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第八章机械能守恒定律
第4节机械能守恒定律
【素养目标】
1.通过实例掌握重力、弹簧弹力做功对应势能的变化情况
2.借自由落体运动，推导机械能守恒定律
3.通过实例理解机械能守恒的条件及其判断技巧
4.通过练习熟悉机械能守恒定律求解问题的步骤与方法，体会其优越性
【必备知识】
知识点1动能与势能的相互转化
1.机械能
(1)物体的动能和势能之和为物体的机械能，它包括动能、重力势能和弹性势能。
(2)机械能是一个状态量，做机械运动的物体在某一位置时
,具有确定的速度,也就有确定的动能和势能，即具有确定的机械能。
(3)机械能具有相对性，其大小与参考系、参考平面的选取有关。
(4)机械能是标量，是系统共有的。
2.动能与势能的相互转化
由动能定理可知，所有外力做功会改变动能，即动能的改变等于合力做的功。但重力势能的变化仅由重力做功决定，重力做多少正功，重力势能就减少多少;重力做多少负功，重力势能就增加多少。弹性势能的改变仅由弹簧弹力做功决定，与其他任何外力做功均无关。
在只有重力做功的情况下,仅有动能与重力势能的相互转化;在只有弹力做功的情况下,仅有动能和弹性势能的相互转化。
知识点2机械能守恒定律
1.推导
如图所示，设一质量为m的物体自由下落，经过高度为的A点(初位置)时速度为，下落到高度为的B点时速度为。取地面为参考平面，则物体在A点时的机械能和B点时的机械能分别为
只有重力做功，根据动能定理有=，重力所做的正功在数值上等于物体重力势能的减少量，=，由以上两式可以得到=。即=
此式表明，在自由落体运动中，动能和重力势能之和不变，即机械能保持不变。可以证明，在只有重力做功的情形下，不论物体做直线运动还是曲线运动（如平抛运动、斜抛运动等），上述结论都是正确的。
2.内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变，这叫作机械能守恒定律
条件
只有系统内的重力或弹力做功，其他力不做功或做功的代数和为零。
常用表达式
表达角度
表达公式
表达意义
注意事项
守恒观点
系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的的零势能面，且初、末状总和相等
应用时应选好重力势能态必须用同一
零势能面计算势能
转化观点
表示系统(或物体)机械能守恒时，
系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能
应用时的关键在于分清重力势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差
转移观点
若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
特别提醒
机械能守恒指的是在动能与势能整个转化过程中的守恒，即整个过程中任一时刻、任一状态时的机械能的总量保持不变。正因为如此，所以才可以在整个过程中任取两个状态列方程求解。
【课堂检测】
1．如图所示，质量为m的小球，从距桌面h1高处的A点自由落到地面上的B点，桌面离地高为h2．选择桌面为参考平面，则小球
A．在A点时的重力势能为
B．在A点时的机械能为
C．在A点时的重力势能为0
D．落到B点时的动能为
【答案】D
【详解】
AC．选择桌面为参考平面，则在A点时的重力势能为，选项AC错误；
B．在A点时的机械能等于在A点的重力势能，大小为，选项B错误；
D．根据机械能守恒定律可知：
解得落到B点时的动能为
选项D正确．
2．如图所示，质量为m的物体（可视为质点）以速度v0离开桌面，不计空气阻力，若以桌面为零重力势能参考面，则当物体经过A处时，它所具有的机械能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
物体抛出后只受重力作用，机械能守恒，则当物体经过A处时，它所具有的机械能等于刚抛出时的机械能，因为以桌面为零重力势能参考面，则机械能为，则物体经过A处时，它所具有的机械能也为。
故选A。
【素养作业】
1．下列说法正确的是（　　）
A．如果物体受到的合力为零，则其机械能一定守恒
B．如果物体受到的合力做功为零，则其机械能一定守恒
C．物体沿光滑曲面自由下滑的过程中，其机械能不一定守恒
D．做匀加速运动的物体，其机械能可能守恒
【答案】D
【解析】AB．如果物体受到的合力为零，或者合外力的功为零，则其机械能不一定守恒，例如物体沿斜面匀速下滑，选项AB错误；
C．物体沿光滑曲面自由下滑的过程中，只有重力做功，其机械能一定守恒，选项C错误；
D．做匀加速运动的物体，其机械能可能守恒，例如自由落体运动，选项D正确。
故选D。
2．下列描述中，机械能守恒的是（　　）
A．物体被拉着沿着光滑斜面做匀速上升运动
B．物体从置于光滑水平面的光滑斜面体上做自由下滑运动
C．物体做竖直上抛运动
D．物体以的加速度竖直向上做匀减速运动
【答案】C
【解析】A．物体被拉着沿着光滑斜面做匀速上升运动，其动能不变，重力势能增大，机械能增大，故A错误；
B．物体从置于光滑水平面的光滑斜面上自由下滑时，物体对斜面做功，故物体的机械能不守恒，故B错误；
C．物体做竖直上抛运动，只有重力做功，则物体的机械能守恒，故C正确；
D．物体以的加速度竖直向上做匀减速运动，说明物体受到向上的小于重力的外力作用，此外力对物体做功，则物体的机械能不守恒，故D错误。
故选C。
3．光滑水平面上有A、B两木块，A、B之间用一轻弹簧拴接，A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态，若突然撤去力F，则下列说法中正确的是（　　）
A．木块A离开墙壁前，A、B组成的系统机械能守恒
B．木块A离开墙壁后，A、B组成的系统机械能守恒
C．木块A离开墙壁前，A、B弹簧组成的系统机械能守恒
D．木块A离开墙壁后，A、B弹簧组成的系统机械能不守恒
【答案】C
【解析】AC．木块A离开墙壁前，弹簧的弹力对B做功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B弹簧组成的系统机械能守恒，选项A错误，C正确；
BD．木块A离开墙壁后，弹簧的弹力对AB都做功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B弹簧组成的系统机械能守恒，选项BD错误。
故选C。
4．如图所示，质量为1
kg的光滑小球从斜面顶端A点由静止释放，已知斜面的倾角为30°，斜面长为4
m，取重力加速度g=10
m/s2，以过A点的水平面为参考平面，下列说法错误是（
）
A．重力对小球做正功
B．小球运动至斜面中点时的重力势能为-10
J
C．小球从A点运动至B点的过程中重力势能的变化量为20
J
D．小球到达B点时的机械能为0
【答案】C
【解析】A．重力和位移的夹角为60°，所以重力对小球做正功，A正确；
B．A点的水平面为参考平面，所以A点的重力势能为0，小球运动至斜面中点时，重力做功10
J，所以重力势能减少10
J，所以小球运动至斜面中点时的重力势能为-10
J，B正确；
C．小球从A点运动至B点，重力做正功，重力势能减少，所以重力势能的变化量为-20
J，C错误；
D．运动过程中机械能守恒，在A点的机械能为0，故小球到达B点时的机械能为0，D正确。
故错误的选C。
5．如图所示，小球在竖直向下的力F作用下，将竖直轻弹簧压缩，若将力F撤去，小球将向上弹起并离开弹簧，直到速度为零。在小球上升的过程中，以下说法错误的是（　　）
A．小球的动能先增大后减小
B．小球在离开弹簧时动能最大
C．小球运动的加速度先变小后变大最后不变
D．小球动能减为零时，重力势能最大
【答案】B
【解析】A．小球上升过程中，离开弹簧前受到重力和弹簧的弹力，当弹力大于重力时，小球向上加速，当弹力小于重力后，小球开始减速，离开弹簧后做竖直上抛运动，速度继续减小，所以小球的动能先增大后减小，A正确，不符合题意；
B．由A项的分析可知：当弹簧弹力等于重力时，速度最大，此时动能最大，故B错误，符合题意；
C．根据受力分析结合牛顿第二定律可知，小球运动的加速度先变小后变大，当小球脱离弹簧后加速度为重力加速度，不再发生变化，故C正确，不符合题意；
D．小球动能减为零时，速度为零，上升到最高点，此时重力势能最大，故D正确，不符合题意。
故选B。
6．“竹蜻蜓”是民间的儿童玩具，如图所示，双手用力搓柄可使“竹蜻蜒”上升。在某次实验中，“竹蜻蜓”离开手后沿直线上升到最高点。在上升过程中，下列说法正确的是（　　）
A．“竹蜻蜓”在旋转过程中，叶片上、两点的线速度大小相等
B．“竹蜻蜒”的动能一直增加
C．“竹蜻蜓”的重力势能一直增加
D．“竹蜻蜓”的机械能增加
【答案】C
【解析】A．“竹蜻蜓”在旋转过程中，叶片上、两点的角速度，因半径不同，有A点的线速度大于B点的线速度，故A错误；
B．“竹蜻蜓”离开手后沿直线上升到最高点的速度为零，动能最后减小到零，故B错误；
C．“竹蜻蜓”离开手后沿直线上升到最高点的过程中，高度升高，即重力势能一直增大，故C正确；
D．“竹蜻蜓”离开手后沿直线上升到最高点的过程中，除重力做功之外，还有空气阻力对它做功，故机械能减小，故D错误。
故选C。
7．如图所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光得到了图中1、2、3、4、5…所示小球运动过程中每次曝光的位置，频闪照相机连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d。根据图中的信息，下列判断正确的是（　　）
A．能判定位置“1”是小球释放的初始位置
B．能求出小球下落的加速度为
C．能求出小球在位置“3”的速度为
D．能判定小球下落过程中机械能是否守恒
【答案】C
【解析】B．由图可以知道每两个相邻的点之间的距离差是一样的，由△x=aT2可知
故B错误；
AC．则小球做匀加速直线运动，小球在位置“3”的速度为2、4之间的平均速度的大小，为
根据v=v0+at可得小球在位置“1”的速度是
则位置“1”不是小球释放的初始位置，选项C正确，A错误；
D．若小球下落的加速度等于重力加速度，则小球的机械能守恒；由于加速度的具体数值不能求得，则不能判断小球的机械能是否守恒，选项D错误。
故选C。
8．如图所示，无人机在空中加速上升时，不断增加的能量是（　　）
A．动能
B．动能、重力势能
C．重力势能、机械能
D．动能、重力势能、机械能
【答案】D
【解析】无人机加速上升，所以动能增加。高度不断增加，所以重力势能不断增加，所以无人机机械能不断增加，所以选项D正确，ABC错误。
故选D。

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