量基本定理。
2、平面向量基本定理的应用。
难点：平面向量基本定理的综合应用。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材P94—P95“平面向量基本定理”部分
【问题提出】
向量的加法、减法与数乘统称向量的线性运算，任意两个向量的线性运算的结果仍是一个向量。那么，对于平面内给定的两个不共线的向量，任意向量是否都能表示为的线性组合？
分析：如图，给定的两个不共线的向量，以及任意一个向量。
在平面内任取一点，作，，。过点分别作，的平行线，交直线，分别于点，。由共线（平行）向量基本定理知，存在唯一一对实数，，使得，。又由平行四边形法则知，，所以。
结论：平面内任意向量都可以由不共线向量，唯一的线性表示。
【抽象概括】
平面向量基本定理：若向量和不共线，则对平面内任意向量，存在唯一实数对，，使
。
其中，不共线向量和叫作平面内所有向量的一组基，记作。
若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基；若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基。
平面向量基本定理又称平面向量分解定理，正交基下的分解叫作正交分解，标准正交基下的分解叫标准正交分解。
特别地，若向量和不共线，且。
例1如图，在基下，分解向量：，，，。
解：，
，
，
。
例2 如图，在□中，点，分别为，的中点，，，用，表示和。
解：；
。
例3如图，已知点，，分别是三边，，上的点，且，，。设，，选择基，试写出下列，，在此基下的分解式。
解：
；
；
。
【方法总结】用基向量表示其它向量的方法：
（1）选择被表示向量所在的三角形；
（2）根据向量加（减）法的三角形法则，将被表示向量用另两个向量写出；
（3）通过共线向量或与基有关的向量逐步靠拢基向量。
例4 已知基，实数满足，求的值。
解：不共线，，解得。
结论：若不共线，则充要条件是。
1、如图，在基下，分解下列向量：，，，。
2、已知基，实数，满足：，求的值。
3、已知□的两条对角线交于点，设，，选择基，试写出下列向量在此基下的分解式：，，，。
4、设是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量不能作为一组基的是（ ）。
A．和 B．和
C．和 D．和
第1页（共3页）——第二章 平面向量及其应用

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