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北师大版2020﹣2021学年度下学期七年级数学下册第五章生活中的轴对称
5.3
简单的轴对称图形
第二课时
线段垂直平分线的性质和画法
【知识清单】
1.线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线)；线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
2.
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
3.如图，已知线段AB．用尺规作出线段AB的垂直平分线l.
作法:(1)分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的为半径画圆弧，
两弧相交于点C，D；
(2)过点C，D作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.
【经典例题】
例题1、如图，直线l是线段AB的垂直平分线，垂足为点D，点P是l上任意一点，则下列结论：①PA=PB；②l⊥AB；③S△PAD=S△PBD；④∠APD=∠BPD；⑤PD=BD中，正确的有(　　)
A．①②③
B．①②⑤
C．①②③④
D．①②③④⑤
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】从已知条开始件结合线段的垂直平分线的性质
进行思得到结论与各选项进行比对，可得到答案考．
【解答】解：①l是AB的垂直平分线，故PA=PB，正确；
②根据垂直平分线的定义，l⊥AB，正确；
③根据轴对称图形的性质，△PAD≌△PBD，所以S△PAD=S△PBD，正确；
④根据轴对称图形的性质，△PAD≌△PBD，所以∠APD=∠BPD，正确；
⑤由线段AB的垂直平分线的性质，不能保证PD=BD，错误.
故选C
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．线段的垂直平分线垂直于这条线段并且平分这条线段．
例题2、已知：如图，在△ABC中，
AB的垂直平分线DE分别交BC，AB于点E，D，且CE=3BE.求证：CE=3AE．
【考点】线段垂直平分线的性质．?
【分析】要证CE=3AE，CE与AE没有直接关系，而已知DE是线段AB的垂直平分线，可连接AE.由线段垂直平分线性质定理得出AE=BE，由此得出结论.
【解答】连接AE.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∵CE=3BE.
∴CE=3AE.
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段
的两个端点的距离相等．
【夯实基础】
1．已知点P到△ABC的三个顶点的距离，则点P一定是(
)
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
2．如图，已知△ABC，AB乙、丙、丁四位同学的作法如下：请你判断哪位同学的作法正确(
)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
3．如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN
于P点，则(　　)
A．BC>PC+AP
B．BCC．BC≥PC+AP
D．BC=PC+AP
4．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，边AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，
连接BD，则∠CBD=
(
)
A．40°
B．30°
C．20°
D．10°
5．三边的垂直平分线的交点在其内部，则这个三角形是
；三边的垂直平分线的交点在三角形一边上，则这个三角形是
；三边的垂直平分线的交点在三角形外部，则这个三角形是
.
6．如图所示，AB∥CD，BC=CD，∠1=44°，则∠2的度数为
．
7．如图，在△ABC中，∠A>∠B．
(1)作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相
交于点D，E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接AE，若∠B=41°，求∠AEC的度数．
8．如图，在△ABC中，BC=19，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E．求△ADE的
周长．
9．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周长．
【提优特训】
10．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是(　　)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
11．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为点D，交AB于点E，已知BE=5，AE=3，若AC的长为奇数，则下列选项正确是(
)
A．3或5
B．5或7
C．5或7或9
D．3或5或7
12．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为点D，交AB于点E，若AB+AC=19，△AEC的周长为(
)
A．9
B．19
C．38
D．无法确定
13．如图，在△ABC中，∠C
=90°，边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于E，若AD是∠CAB的平分线，则∠B
=(
)
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A
=120°，BC=15cm，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于点M，交AC于点N，则DM的长为
.
15．如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠BAC=28°，则图中有
个等腰三角形，∠BDC
=
度.
16．如图，等边△ABC的边长为4cm，D，E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，
点A落在点F处，且点F在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为
cm．
17．在△ABC中，∠BAC=∠BCA，BC的垂直平分线DE交AC所在直线于点E，交BC于点D．
(1)如图(1)，若∠B=60°，BC的垂直平分线DE中的E恰与点A重合，求∠CED的度数；
(2)如图(2)，若∠B=84°，BC的垂直平分线DE交线段AC于点E，求∠CED的度数；
(3)如图(3)，若∠B=44°，BC的垂直平分线DE交CA的延长线于点E，求∠CED的度数；
(4)若∠B=α，无论BC的垂直平分线DE与AC的交点在哪，求∠CED的度数．
18．如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货．
(1)若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？
(2)若要求货站到A、B两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里？
(分别在图上找出点P，并保留作图痕迹，写出相应的文字说明．)
【中考链接】
19．(2020年?山东枣庄)
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，
连接AE．若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为(
)
A．8
B．11
C．16
D．17
20．(2020年?湖南益阳)
如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB，若∠A=50°，则∠B的度数为(
)
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
参考答案
1、D
2、C
3、D
4、B
5、锐角三角形，直角三角形，钝角三角形
6、68°
10、D
11、D
12、B
13、C
14、5cm
15、56
16、12
19、B
20、B
7．如图，在△ABC中，∠A>∠B．
(1)作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相
交于点D，E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接AE，若∠B=41°，求∠AEC的度数．
解：(1)画图，如图所示；
(2)∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠B=41°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=82°．
8．如图，在△ABC中，BC=19，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E．求△ADE的
周长．
解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD=BD，AE=CE，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=19．
9．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周长．
解：∵DE垂直平分线段AC，
∴AD=CD，AC=2AE，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC，
∵AE=5cm，△ABD的周长为17cm，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2×5+17=10+17=27cm．
17．在△ABC中，∠BAC=∠BCA，BC的垂直平分线DE交AC所在直线于点E，交BC于点D．
(1)如图(1)，若∠B=60°，BC的垂直平分线DE中的E恰与点A重合，求∠CED的度数；
(2)如图(2)，若∠B=84°，BC的垂直平分线DE交线段AC于点E，求∠CED的度数；
(3)如图(3)，若∠B=44°，BC的垂直平分线DE交CA的延长线于点E，求∠CED的度数；
(4)若∠B=α，无论BC的垂直平分线DE与AC的交点在哪，求∠CED的度数．
解：(1)∵∠BAC=∠BCA，∠B=60°，
∴∠C=(180°?∠B)=(180°?60°)=60°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DE⊥BC，
∴∠CED=90°?∠C=90°?60°=30°；
(2)∵∠BAC=∠BCA，∠B=84°，
∴∠C=(180°?∠B)=(180°?84°)=48°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DE⊥BC，
∴∠CED=90°?∠C=90°?48°=42°；
(3)∵∠BAC=∠BCA，∠B=44°，
∴∠C=(180°?∠B)=(180°?44°)=68°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DE⊥BC，
∴∠CED=90°?∠C=90°?68°=22°；
(4)∵∠BAC=∠BCA，∠B=α，
∴∠C=(180°?∠B)=(180°?α)，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DE⊥BC，
∴∠CED=90°?∠C=90°?(180°?α)=α．
18．如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货．
(1)若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？
(2)若要求货站到A、B两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里？
(分别在图上找出点P，并保留作图痕迹，写出相应的文字说明．)
解：如图(1)①连接AB，
②作线段AB的垂直平分线，交DE于点P，
点P就是所求的点；
如图(2)①作点A关于直线DE的对称点，
②连接B，交DE于点P，
点P就是所求的点.
第14题图
第19题图
第15题图
第18题图(1)
第18题图(2)
第3题图
第12题图
第8题图
第7题图
第20题图
第13题图
第6题图
第11题图
第10题图
第17题(1)
第17题(2)
第17题(3)
甲
乙
丙
丁
第16题图
第4题图
第18题图(2)
第18题图(1)
第18题图(1)
第18题图(2)
第17题(1)
第17题(2)
第17题(3)
第9题图
第8题图
第9题图
第7题图
例题1图
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精品试卷·第
2
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