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第六章圆周运动
第4节生活中的圆周运动
【素养目标】
1.通过观察模型了解火车车轮及轨道的形状特点，进而分析火车转弯时向心力的来源
2.分析汽车过拱、凹形桥时的受力，知道其临界速度与哪些因素有关
3.通过典型实例，理解竖直平面内绳、杆模型的不同临界条件
【必备知识】
知识点1.火车转弯
火车车轮的特点
火车的车轮有凸出的轮缘，火车在铁轨上运行时，车轮与铁轨有水平与竖直两个接触面，这种结构特点主要是避免火车运行时脱轨
2.向心力来源分析
火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向,大小F=mgtanθ
3.规定速度分析
若火车转弯时只受重力和支持力作用 ,不受轨道压力，则mgtanθ=mv02R，可得v0=gRtanθ。
(R为弯道半径,θ为轨道所在平面与水平面的夹角,v0为转弯处的规定速度)
4.轨道压力分析
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时火车对内外轨道无挤压作用。
(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用,具体情况如下:
①当火车行驶速度v>v0时,外轨道对轮缘有侧压力;
②当火车行驶速度v知识点2.拱形桥与凹形桥
汽车过拱形桥时，车对桥的压力小于其重力
汽车在桥上运动经过最高点时，汽车所受重力G及其支持力FN提供向心力。
G-FN=mv2R，所以FN=G-mv2R.
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力与反作用力，故汽车对桥的压力小于其重力。
汽车通过凸形路面顶端时,处于失重状态，汽车行驶的速度v越大,汽车对凸形路面的压力FN越小;当汽车的速度等于gR时，对凸形路面压力FN为零,处于完全失重状态，此时vm =gR是汽车保持在凸形路面顶端运动的最大速度(临界速度) ,若超过这个速度，这时汽车将“飞”过凸形路面。
2汽车过凹形桥时，车对桥的压力大于其重力
如图所示,汽车经过凹形桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力,其合力充当向心力。则FN-G=mv2R ,所以FN=G+mv2R，由牛顿第三定律知，车对桥的压力FN'=G+mv2R，大于车的重力。而且还可以看出,v越大，车对桥的压力越大。
知识点3.航天器中的失重现象
地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球半径R(约为6400 km)。地面上有一辆汽车在行驶，质量是m，地面对它的支持力是FN。
根据前面的分析,汽车速度越大，地面对它的支持力就越小，当速度大到一定速度时,地面对车的支持力为零，此速度应为gR。这时驾驶员与座椅之间的压力为零,他有飞起来的感觉,汽车在近地面绕地球做匀速圆周运动，此时汽车如同人造卫星。人造卫星、宇宙飞船、航天飞机等航天器进人轨道后可近似认为绕地球做匀速圆周运动，此时重力提供了卫星做圆周运动的向心力。航天器中的人和物随航天器一起做圆周运动，其向心力也是由重力提供的，此时重力全部用来提供向心力，里面的人和物处于完全失重状态。
知识点4.离心运动
定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动
本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向，并非受到离心力作用
受力特点：
①当F=mω2r时，物体做匀速圆周运动(供需平衡)
②当F=0时，物体沿切线方向飞出(向心力消失)
③当F④当F>mω2r时,物体逐渐靠近圆心，做近心运动(供大于需)
作用：离心运动可以给我们的生活、工作带来方便，如利用离心运动而设计的离心干燥器洗衣服的脱水筒等
防止：有时离心运动也会给人们带来危害，需要进行限速,如汽车转弯时若做离心运动则易造成交通事故;砂轮转动时发生部分砂块做离心运动会造成人身伤害
【课堂检测】
1．如图，铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为θ，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车以速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是（　　）
A．false
B．若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内
C．火车的速度越大，轨道对火车的弹力越大
D．无论火车以何种速度行驶，对内侧轨道都有压力
【答案】C
【详解】
AD．火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，其所受的重力和支持力的合力提供向心力，效果如图所示
由牛顿第二定律得false
解得false
故AD错误；
B．当转弯的实际速度小于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心力，火车有向心趋势，故其内侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，内轨受到侧压力作用方向平行轨道平面向内，故B错误；
C．当转弯的实际速度大于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有离心趋势，故其外侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，火车的速度越大，轨道对火车的弹力越大，故C正确。
故选C。
2．汽车沿圆弧拱桥运动，圆弧拱桥的半径为R。汽车可视为质点，质量为m，重力加速度为g，某时刻汽车经过最高点，下列判断正确的是（　　）
A．此时汽车对拱桥的压力大小可能为2mg
B．如果汽车的速度为false，汽车对拱桥的压力大小为false
C．如果汽车的速度为false，汽车对拱桥的压力大小为false
D．如果汽车的速度为false，之后汽车做平抛运动
【答案】D
【详解】
A．汽车经过最高点由牛顿第二定律可知false
得false
故A错误；
BCD．汽车经过最高点由牛顿第二定律可知false
如果汽车的速度为false，代入解得false
同理，如果汽车的速度为false，代入解得false
如果汽车的速度为false，代入解得false
此时汽车只受重力且有水平方向的初速度，则汽车做平抛运动，故BC错误，D正确。
故选D。
【素养作业】
1．下列现象中，与离心现象无关的是（　　）
A．用洗衣机脱去湿衣服中的水 B．旋转雨伞上的水滴
C．汽车紧急刹车时，乘客身体向前倾斜 D．在公路弯道车辆不允许超过规定速度
【答案】C
【解析】A．用洗衣机脱去湿衣服中的水，是利用离心现象，选项A错误；
B．旋转雨伞上的水滴，是利用离心现象，选项B错误；
C．汽车紧急刹车时，乘客身体向前倾斜，是惯性现象，选项C正确；
D．在公路弯道车辆不允许超过规定速度，是防止出现离心现象发生危险，选项D错误。
故选C。
2．如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F的作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法不正确的是（　　）
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变为0.5F，小球可能沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变为0.5F，小球可能沿轨迹Pb做离心运动
D．若拉力突然变大，小球可能沿轨迹Pc做向心运动
【答案】B
【解析】A．在水平面上，细绳的拉力提供小球所需的向心力，当false
小球做匀速圆周运动，当拉力突然消失时，小球将沿切线Pa方向做匀速直线运动，故A正确；
BC．当拉力突然减小时，小球将沿Pb做离心运动，故B错误C正确；
D．当拉力突然增大时，小球将沿Pc做向心运动，故D正确。
故选B。
3．如图所示，在P点用一根细绳悬挂一质量为m的小球，小球在水平面内做匀速圆周运动，轨迹圆的圆心О到P点的距离为h，若h不变，增大绳长，小球仍在水平面内做匀速圆周运动，下列判断正确的是（　　）
A．小球的角速度变大 B．小球受到细绳拉力不变
C．小球的线速度变小 D．小球的加速度增大
【答案】D
【解析】AB．对小球受力分析如图所示
设绳子的拉力为F，绳子的长度为l，绳子与竖直方向之间的夹角为θ，绳的拉力为false
因为绳长变长，h不变，则false变大，所以小球受到细绳拉力变大；小球所受重力和绳子的拉力的合力提供了向心力，可得mgtanθ=mω2r
其中r=lsinθ
则mgtanθ=mω2lsinθ
解得false
所以角速度不变，故AB错误；
C．根据牛顿第二定律false
其中r=lsinθ
联立可得false
因为绳长变长，h不变，则false变大，所以小球的线速度变大，故C错误；
D．根据牛顿第二定律false
可得false
因为绳长变长，h不变，则false变大，所以小球的加速度增大，故D正确。
故选D。
4．如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球的运动过程，下列说法中错误的是（　　）
A．小球在最低点时一定处于超重状态
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．小球在最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
D．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为false
【答案】B
【解析】A．小球在最低点时，加速度向上，则一定处于超重状态，选项A正确，不符合题意；
C．小球在最低点时，根据牛顿第二定律可知false
解得false
则绳子的拉力一定大于小球重力，选项C正确，不符合题意；
BD．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点时false
速率为false
此时绳子的拉力为零，选项B错误，符合题意，D正确，不符合题意。
故选B。
5．如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径R＝1 m，小球可看成质点且其质量为m＝1 kg，g取10 m/s2。则（　　）
A．小球在C点的速度大小为3 m/s
B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m
C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 N
D．小球经过管道的B点时，处于超重状态
【答案】C
【解析】A．小球垂直撞在斜面上，可知到达斜面时竖直分速度vy=gt=10×0.3m/s=3m/s
根据平行四边形定则知false
解得小球经过B点的速度vB=vy=3m/s
根据矢量合成可知，小球在C点的速度大小为false ，故A错误；
B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是false
故B错误；
C．在B点，根据牛顿第二定律得，false
解得轨道对小球的作用力false
可知轨道对小球的作用力方向向上，大小为1N，故C正确。
D．小球经过管道的B点时，加速度向下，处于失重状态，故D错误；
故选C。
6．在一个水平转台上放有质量相等的A、B两个物体（可视为质点），用一轻杆相连，A、B连线沿半径方向。A与平台间有摩擦，B与平台间的摩擦可忽略不计，A、B到平台转轴的距离分别为L、2L。某时刻一起随平台以角速度ω绕OO′轴做匀速圆周运动，A与平台间的摩擦力大小为FfA，杆的弹力大小为F．现把水平转台转速提高至原来的2倍，A、B仍各自在原位置随平台一起绕OO′轴做匀速圆周运动。则下面说法正确的是（　　）
A．FfA、F增加后，均小于原来的4倍
B．FfA、F均增加为原来的2倍
C．FfA大于原来的4倍，F等于原来的2倍
D．FfA、F均增加为原来的4倍
【答案】D
【解析】根据牛顿第二定律得：对A，fA-F=mω2rA①
对B，F=mω2rB②
当ω增大到2ω时，由②式知，F增加到原来的4倍；由①式知fA=F+mω2rA
fA增加为原来的4倍。
故选D。
7．下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（　　）
A．公路在通过小型水库泄洪闸的下游时，常常用修建凹形桥，也叫“过水路面”，汽车通过凹形桥的最低点时，车对桥的压力小于汽车的重力
B．杂技演员表演“水流星”，当“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
C．在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，目的是减轻轮缘与外轨的挤压
D．洗衣机脱水桶的脱水原理是：水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出
【答案】C
【解析】A．汽车通过凹形桥最低点时，具有向上的加速度（向心加速度），超重，故对桥的压力大于重力，故A错误；
B．演员表演“水流星”，当“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，仍然受重力的作用，故B错误；
C．在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，当火车按规定速度转弯时，由重力和支持力的合力完全提供向心力，从而减轻轮缘对外轨的挤压，故C正确；
D．衣机脱水桶的脱水原理是：是水滴需要的向心力大于提供的向心力，所以做离心运动，从而沿切线方向甩出，故D错误。
故选C。
8．在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，为了提高转弯速度，仅改变一个下列可行的措施是（　　）
A．减小火车质量 B．增大火车质量
C．减小转弯半径 D．增大轨道倾斜角
【答案】D
【解析】火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，设转弯处斜面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得false
解得false
为了提高转弯速度，可以增大倾角或增大转弯半径。
故选D。

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