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2020级高一数学导学案 为你提高数学成绩，赵老师全力以赴
§4.2 平面向量及运算的坐标表示
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、掌握平面向量的坐标表示。 2、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
3、理解用坐标表示的平面向量共线的充要条件。 重点：1、平面向量的坐标。
2、平面向量运算的坐标表示。
难点：平面向量共线的坐标表示。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材P96—P97“平面向量的坐标表示”部分
【温故知新】
1、点的坐标
在平面直角坐标系中，点和有序数对一一对应，称有序数对为点的坐标，记作。
2、点的位置向量
在平面直角坐标系中，以坐标原点为起点，以为终点的向量叫作点的位置向量。
问题一：在平面直角坐标系中，分别与轴、轴同方向的两个单位向量，能否作为平面向量的一组基？在标准正交基下，点的位置向量如何用，线性表示?
分析：
问题二：在平面直角坐标系中，把任意向量的起点移到原点，终点是否唯一？任意向量与其对应的位置向量在标准正交基下线性表示一样吗？
分析：
问题三：在平面直角坐标系中，任意向量在标准正交基下线性表示是唯一的，基向量的系数就是其位置向量终点的坐标，那么任意向量能否用有序数对表示？
分析：
【抽象概括】
1、平面向量坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴同方向单位向量，作为标准正交基，任意向量，存在唯一实数对，使，称为向量在标准单位向量下的坐标，记作，即
。
例1在平面内，以点的正东方向为轴的正向，正北方向为轴的正向建立平面直角坐标系。质点在平面内作直线运动，画出下列位移向量在基下的正交分解，并求出位移向量的坐标：
（1）向量表示沿东北方向移动了2个单位长度；
（2）向量表示沿北偏西方向移动了3个单位长度；
（3）向量表示沿南偏东方向移动了4个单位长度。
解：（1）
，；
（2）
，；
（3）
，。
二、阅读教材P97“平面向量线性运算的坐标表示”部分
2、平面向量线性运算的坐标表示
设，，，则
。
。
。
3、一个向量的坐标与起点、终点坐标的关系
设，，则
。
例2 已知，，求，，的坐标。
解：；
；
。
例3 已知，，，用向量的方法求□的顶点的坐标。
解：设，由，得
，
即，
所以，解得，。
例4已知，，，且，求点的坐标。
解：，，
，
设，则，
，，
，解得，。
三、阅读教材P99“平面向量平行的坐标表示”部分
4、向量共线的坐标表示
设，，。（交叉积的差为0）
一方面，，则，，
于是，消去，得。
另一方面，，又，设，得，则
，其中，。
设，得，则，其中， 。综上知，。
例5已知是坐标原点，，，。当为何值时，三点共线？
解：以题意，得
，
。
因为三点共线，所以，，
，
解得 或。
所以，当或时，三点共线。
1、已知向量，的坐标，求，的坐标。
（1），； （2），；
（3），； （4），。
2、已知，，求，的坐标。
3、已知两点的坐标，求，的坐标。
（1），； （2），；
（3），； （4），。
4、已知作用在原点的三个力，，，求这些力的合力的坐标。
5、已知三点的坐标分别为，，，判断向量与是否共线。
第1页（共3页）——第二章 平面向量及其应用

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