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(原创)解疑周期函数的定义域与周期
用户名:hxlzabcdefg
提出问题：f(x)=sinx (x>0)是周期函数吗？；周期函数定义域是R吗？若T是f(x)的周期，那么kT(k属于Z）必是f(x)的周期吗？
简介：一、有限区间、无限区间；二、非空数集的有界、无界与确界；三、再解疑周期函数的定义域与周期．探讨如下
有限区间、无限区间：
1.有限区间：= 开区间；= 闭区间；半开(半闭)区间.
2.无限区间：= ； ；；；.
二、非空数集的有界、无界与确界
1.上界、上确界： 设为中的一个非空数集．若存在实数M，使得对一切，都有, 则称为数集的上界。所有上界中最小的一个叫数集的上确界。
2.下界、下确界: 设为中的一个非空数集．若存在实数M，使得对一切，都有, 则称为数集的下界。所有下界中最大的一个叫数集的下确界。
3. 非空数集有界：设为中的一个非空数集，若数集“有上界且有下界”, 则称数集有界。如
有限区间类：。
间断类型：
4. 非空数集无界：设为中的一个非空数集，若数集“无上界或无下界”, 则称数集无界。（无界含有三种情况：无上界；无下界；无上界且无下界。）如
无限区间类:
间断类型：;;
注意：函数的定义域是非空数集应分有界与无界两类。即有限区间双侧有界，间断双侧有界；无限区间单侧无界，无限区间双侧无界，间断单侧无界与间断双侧侧无界。（定义域分为有限区间与无限区间不确切）
函数的定义域与周期
1.周期函数的定义（旧人教、新课标版一样）：对于函数y=f(x)，如果存在常数T≠0，使得当x取定义域内每一个值时， 都有f(x+T) = f(x)，那么函数y= f(x)就叫周期函数，T就叫这个函数的周期。 若所有周期Ｔ中存在一个最小的正数，则称它为最小正周期。
注意：①定义中“存在常数T≠0”,其意是可存在正数T，也可存在负数T，还可二者都存在，不是正负同时存在才行。
②定义中“x取定义域内每一个值”时，都有f(x+T) = f(x)，即恒成立的意思。
结论：⑴其实有周期函数定义和注意①②不难得出周期函数的定义域有不同的三种形式，：定义域左侧无界；定义域右侧无界；定义域双侧无界。（定义域为左侧无限区间；定义域为右侧无限区间；定义域双侧无限区间；不妥因由间断）。
⑵周期T有不同的三种形式形式：有正周期不一定有负周期；有负周期不一定有正周期；有正周期不一定有最小正周期。举例如下
例1： 解：周期Ｔ＝。无负周期，定义域右侧无界，有最小正周期。
例２： 解：周期Ｔ＝－。无正周期，定义域左侧无界，无最小正周期。
例3： 解：周期Ｔ＝。有正负周期，定义域双侧无界，有最小正周期。
例4 解：周期Ｔ＝。无负周期，定义域右侧无界，有最小正周期。
例5: 解：周期Ｔ＝－。无正周期，定义域左侧无界，无最小正周期。
例6: 解：周期Ｔ＝。有正负周期，定义域双侧无界，有最小正周期。
例7: 解：任意Ｔ都是周期。有正负周期，定义域双侧无界，无最小正周期。
例8: 解：非周期函数。
例9:f(x)=0,x为整数 解：周期Ｔ＝。有正负周期，定义域双侧无界，有最小正周期。
例10lgsin（x） 解：周期Ｔ＝。有正负周期，定义域双侧无界，有最小正周期。
例11克雷Dirichlet函数 解：周期为任意Ｔ实数。有正负周期，定义域双侧无界，无最小正周期。
2. 周期函数性质：①T是函数f(x)的周期，则对于任意的正整数k∈N＊，kT是f(x)的周期。应该把那个k∈Z改成k∈N＊.
②若都为函数f(x)的周期，且，则也是f(x)的周期.
注意：T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数，kT是f(x)的周期不正确。
四、教师参考
为什么对周期函数的定义域与周期理解有异议哪？其原因是中学与大学教材定义不一样。
大学周期函数的定义：对于函数y=f(x)，如果存在常数T≠0，使得当x取定义域内每一个值时，都有f(x±T)=f(x)，那么函数y= f(x)就叫周期函数，T就叫这个函数的周期。 若所有周期Ｔ中存在一个最小的正数，则称它为最小正周期。
结论：⑴定义域双侧无界。
⑵周期T：有正周期必有负周期；有负周期必有正周期；有正周期不一定有最小正周期。
性质：此时周期函数的性质可变为：
(1) 若T是f(x)的周期，则-T也是f(x)的周期；
(2) 若T是f(x)的周期，则kT也是f(x)的周期，其中k是非零整数；
(3) 若T1、T2是f(x)的周期，则T1±T2也是f(x)的周期；
(4) 若T是f(x)的最小正周期，则f(X)的所有周期组成的集合为{t|t=kT,k∈Z, k≠0}；
(5 若f(x)是周期函数，则f(x)的定义域一定是双侧无界的。
2. 严格按照课本，如果课本上没有明确定义，我想像高考这种考试会避开这类问题。因为这种定义，是观察了实际中的事物或现象后，在数学上找一个可以反映这种规律的数学定义，很难说哪一种定义更符合人们的初衷，而且还可能会有一些奇怪的例子，很不符合最初的观念。
2012.03.07

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