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第七章万有引力与宇宙航行
单元复习方案
【单元知识架构】
【必备知识】
专题1万有引力定律
(1)万有引力定律
①内容:自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量和的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
②公式:F=G，引力常量G=6.67xN。
③适用条件:质点间引力大小的计算。
(2)万有引力与重力的关系
实际上，地面上物体所受的万有引力F可以分解为物体所受的重力mg和随地球自转而做圆周运动的向心力。其中F=G
①当物体在赤道上时,F、mg、三力同向。此时满足+mg=
F。
②当物体在两极点时,F'=0,F
=mg=G
③当物体在地球的其他位置时，三力方向不同,F
>
mg。
④当忽略地球自转时,重力等于万有引力，即mg=G
⑤绕地球运行的近地卫星所受的万有引力等于卫星的重力。
专题2万有引力定律在天文学上的应用
万有引力定律在天文学上的应用主要是求解天体运动问题，基本思路有:
(1)建立模型
①质点模型;②匀速圆周运动模型;③绕行模型。
(2)三种常见的匀速圆周运动绕行模型
①核星模型
这种天体运动模型中，一般由运行天体绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动，即常规性运动模型。
②双星模型
在天体模型中,将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力的作用下，绕两星体连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。具有以下基本规律:
轨道半径与星体质量成反比，线速度与轨道半径成正比。
③三星或多星模型
(3)抓两条思路
思路①:利用在中心天体的表面或附近,万有引力近似等于重力,公式为G=(表示天体表面的重力加速度)。
思路②:利用万有引力提供向心力
由此得到一个基本公式G=
ma。
式中a表示向心加速度，而向心加速度又有a=
这样几种表达形式，要根据具体问题，把这几种表达形式代入公式，讨论相关问题。
(4)分清四个不同
①不同公式中r的含义不同;
②万有引力与重力不同;
③随地球自转的向心加速度与环绕运行的向心加速度不同；
④运行速度与发射速度不同。
专题3卫星运行及变轨动态分析
(1)描述人造卫星运动的几个物理量。
类型
物理量
公式或数据推导
说明
人
造卫星
线速度(v)
根据G=
m得v=
不同轨道有不同的运行速度，轨道半径越大，线速度越小
角速度()
根据G=
m得=
不同轨道有不同的角速度，轨道半径越大，角速度越小
周期(T)
根据G=
m得T=2
不同轨道有不同的运行周期,轨道半径越大，周期越大
向心加速度(a)
根据G=
ma得a=
不同轨道有不同的运行加速度,轨道半径越大，加速度越小
(2)变轨与追及问题
①变轨问题
人造卫星在轨道变换时，速度大小发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，从而发生变轨。在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，即卫星定位于新的轨道。比如，卫星轨道偏高时，助推火箭反向点火使卫星减速，卫星需要的向心力减小，小于万有引力,卫星做近心运动，由于势能转化为动能，卫星速度增大,需要的向心力增大,万有引力虽然也有增大,但增大较少，于是在较低轨道上两者重新相等，卫星轨道降低。
②追及问题
若某中心天体有两颗轨道共面的环绕天体，当两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体同一侧时相距最近;当两环绕天体与中心心天体在同一
直线上，且位于中心天体异侧时相距最远。如两环绕天体某时刻相距最近，则:
若经过时间t，两环绕天体与中心天体连线半轻转过的角度相差2的整数倍，，则两环绕天体又相距最近；
若经过时间t,两环绕天体与中心天体连线半径转过的角度相差甘的奇数倍，则两环绕天体相距最远。
【课堂检测】
1．如图所示，a为放在赤道上随地球一起自转的物体，b为同步卫星，c为一般卫星，d为极地卫星．设b、c﹑d三卫星距地心的距离均为r，做匀速圆周运动．则下列说法正确的是(　　)
A．a、b、c、d线速度大小相等
B．a、b、c、d向心加速度大小相等
C．d可能在每天的同一时刻，出现在a物体上空
D．若b卫星升到更高圆轨道上运动，则b仍可能与a物体相对静止
【答案】C
【详解】
A．
a、b比较，角速度相等，由v=ωr，可知υa＜υb，根据线速度公式，b、c、d为卫星，轨道半径相同，线速度大小相等，故A错误；
B．a、b比较，角速度相等，由a=ω2r，aa＜ab，根据向心加速度大小公式，b、c、d为卫星，轨道半径相同，向心加速度大小相等，故B错误；
C．d为极地卫星，根据可知，d的周期与b的转动的周期相等，则d的周期与a的转动的周期相等，d可能在每天的同一时刻，出现在a物体上空，故C正确；
D．b为同步卫星，若b卫星升到更高圆轨道上运动，周期发生变化，b不可能与a物体相对静止，故D错误；
2．假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，自身球体半径分别为RA和RB．两颗行星各自周围的卫星的轨道半径的三次方（r3）与运行公转周期的平方（T2）的关系如图所示；T0为卫星环绕各自行星表面运行的周期．则（　　）
A．行星A的质量小于行星B的质量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度
D．当两行星周围的卫星的运动轨道半径相同时，行星A的卫星的向心加速度大于行星B的卫星的向心加速度
【答案】D
【详解】
A．根据万有引力提供向心力，有
解得：
对于环绕行星A表面运行的卫星，有
T0=
…①
对于环绕行星B表面运行的卫星，有
T0=
…②
联立①②得…③
由图知，RA>RB，所以MA>MB，故A错误；
B．?A行星质量为：MA=ρA
B行星的质量为：MB=ρB，
代入③解得：ρA=ρB，故B错误；
C．行星的近地卫星的线速度即第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力，有
解得：v=
=
∝R
因为RA>RB，所以vA>vB，故C错误；
D．根据知a=
由于MA>MB，行星运动的轨道半径相等，则行星A的卫星的向心加速度大于行星B的卫星的向心加速度，故D正确。
故选D。
【素养作业】
1．下列说法中不正确的是（　　）
A．牛顿运动定律适用于宏观、低速、弱作用力领域
B．经典力学适用于微观、高速、强引力场等物体的运动
C．一旦测出了引力常量，就可以算出地球的质量
D．17世纪，牛顿把天空中的现象与地面上的现象统一起来，成功的解释了天体运动的规律
【答案】B
【解析】
AB．牛顿运动定律适用于宏观、低速、弱作用力领域，不适用微观、高速、强相互作用，故A正确，B错误；
C．卡文迪许利用扭秤实验测量出了引力常量G=6.67×10－11N·m2/kg，由G=mg
知，一旦测出了引力常量，就可以算出地球的质量，故C正确；
D．根据牛顿对万有引力的研究史知D正确。
本题选不正确的，故选B。
2．“嫦娥五号”探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成，自动完成月面样品采集，并从月球起飞返回地球。若已知月球半径为R，探测器在距月球表面高为R的圆轨道上飞行，周期为T，引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．月球质量为
B．月球表面的重力加速度为
C．月球的密度为
D．月球表面的环绕速度为
【答案】A
【解析】
A．对于探测器，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有G=m·2R·
解得m月=
故A正确；
B．在月球表面附近，物体的重力等于万有引力，有
解得月球表面的重力加速度为g月==
故B错误；
C．月球的密度ρ===
故C错误；
D．设月球表面的环绕速度为v，根据牛顿第二定律，有
解得v==
故D错误。
故选A。
3．一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度减小为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的（
）
A．向心加速度大小之比为4∶1
B．角速度之比为2∶1
C．周期之比为1∶4
D．轨道半径之比为1∶4
【答案】D
【解析】
D．该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度减为原来的，根据G
=
m
可得r
=
可知变轨后轨道半径变为原来的4倍，D正确；
A．根据G
=
man
得an
=
则变轨后的向心加速度变为原来的，A错误；
B．根据ω
=
可知变轨后角速度变为原来的，B错误；
C．根据T
=
可知，变轨后周期变为原来的8倍，C错误。
故选D。
4．设想把质量为m的物体放在地球的中心，地球质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力为（　　）
A．零
B．无穷大
C．
D．
【答案】A
【解析】
把物体放到地球的中心时r＝0，此时万有引力定律不再适用，由于地球关于球心对称，所以吸引力相互抵消，对整体而言，万有引力为零。
故选A。
5．对于质量分别为m1和m2的两个物体间的万有引力的表达式F=G，下列说法正确的是(　　)
A．公式中G是引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．当有第三个物体放在m1、m2之间时，m1和m2间的万有引力将增大
D．m1和m2所受的引力性质可能相同，也可能不同
【答案】A
【解析】
A．公式中G是引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的，故A正确；
B．当物体间距离趋于零时，物体就不能看成质点，因此万有引力表达式不再适用，物体间的万有引力不会变得无穷大，故B错误；
C．物体间万有引力的大小只与两物体的质量m1、m2和两物体间的距离r有关，与是否存在其他物体无关，故C错误；
D．物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，是同种性质的力，且始终等大反向共线，故D错误；
故选A。
6．2020年7月23日，在我国文昌航天发射场，长征五号遥四运载火箭成功将“天问一号”火星探测器送入预定轨道，预计本次探测活动，我国将实现“环绕、着陆、巡视”三大目标。如图是探测器飞向火星过程的简略图，探测器分别在P、Q两点实现变轨，在转移轨道，探测器绕火星做椭圆运动，下列说法正确的是（　　）
A．“天问一号”在绕地轨道的环绕速度不大于7.9km/s
B．“天问一号”在沿绕火轨道运行时的速度大于火星的第一宇宙速度
C．“天问号”在绕地轨道上P点的加速度大于在转移轨道上P点的加速度
D．“天问一号”在转移轨道运行的周期小于绕火轨道周期
【答案】A
【解析】
A．根据卫星绕中心天体做匀速圆周运动，有，可得环绕天体的线速度为
可知轨道半径越大，线速度越小，而7.9km/s为近地卫星的线速度，轨道半径最小，故“天问一号”在绕地轨道的环绕速度不大于7.9km/s，故A正确；
B．火星的第一宇宙速度是火星的近火卫星的线速度，轨道半径最小，线速度最大，故“天问一号”在沿绕火轨道运行时的速度小于等于火星的第一宇宙速度，故B错误；
C．圆轨道和转移轨道上的同一点都是万有引力产生加速度，故“天问一号”在绕地轨道上P点的加速度等于在转移轨道上P点的加速度，故C错误；
D．转移轨道探测器绕火星做椭圆运动，可知其半长轴大于绕火轨道的半径，由可知“天问一号”在转移轨道运行的周期大于绕火轨道的周期，故D错误；
故选A。
7．地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略），所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则（　　）
A．F1=F2>F3
B．a1=a2=g>a3
C．v1=v2=v>v3
D．ω1=ω3＜ω2
【答案】D
【解析】
地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即ω1=ω3
根据关系式v=ωr和a=ω2r可知v1＜v3，a1＜a3
人造卫星和地球同步卫星都围绕地球转动，它们受到的地球的引力提供向心力，即
可得，，
可见，轨道半径大的线速度、向心加速度和角速度均小，即v2>v3，a2>a3，ω2>ω3
绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）的线速度就是第一宇宙速度，即v2=v
其向心加速度等于重力加速度，即a2=g
所以v=v2>v3>v1，g=a2>a3>a1，ω2>ω3=ω1
又因为F=ma，所以F2>F3>F1
故选D。
8．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．如图所示为火星冲日年份
示意图，下列说法正确的是（　　）
A．火星绕太阳公转线速度大于地球绕太阳公转线速度
B．火星绕太阳公转角速度大于地球绕太阳公转角速度
C．由于统计数据的不完整，两次火星冲日时间可能小于一年
D．相邻两次冲日时间不相等是因为地球、火星公转轨道不是标准圆轨道
【答案】D
【解析】
根据可得，可知，火星绕太阳公转线速度小于地球绕太阳公转线速度，火星绕太阳公转角速度小于地球绕太阳公转角速度，选项AB错误；设地球绕太阳的公转周期为T，火星绕太阳的公转周期为T＇，相邻两次火星冲日时间为t，则，解得年，即两次火星冲日时间大于一年
，选项C错误；相邻两次冲日时间不相等是因为地球、火星公转轨道不是标准圆轨道，选项D正确.

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