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2021年广西百色市中考数学模拟试卷（一）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．若2a﹣1＝0，则a的相反数是（　　）
A．﹣
B．
C．﹣2
D．2
2．下列立体图形中，从上面观察你所看到的形状图不是圆的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．2020年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至2020年12月30日，累计确诊人数超过78400000人，抗击疫情成为全人类共同的战役，寒假要继续做好疫情防控．将“78400000”用科学记数法可表示为（　　）
A．7.84×105
B．7.84×106
C．7.84×107
D．78.4×106
4．一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是（　　）
A．八
B．九
C．十
D．十二
5．甲乙丙丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛，那么应选（　　）去．
甲
乙
丙
丁
平均分
80
80
90
90
方差
50
42
50
42
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
6．若x＞y，则（　　）
A．x+2021＜y+2021
B．x﹣2021＜y﹣2021
C．2021x＜2021y
D．﹣2021x＜﹣2021y
7．下表是某校男子排球队员的年龄分布，则这些队员年龄的中位数（岁）是（　　）
年龄/岁
13
14
15
16
人数
1
5
4
2
A．14
B．14.5
C．15
D．16
8．计算结果为x2﹣y2的是（　　）
A．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
B．（﹣x+y）（x+y）
C．（x+y）（﹣x﹣y）
D．（x﹣y）（﹣x﹣y）
9．下列命题是假命题的是（　　）
A．点A（2，1）与点B（﹣2，﹣1）关于原点对称
B．不等式组的解集是空集
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．圆内接四边形的对角互补
10．如图，四边形ABCD为菱形，则下列描述不一定正确的是（　　）
A．CA平分∠BCD
B．AC，BD互相平分
C．AC＝CD
D．∠ABD+∠ACD＝90°
11．把抛物线y＝2x2的图象先向右平移4个单位，再向下平移3个单位所得的解析式为（　　）
A．y＝2（x﹣3）2+4
B．y＝2（x+4）2﹣3
C．y＝2（x﹣4）2﹣3
D．y＝2（x﹣4）2+3
12．如图，已知∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，BE是∠CBD的平分线，O，P分别是BD，BE上的动点（与点B不重合），分别过点O，P作OM⊥BC，PN⊥BC，垂足分别是点M，N．当点M，N重合时，的值是（　　）
A．
+1
B．2﹣3
C．2
D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．分解因式：3a（m﹣n）+2b（m﹣n）＝　
　．
14．想了解中央电视台《开学第一课》的收视率，适合的调查方式为　
　．（填“普查”或“抽样调查”）
15．小明匀速骑自行车去上学，他2分钟可以骑300米，则他上学所骑行的路程y（米）与所用时间x（分钟）之间的关系式为　
　．
16．如图，四边形ABCD和AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，点F在扇形ADB的上，已知正方形ABCD的边长为1，则图中阴影部分的面积为　
　．
17．观察一列数：，﹣，，﹣，…．按此规律，这一列数的第106个数是　
　．
18．如图，在矩形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE．若AB＝1，BC＝2，则BE＝　
　．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）化简求值：（﹣x+1）÷，其中x从0、2、﹣1中任意取一个数求值．
21．（8分）如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）求点B的坐标及OB所在直线解析式；
（3）求△OAP的面积．
22．（8分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC与DE交于点G，∠A＝∠D＝90°，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠F＝30°，GE＝2，求CE．
23．（8分）中秋节有吃月饼的习俗，长沙市某食品厂为了解市民对去年中秋节期间销售量较好的A、B、C、D四种不同口味月饼的喜爱情况，在今年中秋前对芙蓉区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整），请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有　
　人；
（2）将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若有外型完全相同的A、B、C、D四种月饼各一个，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个吃的月饼恰好是C种月饼的概率．
24．（10分）许帅要为武汉战“疫”捐赠防疫物资，计划购买A，B两种型号的医用口罩．若购买8个A型医用口罩和5个B型医用口罩需用102元；若购买7个A型医用口罩和8个B型医用口罩需用111元．问：每个A型医用口罩和B型医用口罩各多少元？
25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．
（1）求a、b、c的值；
（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【分析】利用已知直接解出a的值，再利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵2a﹣1＝0，
∴a＝，
则a的相反数是：﹣．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．【分析】从上面看到的形状即俯视图，结合图形找出各图形的俯视图，然后进行判断即可．
【解答】解：A、圆柱体的俯视图为圆；
B、圆锥的俯视图是中间有一点的圆；
C、正方体的俯视图是正方形；
D、球体的主视图、俯视图、左视图均为圆；
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，注意从上面看到的图形即为俯视图，属基础题．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数数．
【解答】解：78400000＝7.84×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据正多边形的内角和外角的关系，求出外角的度数，再根据外角和为360°可求出正多边形的边数．
【解答】解：设多边形的一个外角为x，则它的一个内角为4x，
4x+x＝180°，
∴x＝36°
∴这个正n边形的边数为：360°÷36°＝10，
故选：C．
【点评】考查多边形的内角和、外角和的性质，掌握内角和外角的关系是正确解答的前提．
5．【分析】先找到四位同学中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成绩稳定的，从而得出答案．
【解答】解：∵＝＞＝，
∴四位同学中丙、丁的平均成绩较好，
又∵S丙2＞S丁2，
∴丁的成绩比丙的成绩更加稳定，
∴应选丁去．
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6．【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：A、∵x＞y，
∴x+2021＞y+2021，故本选项不合题意；
B、∵x＞y，
∴x﹣2021＞y﹣2021，故本选项不合题意；
C、∵x＞y，
∴2021x＞2021y，故本选项不合题意；
D、∵x＞y，
∴﹣2021x＜﹣2021y，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
7．【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵共有1+5+4+2＝12个数据，
∴其中位数是第6、7个数据的平均数，而第6、7个数据分别为14、15，
则这组数据的中位数为＝14.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
8．【分析】利用完全平方公式进行解答．
【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）．
故选：A．
【点评】考查了平方差公式和完全平方公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
9．【分析】分别根据关于原点对称的点的特点、不等式组的解集、正方形的判定定理、圆内接四边形的性质作出判断即可．
【解答】解：A．点A（2，1）与点B（﹣2，﹣1）关于原点对称，该选项正确，是真命题；
B．不等式组的解集是空集，该选项正确，是真命题；
C．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故该选项错误，是假命题；
D．圆内接四边形的对角互补，该选项正确，是真命题．
故选：C．
【点评】本题考查判断命题的真假，主要考查关于原点对称的点的特点、不等式组的解集、正方形的判定定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．
10．【分析】由菱形的性质、等边三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，CA平分∠BCD，AC，BD互相平分，AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠ABD＝∠BDC，∠BDC+∠ACD＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝90°，
故选项B、C、D不符合题意；
当∠ADC＝60°时，△ACD是等边三角形，则AC＝CD，
∴AC＝CD，不一定成立，故选项C符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
11．【分析】抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），向右平移4个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（4，﹣3），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．
【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），
平移后抛物线顶点坐标为（4，﹣3），
又因为平移不改变二次项系数，
所以所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣4）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
12．【分析】当M，N重合时，点P在OM上，过点P作PH⊥BD与H，根据角平分线的性质可得PH＝PM，求出∠BOP的度数，在Rt△POH中，解直角三角形得出PO＝PH，即可求解．
【解答】解：当M，N重合时，点P在OM上，如图，过点P作PH⊥BD与H，
∵BE是∠CBD的平分线，PN⊥BC，
∴PH＝PM，
∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴∠BOP＝90°﹣30°＝60°，
∵在Rt△POH中，
PO＝＝PH，
∴＝+1．
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的性质，解直角三角形，线段的比，解直角三角形得出PO＝PH是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．【分析】直接提取公因式（m﹣n），进而分解因式即可．
【解答】解：原式＝（m﹣n）（3a+2b）．
故答案为：（m﹣n）（3a+2b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：想了解中央电视台《开学第一课》的收视率，适合的调查方式为抽样调查．
故答案为：抽样调查．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
15．【分析】求出小明骑车的速度，即可得到小明上学所骑行的路程y（米）与所用时间x（分钟）之间的关系式．
【解答】解：小明2分钟骑行300米，因此小明骑车的速度为300÷2＝150米/分，
∴小明上学所骑行的路程y（米）与所用时间x（分钟）之间的关系式为y＝150x，
故答案为：y＝150x．
【点评】本题考查用关系式表示两个变量之间的关系，理解因变量与自变量之间的关系是得出关系式的前提．
16．【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是正方形AEFG的面积+（正方形ABCD的面积﹣扇形ABD的面积），然后代入数据计算即可．
【解答】解：连接AF，
由题意可得，
∠AEF＝90°，AE＝EF，AF＝AB＝1，
∴AE＝，
∴阴影部分的面积是：×+（1×1﹣）＝，
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．【分析】根据题意，这一列数的分母是偶数，分子是奇数，由此可得出第106个数的值．
【解答】解：根据题意，这列数的分母是偶数，用2n表示；
分子是奇数，用2n﹣1表示；
所以这列数的规律是；
当n＝106时，代入公式的，
∵第偶数个数为负数，
故答案为：﹣．
【点评】本题为规律探究题，解决本题的关键是通过前四个数验证规律，然后利用规律推算第106个数的值．
18．【分析】根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线，可得EA＝EC，再根据矩形性质和勾股定理即可得结论．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠B＝90°，
根据作图过程可知：
MN是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴EA＝CE＝BC﹣BE＝2﹣BE，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
EA2＝AB2+BE2，
∴（2﹣BE）2＝12+BE2，
解得BE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．【分析】首先利用二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂的性质进行计算，再算加减即可．
【解答】解：原式＝1+2﹣2+3×＝1+2﹣2+＝3﹣．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
20．【分析】先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（﹣x+1）÷
＝?
＝?
＝﹣，
∵从分式知：x+1≠0，x﹣2≠0，
∴x≠﹣1且x≠2，
取x＝0，
当x＝0时，原式＝﹣＝1．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
21．【分析】（1）直接代入A点坐标课的k的值，进而可得函数解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AB长，然后可得B点坐标．设OB所在直线解析式为y＝mx（m≠0）利用待定系数法可求出BO的解析式；
（3）首先联立两个函数解析式，求出P点坐标，过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，连接AP，再确定E点坐标，最后求面积即可．
【解答】解：（1）将点A（4，3）代入y＝（k≠0），
得：k＝12，
则反比例函数解析式为y＝；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC＝4、AC＝3，
∴OA＝＝5，
∵AB∥x轴，且AB＝OA＝5，
∴点B的坐标为（9，3）；
设OB所在直线解析式为y＝mx（m≠0），
将点B（9，3）代入得m＝，
∴OB所在直线解析式为y＝x；
（3）联立解析式：
解得：，
可得点P坐标为（6，2），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，连接AP，
则点E坐标为（6，3），
∴AE＝2，PE＝1，PD＝2，
则△OAP的面积＝×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1＝5．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．
22．【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）由全等三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【解答】（1）∵BE＝CF
∴BE+CE＝CF+CE
即BC＝EF
在Rt△ABC和Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
（2）∵Rt△ABC≌Rt△DEF
∴∠ACE＝∠F
∵∠F＝30°
∴∠ACE＝30°
∴AC∥DF
∴∠CGE＝∠D
∵∠D＝90°
∴∠CGE＝90°
∵在Rt△CGE中，∠ACB＝30°，GE＝2
∴CE＝2GE＝4
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
23．【分析】（1）根据B类有60人，所占的百分比是10%，即可求出总人数；
（2）用A组的人数除以总人数求出A组所占的百分比，再用总人数减去其它人数求出C组的人数，用C组的人数除以总人数求出C组所占的百分比，从而补全统计图；
（3）画出树状图，共有12个等可能的结果，小王第二个吃的月饼恰好是C种月饼的结果有3个，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民有：60÷10%＝600（人），
故答案为：600；
（2）A组所对应的百分比是×100%＝30%，
C组的人数是600﹣180﹣60﹣240＝120（人），所占的百分比是×100%＝20%，
将两幅不完整的统计图补充完整如下：
（3）画出树状图如图：
共有12个等可能的结果，小王第二个吃的月饼恰好是C种月饼的结果有3个，
∴小王第二个吃的月饼恰好是C种月饼的概率＝＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．【分析】设A型医用口罩每个x元，B型医用口罩每个y元，列出二元一次方程组可得出答案．
【解答】解：设A型医用口罩每个x元，B型医用口罩每个y元，
根据题意，得，
解得，
答：A型医用口罩每个9元，B型医用口罩每个6元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
25．【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，得出∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°，证得∠AFD＝∠C，从而推知：△ADF∽△DEC；
（2）由△ADF∽△DEC，得比例，求出DE的长．利用勾股定理求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；
∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝8．
∵△ADF∽△DEC，
∴，
即，
∴DE＝12．
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD．
在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE＝12，AD＝6，
∴AE＝＝＝6．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
26．【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标，设成抛物线解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；
（2）先求出直线AC的解析式，设出点P坐标，表示出点Q坐标，再用三角形的面积公式，得出函数关系式，即可得出结论；
（3）运用配方法求出抛物线对称轴，设点Q（﹣1，n），根据A（﹣3，0），C（0，3），可运用勾股定理分别求出：AC2，CQ2，AQ2，由于△QAC为直角三角形，可以分三种情况：∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，对每种情况运用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点
∴，
解得：
∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3；
（2）如图1，
过点P作PE∥y轴，交AC于E，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴S△ACP＝PE?（xC﹣xA）＝×[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×（0+3）＝﹣（m2﹣3m）＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S△PAC最大＝；
（3）存在，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．
如图2，∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，
∴AC2＝OA2+OC2＝32+32＝18，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为x＝﹣1，
设点Q（﹣1，n），
则AQ2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+n2＝n2+4，CQ2＝[0﹣（﹣1）]2+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10，
∵△QAC为直角三角形，
∴∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，
①当∠CAQ＝90°时，根据勾股定理，得：AQ2+AC2＝CQ2，
∴n2+4+18＝n2﹣6n+10，
解得：n＝﹣2，
∴Q1（﹣1，﹣2）；
②当∠ACQ＝90°时，根据勾股定理，得：CQ2+AC2＝AQ2，
∴n2﹣6n+10+18＝n2+4，
解得：n＝4，
∴Q2（﹣1，4）；
③当∠AQC＝90°时，根据勾股定理，得：CQ2+AQ2＝AC2，
∴n2﹣6n+10+n2+4＝18，
解得：n1＝，n2＝，
∴Q3（﹣1，），Q4（﹣1，）；
综上所述，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．
【点评】本题考查了二次函数图像和性质，待定系数法求函数解析式，三角形的面积计算方法，相似三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法及二次函数性质等相关知识，合理添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
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精品试卷·第
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