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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
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【冲刺试卷】
2020-2021学年度高三下学期总复习冲刺试卷
文科数学试卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则集合( )
A. B. C. D.
2.设复数，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.为了解大学生对体育锻炼的兴趣，某高校从在校的大学生中随机抽取了男、女生各200名进行了调查，得到如下统计图：

对比两图中信息并进行分析，下列说法错误的是( )
A.大量出汗并感到很疲乏的男生人数比女生人数的2倍还要多
B.男生中运动时间超过1小时的超过70%
C.男生的平均运动强度高于女生的平均运动强度
D.运动时间在0.5~1小时内的男生人数与运动时间在1~2小时内的女生人数相同
4.已知数列是公差不为0的等差数列，其前n项和为，若，则( )
A.3 B. C. D.
5.疫情期间，为了宣传防护工作，某宣传小组从六个社区中随机选出两个进行宣传，则该小组到E社区宣传的概率为( )
A. B. C. D.
6.函数的部分图象如图所示，则的值是( )

A. B. C. D.
7.已知实数满足不等式组，则的最小值为( )
A. B. C.11 D.13
8.执行如图所示的程序框图，则输出的S=( )

A.
B.
C.
D.
9.已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则( )
A. B.
C. D.
10.已知正三棱锥的四个顶点都在球O上，的外接圆半径为1，三棱锥的体积为，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
11.已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于两点，连接，在中，，则双曲线C的离心率为( )
A.3 B. C. D.2
12.已知函数的图象在点处与点处的切线均平行于x轴，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则___________.
14.已知向量，a与b共线且同向，则__________.
15.如图，在中，点在边上，的垂直平分线过点，且满足，，则的大小为__________.

16.如图所示，在长方体中，.一平面截该长方体，所得截面为，其中分别为的中点，，则___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.已知各项均为正数的数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）若为的等差中项，求数列的前n项和.
18.已知平行四边形中，，点E在线段上，，把沿翻折使点C到点P的位置，如图.

（1）当平面平面时，求的长；
（2）若，求三棱锥的体积.
19.为弘扬中华民族传统文化，展示当代书法艺术，某地区书法协会特举办全国网络书法大赛，并收集到了参赛者的一些相关信息.现从参赛者中随机抽取200人，对他们学习书法的时间进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.

并对其是否具有书法专业背景进行统计得到如下列联表：
书法专业
非书法专业
合计
男性
100
女性
60
合计
70
200
（1）求出图中a的值，并估计参赛者学习书法的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）补全列联表，并判断是否有95%的把握认为参赛者具有书法专业背景与性别有关.
附：.
0.050
0.010
0.005
3.841
6.635
7.879
20.已知椭圆的长轴长为4，右顶点为A，右焦点为，点P为椭圆C上第一象限内的一点，O为坐标原点，已知重心的横坐标为1，且.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点M为直线上任意一点，连接，过点F作的垂线l，与椭圆C交于两点，若，求直线l的方程.
21.已知函数.
（1）若曲线在处的切线方程为，且存在实数，使得直线与曲线相切，求的值；
（2）若函数有零点，求实数a的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，倾斜角为a的直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，M是上的动点，P点满足，P点的轨迹记为曲线.
（1）求直线l的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）当时，记直线l与曲线分别交于异于极点的两点，求.
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设函数的最大值为c，实数满足，，，求证：.

答案以及解析
一、选择题
1.答案：B
解析：因为，又，所以.故选B.
2.答案：D
解析：因为，所以在复平面内对应的点为，在第四象限.故选D.
3.答案：B
解析：对于A，大量出汗并感到很疲乏的男生超过110人，而女生约50人，因此大量出汗并感到很疲乏的男生人数比女生人数的2倍还要多，因此A正确；对于B，男生中运动时间在0~1小时内的超过70人，占所有男生的比例超过，因此男生中运动时间超过1小时的占比没达到70%，因此B不正确；对于C，由图易知男生的平均运动强度高于女生的平均运动强度，因此C正确；对于D，运动时间在0.5~1小时内的男生人数有50人，运动时间在1~2小时内的女生人数也有50人，因此D正确.故选B.
4.答案：D
解析：解法一：设数列的公差为d，则，即，所以.故选D.
解法二：设数列的公差为d，则，即，所以，所以.故选D.
5.答案：D
解析：从六个社区中随机选出两个的结果有，，共15种，其中该小组到E社区宣传的结果有，共5种，因此所求概率为.
6.答案：D
解析：由题意得函数的最小正周期，所以，
于是.由题中图象知，，所以，
解得又，所以，故选D.
7.答案：B
解析：解法一：作出可行域如图中阴影部分所示.由得，由图形可知当直线过点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z最小.由，得，得.

解法二：作出不等式组表示的平面区域如解法一图中阴影部分所示，易得，.当直线过点时，；当直线过点时，；当直线过点时，.故的最小值是.
8.答案：C
解析：由题意可得，执行程序框图，可得输出的，故选C.
9.答案：A
解析：因为函数的图象关于点对称，故函数的图象关于原点对称，所以是R上的奇函数.由可得，所以的周期为2.因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，又，所以，选A.
10.答案：A
解析：设的外接圆的圆心为，连接，由于正三角形的外接圆半径为1，
所以正三角形的边长为，
三棱锥的体积，得.设球O的半径为R，则，解得，所以球O的表面积.故选A.
11.答案：D
解析：设，则，
则，解得，从而.
在中，，
即，解得，故选D.
12.答案：A
解析：函数的定义域为，且，则根据导数的几何意义知是方程的两个不等正根，则则.
令
.易知函数在上单调递减，则，所以的取值范围是，故选A.
二、填空题
13.答案：
解析：由题意得.
14.答案：
解析：由a与b共线且同向，可设，又，
所以，所以，所以.
15.答案：
解析：因为的垂直平分线过点，所以，则，所以.又因为在中，，所以.在中，由正弦定理，得，所以.因为，所以为锐角，所以，
则，所以.
16.答案：
解析：设，则.由题意易知该截面六边形的对边分别平行，即，，则.又因为，所以，所以.由，可得，所以.由，可得，所以.所以，可得.所以.
三、解答题
17.答案：（1）因为，
所以，…………………………1分
又数列的各项均为正数，所以，…………………………2分
所以，即，…………………………3分
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以.…………………………4分
（2）因为为的等差中项，
所以，
所以.…………………………6分
由（1）知，，所以.…………………………7分
所以数列的前n项和
①，
②，…………………………8分
由①②得，
.…………………………11分
所以.…………………………12分
18.答案：（1）翻折前，根据，得，
在中，，…………………………1分
由余弦定理，得，所以，于是.………………………2分
翻折后，有.
因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面.…………………………3分
连接，因为平面，所以，…………………………4分
而，…………………………5分
所以.…………………………6分
（2）如图，因为，所以平面，
又平面，所以平面平面.…………………………8分

由于，所以为正三角形，…………………………9分
取的中点O，连接，则，
所以平面，且，…………………………10分
所以三棱锥的体积.…12分
19.答案：（1）由题意可知，，
解得.…………………………2分
则（年）.
所以估计参赛者学习书法的平均时间为15.5年. …………………………5分
（2）补全列联表如下：
书法专业
非书法专业
合计
男性
70
30
100
女性
60
40
100
合计
130
70
200
…………………………8分
所以.…………………………11分
故没有95%的把握认为参赛者具有书法专业背景与性别有关. …………………………12分
20.答案：（1）因为椭圆C的长轴长为4，所以，则.
设，则由题意得，得，…………………………2分
因为点P在椭圆C上，所以，即，…………………………3分
又，所以，所以，
所以椭圆C的标准方程为.…………………………4分
（2）由（1）知，则可设，所以.
由直线过点F，且与垂直，可设直线.
联立得，消去x，整理得，
所以，…………………………7分
所以
，…………………………9分
又，所以，………………10分
得，所以直线l的方程为或.………………………12分
21.答案：（1），
所以曲线在处的切线方程为，所以，…………………2分
则，即.…………………………3分
，则曲线在点处的切线方程为，
即，
从而，所以.…………………………5分
（2）由题意知，
函数有零点，即有根. …………………………6分
当时，，不符合题意. …………………………7分
当时，函数有零点等价于有根.
设，…………………………9分
则，
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以仅有一根，且当时，单调递减，
当时，单调递增，所以.…………………………11分
数形结合可知，若函数有零点，则，从而.…………………………12分
22.答案：（1）当时，直线l的普通方程为.
当时，直线l的普通方程为.………………………2分
设，由得，即，
代入，得曲线的极坐标方程为.………………………4分
由，得曲线的直角坐标方程为.………………5分
（2）设，
当时，，………………………8分
则.………………………10分
23.答案：（1）因为，………………………2分
所以，………………………3分
因为不等式恒成立，故，解得，
故实数a的取值范围为.………………………5分
（2）由（1）知，，所以.………………………6分
则
，
当且仅当时，取得等号，得证.…………………………10分

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