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2020级高一数学导学案 为你提高数学成绩，赵老师全力以赴
§5.2 向量数量积的坐标表示
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、掌握平面向量数量积的坐标表示。 2、会用坐标表示平面向量的模。
3、会用坐标表示两向量的夹角。
4、能用坐标判断两向量的垂直关系。 重点：1、平面向量数量积的坐标。
2、平面向量模的坐标表示。
3、用坐标判断两向量的垂直关系。
难点：平面向量夹角的坐标表示。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
【温故知新】
1、平面向量的坐标
。
其中，，分别是轴，轴方向上的单位向量，称为标准正交基。
2、平面向量线性运算的坐标表示
设，，，则
（1）；
（2）；
（3）。
3、平面向量的运算律
（1）交换律：，。
（2）结合律：，，
。
注意：。
（3）分配率：，，
。
重点提醒：
向量运算律和实数运算律完全相同，向量多项式和代数多项式运算相同。
一、阅读教材P103—P104“平面向量数量积的坐标表示”部分
问题：已知向量，，如何用与的坐标表示？
分析：，，
，，所以
。
1、向量数量积的坐标表示
设向量，，则。
文字表述：两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。
2、向量模的坐标表示
（1）设，则，或。
（2）设，，则
。
这就是平面直角坐标系中两点间的距离公式。
3、向量夹角的坐标表示
设非零向量，，与的夹角为，则
。
4、向量垂直的坐标表示
设向量，，则
。
文字表述：两向量垂直的坐标表示：对应积的和为零。
例1 已知，，
（1）求向量与夹角的余弦值。
（2）若，求和，二者相等吗？。
解：（1）。
（2），
，
所以，。
例2 已知，，，求的值。
解：，，
，
。
例3 已知，，若，求实数的值。
解：（方法一：先求坐标，再代入）
，，，，
，，解得。
（方法二：先整理，再代入）
，，即，
，，，，，
，解得。
反思：方法一，计算量小，但容易出错；方法二，计算量稍大，减少出错。
例4已知点，，，试判断的形状，并说明理由。
解：(方法一：利用边长判断)
，，，，，，
，，，
所以，为直角三角形，且。
（方法二：利用角判断）
，，，，，
，，所以，为直角三角形，且。
反思：方法一，通过求边长判断，目前只能判断直角三角形；方法二，通过角判断，需要多次尝试判断有没有垂直关系，方法二也可以判断非直角三角形。
1、已知力作用于一个物体，使物体从点移动到点，则力对物体所做的功 J。
2、判断下列各对向量是否垂直：
（1），； （2），；
（3），； （4），。
3、已知，，求与的夹角。
4、已知点，，，试判断的形状，并说明理由。
第1页（共3页）——第二章 平面向量及其应用

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