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(共30张PPT)
高中数学人教A版必修五
第二章
数列
2.3
等差数列的前n项和（第一课时）
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
情景导入
高斯
Gauss.C.F
（1777~1855）
德国著名数学家
问题就是
求S100=1+2+3+4+…+100=？
等差数列{n}前100项和
1+100=101
2+99
=101
3+98
=101
50+51
=101
=50
×101=5050
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
教学目标
a1＋a2＋…＋an
a1＋a2＋…＋an
自主学习
问题1
高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？
合作探究
不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：
设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，
又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，
∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，
∴2Sn＝n(n＋1)，
问题2　
等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？
问题3　
我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下Sn
问题4　
如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…
＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？
(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)
＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)
＝
＝100d，类似可得
(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d.
∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．
命题角度1　方程思想
例1　已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1
220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
探究点1　等差数列前n项和公式的应用
方法一　由题意知S10＝310，S20＝1
220，
②－①得a20－a10＝60，
∴10d＝60，
∴d＝6，a1＝4.
(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用；
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．
名师点评
命题角度2　实际应用
例2　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1
150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，
则a1＝50＋1
000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1
000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1
000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10个月应付款55.5元．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
即全部付清后实际付款1
105＋150＝1
255(元)．
建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解．
名师点评
探究点2　等差数列前n项和的性质的应用
例3　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
方法一　在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，
∴S3m＝210.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
名师点评
等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
1.在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是
A.12
B.24
C.36
D.48
√
1
2
3
4
当堂训练
2.记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于
A.2
B.3
C.6
D.7
√
解得d＝3.
方法二　由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，
所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.
1
2
3
4
3.在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝____.
＝19a10
＝19×10＝190.
1
2
3
4
190
4.已知等差数列{an}中，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
1
2
3
4
∴n＝12，an＝a12＝－4.
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1
022，求d.
解得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，
即－512＝1＋(4－1)d，
解得d＝－171.
1
2
3
4
1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.
2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量.若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N
)；若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
3.本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想.
课堂小结2.3　等差数列的前n项和（一）
【教学目标】
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
【教学过程】
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.3　等差数列的前n项和（一）》课件“情景导入”部分，思考与等差数列前n项和有关的两个实际问题的解法，从而引发进一步学习相关知识的兴趣.
二、自主学习
教材整理　等差数列的前n项和
阅读教材P42～P44例2，完成下列问题．
1．数列的前n项和的概念
一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
三、合作探究
问题1
高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？
提示：
不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，
又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，
∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，
∴2Sn＝n(n＋1)，
∴Sn＝.
问题2等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？
提示：S3＝＝3
＝3a2＝21.
问题3我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下Sn＝na1＋d吗？
提示：按n的降幂展开Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n是关于n的二次函数形式，且常数项为0.
问题4如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？
提示：(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…
＋(a20－a10)
＝＝100d，类似可得
(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d.
∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．
探究点1
等差数列前n项和公式的应用
命题角度1　方程思想
例1　已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
提示：由题意知S10＝310，S20＝1220，
将它们代入公式Sn＝na1＋d，
得到
解方程组得
∴Sn＝n×4＋×6＝3n2＋n.
名师点评：(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用；
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．
命题角度2　实际应用
例2　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
提示：设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则
a1＝50＋1000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10个月应付款55.5元．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1105(元)，
即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．
名师点评：建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解．
探究点2　等差数列前n项和的性质的应用
例3　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
提示：(1)在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
(2)＝＝
＝＝＝.
名师点评：等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
四、当堂检测
1．在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是(　　)
A．12
B．24
C．36
D．48
2．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于(　　)
A．2
B．3
C．6
D．7
3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
4．已知等差数列{an}中：
(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d.
提示：1．B　2.B　3.190
4．解　(1)∵Sn＝n×＋(－)×＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
a12＝＋(12－1)×(－)＝－4.
∴n＝12，an＝a12＝－4.
(2)由Sn＝＝＝－1022，
解得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，
即－512＝1＋(4－1)d，
解得d＝－171.
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N
)；若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
3．本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想．(共26张PPT)
高中数学人教A版必修五
第二章
数列
2.3
等差数列的前n项和（第二课时）
1.等差数列的递推公式是什么？
an－1＋an＋1＝2an（n≥2）
an－
an－1＝d（n≥2）
复习回顾
2.等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？
在结构上是关于n的一次函数.
an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d＝pn＋k.
3.等差数列前n项和的两个基本公式是什么？
4.深入研究等差数列的概念与前n项和公式及通项公式的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们将对此作些简单探究.
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.会解等差数列前n项和的最值问题.
3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.
教学目标
S1
Sn－Sn－1
自主学习
S2n－Sn
S4n－S3n
小
大
S1
小
S1
问题1　
已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，怎样求a1，an?
a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又n＝1时也适合上式，所以an＝2n－1，n∈N
.
合作探究
由二次函数的性质可以得出：当a1＜0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1＞0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
问题2　
我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数
类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？
例1　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋
求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
探究点1　已知数列{an}的前n项和Sn求an
根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N
)，
当n>1时，
变式探究
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1
已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．
名师点评
探究点2　等差数列前n项和的最值
故前n项和是从第9项开始减小，又S7＝S8，
所以前7项或前8项和最大．
在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．
名师点评
探究点3　求等差数列前n项的绝对值之和
例3　若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
∵a1＝13，d＝－4，
∴an＝17－4n.
当n≤4时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an
当n≥5时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
名师点评
求等差数列{an}前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an等于
A.4n－2
B.n2
C.2n＋1
D.2n
√
当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
又因为a1＝2符合an＝2n，
所以an＝2n.
1
2
3
4
当堂训练
2.已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是
A.－2
B.－1
C.0
D.1
√
等差数列的前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.
1
2
3
4
3.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝______时，Sn取到最大值.
∵S3＝S8，
∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，
∴a6＝0.
∵a1＞0，
∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0，
a7＜0.
故当n＝5或6时，Sn最大.
1
2
3
4
5或6
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.
当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.
当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，
又Sn＝3＋2n，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
又当n＝1时，a1＝5≠21－1＝1，
1
2
3
4
1.因为an＝Sn－Sn－1只有n≥2时才有意义.所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.
2.求等差数列前n项和最值的方法：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N
，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.
课堂小结
3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.2.3　等差数列的前n项和（二）
【教学目标】
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.会解等差数列前n项和的最值问题.
3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.
【教学过程】
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.3　等差数列的前n项和（二）》课件“复习回顾”部分，通过四个问题对上节课的内容进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容.
二、自主学习
教材整理　等差数列前n项和的性质
阅读教材P44例3～P45，完成下列问题．
1．Sn与an的关系
an＝
2．等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．
(2)数列{an}是等差数列?Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．
3．等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．
(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
三、合作探究
问题1已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，怎样求a1，an?
提示：a1＝S1＝1；当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又n＝1时也适合上式，
所以an＝2n－1，n∈N
.
问题2我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋(a1－)n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？
提示：由二次函数的性质可以得出：当a1＜0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1＞0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
探究点1　已知数列{an}的前n项和Sn求an
例1　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
提示：根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N
)，
当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n－，①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－.
故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列．
变式探究
例1中前n项和改为Sn＝n2＋n＋1，求通项公式．　
提示：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(n2＋n＋1)－[(n－1)2＋(n－1)＋1]＝2n－.
①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式．
∴an＝
探究点2　等差数列前n项和的最值
例2　已知等差数列5,4，3，…的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值．
提示：方法一　由题意知，等差数列5,4，3，…的公差为－，
所以Sn＝5n＋(－)
＝－(n－)2＋.
于是，当n取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值．
方法二　an＝a1＋(n－1)d＝5＋(n－1)×
＝－n＋.
令an＝－n＋≤0，解得n≥8，
且a8＝0，a9<0.
故前n项和是从第9项开始减小，
又S7＝S8，
所以前7项或前8项和最大．
探究点3　求等差数列前n项的绝对值之和
例3　若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
提示：∵a1＝13，d＝－4，
∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋d
＝13n＋×(－4)＝15n－2n2；
当n≥5时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×－(15n－2n2)
＝56＋2n2－15n.
∴Tn＝
四、当堂检测
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an等于(　　)
A．4n－2
B．n2
C．2n＋1
D．2n
2．已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)
A．－2
B．－1
C．0
D．1
3．首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值．
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.
提示：1．D　2.B　3.5或6
4．解　当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.
当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，
又Sn＝3＋2n，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
又当n＝1时，a1＝5≠21－1＝1，
∴an＝
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1.因为an＝Sn－Sn－1只有n≥2时才有意义.所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.
2.求等差数列前n项和最值的方法：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N
，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值.
3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.

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