资源简介

正弦函数的图象与性质再认识
授课教师：
温故知新
学习目标
1. 理解正弦函数图象的画法. （重点）
2. 认识图象理解正弦函数的性质. （重点、难点）
3.通过三角函数的三种画法，体会用“五点
法”作图的好处，并学会熟练地画出一些
较简单的正弦函数的图象.（重点）
课文精讲
在1.3中引入了弧度制，在1.4中我们借助单位圆学习了正弦函数、余弦函数的概念、性
质和诱导公式.从现在起，正弦函数和余弦函数分别表示为y=sinx和y=cosx，并在平面直角作标系中讨论它们的图象和性质.
导入
课文精讲
应该注意到，由于自变量x是用弧度表示的，这里讨论的函数y=sinx和y=cosx都是R的两个子集中元素之间的对应，它们都是周期函数，自变量x可以与角度无关.因此，自然界大量的周期现象(如简谐振动、潮汐现象等)都可以用
这类函数来描述.
导入
课文精讲
正弦函数的图象
先画出正弦函数y=sinx 在区间x∈[0，2π]上的图象.
在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如，0, ????????, ????????, ????????, …,????????, 并借助单位圆获得对应的正弦函数值(如图).
?
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正弦函数的图象
列表(如表).
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
0
????????
????????
????????
????????????
????????????
sinx
0
????????
????????
1
????????
????????
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
????
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????????
????????
sinx
0
?????????
?????????
-1
?????????
?????????
0
课文精讲
正弦函数的图象
利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y=sinx性质的了解，用光滑曲线顺次连接，就可以得到函数y=sinx在区间[0，2π]上的图象(如图).
课文精讲
正弦函数的图象
思考
根据函数y=sinx，x∈[0， 2π]的图象，你能想象函数y=sinx，x∈R的图象吗？
课文精讲
正弦函数的图象
将函数y=sinx，x∈[0， 2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得
到正弦函数y=sinx，x ∈ R的图象(如图).正弦函数的图象称作正弦曲线.
这就是正弦函数图象的几何画法
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正弦函数性质的再认识
请观察正弦函数的图象(如图)，进一步理解正弦函数的性质.
课文精讲
正弦函数性质的再认识
1.定义域
正弦函数的定义域是R.
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正弦函数性质的再认识
2.周期性
从正弦函数的图象(如图)可以看到，当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.即正弦函数是周期函数，它的最小正周期为2π.同样，也可以从诱导公式sin(x+2kπ)=sin x，k∈Z中得到正弦函数的最小正周期为2π.
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正弦函数性质的再认识
2.周期性
因此，为了研究问题方便，可以任意选取一个2π长度的区间，讨论y=sinx的性质，然
后延拓到定义域R上.
课文精讲
正弦函数性质的再认识
3.单调性
在正弦函数y=sinx图象中，选取长度为2π的区间[ ， ]，观察图，可以看出：
当x由-????????增大到????????时，sinx的值由-1增大到1；当x由????????增大到????????????时，sinx的值由1减小到-1.
?
?????????
?
????????????
?
课文精讲
正弦函数性质的再认识
3.单调性
因此，正弦函数在区间[?????????， ????????]上单调递增，在区间[????????，????????????]上单调递减.
?
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正弦函数性质的再认识
3.单调性
由正弦函数的周期性可知，正弦函数在每一个区间[2kπ-????????，2kπ+ ????????] ，k∈Z上都单调递增，在每一个区间[2kπ+????????，2kπ+????????????] ， k∈Z上都单调递减.
?
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正弦函数性质的再认识
4.最大(小)值和值域
设集合A=????=????????????+??????????，????∈???? ，
B=????=????????????+??????????????，????∈???? ，
当x∈A时，正弦函数y=sinx取得最大值1；反之，当正弦函数y=sinx达到最大值1时， x∈A.
?
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正弦函数性质的再认识
4.最大(小)值和值域
设集合A=????=????????????+??????????，????∈???? ，
B=????=????????????+??????????????，????∈???? ，
当x∈B时，正弦函数y=sinx取得最小值-1；反之，当正弦函数y=sinx达到最小值-1时， x∈B.
?
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正弦函数性质的再认识
4.最大(小)值和值域
从正弦函数的图象(如图)可以看出，正弦曲线夹在两条平行线y=1和y=-1之间，所以正弦函数的值域是[-1，1].
课文精讲
正弦函数性质的再认识
5.奇偶性
正弦曲线关于原点对称，如图.由诱导公式sin(-x)=-sinx可知，正弦函数是奇函数.
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正弦函数性质的再认识
思考交流
探索正弦函数图象的对称性.它有对称轴吗?有对称中心吗?
有，对称轴是kπ+????????，对称中心是kπ.
?
典型例题
例1：比较下列各组三角函数值的大小：
(1) 与 ；
(2) 与 .
解： (1)如图.
sin?????????????
?
sin?????????????
?
sin?????????????????
?
sin?????????????????
?
因为-??????????
典型例题
例1：比较下列各组三角函数值的大小：
(1) 与 ；
(2) 与 .
解： (2)如图.
sin?????????????
?
sin?????????????
?
sin?????????????????
?
sin?????????????????
?
sin ??????????????????= sin ????????+?????????????= sin?????????????，
sin?????????????????= sin ????????+?????????????= sin?????????????.
?
典型例题
例1：比较下列各组三角函数值的大小：
(1) 与 ；
(2) 与 .
解： (2)如图.
sin?????????????
?
sin?????????????
?
sin?????????????????
?
sin?????????????????
?
因为??????????
课文精讲
五点(画图)法
思考
在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
课文精讲
五点(画图)法
在一个周期内，例如[[0，2π]，从正弦函数的图象(如图)可以看出:x=0，π， 2π是
y=sinx的零点； ， 分别是y=sinx的最大值点、最小值点.它们在正弦曲线中起着关键作用.
x=?????????
?
?????????????
?
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五点(画图)法
根据正弦曲线的基本性质，描出 (0，0) ( ，1)， (π，0) ，( ，-1)， (2π，0)这五个关键点后，函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象就基本确定了(如图).
?????????
?
?????????????
?
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五点(画图)法
因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图.这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”.
课文精讲
五点(画图)法
用“五点法”作正弦曲线的一般步骤：
(1)先描出（0，0），（????????，1），（π，0），（??????????，
-1），（2π，0）这五个点；
(2)把这五个点用一条光滑的曲线连接起来，就得
到了y=sinx在[0，2π]上的简图；
(3)通过左、右平移（每次平移2π个单位长度）即
可得到正弦函数y=sinx（x∈R）的图象.
?
课文精讲
五点(画图)法
三种作图方法的比较
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}作图方法
主要步骤
优劣
描点法
列表 描点
连线
只能取近似值，误差较大
几何法
利用单位圆，使x0在[0，2π]上取足够多的值，画出足够多的点T(x0，sinx0)
较精确，但步骤繁琐
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五点(画图)法
三种作图方法的比较
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}作图方法
主要步骤
优劣
五点法
描最高点、最低点、图象与x轴的三个交点
实用、高效
典型例题
例1：画出函数y=sinx在区间[0，2π]上的图象.
解：利用五个关键点确定y=sinx的图象.这五
个关键点也是画y=?sinx图象的关键点.按
五个关键点列表(如表).
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
0
????????
π
????????????
2π
y=sinx
0
1
0
-1
0
y=-sinx
0
-1
0
1
0
典型例题
例1：画出函数y=sinx在区间[0，2π]上的图象.
解：于是得到函数y=?sinx在区间[0，2π]的五
个关键点为(0，0) ，( ，-1)，(π，0)，
( ，1)，(2π，0).
?
?????????
?
?????????????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
0
????????
π
????????????
2π
y=sinx
0
1
0
-1
0
y=-sinx
0
-1
0
1
0
典型例题
例1：画出函数y=sinx在区间[0，2π]上的图象.
解： 描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起
来，就画出函数y=?sinx在区间[0，2π]上
的图象，如图.
?
典型例题
例2：画出函数y=sinx-1的图象，并讨论它的性质.
解：函数y=sinx的周期是2π，按五个关键点
列表(如表).
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
0
????????
π
????????????
2π
y=sinx
0
1
0
-1
0
y=sinx-1
-1
0
-1
-2
-1
典型例题
例2：画出函数y=sinx-1的图象，并讨论它的性质.
解：于是得到函数y=sinx-1在[0，2π]上的五
个关键点为(0，-1) ，( ，0)，(π，-1)，
( ，-2)，(2π，-1).
?????????
?
?????????????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
0
????????
π
????????????
2π
y=sinx
0
1
0
-1
0
y=sinx-1
-1
0
-1
-2
-1
典型例题
例2：画出函数y=sinx-1的图象，并讨论它的性质.
解：描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起
来，就画出函数y=sinx-1在区间[0，2π]
上的图象.将其按周期延拓到R上得到
y=sinx-1在实数集上的图象，如图.
典型例题
例2：画出函数y=sinx-1的图象，并讨论它的性质.
解：观察图象得出y=sinx-1的性质(如表).
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}函数
y=sinx-1
定义域
R
值域
[-2，0]
奇偶性
既不是奇函数，也不是偶函数
周期性
周期函数，周期是2π
典型例题
例2：画出函数y=sinx-1的图象，并讨论它的性质.
解：观察图象得出y=sinx-1的性质(如表).
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}函数
y=sinx-1
单调性
在每一个闭区间[2kπ- ，2kπ+ ]
都单调递增；
在每一个闭区间[2kπ+ ，2kπ+ ]
都单调递减
?????????
?
????????
?
?????????????
?
?????????
?
典型例题
例2：画出函数y=sinx-1的图象，并讨论它的性质.
解：观察图象得出y=sinx-1的性质(如表).
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}函数
y=sinx-1
最大值与最小值
当x=2kπ+ ，k∈Z时，最大值为0；
当x=2kπ+ ，k∈Z时，最小值为-2
????????
?
?????????????
?
综合练习
函数y=2sinx-1的最小值是______.
解：由y=sinα的性质可得，其最小值为-1．
那么，函数y=2sinα-1的最小值：
y min=-2-1=-3．
故答案为：-3．
-3
综合练习
下列说法错误的有（　　）
A.作正弦函数的图象时，单位圆的半径长
与y轴的单位长度要一致
B.y=sinx，x∈[0，2π]的图象关于点P（π，0）
对称
C.y=sinx，x∈[ ， ]的图象关于直线x=π
成轴对称
D.正弦函数y=sinx的图象不超出直线y=-1和
y=1所夹的区域
????????
?
????????????
?
综合练习
解：对于A，作正弦函数的图象时，单位圆的半径长与y轴的单位长度要一致，故A正确；
对于B，y=sinx，x∈[0，2π]的图象关于点P（π，0）对称，故B正确；
对于C， y=sinx，x ∈[ ， ]的图象关于直线 成轴对称图形，故C错误；
对于D，正弦函数y=sinx的最大值为1，最小值为-1，故它的图象不超出直线y=-1和y=1所夹的区域，故D正确，
故选：C．
????????
?
????????????
?
x=????????????
?
综合练习
下列说法错误的有（　　）
A.作正弦函数的图象时，单位圆的半径长
与y轴的单位长度要一致
B.y=sinx，x∈[0，2π]的图象关于点P（π，0）
对称
C.y=sinx，x∈[ ， ]的图象关于直线x=π
成轴对称
D.正弦函数y=sinx的图象不超出直线y=-1和
y=1所夹的区域
????????
?
????????????
?
C
本课小结
再 见

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