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223520-15240专题四 常见的各类问题综合
专题四 常见的各类问题综合

【思路总结与方法】
一、相邻问题
思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算.
解题步骤：
①把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数
②求出其余元素的排列种数
③求出总的排列种数
二、不相邻问题
1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可
2.解题步骤：
①先考虑不受限制的元素的排列种数
②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数
③求出总的排列种数
三、分组问题
1.思路：解决分组问题的关键是如何删去重复排列的组数.一般地，若为平均分则，则应用n个元素分组得到的排列种数除以组数的全排列；若为不平均分组，则应按照实际情况分析重复排列的种数，然后再进行相应计算.
2.解题步骤：
①将所给的N个元素分组.
②去掉排列造成的重复
③求出总的排列种数
【典例展示】
例1（全国）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）种
A.12 B.18 C.36 D.54
【解析】第一步，从3个信封种挑选1个信封放置标号为1,2的卡片，有false种不同的放法；
第二步，将标号为3,4,5,6的4张卡片放入另外2个信封种，每个信封放2个，有false种不同的放法.
由分步计数原理得，所求的不同的放法数N=falsefalse=18
答案：B
例2：（辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）
A.3×3! B.3×（3！）3 C.（3!）4 D.9!
【解析】先把3个家庭分别排列，每个家庭有false种排法，3个家庭共有false种排法；再把3个家庭进行全排列有false种排法.
因此不同的坐法种数为（3!）4
答案：C
例3：将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观卷全部分给4人，没人至少一张,如果分给同一个的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________，
【解析】将5张参观券分成4分，且有2张参观券连号，共有4种分法；
再将4份参观券进行全排列有false种，因此不同的分法种数是4×24=96种
答案：96
例4：（北京）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）.
A.false B.false C.false D.false
【解析】不相邻问题用插空法，8名学生先排有false种排法，产生9个空，2为老师插空有false种排法，所以共有false种排法，故选A.
答案：A
例5：（四川）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，且3位女生中有且仅有两位女生相邻，则不同的排法共有（ ）种
A.360 B.288 C.216 D.96
答案：B
例6（江西）6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种（用数字作答）
【解析】将6名志愿者按要求分成4组共有false种.故不容的分配方案有false
答案：1080
例7 某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开了三个班.选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排这四名同学的方案有（ ）
72种 B.54种 C.36种 D.18种
答案：B
【巩固练习】
1.从字母false中选出4个数字排成一列，其中一定要选出false和false，并且必须相邻（false在false的前面），共有排列方法（ ）种.
A.false B.false C.false D.false
【答案】A
捆绑法.从false中选false个（有顺序），有false种方法；再把false看成一个整体，false个元素全排列，有false种方法，共计false种排法.
2.某单位安排7为员工再10月1日到7日值班，每天安排一人，每人值班1天，若7位员工种的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）
A.504种 B.960种 C.1008种 D.1108种
答案：C
3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
A.1440种 B，960种 C.720种 D.480种
答案：B
4.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，期中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验数顺序的编排方法共有（ ）
A.34种 B.48种 C.96种 D.144种
答案：C
5.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则6人的入园顺序排法种数为（ ）
A.48种 B.36种 C.24种 D.12种
答案：C
6.某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙只能都去或都不去，则不同的选派方案有_______种。（用数字作答）
答案：30
7.某城市一条道路上有12盏路灯，为了节约用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两顿路灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有（ ）
A.false种 B.false C.false D.false
答案：A
8.7位同学站成一排，甲、乙、丙三个同学互不相邻的排法共有________种.
答案：1440
9.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种.
答案：24
将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案种数是（ ）
false B.false C.false D.false
答案：C
国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现在6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_______种不同的分派方法.
答案：90
将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有______种不同的分法.
答案：360

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