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2020级高一数学导学案 为你提高数学成绩，赵老师全力以赴
整体思想研究函数的性质
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、掌握整体法研究函数的性质。 2、理解对函数性质的影响。
3、会求函数在给定区间上最值。 重点：1、整体法研究函数性质。
2、对性质的影响。
难点：求在给定区间上最值。
【课堂探究案】 课堂要效率，探究要成果
【复习回顾】
1、正弦函数与余弦函数的性质
函数

图像

定义域

值域

最值 当时，；
当时， 当时，；
当时，
周期性 最小正周期 最小正周期
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性 增区间：；
减区间： 增区间：；
减区间：
2、函数图像的变换
方法一：先周期，后相位，再振幅
方法二：先相位，后周期，再振幅
【问题探究】
以为例总结如何研究函数的性质？。
分析：“五点法”作出函数在一个周期上的图像，















由图像知，当时，，；
当时，，。
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减。
所以，函数的最值点和单调区间，就是把相位看做“整体”时正弦函数的最值点和单调区间。
结论：研究函数性质，只要把相位看做“整体”代入正弦函数的相应性质即可。
例1已知函数。
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的最值及取得最值时的取值集合。
解：（1）由，得，，
所以，函数的增区间为；
同理，函数的减区间为。
（2）当时，即，时，函数，
所以，函数当时，函数取最大值；
同理，函数当时，函数取最小值。
例2已知函数。
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的最值及取得最值时的取值集合。
解：函数化为。
（1）由，得，，
所以，函数的减区间为；
同理，函数的增区间为。
（2）当，即，时，，
所以，当时，函数取最小值；
同理，当时，函数取最大值。
【解题反思】
（1）在函数中，把“整体”代入正弦函数的增（减）区间，求得增（减）区间；把“整体”代入正弦函数的最大（小）值点，求得的最大（小）值点。
（2）在函数中，先通过诱导公式，把函数化为，把“整体”代入正弦函数的增（减）区间，求得减（增）区间；把“整体”代入正弦函数的最大（小）值点，求得的最小（大）值点。
例3 求函数在区间上最值。
解：，，则
当，即时，函数取最大值；
当，即时，函数取最小值。
【抽象概括】函数和性质
函数

定义域

值域

最值 当时，；
当时， 当时，；
当时，
周期性 最小正周期 最小正周期
奇偶性 ?当，时，函数为奇函数；
当，时，函数为偶函数 当，时，函数为偶函数；
当，时，函数为奇函数
单调性 ，函数递增；
，函数递减 ，函数递增；
，函数递减
1、求下列函数的单调区间：
（1）； （2）.
2、求下列函数的最大值、最小值以及取得最大（小）值时值的集合：
（1）； （2）。
第1页（共3页）——第一章 三角函数

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