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第一章　集合、常用逻辑用语与不等式
第一讲　集　合
考点测评
1.下列说法正确的是
（　　）
①集合{x∈N|x3=x}，用列举法表示为{
-
1，0，1}.
②{x|y=x2}={y|y=x2}={（x，y）|y=x2}.
③方程+（y+2
021）2=0的解集为{2
020，
-
2
021}.
④若5∈{1，m+2，m2+4}，则m的取值集合为{1，
-
1，3}.
⑤若P
∩M=P
∩N=A，则A?（M
∩N）.
⑥设U=R，A={x|lg
x<1}，则?UA={x|lg
x≥1}={x|x≥10}.　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①③④
B.⑤⑥
C.⑤
D.②⑤
2.[易错题]已知集合A={x|<1}，则?RA=
（　　）
A.（-∞，2]
B.[1，2]
C.（1，2]
D.（-∞，2）
3.[2020广东四校联考]已知集合A={
-
1，0，1，2，3}，B={x|≥0}，则A∩B中元素的个数为
（　　）
A.1
B.2
C.3
D.4
4.[2020大同市高三调研测试]已知集合A满足{0，1}?A?{0，1，2，3}，则满足条件的集合A的个数为
（　　）
A.1
B.2
C.3
D.4
5.[2019全国卷Ⅱ]设集合A={x|x2
-
5x+6>0}，B={x|x
-
1<0}，则A∩B=
（　　）
A.（
-
∞，1）
B.（
-
2，1）
C.（
-
3，
-
1）
D.（3，+∞）
6.[2019天津高考]设集合A={
-
1，1，2，3，5}，B={2，3，4}，C={x∈R|1≤x<3}，则（A∩C）∪B=
（　　）
A.{2}
B.{2，3}
C.{
-
1，2，3}
D.{1，2，3，4}
回顾知识
提升能力
考法1
集合的含义与表示
命题角度1　集合元素的“三性”
例1：[福建高考]已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系①a≠2，②b=2，③c≠0中有且只有一个正确，
则100a+10b+c等于　　　　.?
【解题思路】
给什么得什么
（i）{a，b，c}={0，1，2}?a，b，c分别为0，1，2中的某一个且不重复.（ii）①②③中有且只有一个正确.
求什么想什么
求100a+10b+c，实质上需要求a，b，c的值.
差什么找什么
解决本题的突破口显然在条件（ii），即分三种情形，分别假设①②③中有且只有一个成立，然后利用集合中元素的互异性进行分析.
【解析】可分下列三种情形：（1）若只有①正确，则a≠2，b≠2，c=0，推出a=b=1，与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；（2）若只有②正确，则b=2，a=2，c=0，与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；（3）若只有③正确，则c≠0，a=2，b≠2，推出b=0，c=1，满足集合中元素的互异性.所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.
【解题反思】解决本例的关键在于集合元素“三性”（确定性、互异性、无序性）的灵活运用，即在求出有关参数后，应检查集合中的元素是否满足“三性”（特别是互异性）.
命题角度2　求集合中元素的个数
例2：
[2018全国卷Ⅱ]已知集合A={（x，y）|
x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为　　　　　　　　　　　　　　　　
A.9
B.8
C.5
D.4
【解题思路】
目标是什么
确定A中元素个数.
给什么得什么
A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，若从“数”的角度分析：由x2≤3
-
y2≤3得
-
≤x≤，又x∈Z，所以x
=
±1，0，同理得y=±1，0，再检验是否同时满足x2+y2≤3即可.若从“形”的角度分析：集合A实质上是圆x2+y2=3内（包括圆上）的整点（纵、横坐标均为整数）组成的集合，可以通过画图形来确定整点的个数.
【解析】
解法一　由x2+y2≤3知，
-
≤x≤，
-
≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{
-
1，0，1}，y∈{
-
1，0，1}.当x=
-
1时，y=1，0，1；当x=0时，y=
-
1，0，1；当x=1时，y=
-
1，0，1.所以A中元素的个数为9.
解法二　根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图1
-
1
-
1，易知在圆x2+y2=3中有9个整点，即集合A中的元素个数为9.
图1
-
1
-
1
【答案】A
【变式练习
牛刀小试】
1.[2017全国卷Ⅲ]已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为
（　　）
A.3
B.2
C.1
D.0
考法2
集合间的基本关系
例3：（1）已知集合A={x∈Z|x2
-
2x
-
3≤0}，B={y|y=2x}，则A
∩B的子集的个数为　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
A.10
B.16
C.8
D.7
（2）已知集合A={0，1}，B={x|x?A}，则下列集合A与B的关系中正确的是
A.B∈A
B.A?B
C.B?A
D.A∈B
【解题思路】（1）根据集合A，B确定集合A∩B，代入公式求解.（2）确定集合B，即可判断集合A，B的关系.
【解析】（1）（公式法）因为A={
-
1，0，1，2，3}，B=（0，+∞），所以A∩B={1，2，3}，其子集的个数为23=8.
（2）因为x?A，所以B={?，{0}，{1}，{0，1}}，又集合A={0，1}是集合B中的元素，所以A∈B.
【答案】（1）C　（2）D
【注意】第（2）小题易错选B.题中所给的两个集合比较特殊，集合B中的元素就是集合，当集合A是集合B中的元素时，A与B是属于关系.
【反思】解题时要思考两个问题：
（1）两个集合中的元素分别是什么；（2）两个集合中元素之间的关系是什么.
例4：（1）[2020湖北武汉模拟]已知集合A={x|
-
2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m
-
1}，若B?A，则实数m的取值范围为　　　　　.?
（2）若将（1）中“集合A={x|
-
2≤x≤5}”改为“集合A={x|x<
-
2或x>5}”，则实数m的取值范围为　　　　.?
【解析】（1）因为B?A，所以分以下两种情况.
①若B=?，则2m
-
1②若B≠?，则解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（
-
∞，3].
（2）因为B?A，所以分以下两种情况.
①若B=?，则2m
-
1②若B≠?，则或解得m>4.
综上可知，实数m的取值范围为（
-
∞，2）∪（4，+∞）.
【变式练习
牛刀小试】
2.（1）[2020山东青岛两校联考]已知集合M={x|y=}，N={y|y=}，则M与N的关系为
（　　）
A.M=N
B.M?N
C.N?M
D.M∩N=?
（2）[2020湖南岳阳两校联考]设集合A={0，
-
4}，B={x|x2+2（a+1）x+a2
-
1=0，x∈R}.若B?A，则实数a的取值范围是　　　　　.?
考法3
集合的基本运算
例5：（1）[2018全国卷Ⅰ]已知集合A={x|x2
-
x
-
2>0}，则?RA=（
）
A.{x|
-
1B.{x|
-
1≤x≤2}
C.{x|x<
-
1}∪{x|x>2}
D.{x|x≤
-
1}∪{x|x≥2}
（2）[2019全国卷Ⅰ]已知集合M={x|
-
4-
x
-
6<0}，则
M∩N=
A.{x|
-
4B.{x|
-
4-
2}
C.{x|
-
2D.{x|2【解析】（1）解法一　∵
A={x|（x
-
2）（x+1）>0}={x|x<
-
1或x>2}，∴?RA={x|
-
1≤x≤2}.
解法二　∵
A={x|x2
-
x
-
2>0}，∴?RA={x|x2
-
x
-
2≤0}={x|
-
1≤x≤2}.
（2）解法一　∵
N={x|
-
2-
4-
2解法二　由（M∩N）?M可排除A，D.由1∈M，1∈N，知1∈（M∩N），排除B，选C.
【答案】（1）B　（2）C
例6：（1）设集合A={x|
-
1≤x<2}，B={x|xA.
-
1B.a>2
C.a≥
-
1
D.a>
-
1
（2）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（
）
A.0
B.1
C.2
D.4
【解题思路】（1）借助数轴来求解
A∩B≠?，则集合A，B在数轴上有重叠的部分确定a在数轴上的位置，得到其取值范围
（2）a∈（A∪B），a2∈（A∪B）确定a和a2的值
【解析】（1）因为A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出集合A，B，如图1
-
1
-
2所示，易知a>
-
1.
图1
-
1
-
2
（2）根据并集的概念，可知{a，a2}={4，16}，故a=4.
【答案】（1）D　（2）D
【注意】第（1）小题易忽视讨论区间端点值而致误.这里a不能取
-
1，因为当a=
-
1时，B={x|x<
-
1}，这时A∩B=?，不符合题意.
【变式练习
牛刀小试】
3.（1）[2020百校联考]已知集合A={x|x2+2x=0}，B={x|2|x
-
1|=2}，则A∪B=
（　　）
A.{0}
B.{0，2}
C.{0，
-
2}
D.{
-
2，0，2}
（2）[2020湖北八校第一次联考]已知集合X={x|ex>}，Y={x|x2+x
-
6≤0}，则（?RX）∩Y=
（　　）
A.[
-
3，
-
ln
2）
B.[
-
2，
-
ln
2]
C.[
-
3，
-
ln
2]
D.[
-
ln
2，2]
数学探究
集合中的创新问题
例：
[2015湖北高考]已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A?B={（x1+x2，y1+y2）|
（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A?B中元素的个数为
A.77
　　　B.49
C.45
　　　D.30
【解析】
因为集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有
5个元素（即5个点），即图1
-
1
-
3中圆内及圆上的整点.集合B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素（即25个点），即图1
-
1
-
3中正方形
ABCD内及正方形ABCD上的整点.集合A?B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}中的元素可看作图1
-
1
-
3中正方形A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点，共7×7
-
4=45（个）.
图1
-
1
-
3
【答案】C
【反思】
核心素养
考查途径
素养水平
直观想象
利用直角坐标系画图可以形象直观地分析和解决问题.
二
逻辑推理
由A和B中的元素推断A?B中的元素个数.
二
【变式练习
牛刀小试】
4.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M={x|ax2
-
1=0，a>0}，N=
{
-
，，1}，若M与N“相交”，则a=　　　　　.
第一讲　《集合》测评
基础篇
1.[2020湖南长郡中学测试]已知集合A={x∈N|1（　　）
A.k>8
B.k≥8
C.k>16
D.k≥16
2.[2020湖南衡阳八中模拟]已知集合P={x∈R|0≤x≤4}，Q={x∈R||x|<3}，则P∪Q=
（　　）
A.[3，4]
B.（-3，+∞）
C.（-∞，4]
D.（-3，4]
3.[2020武汉市部分学校质量监测]已知集合A={x|x2
-
x
-
2<0}，则?RA=
（　　）
A.{x|
-
1B.{x|
-
1≤x≤2}
C.{x|x<
-
1或x>2}
D.{x|x≤
-
1或x≥2}
4.[2020江淮十校联考]已知集合A={y|y=x+，x≠0}，集合B={x|x2
-
4≤0}，若A∩B=P，则集合P的子集个数为
（　　）
A.2
B.4
C.8
D.16
5.[新角度题]已知全集U={
-
2，0，1}，集合A={x|x2+x
-
2=0}，B={x|
-
x2+x=0}，则A∪（?UB）=
（　　）
A.{-1，0}
B.{0，1}
C.{-2，1}
D.{-2，0，1}
6.[2020贵阳市高三摸底测试]已知函数f
（x）=lg（1
-
x）的定义域为M，函数g（x）=的定义域为N，则M∩N=
（　　）
A.{x|x≤1}
B.{x|x≤1且x≠0}
C.{x|x>1}
D.{x|x<1且x≠0}
7.[2020山东省统考]设集合A={（x，y）|x+y=2}，B={（x，y）|y=x2}，则A∩B=
（　　）
A.{（1，1）}
B.{（
-
2，4）}
C.{（1，1），（
-
2，4）}
D.?
8.[2020河南周口第一次质检]已知全集U为实数集R，集合M={x|<0}，N={x||x|≤1}，则如图1
-
1
-
1所示的阴影部分表示的集合是
（　　）
图1
-
1
-
1
A.（-1，1）
B.（-3，1）
C.（-∞，-3）∪（-1，+∞）
D.（-3，-1）
9.[2019太原二模]已知集合A={1，2，4，8}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=
（　　）
A.{1，2}
B.{0，1，2，3}
C.{1，2，3}
D.{0，3}
提升篇
10.[多选题]已知A?B，A?C，B={2，0，1，8}，C={1，9，3，8}，则A可以是
（　　）
A.{1，8}
B.{2，3}
C.{1}
D.{2}
11.[多选题]设集合M={x|（x
-
3）（x+2）<0}，N={x|x<3}，则
（　　）
A.M∩N=M
B.M∪N=N
C.M∩（?RN）=?
D.M∪N=R
12.[2020四川模拟]已知集合A={x|x是1~20以内的所有素数}，B={x||x|≤8}，则A∩B=
（　　）
A.{3，5，7}
B.{2，3，5，7}
C.{1，2，3，5，7}
D.{0，1，2，3，5，7}
13.[2020洛阳市第一次联考][易错题]全集U=R，集合A={x|y=log2
019（x
-
1）}，集合B={y|y=}，则A∩（?UB）=
（　　）
A.[1，2]
B.[1，2）
C.（1，2]
D.（1，2）
14.[2020天津实验中学模拟]设A={x|x2
-
8x+15=0}，B={x|ax
-
1=0}，若A∩B=B，则由实数a的取值组成的集合的子集的个数为
（　　）
A.2
B.3
C.4
D.8
15.[2020山东师大附中二模]已知集合M={x|x2
-
x<0}，N={x|2x2
-
ax
-
1<0}，且M?N，则实数a的取值范围是
（　　）
A.（-∞，1]
B.
[1，+∞）
C.
（0，1）
D.
（-1，0）
16.[2019湖南重点高中联考]已知集合A={x|a
-
2-
1）（x
-
4）>0}，若A∪B=R，则a的取值范围是
（　　）
A.（
-
∞，1]
B.（1，3）
C.[1，3]
D.[3，+∞）
17.[新角度题]已知集合A={x|x2+y2=2}，集合B={y|y=x2，x∈A}，则（?RA）∩B=
（　　）
A.[-，]
B.[0，2]
C.[0，]
D.（，2]
18.[新定义题]对于非空数集A={a1，a2，a3，…，an}（n∈N
），其所有元素的算术平均数记为E（A），即E（A）=.若非空数集B满足下列两个条件，①B?A，②E（B）=E（A），则称B为A的一个“保均值子集”.据此，集合M={1，2，3，4，5}的“保均值子集”有
（　　）
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
参考答案与解析
集合
考点测评
1.C　对于①，由于
-
1?N，故①错误.
对于②，{x|y=x2}=R，{y|y=x2}={y|y≥0}=[0，+∞），以上两集合均为数集，{（x，y）|y=x2}表示抛物线y=x2上所有点的集合，故②错误.
对于③，方程中含有两个未知数，解集为{（2
020，
-
2
021）}，故③错误.
对于④，当m=
-
1时，m+2=1，不满足集合中元素的互异性，故④错误.易知⑤正确.
对于⑥，A={x|02.B　由<1得x<1或x>2，所以A=（
-
∞，1）∪（2，+∞），所以?RA=[1，2]，故选B.
3.B　由≥0可得x<
-
1或x≥2，所以B={x|x<
-
1或x≥2}，则A∩B={2，3}，A∩B中有2个元素，故选B.
4.C　由题意可知A可能为{0，1}，{0，1，2}，{0，1，3}，则满足条件的集合A的个数为3，故选C.
5.A　因为A={x|x2
-
5x+6>0}={x|x>3或x<2}，B={x|x
-
1<0}={x|x<1}，所以A∩B={x|x<1}，故选A.
6.D　由题意可得A∩C={1，2}，故（A∩C）∪B={1，2，3，4}.故选D.
【变式练习
牛刀小试】
1.B　集合A表示圆x2+y2=1上的点的集合，集合B表示直线y=x上的点的集合，直线y=x与圆x2+y2=1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
2.（1）B　由题意知M=[1，+∞），N=[0，+∞），则M?N.故选B.
【易错警示】　注意集合M中的代表元素是x，集合M表示函数y=的定义域，集合N中的代表元素是y，集合N表示函数y=的值域.
（2）（
-
∞，
-
1]∪{1}　①当B=A时，B={0，
-
4}，则0和
-
4是方程x2+2（a+1）x+a2
-
1=0的两个根，由此可得解得a=1；
②当B≠?且B≠A时，B={0}或B={
-
4}，
则Δ=4（a+1）2
-
4（a2
-
1）=0，解得a=
-
1，此时B={0}，满足题意；
③当B=?时，Δ=4（a+1）2
-
4（a2
-
1）<0，解得a<
-
1.
综上所述，实数a的取值范围是（
-
∞，
-
1]∪{1}.
3.（1）D　因为A={x|x2+2x=0}={
-
2，0}，B={x|2|x
-
1|=2}={0，2}，所以A∪B={
-
2，0，2}.
（2）C　由已知得X=（
-
ln
2，+∞），Y=[
-
3，2]，所以?RX=（
-
∞，
-
ln
2]，所以（?RX）∩Y=[
-
3，
-
ln
2]，故选C.
4.1　M={
-
，}，若，则a=4；若=1，则a=1.
当a=4时，M={
-
，}，此时M?N，不合题意；
当a=1时，M={
-
1，1}，满足题意.故a=1.
基础篇
1.C　因为集合A中至少有3个元素，所以log2k>4，所以k>24=16，故选C.
2.D　由题意得，P=[0，4]，Q=（
-
3，3），∴P∪Q=（
-
3，4]，故选D.
3.D　解法一　因为A={x|x2
-
x
-
2<0}={x|（x+1）（x
-
2）<0}={x|
-
1-
1或x≥2}，选D.
解法二　显然0∈A，所以0??RA，排除A，B；又2?A，所以2∈?RA，排除C.选D.
4.B　易知A={y|y≤
-
2或y≥2}，B={
-
2≤x≤2}，则A∩B={
-
2，2}，所以P的子集个数为4，选B.
5.C　易知A={
-
2，1}，B={0，1}，所以?UB={
-
2}，A∪（?UB）={
-
2，1}.故选C.
6.D　由题意知，M={x|1
-
x>0}={x|x<1}，N={x|x≠0}，所以M∩N={x|x<1且x≠0}，故选D.
7.C　由解得或所以A∩B={（1，1），（
-
2，4）}，故选C.
8.D　由<0得（x+3）（x
-
1）<0，解得
-
3-
3，1），由|x|≤1得
-
1≤x≤1，即N=[
-
1，1].由题图1
-
1
-
1知，阴影部分表示的集合为（?UN）∩M=（
-
3，
-
1），故选D.
9.A　因为集合A={1，2，4，8}，集合B={y|y=log2x，x∈A}={0，1，2，3}，所以A∩B={1，2}，故选A.
提升篇
10.AC　∵B={2，0，1，8}，C={1，9，3，8}，∴B∩C={1，8}.∵A?B，A?C，∴A?（B∩C），即A?{1，8}，故选AC.
11.ABC　由题意知，M={x|
-
2-
212.B　由题意知，A={2，3，5，7，11，13，17，19}，B={x|
-
8≤x≤8}，∴A∩B={2，3，5，7}，故选B.
13.D　由已知，得A={x|x>1}，因为y=≥2，所以B={y|y≥2}，则?UB={y|y<2}，所以A∩（?UB）={x|114.D　A={x|x2
-
8x+15=0}={3，5}，因为A∩B=B，所以B?A，因此B=?或B={3}或B={5}，对应实数a的值为0或或，其组成的集合的子集个数为23=8，选D.
15.B　因为M={x|x2
-
x<0}，则M={x|0-
ax
-
1<0恒成立，即a>2x
-
恒成立.因为函数y=2x
-
在（0，1）上是单调递增的，所以a≥2×1
-
=1，即a≥1.故选B.
16.B　∵B=（
-
∞，1）∪（4，+∞），A∪B=R，∴解得117.D　x2+y2=2表示圆心为坐标原点，半径为的圆，因而圆上点的横坐标的取值范围为
-
≤x≤，故A={x|
-
≤x≤}，?RA=（
-
∞，
-
）∪
（，+∞）.对于函数y=x2，当x∈A时，y∈[0，2]，故B=[0，2]，从而（?RA）∩B=（，2]，故选D.
18.D　因为集合M={1，2，3，4，5}中所有元素的算术平均数E（M）==3，所以由新定义可知，只需找到其非空子集N满足E（N）=3即可.据此分析易知，集合{1，2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，5}，{2，4}，{3}都符合要求.故集合M={1，2，3，4，5}的“保均值子集”有7个.故选D.
第一章　集合、常用逻辑用语与不等式
第一讲　集　合
1.[2020湖南长郡中学测试]已知集合A={x∈N|1（　　）
A.k>8
B.k≥8
C.k>16
D.k≥16
2.[2020湖南衡阳八中模拟]已知集合P={x∈R|0≤x≤4}，Q={x∈R||x|<3}，则P∪Q=
（　　）
A.[3，4]
B.（-3，+∞）
C.（-∞，4]
D.（-3，4]
3.[2020武汉市部分学校质量监测]已知集合A={x|x2
-
x
-
2<0}，则?RA=
（　　）
A.{x|
-
1B.{x|
-
1≤x≤2}
C.{x|x<
-
1或x>2}
D.{x|x≤
-
1或x≥2}
4.[2020江淮十校联考]已知集合A={y|y=x+，x≠0}，集合B={x|x2
-
4≤0}，若A∩B=P，则集合P的子集个数为
（　　）
A.2
B.4
C.8
D.16
5.[新角度题]已知全集U={
-
2，0，1}，集合A={x|x2+x
-
2=0}，B={x|
-
x2+x=0}，则A∪（?UB）=
（　　）
A.{-1，0}
B.{0，1}
C.{-2，1}
D.{-2，0，1}
6.[2020贵阳市高三摸底测试]已知函数f
（x）=lg（1
-
x）的定义域为M，函数g（x）=的定义域为N，则M∩N=
（　　）
A.{x|x≤1}
B.{x|x≤1且x≠0}
C.{x|x>1}
D.{x|x<1且x≠0}
7.[2020山东省统考]设集合A={（x，y）|x+y=2}，B={（x，y）|y=x2}，则A∩B=
（　　）
A.{（1，1）}
B.{（
-
2，4）}
C.{（1，1），（
-
2，4）}
D.?
8.[2020河南周口第一次质检]已知全集U为实数集R，集合M={x|<0}，N={x||x|≤1}，则如图1
-
1
-
1所示的阴影部分表示的集合是
（　　）
图1
-
1
-
1
A.（-1，1）
B.（-3，1）
C.（-∞，-3）∪（-1，+∞）
D.（-3，-1）
9.[2019太原二模]已知集合A={1，2，4，8}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=
（　　）
A.{1，2}
B.{0，1，2，3}
C.{1，2，3}
D.{0，3}
10.[多选题]已知A?B，A?C，B={2，0，1，8}，C={1，9，3，8}，则A可以是
（　　）
A.{1，8}
B.{2，3}
C.{1}
D.{2}
11.[多选题]设集合M={x|（x
-
3）（x+2）<0}，N={x|x<3}，则
（　　）
A.M∩N=M
B.M∪N=N
C.M∩（?RN）=?
D.M∪N=R
12.[2020四川模拟]已知集合A={x|x是1~20以内的所有素数}，B={x||x|≤8}，则A∩B=
（　　）
A.{3，5，7}
B.{2，3，5，7}
C.{1，2，3，5，7}
D.{0，1，2，3，5，7}
13.[2020洛阳市第一次联考][易错题]全集U=R，集合A={x|y=log2
019（x
-
1）}，集合B={y|y=}，则A∩（?UB）=
（　　）
A.[1，2]
B.[1，2）
C.（1，2]
D.（1，2）
14.[2020天津实验中学模拟]设A={x|x2
-
8x+15=0}，B={x|ax
-
1=0}，若A∩B=B，则由实数a的取值组成的集合的子集的个数为
（　　）
A.2
B.3
C.4
D.8
15.[2020山东师大附中二模]已知集合M={x|x2
-
x<0}，N={x|2x2
-
ax
-
1<0}，且M?N，则实数a的取值范围是
（　　）
A.（-∞，1]
B.
[1，+∞）
C.
（0，1）
D.
（-1，0）
16.[2019湖南重点高中联考]已知集合A={x|a
-
2-
1）（x
-
4）>0}，若A∪B=R，则a的取值范围是
（　　）
A.（
-
∞，1]
B.（1，3）
C.[1，3]
D.[3，+∞）
17.[新角度题]已知集合A={x|x2+y2=2}，集合B={y|y=x2，x∈A}，则（?RA）∩B=
（　　）
A.[-，]
B.[0，2]
C.[0，]
D.（，2]
18.[新定义题]对于非空数集A={a1，a2，a3，…，an}（n∈N
），其所有元素的算术平均数记为E（A），即E（A）=.若非空数集B满足下列两个条件，①B?A，②E（B）=E（A），则称B为A的一个“保均值子集”.据此，集合M={1，2，3，4，5}的“保均值子集”有
（　　）
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
参考答案与解析
集合
考点测评
1.C　对于①，由于
-
1?N，故①错误.
对于②，{x|y=x2}=R，{y|y=x2}={y|y≥0}=[0，+∞），以上两集合均为数集，{（x，y）|y=x2}表示抛物线y=x2上所有点的集合，故②错误.
对于③，方程中含有两个未知数，解集为{（2
020，
-
2
021）}，故③错误.
对于④，当m=
-
1时，m+2=1，不满足集合中元素的互异性，故④错误.易知⑤正确.
对于⑥，A={x|02.B　由<1得x<1或x>2，所以A=（
-
∞，1）∪（2，+∞），所以?RA=[1，2]，故选B.
3.B　由≥0可得x<
-
1或x≥2，所以B={x|x<
-
1或x≥2}，则A∩B={2，3}，A∩B中有2个元素，故选B.
4.C　由题意可知A可能为{0，1}，{0，1，2}，{0，1，3}，则满足条件的集合A的个数为3，故选C.
5.A　因为A={x|x2
-
5x+6>0}={x|x>3或x<2}，B={x|x
-
1<0}={x|x<1}，所以A∩B={x|x<1}，故选A.
6.D　由题意可得A∩C={1，2}，故（A∩C）∪B={1，2，3，4}.故选D.
【变式练习
牛刀小试】
1.B　集合A表示圆x2+y2=1上的点的集合，集合B表示直线y=x上的点的集合，直线y=x与圆x2+y2=1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
2.（1）B　由题意知M=[1，+∞），N=[0，+∞），则M?N.故选B.
【易错警示】　注意集合M中的代表元素是x，集合M表示函数y=的定义域，集合N中的代表元素是y，集合N表示函数y=的值域.
（2）（
-
∞，
-
1]∪{1}　①当B=A时，B={0，
-
4}，则0和
-
4是方程x2+2（a+1）x+a2
-
1=0的两个根，由此可得解得a=1；
②当B≠?且B≠A时，B={0}或B={
-
4}，
则Δ=4（a+1）2
-
4（a2
-
1）=0，解得a=
-
1，此时B={0}，满足题意；
③当B=?时，Δ=4（a+1）2
-
4（a2
-
1）<0，解得a<
-
1.
综上所述，实数a的取值范围是（
-
∞，
-
1]∪{1}.
3.（1）D　因为A={x|x2+2x=0}={
-
2，0}，B={x|2|x
-
1|=2}={0，2}，所以A∪B={
-
2，0，2}.
（2）C　由已知得X=（
-
ln
2，+∞），Y=[
-
3，2]，所以?RX=（
-
∞，
-
ln
2]，所以（?RX）∩Y=[
-
3，
-
ln
2]，故选C.
4.1　M={
-
，}，若，则a=4；若=1，则a=1.
当a=4时，M={
-
，}，此时M?N，不合题意；
当a=1时，M={
-
1，1}，满足题意.故a=1.
1.C　因为集合A中至少有3个元素，所以log2k>4，所以k>24=16，故选C.
2.D　由题意得，P=[0，4]，Q=（
-
3，3），∴P∪Q=（
-
3，4]，故选D.
3.D　解法一　因为A={x|x2
-
x
-
2<0}={x|（x+1）（x
-
2）<0}={x|
-
1-
1或x≥2}，选D.
解法二　显然0∈A，所以0??RA，排除A，B；又2?A，所以2∈?RA，排除C.选D.
4.B　易知A={y|y≤
-
2或y≥2}，B={
-
2≤x≤2}，则A∩B={
-
2，2}，所以P的子集个数为4，选B.
5.C　易知A={
-
2，1}，B={0，1}，所以?UB={
-
2}，A∪（?UB）={
-
2，1}.故选C.
6.D　由题意知，M={x|1
-
x>0}={x|x<1}，N={x|x≠0}，所以M∩N={x|x<1且x≠0}，故选D.
7.C　由解得或所以A∩B={（1，1），（
-
2，4）}，故选C.
8.D　由<0得（x+3）（x
-
1）<0，解得
-
3-
3，1），由|x|≤1得
-
1≤x≤1，即N=[
-
1，1].由题图1
-
1
-
1知，阴影部分表示的集合为（?UN）∩M=（
-
3，
-
1），故选D.
9.A　因为集合A={1，2，4，8}，集合B={y|y=log2x，x∈A}={0，1，2，3}，所以A∩B={1，2}，故选A.
10.AC　∵B={2，0，1，8}，C={1，9，3，8}，∴B∩C={1，8}.∵A?B，A?C，∴A?（B∩C），即A?{1，8}，故选AC.
11.ABC　由题意知，M={x|
-
2-
212.B　由题意知，A={2，3，5，7，11，13，17，19}，B={x|
-
8≤x≤8}，∴A∩B={2，3，5，7}，故选B.
13.D　由已知，得A={x|x>1}，因为y=≥2，所以B={y|y≥2}，则?UB={y|y<2}，所以A∩（?UB）={x|114.D　A={x|x2
-
8x+15=0}={3，5}，因为A∩B=B，所以B?A，因此B=?或B={3}或B={5}，对应实数a的值为0或或，其组成的集合的子集个数为23=8，选D.
15.B　因为M={x|x2
-
x<0}，则M={x|0-
ax
-
1<0恒成立，即a>2x
-
恒成立.因为函数y=2x
-
在（0，1）上是单调递增的，所以a≥2×1
-
=1，即a≥1.故选B.
16.B　∵B=（
-
∞，1）∪（4，+∞），A∪B=R，∴解得117.D　x2+y2=2表示圆心为坐标原点，半径为的圆，因而圆上点的横坐标的取值范围为
-
≤x≤，故A={x|
-
≤x≤}，?RA=（
-
∞，
-
）∪
（，+∞）.对于函数y=x2，当x∈A时，y∈[0，2]，故B=[0，2]，从而（?RA）∩B=（，2]，故选D.
18.D　因为集合M={1，2，3，4，5}中所有元素的算术平均数E（M）==3，所以由新定义可知，只需找到其非空子集N满足E（N）=3即可.据此分析易知，集合{1，2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，5}，{2，4}，{3}都符合要求.故集合M={1，2，3，4，5}的“保均值子集”有7个.故选D.
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精品试卷·第
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