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2020级高一数学导学案 为你提高数学成绩，赵老师全力以赴
§5 从力的做功到向量的数量积
§5.1 向量的数量积
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、理解平面向量数量积的概念及其物理意义。 2、理解投影的概念和数量积的几何意义。
3、掌握数量积的性质，了解数量积的运算律。 重点：1、平面向量数量积的概念。
2、数量积的几何意义
3、数量积的性质。
难点：平面向量数量积的几何意义。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材P101“向量的数量积的定义”部分
情景一：重量为kg的轿车以km/h匀速直线行驶，轿车的牵引力为重力的，则轿车在牵引力和阻力下行驶1小时所做的功分别是多少？
分析：轿车受到重力，则
；。
1小时轿车行驶的位移kmm，设位移方向为正方向，则
牵引力做功：，为正数，即牵引力做正功；
阻引力做功：，为负数，即阻引力做负功。
情景二：如图，物体在力的作用下产生的位移为，若的方向与位移的方向夹角为，如何求力对物体做的功？
分析：当时，在位移方向的分力，方向与位移同向，则力对物体做的功为；
当时，在位移方向的分力，方向与位移反向，
则力对物体做的功为。
问题：当力与位移的夹角，，，力物体所做的功是否满足
？
【抽象概括】
1、数量积的定义
设两非零向量和，夹角为，称为与的数量积（或内积），记作，即
。
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即。
注意：两向量的数量积是个数量，实数与向量的积（数乘向量）是个向量。
当时，，特别地，当时，；
当9时，，特别地，当时，；
当时，。
二、阅读教材P102“向量的投影及数量积的几何意义”部分
2、投影及数量积的几何意义
（1）投影的定义
已知两非零向量和，夹角为，作，，过点作直线的垂线，垂足为，称有向线段为在上的投影，数量为。
思考：在上的投影数量如何表示？
在上的投影数量：；在上的投影数量：。
（2）数量积的几何意义
，
几何意义：表示的模与在上的投影数量的积；
或的模与在上的投影数量的积。
例1 已知向量与的夹角，且，。求：
（1）；
（2）在上的投影数量；
（3）在上的投影数量。
三、阅读教材P102—P103“数量积的运算性质”部分
3、数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：；
（3）分配率：
思考：任意向量，，满足？
4、数量积的性质
（1）若是单位向量，则；
（2）任意向量，，则；
（3），即；
（4）；
（5），当且仅当时等号成立。
例2 已知向量与的夹角，且，。求：
（1）；
（2）；
（3）。
例3 已知向量，，，其中，，且，，求在上的投影数量。
例4 已知，且。
求证：。
1、一个物体在大小为的力的作用下产生大小为100m的位移，且力与的夹角为，则力所做的功 J。
2、已知与共线，且，，求。
3、已知，，分别求下列条件下的值。
（1）； （2）； （3）。
4、在中，，，若，试判断的形状。
5、（1）若，且，能否推出？为什么？
（2）判断是否成立？为什么？
第1页（共3页）——第二章 平面向量及其应用

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