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2020级高一数学导学案 为你提高数学成绩，赵老师全力以赴
§5.3 向量数量积性质的应用
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、能应用向量数量积求长度或距离。 2、能应用向量数量积求夹角。
3、能应用向量数量积判断垂直关系。 重点：1、应用向量数量积求长度或距离。
2、应用向量数量积求夹角。
3、应用向量数量积判断垂直关系。
难点：向量数量积的综合应用。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
【复习回顾】
1、数量积的定义及坐标表示
。
坐标表示： 。
2、数量积的性质及坐标表示
（1）垂直：任意向量，，则，
坐标表示： ；
（2）长度：，即；
坐标表示：，或
（3）夹角：，
坐标表示：。
思考：向量数量积的性质有何应用？（求长度、求夹角、判断位置关系）
一、阅读教材P104—P105“平面向量数量积的应用”部分
（一）利用数量积求长度或距离
例1 已知向量，求的最大值和最小值。
解：，
，
，，。
例2 用向量方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。即已知是平行四边形，，为对角线。求证：
。
证明：设，，
，，
，，
,
又，，
，
即。
反思：完全平方公式在数量积运算中，仍然成立。
；。
（二）利用数量积求夹角
例3已知单位向量，的夹角为，求向量，的夹角。
解：，，
，则；
，则。
，
，，。
例4 已知，，若，求。
解：，，
，，即，
，，，
，，。
（三）利用数量积判断垂直关系
例5 已知点，，，求证：。
证明：，，，
，,
，
，即。
例6 用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直。即
已知是菱形，，为对角线。求证：。
证明：设，，
是菱形，，即，
，，
，
，即。
反思：平方差公式在数量积运算中，仍然成立。
。
1、已知，，，求与的夹角。
2、已知，，与的夹角为，计算下列各式：
（1）； （2）；
（3）。
3、在中，，，根据下列条件求的值。
（1）； （2）； （3）。
4、已知两非零向量，，满足，求与的夹角。
5、已知，，若，，求点的坐标。
第1页（共3页）——第二章 平面向量及其应用

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